Les fractions (partes) dans le calcul
Demi, tiers, quart : calcul des fractions.
Les fractions (partes) dans le calcul médiéval
Partes
Héritage romain
Nos calculateurs, héritiers de la tradition romaine, usaient abondamment de fractions. On distinguait les « partes » (fractions unitaires, de numérateur 1) des fractions composées.
Le système de l'as
Le système romain reposait sur la division de l'as (unité monétaire) en 12 onces, donnant naissance à un vocabulaire fractionnaire :
Boèce et Isidore de Séville transmettent ce système, qui servait aussi bien au change des monnaies qu'au comput ecclésiastique.
Opérations du clerc
Réduire des fractions au même dénominateur, les additionner, les soustraire : telles étaient les opérations élémentaires que tout clerc devait maîtriser.
Réduire des fractions au même dénominateur, les additionner, les soustraire : telles étaient les opérations élémentaires que tout clerc devait maîtriser.
Testez-vous : 8 questions
1. En combien de parties (onces) les Romains divisaient-ils l’as, unité de base pour les fractions ?
- 12
- 16
- 8
- 10
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Réponse : 12
Les Romains divisaient l’as (unité de base) en 12 onces (unciae). Ce système duodécimal facilitait les partages : 1/2 = 6 onces, 1/3 = 4 onces, 1/4 = 3 onces, 1/6 = 2 onces. Cette division en 12 parties a influencé le système monétaire médiéval (1 sou = 12 deniers).
2. Comment appelle-t-on en latin la moitié de l’as, soit la fraction 1/2 ?
- Triens
- Sextans
- Semis
- Quadrans
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Réponse : Semis
Le « semis » est le nom latin de la moitié de l’as, soit la fraction 1/2, équivalant à 6 onces sur 12. Ce terme fait partie du vocabulaire des fractions romaines duodécimales transmis par Isidore de Séville dans ses Étymologies.
3. Dans le système romain, combien d’onces vaut un « quadrans » (un quart) ?
- 6 onces
- 3 onces
- 4 onces
- 2 onces
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Réponse : 3 onces
Un « quadrans » (un quart) vaut 3 onces dans le système romain. L’as étant divisé en 12 onces, 1/4 de 12 = 3 onces. Ce système duodécimal facilitait les fractions courantes : 1/2 = 6 onces, 1/3 = 4 onces, 1/4 = 3 onces, 1/6 = 2 onces.
4. Quel est le résultat de l’addition des fractions 1/3 et 1/4, exprimé en onces romaines ?
- 8 onces sur 12
- 5 onces sur 12
- 6 onces sur 12
- 7 onces sur 12
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Réponse : 7 onces sur 12
En onces romaines (1 as = 12 onces) : 1/3 = 4 onces et 1/4 = 3 onces. Leur somme : 4 + 3 = 7 onces sur 12, soit 7/12 de l’as. Le système duodécimal romain facilitait l’addition de fractions car 12 est divisible par 2, 3, 4 et 6.
5. Comment Boèce appelle-t-il une fraction dont le numérateur est 1, comme 1/3 ou 1/5 ?
- Fractio
- Partes
- Pars
- Proportio
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Réponse : Pars
Boèce appelle « pars » une fraction unitaire (numérateur = 1), comme 1/3 ou 1/5. Les autres fractions sont appelées « partes ».
6. Le « sextans » vaut 1/6 de l’as. Combien d’onces représente-t-il ?
- 4 onces
- 3 onces
- 2 onces
- 1 once
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Réponse : 2 onces
Le sextans vaut 1/6 de l’as. Comme l’as est divisé en 12 onces, 1/6 de 12 = 2 onces. Le système romain de fractions duodécimales facilitait ce type de calcul : 1/2 (semis) = 6 onces, 1/3 (triens) = 4 onces, 1/4 (quadrans) = 3 onces, 1/6 (sextans) = 2 onces.
7. Pour additionner 1/4 et 1/6, il faut les réduire au même dénominateur. Quel est ce dénominateur commun le plus simple ?
- 12
- 24
- 8
- 10
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Réponse : 12
Pour additionner 1/4 et 1/6, il faut un dénominateur commun. Le plus petit commun multiple de 4 et 6 est 12. Donc : 1/4 = 3/12 et 1/6 = 2/12, et leur somme est 5/12. Le système romain des 12 onces facilitait naturellement ce type de calcul.
8. Quel auteur du VIIe siècle consacre un chapitre de ses « Étymologies » au vocabulaire des fractions romaines ?
- Raban Maur
- Isidore de Séville
- Grégoire le Grand
- Bède le Vénérable
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Réponse : Isidore de Séville
Isidore de Séville (v. 560-636), dans ses « Étymologies » (Livre III), consacre un chapitre aux fractions romaines héritées du système duodécimal de l’as (1 as = 12 onces). Il décrit les noms latins des fractions : semis (1/2), triens (1/3), quadrans (1/4), etc.
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