Les solides d'Archimède : les treize joyaux
Les treize solides d'Archimède : des joyaux géométriques entre les cinq solides de Platon.
Les solides d'Archimède
Solida Archimedis
Les solides semi-réguliers
Au-delà des cinq solides parfaits de Platon, il existe treize solides semi-réguliers découverts par Archimède de Syracuse. Leurs faces sont des polygones réguliers de plusieurs types (triangles, carrés, pentagones, hexagones…), mais chaque sommet est identique aux autres. Ils s'inscrivent tous parfaitement dans une sphère.
Cinq solides tronqués
On obtient cinq de ces solides en « troncaturant » (coupant les sommets) des solides de Platon : le cube tronqué, le tétraèdre tronqué, l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre tronqué et l'icosaèdre tronqué. Ce dernier, fait de 12 pentagones et 20 hexagones, est la forme exacte d'un ballon de football ! Le cuboctaèdre, lui, naît en joignant les milieux des arêtes du cube (ou de l'octaèdre) : 12 sommets, comme les 12 apôtres autour du Christ.
Treize solides semi-réguliers complètent les cinq de Platon : la géométrie ne cesse de dévoiler l'ordre du Créateur
Récapitulatif : les solides d'Archimède
Solida Archimedea
Les solides archimédiens
Archimède de Syracuse (vers 287-212 av. J.-C.) a découvert 13 solides semi-réguliers qui portent son nom. Ces solides archimédiens sont composés de deux ou plusieurs types de polygones réguliers, avec des sommets tous identiques.
Le solide tronqué
Un solide tronqué s'obtient en coupant les sommets d'un solide de Platon. Par exemple, en coupant les sommets d'un icosaèdre, on obtient l'icosaèdre tronqué : 12 faces pentagonales et 20 faces hexagonales.
Les 13 solides d'Archimède enrichissent la géométrie des formes au-delà des cinq solides de Platon.
Testez-vous : 7 questions
1. Combien de solides semi-réguliers Archimède a-t-il découverts ?
- 13
- 7
- 5
- 12
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Réponse : 13
Archimède découvrit 13 solides semi-réguliers (ou solides archimédiens). Ce sont des polyèdres convexes dont les faces sont des polygones réguliers de types différents, mais dont tous les sommets sont identiques. Parmi eux : le cuboctaèdre, l’icosaèdre tronqué (ballon de football), le rhombicosidodécaèdre… Léonard de Vinci fut le premier à les dessiner tous à la Renaissance.
2. Comment obtient-on un solide tronqué ?
- En doublant ses faces
- En le plongeant dans l’eau
- En coupant ses sommets
- En reliant ses faces
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Réponse : En coupant ses sommets
Un solide tronqué s’obtient en coupant (tronquant) les sommets d’un solide de Platon par des plans. Chaque sommet coupé engendre une nouvelle face. Par exemple, en tronquant les sommets d’un icosaèdre, on obtient l’icosaèdre tronqué, dont la forme est celle d’un ballon de football (12 pentagones et 20 hexagones). Ces solides archimédiens combinent plusieurs types de faces régulières.
3. Quel objet du quotidien a la forme d’un icosaèdre tronqué (12 pentagones + 20 hexagones) ?
- Une balle de tennis
- Un dé à jouer
- Un ballon de football
- Un globe terrestre
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Réponse : Un ballon de football
Le ballon de football est un icosaèdre tronqué : 12 pentagones et 20 hexagones, héritier direct de la géométrie des solides platoniciens.
4. Quel est le dual du cube ?
- Le tétraèdre
- L’octaèdre
- Le dodécaèdre
- L’icosaèdre
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Réponse : L’octaèdre
Le dual du cube est l’octaèdre. En reliant les centres des 6 faces du cube, on obtient un octaèdre (6 sommets correspondant aux 6 faces du cube). Inversement, en reliant les centres des 8 faces de l’octaèdre, on retrouve un cube. Le cube a 6 faces et 8 sommets, l’octaèdre a 8 faces et 6 sommets : faces et sommets sont échangés.
5. Quel solide de Platon est son propre dual ?
- Le cube
- L’octaèdre
- Le dodécaèdre
- Le tétraèdre
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Réponse : Le tétraèdre
Le tétraèdre est son propre dual : en reliant les centres de ses 4 faces, on obtient un autre tétraèdre, plus petit mais de même forme. C’est le seul solide platonicien ayant cette propriété d’autodualité. Les autres forment des paires duales : le cube avec l’octaèdre, et le dodécaèdre avec l’icosaèdre.
6. Combien de sommets possède le cuboctaèdre, correspondant aux sphères empilées autour d’une centrale ?
- 20
- 6
- 12
- 8
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Réponse : 12
Le cuboctaèdre possède 12 sommets, 24 arêtes et 14 faces (8 triangulaires et 6 carrées). Il correspond à la disposition des 12 sphères que l’on peut empiler autour d’une sphère centrale de même taille. C’est un solide archimédien qui se situe à mi-chemin entre le cube et l’octaèdre, dont il porte le nom.
7. Qui fut le premier à dessiner les solides d’Archimède à la Renaissance ?
- Raphaël
- Michel-Ange
- Brunelleschi
- Léonard de Vinci
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Réponse : Léonard de Vinci
Léonard de Vinci fut le premier à dessiner les solides d’Archimède (solides semi-réguliers) à la Renaissance, vers 1498, pour illustrer le De Divina Proportione de son ami Luca Pacioli. Ses dessins en perspective, d’une grande précision et élégance, rendirent visibles ces treize polyèdres complexes et contribuèrent à renouveler l’intérêt pour la géométrie des solides.
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