De institutione arithmetica (page 2)

Ac de solidis quidem figuris haec ad praesens dicta sufficiant. Qui autem de natura rerum propinquis investigantes rationibus, quique in matheseos disputatione versati, quid in quaque re esset proprium, subtilissime peritissimeque ediderunt, hi rerum omnium naturas in gemina dividentes hac speculatione distribuunt. Dicunt enim omnes omnium rerum substantias constare ex ea, quae propriae suaeque semper habitudinis est nec ullo modo permutatur, et ea scilicet natura, quae variabilis motus est sortita substantiam. Et illam primam inmutabilem naturam unius eiusdemque substantiae vocant, hanc vero alterius, scilicet quod a prima illa inmutabili discedens prima sit altera, quod nimirum ad unitatem pertinet et ad dualitatem, qui numerus primus ab uno discedens alter factus est. Et quoniam cuncti secundum unitatis speciem naturamque inpares numeri formati sunt, quique ex his coacervatis tetragoni fiunt, duplici modo eiusdem substantiae participes esse dicuntur, quod vel ab aequalitate formantur tetragoni, vel coacervatis in unum numeris inparibus procreantur. Illi vero, qui sunt pares, quoniam binarii numeri formae sunt, quique ex his coacervati collectique in unam congeriem parte altera longiores numeri nascuntur, hi secundum ipsius binarii numeri naturam ab eiusdem substantiae natura discessisse dicuntur, putanturque alterius naturae esse participes idcirco, quoniam, cum latera tetragonorum ab aequalitate progressa in aequalitatempropriae latitudinis ambitum tendant, hi adiecto uno ab aequalitate laterum discesserunt atque ideo dissimilibus lateribus et quodammodo a se alteris coniunguntur. Quare notum nobis est, quod ex his ea, quae sunt in hoc mundo, coniuncta sunt. Aut enim propriae inmutabilis eiusdemque substantiae est, quod est deus vel anima vel mens vel quodcunque propriae naturae incorporalitate beatur, aut mutabilis variabilisque naturae, quod corporibus indubitanter videmus accidere. Unde nunc nobis monstrandum est, hac gemina numerorum natura, quadratorum scilicet et parte altera longiorum cunctas numeri species cunctasque habitudines vel ad aliquid relatae quantitatis, ut multiplicium vel superparticularium et ceterorum, vel ad se ipsam consideratae, ut formarum, quas dudum in superiore disputatione descripsimus, informari, ut, quemadmodum mundus ex inmutabili mutabilique substantia, sic omnis numerus ex tetragonis, qui inmutabilitate perficiuntur, et ex parte altera longioribus, qui mutabilitate participiant, probetur esse coniunctus. Et primo quidem distribuendum est, qui sint hi, quos promeces vocant, id est anteriore parte longiores, vel qui, quos ετερομηκεις, id est parte altera longiores. Est enim parte altera longior numerus, quicunque unitate tantum lateri crescit adiecta, ut sunt sex, scilicet bis tres, vel xij tres quater et consimiles. Anteriore vero parte longior est, qui sub duobus numeris huiusmodi continetur, quorum latera non possidet unitatis differentia, sed aliorum quorumcunque numerorum, ut ter quinque vel ter sex vel quater septem. Quodammodo enim longitudine in prolixiorem modum porrecta merito anteriore parte longior dicitur. Cur autem parte altera longiores numeri dicantur, supra iam dictum est. Quadrati vero quoniam aequam latitudinem longitudini gerunt, propriae longitudinis vel eiusdem latitudinis aptissime vocabuntur, ut bis duo, ter tres, quater quattuor et ceteri. Parte altera vero longiores, quod non eadem longitudine tendantur, alterius quodammodo longitudinis et parte altera longiores vocantur.

Quod omnia ex eiusdem natura et alterius natura consistant idque in numeris primum videri

Omne autem, quicquid in propria natura substantiaque est inmobile, terminatum definitumque est, quippe quod nulla variatione mutetur, nunquam esse desinat, nunquam possit esse, quod non fuit. At haec unitas sola est et, quae unitate formantur, conprehensibilis et determinatae et eiusdem substantiae esse dicuntur. Ea vero sunt, vel quae ab aequalibus crescunt, ut quadrati, vel quos ipsa unitas format, id est inpares. At vero binarius et cuncti parte altera longiores, qui a finita substantia discesserunt, variabilis infinitaeque substantiae nominantur. Constat ergo numerus omnis ex his, quae longe disiuncta sunt atque contraria, ex inparibus scilicet et paribus. Hic enim stabilitas, illic instabilis variatio, hic inmobilis substantiae robur, illic mobilis permutatio; hic definita soliditas, illic infinita congeries multitudinis. Quae scilicet, cum sint contraria, in unam tamen quodammodo amicitiam cognationemque miscentur et illius unitatis informatione atque regimento unum numeri corpus efficiunt. Non ergo inutiliter neque inprovide, qui de hoc mundo deque hac communi rerum natura ratiocinabantur, hanc primum totius mundi substantiae divisionem fecerunt. Et Plato quidem in Timaeo eiusdem naturae et alterius nominat, quicquid in mundo est, atque aliud in sua natura permanere putat individuum inconiunctumque et rerum omnium primum, alterum divisibile et nunquam in proprii statu ordinis permanens. Philolaus vero:

Necesse est, inquit, omnia quae sunt vel infinita esse vel finita, demonstrare scilicet volens, omnia, quaecunque sunt, ex his duobus consistere, aut ex finita scilicet esse aut ex infinita, ad numeri sine dubio similitudinem. Hic enim ex uno et duobus et inpari atque pari coniungitur, quae manifesta sunt aequalitatis atque inaequalitatis, eiusdem atque alterius, definitae atque indefinitae esse substantiae. Quod videlicet non sine causa dictum est, omnia, quae ex contrariis consisterent, armonia quadam coniungi atque componi. Est enim armonia plurimorum adunatio et dissidentium consensio.

Ex eiusdem atque alterius numeri natura qui sunt quadratus et parte altera longior, omnes proportionum habitudines constare

Disponantur ergo in ordinem non iam pares atque inpares, ex quibus quadrati vel parte altera longiores fiunt, sed hi ipsi, qui illis coacervatis in unumque redactis et quadrati et parte altera longiores prodeunt. Ita enim videbimus istorum quendam consensum et ad ceteras numeri partes procreandas amicitiam, ut non sine causa hoc in omnibus rebus ab numeri specie natura rerum sumpsisse videatur. Sint igitur duo versus tetragonorum ab unitate omnium et a binario numero parte altera longiorum.

x iij iiij vj xv xxvj lviiij l j j ij x xx lij vj

Horum igitur si primum compares primo, dupli quantitas invenitur, quae est prima multiplicitatis species, si vero secundum secundo hemioliae quantitatis habitudo producitur, si tertium tertio sesquitertia proportio procreatur, si quartum quarto, sesquiquarta, et si quintum quinto, sesquiquinta, et hinc superparticularium normam in quamvis longissimum spatium progrediens integram inoffensamque repperies, ita ut in prima dupli proportione unitatis solius sit differentia, duo namque ab uno sola semper discrepant unitate. In sesqualtera vero duorum est differentia, in sesquitertia trium, in sesquiquarta quattuor et deinceps secundum superparticulares formas numerorum, quod ad differentias adtinet, uno tantum crescit adiectio numerum explicans naturalem.

iij iiij vj xv

j ij iij

j j ij x xx

Sin vero secundum tetragonum primo parte altera longiori compares et tertium secundo et quartum tertio et quintum quarto, easdem rursus proportiones effici pernotabis, quas in superiore forma descripsimus, sed hic differentiae ab unitate non inchoant, sed a binario numero in infinitum per eosdem calculos progrediuntur, eritque secundus primis duplu, tertius secundi sesqualter, quartus tertii sesquitertius, secundum eandem convenientiam, quae superius demonstrata est.

iij iiij vj xv xxvj

j ij iij j

j j ij x xx

Rursus quadrati invicem inparibus differunt, parte altera longiores paribus.

Differentiae inpares

ij ij iiij j iij x iij iiij vj xv xxvj lviiij

Quadrati

Differentiae pares

iij j iij ij iiij

j j ij x xx lij vj

Parte altera longiores

At vero si inter primum et secundum tetragonum primum parte altera longiorem ponimus, ad utrosque eos una proportione coniungitur. In utrisque enim proportionibus dupli multiplicitas invenitur. Sin vero inter secundum tertiumque tetragonum secundum parte altera longiorem ponas, sesqualterae comparationis ad utrosque forma componitur. Et si inter tertium et quartum tetragonum tertium parte altera longiorem constituas, sesquitertia species nascitur. Et idem si in cunctis feceris, cunctas superparticularcs species invenire miraberis.

Duplus

j iij

Sesqualter

iij j iiij

Sesquitertius

iiij ij vj

Sesquiquartus

vj x xv

Et ad eundem modum in ceteris convenit intueri. Rursus si ponantur duo tetragoni ex superius descriptis, id est primus et secundus et in unum colligantur, et medius eorum parte altera longior his multiplicetur, tetragonus fit. Namque unus et iiij, si iungantur, v faciunt. Eorum binarius parte altera longior, si bis ducatur, iiij fiunt, qui iuncti viiij sine ulla dubitatione conficient, qui est numerus quadratus. Et ad eundem modum in aliis hoc modo dispositis numeris, quos supra descripsimus, idem constat intellegi. Sin vero convertas et inter duos, primum et secundum, parte altera longiores secundum tetragonum ponas, qui in ordine quidem secundus est, sed actu et opere primus, ex duobus parte altera longioribus congregatis et bis multiplicato medio tetragono rursus tetragonus conficitur. Namque inter senarium et binarium numerum, qui sunt primus et secundus parte altera longiores, si ponatur quaternarius ordine secundus, primus actu tetragonus, et coniungantur ij et vj, faciunt viij; tum si his ducantur medii iiij, faciunt rursus viij, qui cum superioribus iuncti xvj tetragonum pandunt.

iij xv

iij ij xiiij x j iij iij j iiij iiij ij vj x iiij xv lviiij

x iij viij xxij x iij viij xxij

x j iij j j iiij ij ij vj x l vj xxvj xiiij

Illud quoque non oportet minore admiratione suspicere, quod secundum proprias naturas, ubi altrinsecus duo tetragoni stant et unus parte altera longior in medio ponitur, tetragonus, qui nascitur, ille semper ab inpari procreatur. Nam ex superioribus uno et iiij et bis multiplicato binario factus est novenarius tetragonus, qui scilicet a tribus procreatur; ter enim tres viiij faciunt, qui, ternarius inpar est numerus. Et sequens, qui ex iiij et viiij et bis multiplicato senario coniunctus est xxv tetragonus et ipse ex inpari quinario nascitur et continenti post ternarium; quinquies enim quinque xxv producunt et quinarius post ternarium inpar est numerus. Insequenti quoque eadem ratio est. Nam qui ex viiij et xvj et bis ducto xij quadratus xlviiij producitur, ille a septenario inpari fit et post quinarium continenti; septies enim septem xlviiij creant. At vero ubi duo altrinsecus parte altera longiores unum medium tetragonum claudunt, omnes ex his qui fiunt tetragoni a paribus producuntur. Nam qui ex duobus et vj parte altera longioribus et quaternario bis multiplicato xvj tetragonus factus est, ille a quaternario numero, id est pari, producitur; quater enim quattuor xvj sunt. Et insequenti quoque ordine, ubi ex vj et xij et bis in suam summam ducto novenario xxxvj fiunt, ex continenti pari senario copulantur; sexies enim sex xxxvj restituunt. Nec minus in eandem rationem cadit ex xij et xx et bis xvj factus lxiiij tetragonus; hic enim ex octonario continenti post senarium nascitur; octies enim viij. LXIIII tetragonum iungunt. Et in aliis quoque secundum eundem modum, si idem facias, rationis ordo non discrepat.

Quod ex quadratis et parte altera longioribus omnis formarum ratio consistat

Illud vero, quod ex his duobus tota omnium formarum videtur orta prolatio, non minore consideratione notandum est. Namque trianguli, qui cunctas alias formas, sicut superius docuimus, collecti producunt, bis iunctis velut ex quibusdam elementis oriuntur. Namque ex uno primo tetragono et binario primo parte altera longiore ternarius triangulus copulatur, et ex binario et quaternario, id est ex secundo tetragono senarius triangulus procreatur. Ex quaternario quoque et senario denarius triangulus nascitur, et ad eundem ordinem cuncta triangulorum ratio constabit. Disponantur enim alternatim inter se tetragoni et parte altera longiores, qui ut melius pernotarentur, prius in duobus eos versibus disposuimus. Post autem eosdem permiscuimus et, qui exinde trianguli nascerentur, adscripsimus.

Tetragoni

j iiij viiij xvj xxv xxxvj xlviiij lxiiij lxxxj

Parte altera longiores

ij vj xij xx xxx xlij lvj lxxij xc

Trianguli

l ij j v xj xviij xxvj lv v xvj xxviij x j iij j iiij ij vj x xv xx xxvj lij

Quemadmodum quadrati ex parte altera longioribus vel parte altera longiores ex quadratis fiant

Omnis vero tetragonus, si ei proprium latus addatur, vel eodem rursus dematur, parte altera longior fit. Namque iiij tetragono si quis duo iungat vel duo detrahat, vj addendo perficiet et ij detrahendo. At uterque figuram continet parte altera longiorem. Quae scilicet magna est alteritatis vis. Omnis enim infinita et

indeterminata potentia ab aequalitatis natura et a suis se finibus continente substantia discedens aut in maius exuberat aut in minora decrescit.

Quod principaliter eiusdem quidem sit substantiae unitas, secundo vero loco inpares numeri, tertio quadrati, et quod principaliter dualitas alterius sit substantiae, secundo vero loco pares numeri, tertio parte altera longiores

Constat igitur primo quidem loco unitatem propriae inmutabilisque substantiae eiusdemque naturae, dualitatem vero primam alteritatis mutationisque esse principium; secundo vero loco omnes inpares numeros propter unitatis cognationem eiusdem atque inmutabilis substantiae esse participes, pares vero ob binarii numeri consortium alteritatibus esse permixtos; tetragonos quoque ad eundem modum considerari manifestum est. Nam quod eorum compositio et coniunctio ex inparibus fit, inmutabili eos naturae pronuntiabo coniunctos. Quod vero parte altera longiores ex copulatione parium procreantur, nunquam ab alteritatis varietate separantur.

Alternatim positis quadratis et parte altera longioribus qui sit eorum consensus in differentiis et in proportionibus

Illud igitur perspiciendum est, quod, si idem tetragoni et parte altera longiores disponantur, ita ut alternatim sibi permixti sint, tanta in his est coniunctio, ut alias sibi in eisdem proportionibus communicent, discrepent autem differentiis, alias vero differentiis pares sint, proportionibus distent. Disponantur enim in ordinem idem illi superiores tetragoni et parte altera longiores ab uno: j ij iiij vj viiij xij xvj xx xxv xxx. Ergo in superiore formula hoc maxime intuendum est. Namque inter j, qui est tetragonus, et ij dupla proportio est; inter ij et iiij dupla. Hic ergo tetragonus cum parte altera longiore atque hic cum sequente tetragono eadem proportione iunguntur, differentiis vero non isdem. Namque duorum atque unius sola unitas differentia est, sed idem duo a quaternario solo binario relinquuntur. Rursus si ij ad iiij speculeris, dupla est proportio, si iiij ad vj, habitudinem sesqualteram recognosces. Hic ergo in proportionibus discrepant, in differentiis pares sunt. Namque et iiij a duobus et vj a iiij eodem binario distant. In sequentibus etiam eodem modo, sicut in primis fuit, ratio constat. Nam eadem proportio est, differentiis non eisdem. Nam iiij ad vj et vj ad viiij sesqualtera proportione iunguntur, vj autem quaternarium duobus, viiij vero senarium tribus praetereunt. In sequentibus etiam eadem ratio speculabitur et semper alternatim, nunc quidem eaedem proportiones, aliae differentiae sunt, nunc autem ordine permutato eisdem differentiis aliae proportiones, semperque, in quibus differunt, secundum naturalis numeri ordines tetragoni et parte altera longiores sese superabunt, tantum quod geminatis summulis naturalis numeri fit progressio. Quod mirum videri non debet. Nos enim ipsas summas tetragonorum et parte altera longiorum geminavimus ad primas secundasque proportiones.

Proportiones

s s s s s s s s upla upla esqu- esqu- esqui- esqui- esqui- esqui- esqui- esqui- a a t t q q q q ltera ltera ertia ertia uarta uarta uinta uinta

j iij j iiij ij vj x xv xx xxvj i i i i i v v v j j ij ij iij iij j

Differentiae

Eaedem quoque differentiae mirabilem in modum a toto per sequentes partes et per easdem unitates, quibus superius creverunt, progrediuntur. Namque inter unum et duo tantum unitas intercedit, quae unitatis, cui aequalis est, totum est; binarii vero medietas. Eodemque modo inter ij et iiij tantum ij sunt, qui binarii totum sunt, quaternarii medietas. Inter quaternarium vero et senarium idem ij sunt, ad quaternarium medietas, ad senarium pars tertia iij vero, qui sequuntur, qui inter vj et viiij constituti sunt medii, sunt quidem senarii

dimidium, pars vero tertia novenarii. Et rursus ternarius, qui novenarii pars tertia est, duodenarii quarta est; et ad eundem modum usque in finem descriptionis geminatis huiusmodi partibus, sicut ipsa quoque summarum comparatio geminata est, aequas partium progressiones aspicies.

Probatio quadratos eiusdem esse naturae

Illud autem apertissimum signum est, omnes tetragonos inparibus esse cognatos, quod in omni dispositione ab uno vel in duplicibus vel in triplicibus talis naturae ordo conseritur, ut nunquam, nisi secundum inparem locum tetragonus inveniatur. Disponamus enim in ordinem numeros, primo quidem duplos, deinde triplos.

x lxii cxxvi cclvj j iij iij vj xxij ij ij c dcc mmcl mmmm ij iiij xvij xxxj cxliij xxviiij xxxvij mmdlxj

Si igitur in utrisque versibus primos aspicias, singulos quos invenis, quoniam tetragoni sunt, in inpari loco sunt constituti, quoniam primi sunt. Si vero tertium locum respexeris, iiij et viiij notabis, quorum hic a duobus proficiscitur, illum ternarius creat; qui sunt loco inpari constituti. Quintum deinde si videas locum xvj et lxxxj respicies, sed unus a quaternario nascitur, alterum novenarius creat. Et si nonum locum rursus adspicias, tetragonos pernotabis cclvj et mmmmmmdlxj; quorum superior fit a xvj, inferior vero ab lxxxj. Idem si in infinitum facere libeat, indiscrepanter incurrit.

Cybos eiusdem participare substantiae, quod ab inparibus nascantur

Ipsi vero cybi, qui quamquam tribus intervallis sublati sint, tamen propter aequalem multiplicationem participant inmutabilis substantiae eiusdemque naturae sunt socii, non aliorum quam inparium coacervatione producuntur, nunquam vero parium. Nam si omnes ab unitate inpares disponantur, iuncti figuras cybicas explicabunt.

j iij v vij viiij xj xiij xv xvij xviiij xxj

In his igitur qui primus est, potestate et virtute primum cybum faciet; iuncti vero duo qui sequuntur, ternarius scilicet et quinarius, secundum efficiunt cybum, qui est octonarius. Iuncti autem tres, qui sequuntur, septenarius novenariusque et xj cybum facient, qui xxvij numero continetur, qui est tertius. Et sequentes quattuor quartum, et qui sequuntur quinque quintum, et ad eundem modum quotus quisque cybus efficitur, tot coniunctione inpares apponuntur. Hoc autem diligentius subiecta descriptio docet.

ij ij iiij j iij v vij viiij

iij xvij xiiij

xxj xxiij xxv xxvij xxviiij

cxxv

De proportionalitatibus

Et de his quidem sufficienter dictum est; nunc res admonet quaedam de proportionibus disputantes, quae nobis vel ad musicas speculationes vel ad astronomicas subtilitates vel ad geometricae considerationis vim vel etiam ad veterum lectionum intellegentiam prodesse possint, arithmeticam introductionem commodissime terminare. Est igitur proportionalitas duarum vel trium vel quotlibet proportionum adsumptio ad unum atque collectio. Ut etiam communiter definiamus: proportionalitas est duarum vel plurium proportionum similis habitudo, etiamsi non eisdem quantitatibus et differentiis constitutae sint. Differentia vero est inter numeros quantitas. Proportio est duorum terminorum ad se invicem quaedam habitudo et quasi quodammodo continentia, quorum compositio quod efficit, proportionale est. Ex iunctis enim proportionibus proportionalitas fit. In tribus autem terminis minima proportionalitas invenitur. Fit etiam in pluribus, sed longior; ut binarius ad unum, quoniam duo sunt termini, duplam obtinet proportionem. Sin vero quattuor contra duo compares, hic quoque dupla proportio est. Quos tres terminos si continue consideres, ex duabus proportionibus fit proportionalitas et est proportionalitas unum ad duo et duo ad quattuor. Est enim proportionalitas, ut dictum est, collectio proportionum in unumque redactio. Fit etiam et in longioribus. Nam si quattuor illis octo velis adiungere et his xvj et his xxxij et deinceps duplos, qui sequuntur, fit in omnibus dupla proportionalitas ex proportionibus duplis. Igitur quotiens unus atque idem terminus ita duobus circum se terminis communicat, ut ad unum dux sit, ad alium comes, haec proportionalitas continua vocatur, ut unus, duo, quattuor. Est enim aequalitas in his proportionibus et quemadmodum sunt iiij ad ij, sic sunt ij ad unum, et rursus quemadmodum unus ad duo, sic duo ad quattuor. Et secundum quantitatem quoque numeri eodem modo est. Quantum enim tres superant binarium, tantum binarius unitatem, et quanto unus a duobus minor est, tanto binarius a ternario superatur. Sin vero alius ad unum refertur terminus, alius vero ad alium, necesse est habitudinem disiunctam vocari, ut ad qualitatem quidem proportionis sunt: j ij iiij viij. Sic enim sunt quemadmodum duo ad unum, sic octo ad quattuor, et conversim: quemadmodum unus ad duo, sic quattuor ad octo, et permutatim: quemadmodum quattuor ad unum, sic octo ad binarium. Secundum quantitatem vero numeri, ut sunt: j ij iij iiij. Quantum enim unus a duobus vincitur, tantum ternarius a quaternario superatur, et quanto duo unum vincunt, tanto ternarium quaternarius transit. Permixtim etiam: quanto unus tribus minor est, tanto binarius quaternario, vel quanto ternarius unitatem superat, tanto binarium transgreditur quaternarius.

Quae apud antiquos proportionalitas fuerit; quas posteriores addiderint

Confessae quidem et apud antiquiores notae, quaeque ad Pythagorae vel Platonis vel Aristotelis scientiam pervenerunt, hae tres medietates sunt: arithmetica, geometrica, armonica. Post quas proportionum habitudines tres aliae sunt, quae sine nomine feruntur quidem, vocantur autem quarta, quinta, sexta, quae superius dictis oppositae sunt. At vero posteri propter denarii numeri perfectionem, quod erat Pythagorae conplacitus, medietates alias quattuor addiderunt, ut in his proportionalitatibus denariae quantitatis corpus efficerent. Secundum quem numerum et priores quinque habitudines comparationesque descriptae sunt, ubi quinque maioribus proportionibus, quos vocavimus duces, minores aptavimus alios terminos, quos comites diximus. Inde etiam in Aristotelica atque Archytae prius decem praedicamentorum descriptione Pythagoricum denarium manifestum est inveniri; quando quidem et Plato, studiosissimus Pythagorae, secundum eandem disputationem dividit, et Archytas Pythagoricus ante Aristotelem, licet quibusdam sit ambiguum, decem haec praedicamenta constituit. Inde etiam decem membrorum particulae, inde alia permulta, quae omnia persequi non est necesse.

Quod primum de ea, quae vocatur arithmetica proportionalitas, dicendum sit

Nunc vero de proportionalitatibus deque medietatibus dicendum est, et primum quidem de ea medietate tractabimus, quae secundum quantitatis aequalitatem neglecta proportionis parilitate constitutorum terminorum habitudines servat. In his autem quantitatibus medietas ista versatur, inque his speculanda est, in quibus a se ipsis termini differunt. Quid autem esset differentia terminorum superius definitum est. Hanc autem esse arithmeticam medietatem numerorum, ipsa ratio declarabit, quoniam eius proportio in numeri quantitate consistit. Quae igitur causa est, huiusmodi terminorum habitudinem, id est arithmeticam, cunctis aliis proportionalitatibus anteponere? Primum, quod hanc nobis in principio ipsa numerorum natura et vis naturalis quantitatis obponit. Huiusmodi enim proportiones quaeque ad terminorum differentias pertinent, ut paulo post demonstrabitur, in naturalis primum numeri dispositione cognoscimus.

Deinde, quod in superiore libro disputantibus nobis. apparuit, arithmeticam vim geometrica atque musica esse antiquiorem et quod inlata non has simul inferret, sublata vero perimeret. Quare ordine disputatio progredietur, si ab ea primo inchoandum sit medietate, quae in numeri differentia non in proportionis speculatione versatur.

De arithmetica medietate eiusque proprietatibus  Arithmeticam medietatem vocamus, quotiens vel tribus vel quotlibet terminis positis aequalis atque eadem differentia inter omnes dispositos terminos invenitur. In qua neglecta proportionis aequalitate terminorum tantum differentiarumque speculatio custoditur, ut: j ij iij iiij v vj vij viij viiij x. In hac enim naturalis numeri dispositione, si quis continuatim differentias terminorum curet aspicere, secundum arithmeticam medietatem aequa terminorum inter se discrepantia est; aequales enim sunt differentiae, sed eadem proportio atque habitudo non est. Si igitur in tribus terminis consideratio sit, continua proportionalitas dicitur; sin vero hic alius dux et alius comes, illic vero utrique sint alii, vocabitur disiuncta medietas. Si igitur in tribus tantum terminis secundum continuam medietatem respexeris vel in quattuor vel in quotlibet aliis secundum disiunctam easdem semper differentias terminorum videbis, tantum solis proportionibus permutatis. Id si in uno quis noverit, reliqua eum ratio non latebit. Sit continua medietas j ij iij. Hic unus a duobus et duo a tribus solis tantum singulis distant, et sunt eaedem differentiae, proportiones vero aliae. Namque duo ad unum duplus est, iij ad ij sesqualter. Et in ceteris idem videbis. Sin autem permiscens et aliquos praeteriens eligas et in his aliquam speculationem ponas, idem poterit evenire. Nam si aequales terminos intermittas et uno sese in priore dispositione praetereant, si singulos intermittas, solius binarii notabitur differentia, sin vero duos praetereas, ternarii, si tres, quaternarii, si quattuor, quinarii. Et ad eundem modum uno plus, quam intermiseris, erit illa, quam quaerimus, differentia terminorum. Namque si in tribus terminis singuli relinquantur, binarius semper intererit.

Videsne ut, cum superius in naturalis numeri dispositione se termini singulis praeterirent, praetermissis duobus et iiij unus ad iij et iiij ad quinarium comparati binarium solum in differentia retinuerint. Nec non etiam in disiuncta eadem versabitur observatio.

Talibus igitur vestigiis insistentem nullus ab eadem similitudine error abducet. Namque si duos intermittas, ternarius differentiam continebit, si tres, quaternarius, si quattuor, quinarius aeque in continuis proportionibus atque disiunctis. Qualitas autem proportionis eadem non erit, quamvis sint aequis termini differentiis distributi. Quod si conversim ponantur, ut non eisdem differentiis eadem qualitas proportionis eveniat, geometrica talis proportionalitas, non arithmetica nominatur.

Est autem proprium huius medietatis, quod, si in tribus terminis speculatio sit, compositis extremitatibus illa summa, quae inter extremitates est, non loco tantum verum etiam sit quantitate medietas. Ut si ponantur j ij iij, unus et iij quattuor reddunt, duo vero, qui medius inter utrosque est, quaternarii medietas invenitur. Quod si bis medietatem ducas, aequus erit extremitatibus. Bis enim ij iiij creant. Sin vero disiuncta sit, quod fit ex utrisque extremitatibus compositis, hoc ex duabus medietatibus redditur. Si enim sint j ij iij iiij, unus et quattuor quinarium creant, ij et iij medii in eundem rursus quinarium surgunt.

Est illi hoc quoque solida proprietate coniunctum, quod quemadmodum sunt omnes termini huiusmodi dispositionis ad se ipsos, ita sunt differentiae ad differentias constitutae. Namque omnis terminus sibi ipsi aequalis est et differentiae differentiis sunt aequales. Illud quoque subtilius, quod multi huius disciplinae periti nisi Nicomachus nunquam antea perspexerunt, quod in omni dispositione vel continua vel disiuncta, quod continetur sub duabus extremitatibus minus est eo numero, qui ex medietate conficitur, tantum, quantum possunt duae sub se differentiae continere, quae inter ipsos sunt terminos constitutae. Ponamus enim tres terminos huiusmodi iij v vij. Si igitur tres septies augeantur, in xxj numerum cadunt. Quod si medium terminum, id est v, in semet ipsum multiplicaveris, quinquies quinque faciunt xxv Et hic numerus ab eo, quem extremitates colligunt, quaternario maior est, quem scilicet differentiae conficiunt. Inter iij enim et v et vij bini intersunt, quos si in sese multiplices, iiij reddunt. Bis enim duo iiij fiunt. Recte igitur dictum est, in hac huiusmodi dispositione, quod continetur sub extremitatibus, minus esse illo numero, qui fit ex medietate, tantum, quantum differentiae in se multiplicatae restituunt.

Quartum vero proprium huiusmodi dispositionis notatur, quod antiquiores quoque habuere notissimum, quod in hac proportionalitate vel medietate in minoribus terminis maiores proportiones, in maioribus minores comparationes necesse est inveniri. Namque in dispositione hac j ij iij minores termini sunt j et ij, maiores ij et iij. Et ij ad unum duplus est, tres vero ad ij sesqualter. Sed maior est proportio dupli quam sesqualtera. In armonica autem medietate e contrario evenire contingit; in minoribus enim terminis minores proportiones, in maioribus maior proportionis quantitas custoditur. Harum vero medietatum, id est arithmeticae atque armonicae, geometrica proportionalitas media esse notata est, quae vel in maioribus vel in minoribus terminis aequas numerorum qualitates in proportionalitate custodit. Inter maius vero et minus aequalitas loco ponitur medietatis. Et de arithmetica quidem medietate satis dictum est.

De geometrica medietate eiusque proprietatibus

Nunc vero quae hanc sequitur, geometrica medietas expediatur, quae sola vel maxime proportionalitas appellari potest propterea quod in eisdem proportionibus terminorum vel in maioribus vel in minoribus speculatio ponitur. Hic enim aequa semper proportio custoditur, numeri quantitas multitudoque neglegitur, contrarie quam in arithmetica medietate, ut sunt j ij iiij viij xvj xxxij lxiiij vel in tripla proportione j iij viiij xxvij lxxxj vel si quadrupla vel si quincupla vel si in quamlibet multiplicitatem numerorum sit constituta distensio. In his enim, quotlibet terminos sumpseris, explebunt geometricam medietatem, quemadmodum enim prior ad sequentem est, ita sequens ad alium, et rursus, si permixte facias, idem erit. Si enim ponantur tres termini ij iiij et viij, quemadmodum sunt viij ad iiij ita quattuor ad duo. Atque hoc si convertas, quemadmodum sunt duo ad quattuor, ita erunt quattuor ad viij.

upla upla

j iij iij

Vel si in quattuor terminis, ut sunt ij iiij viij xvj, quemadmodum est primus ad tertium, id est ij ad viij, sic erit secundus ad quartum, id est iiij ad xvj. Utraque enim proportio quadrupla est. Et conversim quemadmodum quartus est ad secundum, ita tertius notatur ad primum. Hoc vero etiam disiuncte licet. Nam quemadmodum est primus adsecundum, id est duo ad iiij, sic tertius ad quartum, id est viij ad xvj. Et conversim quemadmodum secundus ad primum, id est iiij ad ij, ita quartus ad tertium, id est xvj ad viij. Idque in omnibus rata consideratione perspicies.

Habet autem proprium huiusmodi medietas, quod in omni dispositione secundum hanc proportionalitatem terminorum differentiae in eadem proportione contra se sunt, qua fuerint ipsi termini, quorum sunt ipsae differentiae. Sive enim dupli contra se sint termini, duplae erunt etiam differentiae, sive tripli, triplae, sive secundum quamlibet multiplicitatem, eadem in differentiis multiplicitas erit, quam prima consideratio invenit in terminis, ut subiecta descriptio monet.

Differentiae duplae

c j iij iij vj xxij xiiij xxviij c j iij iij vj xxij xiiij xxviij clvj

Nulli igitur dubium esse potest, quod, cum omnes termini dupli sint, ita differentiae quoque eorum terminorum duplae esse videantur, ut uno minus termino in differentiis omnes paene dispositos subter terminos, quorum sunt ipsae differentiae, superior ordo reddiderit. Est etiam aliud proprium, quod omnis ad minorem maior terminus comparatus ipsum minorem retinet differentiam. Namque binarius ad unitatem ipsa unitate differt, et quaternarius binario ipso binario et octonarius quaternario ipso quaternario et deinceps maiores alii ipsis minoribus ab eisdem ipsis differunt, quos numerositate praetereunt. Et hoc quidem in duplici proportione cadit; sin vero sint triplices proportiones maior terminus a minore termino duplicato minore termino differt, ut, si sint j iij viiij, tres ab uno binario differunt, in quem unitas, id est minor terminus duplicatus exundat; et viiij a tribus senario differunt, quem ternarius duplicatus educit. Et in aliis cunctis eiusmodi ratio repperietur. Sin vero quadruplices sint, triplicato minore termino maior terminus a minore distabit, et, si quincupla, quadruplicato, et, si sescupla quincuplicato, et una minus multiplicatione, quam est ipsa minorum ad maiores comparatio terminorum, minorem numerus maior exsuperat.

Differentiae ipsi minoires

c j iij iij vj xxij xiiij xxviij c j iij iij vj xxij xiiij xxviij clvj

Termini dupli

Differntiae dupli minores

cccc Icc j j viij iiij lxij lxxxvj cclviij c dcc IIcl ij iiij xvij xxxj cxliij xxviiij xxxvij

Termini tripli

Differentiae tripli minores

dc I XIIcccl

ij ij lviij xcij clxviij IIlxxij xxxviij I I XVJcccl iij vj xiiij clvj xxiiij IIIxcvj xxxiiij

Termini quadrupli

Haec autem proportionalitas et in aliis omnibus vel superparticularibus vel superpartientibus invenitur huiusmodi proprietate in omnibusconservata, ut in continua proportione, quod fit sub extremitatibus, si tres fuerint termini, hoc a medietate multiplicata consurgat. Si enim sint ij iiij viij, quod fit ex bis viij, idem fit ex quater iiij; vel si sit in quattuor terminis disiuncta proportio, quod fit sub utrisque extremitatibus, id duarum medietatum multiplicatione concrescat, ut, si sint ij iiij viij xvj, quod fit ex bis xvj, id ex quater viij reddatur. Exemplar autem nobis maximum certissimumque sit illud, ubi ex aequalitate diximus omnes inaequalitatis species fundi. Illic enim in omnibus vel multiplicibus vel superpartientibus vel superparticularibus vel in ceteris coniunctis geometrica proportionalitas custoditur has omnes proprietates, quas supra diximus, continens. Quarta vero est proprietas huiusce medietatis, quod vel in maioribus vel in minoribus terminis aequales semper proportiones sunt. Namque si ponantur ij iiij viij xvj xxxij lxiiij, inter hos omnes dupla proportio est. Apparet etiam haec proportionalitas in binis proportionibus ab unitate alternatim parte altera longioribus quadratisque dispositis a prima multiplicitatis habitudine, id est a duplici per cunctas superparticularis habitudines proportionesque discurrens; quod subiecta descriptione signatum est.

Tetragonus j Parte altera i dupla longior j i Tetragonus dupla iij Parte altera v sesqu longior j altera v sesqu Tetragonus iiij altera Parte altera x sesqui longior ij tertia x sesqui Tetragonus vj tertia Parte altera x sesqui longior x quarta x sesqui Tetragonus xv quarta Parte altera x sesqui longior xx quinta x sesqui Tetragonus xxvj quinta Parte altera x sesqui longior lij sexta x sesqui Tetragonus lviiij sexta

Quae medietates quibus rerum publicarum statibus comparentur

Atque ideo arithmetica quidem rei publicae comparatur, quae paucis regitur, idcirco quod in minoribus eius terminis maior proportio sit. Musicam vero medietatem optimatium dicunt esse rempublicam ideo, quod in maioribus terminis maior proportionalitas invenitur. Geometrica medietas popularis quodammodo et exaequatae civitatis est. Namque vel in maioribus vel in minoribus aequali omnium proportionalitate componitur, et est inter omnes paritas quaedam medietatis aequum ius in proportionibus conservantis.

Quod superficies una tantum in proportionalitatibus medietate iungantur, solidi vero numeri duabus medietatibus in medio collocatis

Post haec igitur tempus est, ut expediamus nunc quiddam nimis utile in Platonica quodam disputatione, quae in Timaei cosmopoeia haud facili cuiquam vel penetrabili ratione versatur. Omnes enim planae figurae, quae nulla altitudine crescunt, una tantum medietate geometrica continuantur; alia, quae iungat, non potest inveniri; unde duo tantum in his intervalla sunt constituta, a primo scilicet ad medium et a medio ad tertium. Si vero fuerint cybi, duas tantum habebunt medietates, ubi tertia inveniri non poterit secundum geometricam scilicet proportionem; unde formae solidae tria intervalla dicuntur habere. Est enim unum intervallum a primo ad secundum et a secundo ad tertium et a tertio ad quartum, quae est scilicet postrema distantia. Recte igitur et planae figurae duobus intervallis et solidae tribus contineri dicuntur. Sint enim duo tetragoni iiij scilicet et viiij. Horum igitur unus tantum medius in eadem proportione constitui potest. Namque senarius ad iiij sesqualter est et viiij ad senarium eodem modo sesqualter. Hoc autem idcirco evenit, quod singula latera singulorum tetragonorum efficiunt senariam medietatem. Nam quaternarii tetragoni latus binarius est, novenarii ternarius. Hi ergo multiplicati senarium perfecerunt; bis enim iij senarius est. Et quotienscunque datis duobus tetragonis eorum medietatem volumus invenire, latera eorum multiplicanda sunt, et qui ex his procreabitur, medietas est. Si autem cybi sunt, ut viij et xxvij, duae tantum inter hos eadem proportione medietates constitui queunt, xij scilicet et xviij. Namque xij ad viij et xviij ad xij et xxvij ad xviij sesqualtera tantum proportione iunguntur. In his quoque eadem laterum ratio est. Namque exuno cybo, qui propinquior est, una medietas duo latera colligit, ex alternatim vero posito unum. In alia quoque medietate idem est. Ponanturenim duo cybi et in medio eorum duae medietates, quas superius diximus: viij xij xviij xxvij. Octonarii igitur latus est binarius; bis enim bini bis octonarium referunt: ternarius vero xxvij cybi latus est; ter enim tres ter xxvij restituunt. Medietas igitur, quae iuxta octonarium est, id est xij, mutuatur duo latera ex propinquo sibi octonario et aliud unum latus ex altrinsecus posito xxvij cybo. Bis enim bini ter xij pandunt. Et xviij eadem ratione duo latera a propinquo sibi xxvij cybo colligit et unum ab altrinsecus posito octonario. Tres enim ter bis xviij concludunt. Hoc autem universaliter speculandum est. Si tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetragonus provenit; sin vero parte altera longior tetragonum multiplicet vel tetragonus parte altera longiorem nunquam tetragonus, semper parte altera longior crescit. Rursus si cybus cybum multiplicaverit, cybi forma conficitur, si vero parte altera longior cybum vel cybus parte altera longiorem, nunquam cybus procreabitur. Hoc scilicet secundum similitudinem paris atque inparis. Par enim parem si multiplicet, semper par nascitur et inpar inparem si multiplicet, inpar continuo procreabitur. Si vero inpar parem vel si par inparem multiplicet, par semper exoritur. Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis in libris de republica eo loco, qui nuptialis dicitur, quem ex persona musarum philosophus introducit. Sed nunc ad tertiam medietatem redeundum est.

De armonica medietate eiusque proprietatibus

Armonica autem medietas est, quae neque eisdem differentiis nec aequis proportionibus constituitur, sed illa, in qua quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum ponitur, sic differentia maximi et medii contra differentiam medii atque parvissimi comparatur; ut si sint iij iiij vj vel si ij iij vj. Senarius enim quaternarium sua tertia parte superat, id est duobus, quaternarius vero ternarium sua quartaparte supervenit, id est uno, et senarius ternarium sua medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua parte tertia, id est unitate transcendit. Quare in his neque eadem proportio terminorum est, neque sunt eaedem differentiae, est autem quemadmodum maximus terminus ad parvissimum terminum, sic differentia maximi et medii ad differentiam medii atque postremi. Namque in hac proportione, quae est iij iiij vj, maior terminus, id est senarius, ad parvissimum terminum, id est ternarium, duplus est et differentia maximi et medii, id est senarii et quaternarii, duo scilicet, ad differentiam medii et ultimi, id est quaternarii atque ternarii, quae est unitas, dupla perspicitur. Sed hoc quoque subiecta descriptione monstratur.

Differentiae duplae Differentiae triplae

j ij  ij iij j j ij j

Termini dupli Termini tripli

Habet autem proprietatem, quemadmodum dictum est, contrariam arithmeticae medietati. In illa enim in minoribus terminis maior erat proportio, in maioribus minor. In hac vero in maioribus quidem terminis maior est proportio, in minoribus vero minor. Namque in hac dispositione iij iiij vj tres ad quattuor comparati sesquitertiam habitudinem, sex vero ad quattuor, sesqualteram reddunt. Sed maior est proportio sesqualtera a sesquitertia tantum, quantum pars tertia medietate transcenditur. Iuste igitur medietas quaedam geometrica proprieque esse proportionalitas iudicatur, scilicet inter eam, ubi in maioribus terminis minor est proportio et in minoribus maior, et inter eam, ubi in maioribus maior est, in minoribus minor. Illa est enim vere proportionalitas, quae medietatis quodammodo locum obtinens et in maioribus et in minoribus aequalibus proportionum comparationibus continetur. Hoc quoque signum est duarum extremitatum mediam esse quodammodo geometricam proportionem. Namque in arithmetica proportione medius terminus eadem sua parte et minorem praecedit et a maiore praeceditur, sed alia parte minoris, alia vero parte maioris. Sit enim arithmetica dispositio ij iij iiij. Ternarius igitur numerus binarium tertia sua parte praecedit, id est uno, et a quaternario tertia sua parte praeceditur, id est uno. At vero ternarius non eadem parte minoris minorem vincit vel maioris a maiore superatur. Namque minorem, id est binarium, uno superat, id est ipsius medietate binarii, a quaternario vero uno relinquitur, quae pars quaternarii quarta est. Recte igitur dictum est, medium terminum in huiusmodi medietate eadem sui parte et minorem vincere et a maiore superari, sed non eisdem partibus vel minoris minorem transgredi vel maioris a maiore transcendi. Contrarie armonica medietas proportiones habet. Namque non eadem parte sua medius terminus in hac proportione vel minorem vincit vel a maiore superatur, sed eadem parte minoris minorem superat, qua parte maioris a maiore superatur. In hac enim dispositione armonica, quae est ij iij vj ternarius binarium tertia sui parte vincit, idem ternarius a senario tota sui quantitate superatur, id est tribus, idemque ipse ternarius medietate minoris vincit minorem, id est uno, et medietate maioris a maiore termino vincitur, id est tribus. Senarii enim medietas ternarius est. In geometrica vero medietate neque eisdem suis partibus medius vel vincit minorem vel a maiore vincitur, neque eadem parte vel minoris minorem superat vel maioris a maiore relinquitur, sed qua parte sua medius terminus minorem superat, eadem parte sua maior terminus medium vincit, quod est ut medietas atque extremitas aequalibus medietatem et extremitatem reliquam suis partibus supervadant. In hac enim dispositione, quae est iiij vj viiij tertia sui parte medius senarius quaternarium superat, id est duobus, et tertia sui parte rursus novenarius senarium vincit, id est tribus. Habet autem aliam proprietatem armonica medietas, ut cum duas extremitates in unum redactas medietas multiplicaverit, dupla quantitas colligatur, quam si se multiplicent duae extremitates. Sint enim hi termini: iij iiij vj. Si igitur ternarium et senarium iungas, novenarium facies, qui per quaternarium ductus xxxvj efficit. Quod si se ipsae extremitates multiplicent et fiant tres sexies, xviij conficiunt, quod est prioris summae dimidium.

viij

xxvj

ij iij j

iiij

Quare dicta sit armonica medietas ea, quae digesta est

Considerandum forsitan videatur, cur hanc armonicam medietatem vocemus. Cuius haec ratio est, quoniam arithmetica dispositio aequas tantum per differentias dividit quantitates, geometrica vero terminos aequa proportione coniungit, at vero armonica ad aliquid quodammodo relata consideratione neque solum in terminis speculationem proportionis habet neque solum in differentiis, sed in utrisque communiter. Quaerit enim, ut quemadmodum sunt ad se extremi termini, sic maioris ad medium differentia contra differentiam medietatis ad ultimum. Ad aliquid autem considerationem armonicae proprie esse, in primi libri rerum omnium divisione monstravimus. Ipsarum quoque musicarum consonantiarum, quas symphonias nominant, proportiones in hac paene sola medietate frequenter invenies. Namque symphonia diatessaron, quae princeps est et quodammodo vim obtinens elementi,—constituitur scilicet in epitrita proportione, ut est quaternarius ad ternarium—in eiusmodi armonicis medietatibus invenitur. Sint enim eiusmodi armonicae medietatis termini, quorum extremi dupli sint, et rursus alia huiusmodi dispositio, quorum extremi tripli.

iij iiij vj ij iij vj

Senarius igitur ad ternarium duplus est, idem autem senarius in alia dispositione ad binarium triplus. Horum igitur si differentias colligamus et ad se invicem comparemus, epitrita proportio colligetur, unde diatessaron symphonia resonabit. Inter iij enim et vj ternarius est et inter binarium et senarium quaternarius, qui sibimet comparati sesquitertiam efficient proportionem.

In eadem quoque medietate et diapente symphonia componitur, quam sesqualtera habitudo restituit. Nam in utrisque dispositionibus his, quae subiectae sunt, in duplici senarius ad quaternarium sesqualter est et in triplici ternarius ad binarium. Ex quibus utrisque diapente symphonia coniungitur

Post hanc autem diapason consonantia, quae fit ex duplici, ut est subiecta formula.

In triplici quoque dispositione simul diapente et diapason symphonia componitur servans sesqualteram et duplicem rationem, quod subiecta descriptio docet.

Et quoniam triplus duas continet consonantias, diapente scilicet et diapason, in huius triplicis dispositione in differentiis eundem rursus triplum repperiemus, secundum subter descriptum modum.

In dupla vero dispositione maior terminus ad medii termini contra se differentiam triplus est et rursus minor terminus ad medii contra minorem terminum comparati differentiam triplus est.

Illa autem maxima symphonia, quae vocatur bis diapason velut bis duplum, quoniam diapason symphonia ex duplici proportione colligitur, huic se iuncturae armonicae medietatis interserit. Nam in duplici proportione medius terminus ad minoris suique differentiam quadruplus invenitur.

In triplicibus quoque extremitatibus maior differentia ad minorem differentiam quadrupla est et bis diapason symphoniam emittit. Namque in dispositione ij iij vj extremorum differentia est, id est senarii et binarii, iiij; minor vero differentia, id est ternarii et binarii, unus iiij autem uno quadrupla maior est relatione, quae comparatio bis diapason consonantiam tenet.

De geometrica armonia

Vocant autem quidam armonicam huiusmodi medietatem idcirco, quod semper haec proportionalitas geometricae armoniae cognata est. Armoniam autem geometricam cybum dicunt. Ita enim ex longitudine in latitudinem distentus est et in altitudinis cumulum crevit, ut ex aequalibus proficiscens ad aequalia perveniens aequaliter totus sibi conveniens creverit. Haec autem medietas in omnibus cybis, quae est geometrica armonia, perspicitur. Omnis enim cybus habet latera xij angulos viij superficies vj. Hic autem ordo et dispositio armonica est. Disponantur enim vj viij xij. Hic ergo quemadmodum est maior terminus ad parvissimum, ita differentia maioris et medii ad medii ac parvissimi comparatur. Perpensi namque xij ad vj dupli sunt, differentia vero duodenarii et octonarii quaternarius est, octonarii vero et senarii duo. Dupla autem ratione distabunt duobus quattuor comparati. Rursus octonarius, qui medietas est, alia sua parte minorem praecedit et alia sua parte a maiore praeceditur. Eadem autem parte minoris minorem superat, qua parte maioris a maiore superatur. Rursus si extremitates in unum redigantur et a medietate octonario multiplicentur, duplus erit ab eo numero, quem solae extremitates multiplicatae perfecerint.

Omnes autem in hac dispositione symphonias musicas invenimus. Diatessaron quidem est viij ad vj, quoniam proportio sesquitertia est, at diapente xij ad viij, quoniam, quae sesqualtera comparatio dicitur, in ea diapente consonantia repperitur. Diapason vero quae ex duplici nascitur, ex xij ad vj compositione producitur. Diapason vero et diapente, quae triplicis obtinent rationem, fit ab extremitatum differentia ad differentiam minorem. Namque duodenarii et senarii vj differentia est, minor vero est differentia octonarii et senarii, id est ij; qui senarius ad binaria triplus est, et diapason simul et diapente consonantiam sonant. Illa vero maior consonantia, quae est bis diapason, quae ex quadruplo fit, in medii termini, id est octonarii, et eius differentiae comparatione perspicitur, quae inter octonarium senariumque repperitur. Quare proprie atque convenienter huiusmodi proportionalitas armonica medietas appellatur.

Quemadmodum constitutis altrinsecus duobus terminis arithmetica, geometrica et armonica inter eos medietas alternetur: in quo de eorum generationibus

Nos autem praestare debemus quatenus, quemadmodum dato calamo extremis foraminibus manentibus musicis mos est, ut medium foramen permutantes atque alios aperientes alios digitis occludentes diversos emittant sonos, vel cum duabus altrinsecus protensis chordis medii nervi sonum musicus vel adstringendo tenuat vel remittendo gravat: ita quoque datis duobus numeris nunc quidem arithmeticam nunc vero geometricam nunc autem armonicam medietatem experiamur inserere, ut rectum propriumque medietatis nomen sit, quod manentibus extremitatibus huc atque illuc ferri permutarique videatur. Poterimus autem hanc in duobus altrinsecus positis terminis vel paribus vel inparibus permutare ita, ut, cum arithmeticam ponimus medietatem, differentiarum tantum ratio aequalitasque servetur, cum vero geometricam, rata se proportionum iunctura custodiat, sin autem armonica fiat, differentiarum comparatio ab terminorum proportione non discrepet. Et sint quidem primo pares positae quaedam extremitates, inter quas has omnes medietates oporteat internectere, x et xl. Prius igitur arithmetica medietas aptetur. Inter hos ergo si xxv posuero, erit mihi arithmetica proportio differentiarum quantitate inmutabiliter custodita, in huiusmodi scilicet dispositione: x xxv xl. Vides enim, ut quindena sese summulae quantitate transcendant; omnesque proprietates, quas supra diximus in medietate arithmetica convenire, ab hac huiusmodi dispositione non repperies alienas. Namque quemadmodum unusquisque eorum terminus ad se ipsum est, quoniam sibi aequalis est, ita sunt ad se invicem differentiae, quoniam sibi sunt aequales; et quanto maior terminus medium transit, tanto medias vincit minorem; et extremitatum adgregatio duplex est medietate; et minorum terminorum proportio maior est illa comparatione, quae inter maiores terminos continetur; et tanto minor est numerus, qui fit ex multiplicatis extremitatibus, ab eo, qui fit ex multiplicata medietate, quantum eorum differentiae multiplicatae restituunt; illud quoque quod medietas eadem sui parte et a maiore vincitur et minorem ipsa supervenit, non eadem autem parte minoris minorem transit vel maioris a maiore relinquitur. Quae omnes scilicet proprietates non alterius nisi arithmeticae medietatis sunt, quod, si superius dicta meminerit lector, ita esse indubitanter intelleget.

Rursus si inter eosdem x et xl xx constituam, statim geometrica medietas cum suis proprietatibus cunctis exoritur, arithmetica medietate pereunte. In hac enim dispositione x xx xl quemadmodum est maior ad medium, sic medius ad extremum; et quod continetur ab extremitatibus, aequum est ei, quod a multiplici medietate conpletur. Differentiae quoque eorum in eadem sunt proportione qua termini. Crementum vero et inminutio proportionum secundum terminos nulla est, sed maiorum terminorum proportio a minorum terminorum proportione non discrepat.

Si vero armonicam medietatem coniungere velim, xvj mihi numerus inter extremitates utrasque ponendus est, ut sit hoc modo: x xvj xl. Nunc igitur licet in huiusmodi dispositione omnes armonicas proprietates agnoscere. Qua enim maximus ad parvissimum terminus proportione coniungitur, eadem proportione differentiae ad se invicem comparantur. Et quibus partibus maioris a maiore medius vincitur, eisdem partibus minoris praeterit minorem; suis vero non eisdem vel a maiore vincitur vel transit minorem; et in maioribus terminis maior est proportio, in minoribus minor; et si in unum extremitates redigantur et medietatis quantitate concrescant, duplus inde conficitur numerus ab eo, qui ex solis multiplicatis extremitatibus procreatur.

Atque hoc quidem in terminis paribus constitutum est. At vero si inpares proponantur, ut sunt v et xlv aptatus medius xxv arithmeticam proportionem medietatemque constituet. Nam si sint v xxv xlv eadem sese numerorum quantitate termini transgredientur. Et omnis superius dicta proprietas arithmeticae medietatis in his terminis custoditur. Sed si xv numerum medium ponam, ut sint v xv xlv, in geometricam medietatem termini relabuntur aequalibus terminorum ad se invicem proportionibus custoditis. VIIII vero si inter utrosque terminos ponam, ut sint v viiij xlv, fit armonica medietas, ut qua summa maximus numerus parvissimum praecedit, eadem maior differentia minorem differentiam vincat.

Qua vero disciplina huiusmodi medietates repperire possimus expediendum est. Datis duobus terminis si arithmeticam medietatem constituere oportebit, utraque est extremitas coniungenda quodque ex ea copulatione colligitur dividendum, isque numerus, qui ex divisioneredactus est, arithmeticam medietatem inter extremitates locatus efficiet; ut x et xl si iunxero, efficiunt l, quos si dividam, xxv redduntur. Hic erit medius terminus secundum arithmeticam proportionem. Vel si illum numerum, quo maior minorem superat, dividas eumque minori superponas quodque inde concrescit medium ponas, arithmetica medietas informatur. Nam xl denarium tricenario superat, quem si dividas xv fiunt. Hunc si minori, id est denario, superposueris xx et v nascentur. Quem si medium constituas, arithmeticae medietatis ordo formatur. Geometricam vero si rationem vestiges, eius numeri, qui sub utrisque extremitatibus continetur, tetragonicum latus inquire, et hunc medium pone. Nam sub xl et denario numero cccc continentur. Si enim denarium in xl multiplices, hic numerus crescit. Horum igitur quadringentorum require tetragonicum latus. Hi sunt xx Vicies enim xx cccc efficiunt. Repertum ergo latus quadratum medium constitues. Vel si eam proportionem, quam inter se dati termini custodiunt, dividas et id quod relinquitur medium terminum ponas. Namque xl ad denarium quadruplus est. Igitur quadruplum si dividas, duplum facies, qui est scilicet xx. Nam xx ad denarium duplus est. Hunc si medium constituas, medietatem geometricam perferet. Armonicam vero medietatem tali modo repperies. Differentiam terminorum in minorem

terminum multiplica et post iunge terminos, et iuxta eum, qui inde confectus est, committe illum numerum, qui ex differentiis et termino minore productus est, cuius cum latitudinem inveneris, addis eam minori termino, et quod exinde colligitur, medium terminum pones. X enim et xl faciunt l. Differentia autem inter x et xl. xxx sunt, quem si multiplices in denarium, id est in minorem, decies xxx oportet ccc efficies. Quos ccc iuxta eum committe, qui ex iunctis utrisque confectus est, id est iuxta l. Facient enim quinquagies senos. Et invenitur latitudo senarius. Hunc igitur si minori termino addas, facient xvj et hic numerus medius constitutus inter x et xl armonicam proportionem medietatemque servabit.

De tribus medietatibus, quae armonicae et geometricae contrariae sunt

Hae quidem sunt apud antiquiores inventae probataeque medietates, quas idcirco longius enodatiusque tractavimus, quod hae maxime in antiquorum lectionibus inveniuntur, et ad omnem paene vim cognitionis eorum versatur utilitas. Ceteras autem praetereundo transcurrimus idcirco, quoniam non multum nobis in lectionibus prosunt, sed tantum ad inplendam denarii numeri quantitatem. Quae ne lateant neve sint aliquibus ignorata, depromimus. Videntur enim hae supra dictis medietatibus esse contrariae, ex quibus originem trahunt. Ex his enim etiam istae sunt constitutae. Est autem quarta medietas, quae opposita videtur armonicae. In qua tribus terminis positis, quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic differentia minorum ad differentiam maximorum, ut sunt iij v vj. Sex ad ternarium duplus est, et sunt minores termini v et iij, maximi vero huius dispositionis vj et v. Differentia vero minorum, quinarii scilicet et ternarii, ij sunt, maiorum, quinarii et senarii, j. Qui ij ad j comparati duplum faciunt. Ergo quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic minorum terminorum differentia est ad differentiam maximorum. Liquet autem oppositam et quodammodo contrariam esse hanc medietatem armonicae medietati idcirco, quod in illa quemadmodum est maximus terminus ad parvissimum, sic terminorum maiorum differentia ad differentiam minorum, hic autem e contrario. Est autem propriam huius medietatis, quoniam quod continetur sub maximo termino et medio duplum est eo, quod continetur sub medio atque parvissimo. Sexies enim quinque xxx sunt, quinquies vero tres xv.

Duae vero aliae medietates, quinta scilicet et sexta geometricae medietati contrariae sunt et eidem videntur oppositae. Est autem quinta medietas, quotiens in tribus terminis quemadmodum est medius terminus ad minorem terminum, ita eorum differentia ad differentiam medii atque maioris. Nam in hac dispositione ij iiij v quaternarius ad binarium duplus est. Sed inter quaternarium et binarium ij sunt, inter quaternarium vero et maiorem terminum, id est quinque, j. Et ij ad j dupli sunt. Contrarium autem geometricae medietati in hac proportione est, quod in illa quemadmodum major terminus ad minorem est, sic maiorum differentia ad differentiam minorum; hic vero contrarie, quemadmodum minores ad se termini sunt, sic minorum differentia terminorum ad maiorum differentiam comparatur. Est autem proprium in hac quoque dispositione, quod illud, quod continetur sub maiore termino et medietate duplum est eo, quod sub utrisque extremitatibus continetur. Nam quinquies iiij sunt xx, quinquies vero ij sunt x. Et xx denarii duplus est.

Sexta vero medietas est, quando tribus terminis constitutis quemadmodum est maior terminus ad medium, sic minorum terminorum differentia ad differentiam maximorum. In dispositione enim, quae est j iiij vj, maximus terminus ad medium sesqualter est, differentia vero minorum, id est unius et iiij ternarius est, maiorum vero, id est quaternarii et senarii, binarius. Ternarius autem binario comparatus sesqualteram habitudinem proportionis efficiet. Eodem autem modo haec quoque medietas geometricae contraria est, quemadmodum et quinta, propter proportionem differentiarum a minoribus ad maiores terminos conversam.

De quattuor medietatibus, quas posteri ad implendum denarium limitem adiecerunt

Et hae quidem sunt sex medietates, quarum tres usque a Pythagora ad Platonem Aristotelemque manserunt. Post vero, qui insecuti sunt, has tres alias, de quibus supra disseruimus, suis commentariis addiderunt. Sequens autem aetas, quemadmodum diximus, ad inplendam denariam quantitatem alias quattuor medietates apposuit, quas non adeo quis in veterum libris inveniat. Has igitur nos quam possumus brevissime disponamus. Prima enim quae est earum, in ordine vero septima medietas, hoc modo coniungitur, cum in tribus terminis quemadmodum est maximus terminus ad ultimum, sic maximi et parvissimi termini differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in hac dispositione: vj viij viiij. Novenarius igitur ad senarium sesqualter est, quorum est differentia ternarius, minorum vero terminorum, id est octonarii et senarii binarius differentia est, qui ad superiorem ternarium comparatus facit sesqualteram proportionem. Secunda vero inter quattuor, sed octava in ordine proportionalitas est, quotiens in tribus terminis quemadmodum sunt extremitates ad se invicem comparatae, sic eorum differentia ad maiorum terminorum differentiam, ut sunt vj vij viiij. Novem igitur ad vj sesqualter est. Et eorum differentia ternarius est, qui comparatus contra maiorum differentiam, id est septenarii et novenarii, qui binarius est, reddit sesqualteram proportionem. Tertia vero inter has sequentes quattuor, nona autem in ordine proportio est, quando tribus terminis positis quam proportionem medius terminus ad parvissimum custodit, eam retinet extremorum differentia ad minorum differentiam comparata, ut iiij vj vij. Etenim vj ad iiij sesqualter est, quorum est differentia binarius. Septenarii vero et quaternarii ternarius differentia est, quem si ad superiorem binarium comparemus, sesqualtera proportione coniungitur. Quarta vero, quae in ordine decima est, consideratur in tribus terminis, cum tali proportione medius terminus ad parvissimum comparatur, quali extremorum differentia contra maiorum terminorum differentiam proportione coniungitur, ut sunt iij v viij. Quinarius enim medius terminus ad ternarium superbipartiens est; extremorum vero differentia, octonarii scilicet et ternarii, quinarius est, qui comparatus contra maiorum terminorum differentiam, scilicet quinarii et octonarii, qui est ternarias, et ipse quoque superbipartiens invenitur.

Dispositio decem medietatum

Disponamus igitur cunctas medietates in ordinem, ut, cuiusmodi omnes sint, facillime possit intellegi.

p Arithmetica rima j ij s Geometrica ecunda j iij te Armonica rtia ij iij j Contraria q armonicae uarta ij j Contraria q geometricae uinta j iij Contraria s geometricae exta iij j s Inter iiij prima eptima j iij iiij Inter iiij o secunda ctava j ij iiij n Inter iiij tertia ona iij j ij d Inter iiij quarta ecima ij iij

De maxima et perfecta symphonia, quae tribus distenditur intervallis

Restat ergo de maxima perfectaque armonia disserere, quae tribus intervallis constituta magnam vim obtinet in musici modulaminis temperamentis et in speculatione naturalium quaestionum. Etenim perfectius huiusmodi medietate nihil poterit inveniri, quae tribus intervallis producta perfectissimi corporis naturam substantiamque sortita est. Hoc enim modo cybum quoque trina demensione crassatum plenam armoniam esse demonstravimus. Haec autem huiusmodi invenietur, si duobus terminis constitutis, qui ipsi tribus creverint intervallis, longitudine latitudine et profunditate, duo huismodi termini medii fuerint constituti et ipsi tribus intervallis notati, qui vel ab aequalibus per aequales aequaliter sint producti vel ab inaequalibus ad inaequalia inaequaliter, vel ab inaequalibus ad aequalia aequaliter, vel quolibet alio modo, atque ita, cum armonicam proportionem custodiant alio tamen modo comparati faciant arithmeticam medietatem hisque geometrica medietas, quae inter utrasque versatur, deesse non possit. In quattuor enim terminis si fuerit quemadmodum primus ad tertium sic secundus ad quartum, proportionum ratione scilicet custodita, geometrica medietas

explicatur, et quod continetur sub extremitatibus, aequum erit ei, quod sub utraque medietate ad se invicem multiplicata conficitur. Rursus si maximus iiij terminorum numerus ad eum, qui sibi propinquus erit, talem habeat differentiam, qualem idem ipse maximo propinquus ad parvissimum, huiusmodi proportio in arithmetica consideratione proponitur, et extremorum coniunctio duplex erit propria medietate. Si vero inter iiij qui est tertius terminus aequa parte quarti quartum terminum superet et aequa primi a primo superetur, armonica huiusmodi proportio medietasque perspicitur, et quod continetur sub extremorum adgregatione et multiplicatione medietatis duplex est eo, quod sub utraque extremitate conficitur. Sit autem quoddam huius dispositionis exemplar hoc modo vj viij viiij xij. Has igitur omnes solidas quantitates esse non dubium est. Sex enim nascuntur ex uno bis ter, xij autem ex bis duo ter, horum autem medietates octonarius fit semel duo quater, novenarius vero semel tres ter. Omnes igitur termini cognati sibi et tribus intervallorum demensionibus notati sunt. In his igitur geometrica proportionalitas invenitur, si xij ad viij vel viiij ad vj comparemus. Utraque enim comparatio sesqualtera proportio est, et quod continetur sub extremitatibus, idem est ei, quod fit ex mediis. Nam quod fit ex duodecies sex, aequum est ei, quod fit ex octies viiij. Geometrica ergo proportio est huiusmodi. Arithmetica autem est, si duodenarius ad novenarium et novenarius ad senarium comparetur. In utrisque enim ternarius differentia est et iunctae extremitates medietate duplae sunt. Si enim iunxeris senarium et xij, facies xviij, qui est novenario, medio termino, duplus. In his ergo geometricam arithmeticamque medietatem perspeximus. Hic quoque armonica medietas invenitur, si xij ad viij et rursus viij ad senarium comparemus. Qua enim parte senarii octonarius senarium superat, id est parte tertia, eadem duodenarii parte octonarius superatur. Quattuor enim, quibus octonarius a duodenario vincitur, duodenarii tertia pars est. Et si extremitates iungas vj scilicet et xij easque per octonarium medium multiplices, cxliiij sunt. Quod si se extremitates multiplicent, vj scilicet et xij, facient lxxij, quo numero cxliiij duplus est. lnveniemus hic quoque omnes musicas consonantias. Namque viij ad vj et xiiij ad xij comparati sesquitertiam proportionem reddunt, et simul diatessaron consonantiam; vj vero ad viiij vel viij ad xij comparati reddunt proportionem sesqualteram, sed diapente efficiunt symphoniam; xij vero ad senarium considerati duplicem quidem proportionem, sed diapason symphoniam canunt; viij vero et viiij ipsi contra se medii considerati epogdoum iungunt, qui in musico modulamine tonus vocatur, quae omnium musicorum sonorum mensura communis est. Omnium enim est sonus iste parvissimus.

Unde notum est, quod inter diatessaron et diapente consonantiarum tonus differentia est, sicut inter sesquitertiam et sesqualteram proportionem sola est epogdous differentia. Huius descriptionis subter exemplar adiecimus.

EXPLICIT LIBRI ARITHEMTICORUM