De institutione arithmetica

Praefatio Boetii

DOMINO SUO PATRICIO SYMMACHO BOETIUS

In dandis accipiendisque muneribus ita recte officia inter eos praecipue, qui sese magni faciunt, aestimantur, si liquido constabit, nec ab hoc aliud, quod liberalius afferret, inventum, nec ab illo unquam, quod iucundius benevolentia conplecteretur, acceptum. Haec ipse considerans attuli non ignava opum pondera, quibus ad facinus nihil instructius, cum habendi sitis incanduit, ad meritum nihil vilius, cum ea sibi victor animus calcata subiecit, sed ea, quae ex Graecarum opulentia litterarum in Romanae orationis thesaurum sumpta conveximus Ita enim mei quoque mihi operis ratio constabit, si, quae ex sapientiae doctrinis elicui, sapientissimi iudicio conprobentur. Vides igitur, ut tam magni laboris effectus tuum tantum spectet examen, nec in aures prodire publicas, nisi doctae sententiae adstipulatione nitatur. In quo nihil mirum videri debet, cum id opus, quod sapientiae inventa persequitur, non auctoris sed alieno incumbit arbitrio; suis quippe instrumentis res rationis expenditur, cum iudicium cogitur subire prudentis. Sed huic munusculo non eadem quae ceteris inminent artibus munimenta constituo, neque enim fere ulla sic cunctis absoluta partibus nullius indiga suis tantum est scientia nixa praesidiis, ut non ceterarum quoque artium adiumenta desideret. Nam in effigiandis marmore statius alius excidendae molis labor est, alia formandae imaginis ratio, nec eiusdem artificis manus politi operis nitor exspectat. At picturae manibus tabula commissa fabrorum: cerae rustica observatione decerptae, colorum fuci mercatorum sollertia perquisiti, lintea operosis elaborata textrinis multiplicem materiam praestant. Nonne idem quoque in bellorum visitur instrumentis? Hic spicula sagittis exacuit, illi validus torax nigra gemit incude, ast alius crudi umbonis tegmina proprii laboris orbi infigenda mercatur. Tam multis artibus ars una parficitur. At nostri laboris absolutio longe ad faciliorem currit eventum. Tu enim solus manum supremo operi inpones, in quo nihil de decernentium necesse est laborare consensu. Quamlibet enim hoc iudicium multis artibus probetur excultum, uno tamen cumulatur examine.

Experiare igitur licet, quantum nobis in hoc studio longis tractus otiis labor adiecerit, an rerum subtilium fugas exercitatae mentis velocitas conprehendat, utrum ieiunae macies orationis ad ea, quae sunt caligantibus inpedita sententiis expedienda sufficiat. Qua in re mihi alieni quoque iudicii lucra quaeruntur, cum tu utrarumque peritissimus litterarum posis Graiae orationis expertibus quantum de nobis iudicare audeant, sola tantum pronuntiatione praescribere. At non alterius obnoxius institutis artissima memet ipse translationis lege constringo, sed paululum liberius evagatus alieno itineri, non vestigiis, insisto. Nam et ea, quae de numeris a Nichomacho diffusius disputata sunt, moderata brevitate collegi et quae transcursa velocius angustiorem intellegentiae praestabant aditum mediocri adiectione reseravi, ut aliquando ad evidentiam rerum nostris etiam formulis ac descriptionibus uteremur. Quod nobis quantis vigiliis ac sudore constiterit, facile sobrius lector agnoscet. Cum igitur quattuor matheseos disciplinarum de arithmetica, quae est prima, perscriberem, tu tantum dignus eo munere videbare, eoque magis inerrato opus esse intellegebam. Nam etsi apud te facilius veniae locus esset, aliquando tamen ipsam formidabat facilitatem suspecta securitas. Aribtrabar enim nihil tantae reverentiae oblatum iri oportere, quod non elaboratum ingenio, perfectum studio, dignum postremo tanto otio videretur. Non igitur ambigo, quin pro tua in me benevolentia supervacua reseces, hiantia suppleas, errata reprehendas, commode dicta mira animi alacritate suscipias. Quae res inpulit pigram consilii moram. Nimios enim mihi fructus placitura restituent. Novi quippe, quanto studiosius nostra quam ceterorum bona diligamus. Recte ergo, quasi aureos Cereri culmos et maturos Baccho palmites, sic ad te novi operis rudimenta transmisi. Tu tantum paterna gratia nostrum provehas munus. Ita et laboris mei primitias doctissimo iudicio consecrabis et non maiore censebitur auctor merito quam probator.

Proemium, in quo divisio mathematicae.

Inter omnes priscae auctoritatis viros, qui Pythagora duce puriore mentis ratione viguerunt, constare manifestum est, haude quemquam in philosophiae disciplinis ad cumulum perfectionis evadere, nisi cui talis prudentiae nobilitas quodam quasi quadruvio vestigatur, quod recte intuentis sollertiam non latebit. Est enim sapientia rerum, quae sunt suique inmutabilem substantiam sortiuntur, conprehensio veritatis. esse autem illa dicimus, auqe nec intentione crescunt nec retractione minuuntur nec variationibus permutantur, sed in propria semper vi suae se naturae subsidiis nixa custodiunt. Hace autem sunt qalitates, quantitates, formae, magnitudines, parvitates, aequalitates, habitudines, actus, dispositiones, loca, tempora et quicquid adunatum quodammodo corporisbus invenitur, quae ipsa quidem natura incorporea sunt et inmutabili substantiae ratione vigentia, participatione vero corporis permutantur et tactu variabilis rei in vertibilem inconstantiam transeunt Haec igitur quoniam, ut dictum est, natura inmutabilem substantiam vimque sortita sunt, vere proprieque esse dicuntur. Horum igitur, id est, quae sunt proprie quaeque suo nomine essentiae nominantur, scientiam sapientia profitetur Essentiae autem ggeminae partes sunt, una continua et suis partibus iuncta nec ullis finibus distributa, ut est arbor lapis et omnia mundi huius corpora, quae proprie magnitudines appellantur. Alia vero disiuncta a se et determinata partibus et quasi acervatim in unum redacta concilium, ut grex populus chorus acervus et quicquid, quorum partes propriis extremitatibus terminantur et ab alterius fine discretae sunt His proprium nomen est multitudo. Rursus multitudinis alia sunt per se, ut tres vel quattuor vel tetragonus vel quilibet numerus, qui ut sit nullo indiget Alia vero per se ipsa non constant, sed ad quiddam aliud referuntur, ut duplum, ut dimidium, ut sesqualterum vel sesquitertium et quicquid tale est, quod, nisi relatum sit ad aliud, ipsum esse non possit. Magnitudinis vero aliam sunt manentia motuque carentia, alia vero, quae mobili semper rotatione vertuntur nec ullis temporibus adquiescunt. Horum ergo illam multitudinem, quae per se est, arithmetica speculatur integritas, illam vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamenta pernoscunt, inmobilis vero scientiam astronomicae disciplinae peritia vendicat. Quibus quattuor partibus si careat inquisitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapiendum est. Est enim sapientia earum rerum, quae vere sunt, cognitio et integra comprehensio. Quod haec qui spernit id est has semitas sapientiae ei denuntio non recte esse philosophandum, siquidem philosophia est amor sapientiae, quam in his spernendis ante contempserit. illud quoque addentdum arbitror, quod cuncta vis multitudinis ab uno progressa termino ad infinita progressionis augmenta concrescit. Magnitudo vero a finita inchoans quantitate modum in divisione non recipit; infiitissimas enim sui corproris suscipit sectiones. Hanc igitur naturae infinitatem indeterimantamque potentiam philosophia sponte repudiat Nihil enim, quod infinitum est, vel scientia potest colligi vel mente comprehendi, sed hinc sumpsi sibi ipsa ratio, in quibus possit indagatricem veritatis exercere sollertiam. delegit enim de infinitae multitudinis pluralitate finitae terminum quantitatis et interminabilis magnitudinis sectione reiecta definitia sibi ad cognitionem spatia sepoposcit Constat igitur, quisquis hae pretermiserit, omnem philosophiae perdidisse doctrinam. Hoc igitur illud quadruvium est, quo his viandum sit, quibus excellentior animus a nobiscum procreatis sensibus ad intellegentiae certiora perducitur. Sunt enim quioam gradus ccertaeque progressionum dimensiones, quibus ascendi progredique possit, ut animi ilum oculum, qui, ut ait Plato, multis oculis corporalibus salvari constituique sit dignior, quod eo solo lumine vestigari vel inspici veritas queat, hunc inquam oculum demersum orbatumque corporeis sensibus hae disciplinae rursus inluminent. Quae igitur ex hisce prima discenda est nisi ea, quae principium matrisque quodammodo ad ceteras obtinet portionem? Haec est autem arithmetica. Haec enim cunctus prior est, non modo quod hance ille huius mundanae molis conditor deus primam suae habuit ratiocinationis exemplar et ad hance cuncta constituit, quaecunque fabricante ratione per numeros adsignati ordinis invenere concordiam, sed hoc quoque prior artihmetica declaratur, quod, qaecunque natura priora sunt, his sublatis simul posteriora tolluntur; quod si posteriora pereant, nihil de statu prioris stubsantiae permutatur, ut animal prius est homine. Nam si tollas animal, statim quoque hominis natura delat sit, si hominem sustuleris, animal non peribit. Et e contrario ea semper posteriora sunt, quae secum aliud quodlibet inferunt, ea prioria, quae cum dicta sunt, nihil secum de posterioribus trahunt, ut in eodem quoque homine. Nam si hominem dixeris, simul quoque animal nominabis, idem est enim homo, quod animal; si animal dixeris, non speciem simul hominis intulisit, non est enim idem animal, quod homo. Hoc idem in geometria vel arithmetica viedur incurrere. Si enim numeros tollas, unde triangulum vel quadratum vel quicquid in geometira veratur, quae omnia numerorum denominitiva sunt? At vero si quadratum triangulumque ustuleris omnisque geometria consumpta sit, trest et quattuor aliorumque numerorum vocabula non perhibunt. Rursus cum aliquam geometricam formam dicero, est illi simul numerorum nomen inplicitum; cum numeros dixero, nondum ullam formam geometricam nominavi. Musica vero quam prior sit numerorum vis, hinc maxime probari potest, quod non modo illa natura priora sunt, quae per se constant, quam illa, quae ad aliquid referuntur. Sed etiam ea ipsa musica modulatio numerorum nominibus adnotatur, et idem in hac evenire potest, quod in geometria praedictum est. Diatessaron enim et diapente et diapason ab antecedentis numeri nominibus nuncupantur. Ipsorum quoque sonorum adversus se proportio solis neque aliis numeris invenitur. Qui enim sonus in diapason symphonia esst, idem duplicis numeri proportione colligitur; quae diatessaron est modulatio, epitrita conlatione componitur; quam diapente dymphoniam vocant, hemiolia medietate coniungitur; qui in numeris epogdous est, idem tonus in musica, et ne singula persequi laborem, huius operis sequentia, quanto prior sit arithemtica sine ulla dupitatione monstrabit. Sphericam vero atque astronimicam tanto praecedit, quanto due reliquae disciplinae hance tertiam natura praecedunt. In astronomia enim circuli, sphera, centrum, paralellique circuli mediusque axis est, quae omnia geometricae disciplinae curae sunt. Quare est etiam ex hoc ostendere seniorem geometriae vim, quod omnis motus est post quietem et natura semper statio prior est, mobilium vero astronomia, inmobilium geometria doctrina est; vel quod armonicis modulationbius motus ipse celebratur astrorum. Quare constat quoque musicae vim astrorum curus antiquitate praecedere, quam superare natura aritimeticam dubiam non est, cum prioribus , quam ill aest, videatur antiquior. Proprie tamen ipsa numerorum natura omnis astrorum cursus omnisque astronomica ratio constituta est. Sic enim ortus occasusque colligimus, sic tartitates velocitatesque errantium siderum custodimus, sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus. Quare, quoniam prior, ut claruit, arithmeticae vis est, hinc disputationis sumamus exordium.

De substantia numeri

Omnia quaecunque a primaeva rerum natura constructa sunt, numerorum videntur ratione formata. Hoc enim fuit principale in animo conditoris exemplar. Hinc enim quattuor elementorum multitudo mutuata est, hinc temporum vices, hinc motus astrorum caelicque conversio. Quae cum ita sint, cumque omnium status numerorum colligatione fungatur, eum quoque numerum necesse est in propria semper sese habentem aequaliter substantia permanere, eumque compositum non ex diversis -- quid enim numeri subatntiam conungeret, cum ipsius exemplum cuncta iunxisset? -- sed ex se impso viedur esse compositus. Porro autem inhil ex similibus componi videtur, nec ex his, quae nulla rationis proportione iunguntur et a se omni subastantia naturaque discreta sunt. Constat erog, quoniam coniuncuts est numerus, neque ex similibus esse coniunctum neque ex his, quae ad se invicem nulla ratione proportionis haerent. Erunt ergo, numeros prima quae ungant, ad substantiam quidem auae consent semperque permaneant. Neque enim ex non substentibus effici quicquam potest et sunt ipsa dissimilia et potentia conponendi. Hae autem sunt, quibus numerus constat, par atque inpar quae divina, quadam potentia, cum disparia sint contrariaque, ex una tamen gentirua profluunt, et in unam composititionem modulationemque iunguntur.

Definitio et divisio numeri et definitio paris et inparis.

Et primu quid sit numerus definendum est. Numerus est unitatum collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus. Huius igitur prima divisio est in inparem atque parem. Et par quidem est, qui potest in aequalia dividet eo, quod in medio praedictus unus intercedat. Et haec quidem huiusmodi defintio vularis et nota est.

Definito numeri paris et inparis secundum Pythagoram.

Illa autem secundum pythagoricam disciplinam talis est: par numerus est, qui sub eadem divisione potest in maxima parvissimaque dividi, maxima spatio, parvissima quantitate secundum duorum istorum generum contrarias passiones. Inpar vero numerus est, cui hoc quidem accidere non potest, sed cuius in duas inaequales summas naturalis est sectio. Hoc est autem exemplar: ut si quilibet datus par numerus dividatur, maior quidem quantum ad divisionis spatia non invenietur, quam disgregata mediatas, quantitate vero nulla minor est, quam in gemnia facta partitio; ut, si par numerus, qui est viij, dividatur in iiij atque alios iiij, nulla erit alia divisio, quae mairoes parties efficiat; porro autem nulla erit alia divisio, quae sotum numerum mniore sdividat quantitate. In duas enim partes divisione nihil minus est. Cum enim totum quis fuerit trina divisione partitus, spatii quidem summa minuitur, sed numerus divisionis augetur. Quod autem dictum est: secundum duorum generum contrarias passiones, huiusmodi est: pradocuimus enim quantitatem in infinitas pluralitates adcrescre, spatia vero, id est magnitudines in infinitissimas minui parvitaties atque ideo hic contra eventi. Haec nameque paris divisio spatio est maxima, parvissima quantitate.

Alia secundum antiquiorem modum divisio paris et inparis  Secundum antiquiorem vero modum alia est paris numeri definitio. Par numerus est, qui in duo aequalia et in duo inaequalia partitionem recipit, sed ut in neutra divisione vel in paritati paritas vel paritati inparitas misceatur, praeter solum paritatis principem, binarium numerum, qui in aequalem non recipit sectionem, propterea quod ex duabus unitatibus constat et ex prima duoroum quoddammmodo paritate. Quod autem dico, tale est: si enim ponatur par numerus, potest in duo aequalia dividi, ut denarius dividitur in quinos, porro autem et per inaequalia, ut idem denarius in iij et vij, sed hoc modo, ut cum una pars fuerit divisionis par, alia quoque par inveniatur, et si una inpar, reliqua ab eius inparitate non discrepet, ut in eodem numero, qui est denarius. Cum enim divisus est in quinos, vel cum in tres septem, utraeque in utraque poritone partes inpares extiterunt. Si autem ipse, vel alius numerus par, dividatur in aequales, ut oconarius in iiij et iiij, et item per inaequales, ut idem octonarius in v et iij, in illa quidem divisione utraeque partes pares factae sunt, in hac utraque inpares extiterunt; neque unquam fieri potest, ut, cum una pars divisionis par fuerit, alia inpar inveniri queat, aut, cum una inpar sit, alia par possit intelleig. Inpar vero numerus est, qui ad quamlibet illam divisionem per inaequalia semper sdividitur, ut utrasque species numeri semper ostendat, nec unquam altera sine alter asit, sed una pars paritati, inparitati alia deputetur, ut, vij si dividas in iij atque iij, altera portio par altera inpar est. et hoc idem in cuntis inparibus numerus invenitur, neque unquam in inparis divisione praeter se esse possunt. Hae geminae species, quae naturaliter vim numeri substantiamque componunt.

Definitio paris et inparis per alterutrum

Quod si haec etiam per alterutras species definienda sunt, dicetur inparem numerum esse, qui unitate differt a pari vel cremento vel deminutione. Par item numerus est, qui unitate differt ab inpari vel cremento vel deminutione. Si enim pari unum dempseris, vel unum adieceris, inpar efficitur, vel si inpari idem feceris, par continuo procreatur.

De principalitate unitatis

Omnis quoque numerus circum se positorum et naturali sibimet dispositioine iunctorum medietas est; et qui super duos illos sunt, qui medio iunguntur, si conponantur, etiam ipsorum supradictus numerus media portio est; et rursus illorum, qui sunt super secundo loco iunctos, cum ipsi quoque sint compositi, prior his numerus medietatis loco est, et hoc erit, usquidem occurrens unitas terminum ponat, ut si ponat quis quinarium numerum, altrinsecus circa ipsum sunt sumper iiij inferius vi. Hi ergo si uncat sint, faciunt x, quorum v numerus medietas est. Qui autem circa ipsos id est circa vi et iiij sunt, iij silicet et vij, idem is iuncti sint, eorum quinarius numerus medietas est; rursus istorum, qui altrinsecus positi sunt, si iungantur, etiam hi quinarii numeri dupli sunt; nam super iij sunt ii, super vij sunt viij; hi ergo si iuncti sint, faciunt x, quorum quinarius rursus medietas est. Hoc idem in omnibus numeris evenit, usquedum ad untiatis terminum perveniri queat; sola eniim unitas circum se duos terminos non habet, atque ideo eius, qui est prope se, solius est meidetas. Nam iuxat i solus est binarius naturaliter constitutus, cuius unitas media pars est. Quare constat primam esse unitatem cuntorum, qui sunt in naturali dispoisitone, numerorum et eam rite totius quamvis prolixae gentricem pluralitatis agnosci.

Divisio paris numeri

Paris autem numeri species sunt tres. est enim una, quae dicitur pariter par, alia vero pariter inpar, tertia inpariter par. Et contraria quidem locumque obtinentia summitatum videntur esse pariter par et pariter inpar. Medietas autem quaedam, quae utrorumque participat, est numerus, qui voactur inpariter par.

De numero pariter pari eiusque proprietatibus.

Pariter par numerus est, qui potest in duo paria dividi, eiusque pars in alia duo paria partisque pars in alia duo paria, ut hoc totiens fiat, usquedum divisio partium ad indivisibilem naturaliter perveniat unitatem. Ut lxiiij numerus habet medietatem xxxij, hic autem medietatem xvi, hic vero viij. Hunc quoque quaternarius in aequa partitur, qui binarii duplus est; sed binarius unitatis medietate dividitur, quae unitas naturaliter singularis non recipit sectionem. Huic numero videtur accidere, ut quaecunque eius fuerit pars, cum nomine ipso vocabuloque pariter par inveniatur; tum etiam quantitate. Sed ideo mihi videtur hic numerus pariter par vocatus,

j

ij

iij

j ij iij j ij iij iiij

j

ij

iij

iiij

quod eius omnes partes et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares pariter inveniantur. Quomodo autem et nomine et quantitate pares habeat partes hic numerus, post dicemus. Horum autem generatio talis est: ab uno enim quoscunque in duplici proportione notaveris, semper pares pariter procreantur. Praeter hanc autem generationem ut nascantur aliter inpossibile est. Huius autem rei tale detur per ordinem descriptionis exemplum sintque cunti duplices ab uno i ii iiij viij xvi xxxij lxiiij cxxviij cclvi dxii atque hinc si fiat infinita progressio, tales cuntos invenies, factique sunt ab uno in cuplici proportione, et omnes sunt pariter pares.

Illud autem non minima consideratione dignum est, quod eius omnis pars ab una parte quacunque, quae intra ipsum numerum est, denominatur tantamque summam quantitatis includit, quota pars est alter numerus pariter paris illius, qui eum respondeant, ut quota pars una est, tantam habeat altera quantitatem, et quota pars ista est, tanum in priore summa necesse sit multitudinis inveniri. Et primum fit, si pares fuerint dispositiones, ut duae mediae partes sibi respondeant, post vero quae super ipsas sunt, sibi invicem converatntur, atque hoc idem fiat, donec uterque terminus extremitatis incurrat. Ponatur enim pariter paris ordo ab uno usque cxviij hoc modo: i ii iiij viij xvi xxii lxiiij cxxviij et ea sit summa maxima. In hoc igitur, quoniam pares dispositiones sunt, una medietas non potest inveniri. Sunt igitur duae, id est viij et xvi quae considerandae sunt, quemadmodum ipsae sibi respondeant. Totius enim summae, id est cxviij octav pars est xvi, sextadecima viij. Rursus super has partes quae sunt, ipsae sibi invicem respondebunt, id est xxxii et iiij. Nam xxxii quarta pars est totius summae, iiij vero tricesima secunda. rursus super has partes lxiiij secunda pars est, ii vero sexagesima quarta; donec estremitates limitem faciant, quas dubium non es eadem responsione gaudere. Est enim omnis summa semel cxxviij, unus vero centesimus vicesimus octavus.

Si autem inpares terminos ponamus, id est summas -- idem enim terminos quod summas nomino -- secundum inparis naturam potest una medietas inveniri atque ipsa una sibi est responsura. Si enim ponatur hic ordo i ii iiij viij xvi xxxii lxiiij una erit sola meidetas, id est viij, qui viij summae totius pars est octava, et sibi ipsi ad denominationem quantitatemque converitur. Eodemque modo sicut superius circa ipsum qui sunt termini donant sibi mutua nomina secundum proprias quantitates vocabulumque permutant. Nam iiij sextadecima pars est totius summae, xvi vero quarta. Et rusus super terminos hos xxxii secunda pars est totius summae, ii vero tricesima secunda; et semel tota summa lxiij sunt, sexagesima quarta vero unitas invenitur. Hoc igitur est, quod dictum est, omnes eius partes et nomine et quantitate pariter pares inveniri.

Hoc quoque multa consideratione multaque constantia divinitatis perfectum est, ut ordinatim dispositae minores summae in hoc numero et super se ipsas coacervatae sequenti minus uno seper aequentur. Si senim unum iungas his, qui sequuntur, duobus fiunt iij, id est, qui uno minus quaternario cadant, et si superioribus addas iij, sunt vii, qui ab oconario sequente sola unitate vincuntur. Sed si eosdem viij supradictis adiunxeris, xv fient, qui par xvi numeri existeret quantitati, nisi minor unitas inperdiret. Hoc autem prima etiam numeri progenies servat atque custodit. Namque unitas, quae prima est, duobus subsequentibus sola est unitate contractior; unde nihil mirum est, totum summae crementum proprio consentire principio. Hace autem nobis consideratio maxime proderit in his numeris cognoscendis, quos superfluos vel inminutos perfectosque monstrabimus. Illic enim coacervata quantitas partium numeri totius termino comparatur.

Illud quoque nulla possumus oblivione transimittere, quod in hoc numero respondentibus sibi invicem partibus multiplicatis maior extremitas eiusdem numeri summaque conficitur. Et primum si pares fuerint dispositiones medii multiplicantur atque deinde qui super ipsos sunt et usque ad supradictas extremitates. Si enim fuerint pares dispotiiones secundum naturam paris duos in medio terminos continebunt, ut in ea dispositione numerorum, in qua extremus terminus cxxviij finitur. In hoc enim numero meidetates sunt viij scilicet et xvi, quae in se multiplicatae maioris summam crescente pluralitate conficient. Ocites enim xvi vel sedecies viij, si multiplices, cxxviij summa concrescet, atque hi numeri, qui super eosdem sunt, si multiplicentur, idem faciunt. Nam iij et xxxii, in se si mulitiplices supra dictam facient extremitatem. Iiij enim tricies et bis, vel quater xxxii ducti cxxviij inmutabili necessitate conplebunt, atque hoc usque ad extremus terminus cxxviij est; centies vicies atque octies unitate multiplicata nihil de priore quantitate mutabitur.

Si autem inpares fuerint dispositiones, unus medius terminus invenitur, atque ipse sibi propria multiplicatione respondet. In eo namque ordine numerorum, ubi extremus terminus lxxiiij pluralitate concluditur, sola invenitur una medietas, id est viij, quam si octies id est in semet ipsum multiplices lxiiij explicabit, atque idem reddent illi, qui super hanc meidetatem sunt, ut dudum hi, qui super duas positi, faciabant. Nam quater xvi lxiiij sunt et sedecies iiij idem conplent. Rusus bis xxxii facti a lxiiij non discedunt, et tricies bis ii eosdem cumulant, et semel lxiiij vel untias sexagies quater multiplicata eundem numerum sine ulla variatate restituent.

De numero pariter inpari eiusque proprietatibus.

Pariter autem inpar numerus est, qui et ipse quidem paritatis naturam substantiamque sortitus est, sed in contraria divisione naturae numeri pariter paris obponitur. Docebitur namque, quam longe hic dissimili ratione dividatur. Nam quoniam par est, in partes aequalies recipit sectionem, partes vero eius mox indivisibiles aque insecabiles permanebunt, ut sunt vj x xiiij xviij xxij et his similes. Mox enim hos numeros si in gemina fueris divisione partitus, in curris in inparem, quem secare non possis. Accidit autem his quod omnes partes contrarie denominantas habent, quam sunt tantitates ipsarum partium, quae denominantur. Neque unquam fieri potest, ut quaelibet pars huius numeri eiusdem generis denomenationem quantitatemque suscipiat. Semper enim se denominatio fuerit par, quantitas partis erit inpar, si denominatio inpar, quantitas par: ut in xviij secunda eius pars, id est media, quod partitatis nomen est, viiij, quae inpar est tuantitas; tertia vero, quae inpar est denominatio, vj cui par pluralitas est. Rursus si convertas, sexta pars, quae par est denominatio, iij sunt, sed ternarius inpar est; et nona pars, quod inpar est vocabulum, ij qui par numerus est; atque idem in aliis cuntis, qui sunt pariter inpares, invenitur. Neque unquam fieri potest, ut, cuiuslibet partis eiusdem sit generis nomen et numerus.

Fit autem horum procreatio numerorum, si ab uno disponantur, quicunque duobus differunt, id est omnibus inparibus naturali sequentia atque ordine constitutis. Namque hi si per binarium numerum multiplicentur, omnes pariter inpares rite pluralitas demensa sufficiet. Ponatur enim prima unitas i et post hunc, qui ab hoc duobus differt, id est iij et post hunc, qui rursus a superiore duobus, id est v, et hoc in infinitum et sit huius modi dispositio:

j iij v vij viiij xj xiij xv xvij xviiij

Hi ergo naturaliter se sequentes inpares sunt, quos nullus in medio par numerus distinguit. Hos si per binarium numerum multiplices, efficies hoc modo: bis i id est ij, qui dividitur quidem, sed eius partes indivisibiles repperiuntur propter insecabilis unitatis naturam; bis iij, bis v, bis vij, bis viiij, bis xj, et dienceps, ex quibus nascuntur hi: ij vj x xiiij xviij xxij, quos si dividas, unam recipient sectionem ceteram repudiantes, quod secunda divisio ab inparis medietate partis excluditur. His autem numeris a se invicem quaternarii sola distantia est; namque inter ij et vj numeros iiij sunt, rursus inter vj et x et inter x et xiiij, inter xiiij et xviij idem quaternarius differntiam facit. Hi namque omnes quaternaria sese numerositate transcendunt, quod idcirco contingit, quoniam primi qui positi sunt, id est eorum fundamenta, binario se numero praecedebant, quos quoniam per binarium multiplicavimus, in quaternarium faciunt summam. Igitur in naturalis numeri dispositione pariter inpares numeri quinto loco as se distant, solix iiij se praecedunt, iij in medio transeuntes, per binarum numerum multiplicatis inparibus procreati. Contrariae vero esse dicuntur hae species numerorum, id est pariter par et pariter inpar, quod in numero pariter inpari sola divisionem recipit maior extremitas, in illo vero solus minor terminus sectione solutus est, et quod in forma pariter paris numeri ab extremitatibus incipienti et usque ad media progredienti, quod continentur sub extremis terminis, idem est illi, quod continentur sub intra se positis summulis atque hoc idem usquedum ad duas medietates fuerit ventum in dispositionibus scilicet paribus; si autem fuerint inpares dispoxitiones, quod ab una medietate conficitur, hoc idem sub altrinsecus positis partibus procreatur, atque hoc usquedum ad extremitates progressio fiat. In ea enim dispositione, quae est par ut ij iiij viij xvj, idem reddunt ij per xvj multiplicati, quod iiij per octinarium ducti, utroque enim modo xxxij fient. Quod si inpar sit ordo, ut est ij iiij viij, idem facient extremi, quod medietas; bis enim viij sunt xvj, qui umerus a quaternario in se ducto perficitur. In numero vero pariter inpari, si fuerit unus in medio terminus, circum se positiorum terminorum, si in unum redigantur, medietas est, et idem eorum quoque, qui super hos sunt terminos, medietas est, atque hoc usque ad extremos omnium terminorum, ut in eo ordine, qui est pariter inparium numerorum, ij vj x iunctus binarius cum denario xxj explet, cuius senarius medietas invenitur. Si vero fuerint duae medietates iunctae, ipsoae utraeque aequales erunt super se terminis constitutis, ut est in hoc ordine ij vj x xiij. Iuncti enim ij et xiiij in xvj crescunt, quos senarius cum denario copulatus efficiet. Atque hoc in numerosioribus terminis initio sumpto a mediis evenit usquedum ad extrema veniatur.

De numero inpariter pari eiusque proprietatibus deque eius ad pariter parem et pariter inparem cognatione

Inpariter par numerus est ex utrisque confectus et medietatis loco gemina extremitate concluditur, ut, quo ab utroque discrepet, eadem ad alterutrum congnatione iugatur. Hic autem talis est, qui dividitur in aequas partes, cuiusque pars in alias aequas dividi potest, etiam aliquando partes partium dividuntur, sed non usque ad unitatem progreditur aequalis illa disiunctio, ut sunt xxiiij et xxviij. Hi enim possunt in medietates sine aliqua dubitatione solvuntur. Sunt etiam quidam alii numeri, quorum partes alias recipiunt divisiones, sed ipsa divisio ad unitatem usque non pervenit. Igitur in eo, quod plus quam unam suscipit sectionem, habet similitudinem pariter paris, sed a pariter inpari segregatur; in eo vero, quod usque ad unum sectio illa non ducuitur, pariter inparem non refutat, sed a pariter pari disiungitur. Contingit autem huic numero et utraque habere, quae superiores non habent, et utraque, quae illi recipiunt, obtinere. Et habet quidem, quod utrique non habent, quod cum in uno solus maior terminus divideretur, in alio vero solus maior terminus divisionem recipit, neque minor solus terminus a divisione seiungitur. Nam et partes solvuntur et usque ad unitatem sectio illa non pervenit, sed ante unitatem invenitur terminus, quem secare non possis. Obtinet autem, quae illi quoque recipiunt, quod quaedam partes eius respondent denominanturque secundum genus suum ad propriam quantitatem, ad similitudinem scilicet pariter paris numeri, aliae vero partes contrarium denominationem sumunt propriae quantitatis, ad pariter inparis scilicet formam. In xxiiij enim numero par est quantitas partis a pari numero denominata. Nam quarta vj secunda xij sexta vero iiij duodecima ij, quae vocabula partium a quantitatis paritate non discrepant. Contrarie vero denominantur, ut tertia pars viij, octava vero iij. Vicesima autem quarta j quae denominationes cum pares sint, inveniuntur inpares quantitates, et cum sint pares summae, sunt inpares denominationes.

Nascuntur autem tales numeri ita, ut substantiam naturamque suam in ipsa etiam propria generatione designent ex pariter paribus et pariter inparibus procreari. Pariter enim inpares cuncti dudum ordinatim positis inparibus nascebantur, pariter vero pares ex duplici progressione. Disponantur igitur omnes in ordinem naturaliter inpares a tribus et sub his a quattuor inchoantes omnes duplices et sint hoc modo:

x ij ij iiij j iij c iij iij vj xxij xiiij xxviij

His igitur ita positis si primus primi multiplicatione concrescat, id est si quaternarii ternarius, vel si idem primus secundi, id est octonarii ternarius, ve si idem primus tertii, id est ternarius sedecimi, et idem usque ad

ultimum, vel si secundus primi, vel si secundus secundi, vel si secundus tertii et eadem usque ad extremum multiplicatio proferatur, vel si tertius a primo ichoans usque in extremum transeat atque ita quartus et omnes in ordinem superiores multiplicent eos, qui sub ipsis in dispositoine sunt, omnes inpariter pares procreabuntur Huius autem rei tale sumamus exemplum. Si iij quater multiplices xij fient, vel si v quattuor mltiplicent xx numerus excrescet, vel si item vij multiplicent iiij, xxviij succrescet, atque hoc usque in finem. Rurus si viij multiplicent iij nascentur xxiiij; si viij in v fiunt xl, si viij in vii collegentur lvj atque ad hunc modum si omnes inferiores duplices a superioribus multiplicentur, vel si superiores eosdem inferiores multiplicent, cunctos, qui nati fuerint, inpariter pares invenies.

Atque haec est admirabilis huius numeri forma, quod cum fuerit ipsa dispositio descriptoque perspecta numerorum, ad latitudinem pariter inparem, ad longitudinem pariter parium numerorum proprietas invenitur. Sunt enim duabus in latitudine medietatibus aequales duae extremitates vel una medietate duae duplices extremitates. In longitudine vero pariter paris numeri rem proprietatemque designat. Quod enim sub duabus medietatibus continetur, aequale est ei, quod sub extremis conficitur, vel quod ab una medietate nascitur, aequale est illi, quod sub utrisque extremitatibus continetur. Descriptio autem, quae subposita est, hoc modo facta est: quantoscunque in ordine pariter parium numerorum ternarius numerus multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt, primo sunt versu dispositi; rursus qui eosdem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco sunt constituti, post vero, quos septenarius ceteros multiplicando procreavit, eosdem tertio conscripsimus loco, atque idem in reliqua descriptionis parte perfecimus.

Descriptionis ad inpariter paris naturam pertinentis expositio

Superius igitur digestae descriptionis haec ratio est: Si ad latitudinem respicias, ubi est duorum terminorum una medietas, ipsosque terminos iungas, duplos eos medietate propria repperies, ut xxxvj et xx faciunt lvj, quorum medietas est xxviij, qui medius est inter eos terminus constitutus. Et rurus xxviij et xij si iungas, faciunt xl, quorum xx medietas medius eorum terminus invenitur. At vero ubi duas meidetates habent, utraeque extremitates iuncate utrisque medietatibus aequales fiunt, ut xij et xxvj, cum iunxeris, fiunt xlviij. Horum si medietates sibimet applicaveris, id est xx et xxviij, idem erit. Atque in alia parte latitudinis eodem ordine qui fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque latitutdinis discrepabit; idemque in eodem ordine in ceteris numeris pernotatbis; et hoc secundum formam pariter inparis numeri sit, in quo hanc proprietatem esse supra iam dictum est.

Rursus si ad longitudinem respicias, ubi duo termini unam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, hoc sit, si medius terminus suae capiat pluralitatis augmenta. Nam duodecies xlviij faciunt xlxxvj; medius vero eorum terminus, id est xxiiij si multiplicetur, eosdem rursus dlxxvj procreabit. et rurus si xxiiij in xcvj multiplicentur, faciunt mmccciiij, quorum medius terminus, id est xlviij, si in semet ipsum duactur, idem mmcciiij procreantur. Ubi autem termini duo duas medietates includunt, quod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in alterutram summam medietatibus ductis. Duodecies enim xcvj multiplicatis mclij procreantur. Duae vero eorum medietates, id est xxiiij et xlviij si in semet ipsas multiplicentur, eosdem mclij retituent. Atque hoc est ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta haec ei recognscitur ingenerata proprietas. Et in alio vero latere longitudinis eadem ratio descriptione notata est. Quare manifestum est, hunc numerum ex prioribus duobus esse procreatum, quoniam eorum retinet proprietates.

De numero inpari eiusque divisione

Inpar quoque numerus, qui a paris numeri natura substantiaque disiunctus est—si quidem ille in gemina aequa dividi potest, hic ne secari queat, unitatis inpedit inverventus—tres habet similiter subdivisiones, quarum una eius pars est is numerus, qui vocatur primus et incompositius, secunda vero, qui est secundus et compositus, et tertia is, qui quadam horum medietate coniunctus est et ab utriusque cognatione aliquid naturaliter trahit, qui est per se quidem secundus et compositus, sed ad alios comparatus primus et incompositus invenitur.

De prime et incompositio

Et primus quidem et incompositus est, qui nullam aliam partem habet nisi eam, quae a tota numeri quantitate denominata sit, ut ipsa pars non sit nisi untias, ut sunt iij v vij xj xiij xvij xviiij xxiij xxviiij xxxj. In his ergo singulis nulla unquam alia pars invenietur, nisi quae ab ipsis denominata est, et ipsa tanum untias, ut supra iam dictum est. In tribus enim una pars sola est, id est tertia, quae a tribus scilicet denominata est, et ipsa terita pars unitas; eodemque modo quinarii sola quinta pars est et haec untias, atque idem in singulis consequens repperietur. Dicitur autem primus et incompositus, quod nullus eum alter numerus metiatur praeter solam, quae cunctis mater est, unitatem. Namque ternarium ij non numerant, idcirco, quoniam si solos duos contra iij compares puciores sunt, sin vero binarium bis facias, amplior est tribus, cum crescit in iiij. Metitur autem numerus numerum, quotiens vel semel vel bis vel tertio vel quotienslibet numerus ad numerum comparatus neque deminuta summa neque aucta ad comparati numeri terminum usque pervenerit, ut ij si ad vj compares, binarius numerus senarium tertio metietur. Primos ergo et incompositos nullus numerus metietur praeter unitatem solam, quoniam ex nullis aliis numeris compositi sunt, sed tantum ex unitatibus in semet ipsis auctis multiplicatisque procreantur. Ter enim unus iij et quinquies unus v et septies unus vij fecerunt, et alii quidem, quos supra descrpsimus, eodem modo nascuntur. Hi autem in semet ipsos multiplicati faciunt alios numeros velut primi, eosque primam rerum substantiam vimque sortitos cunctorum a se procreatorum velut quaedam elementa repperies, quia scilicet incompositi sunt et spmplici generatione formati atque in eos omnes, quiunque ex his prolati sunt numeri, resolvuntur, ipsi vero neque ex aliis producuntur neque in alios reducuntur.

De secundo et composito

Secundus vero et compositus et ipse quidem inpar est, propterea quod eadem inparis proprietate formatus est, sed nullam in se retinet substantiam principalem compositusque est ex aliis numeris habetque partes et a se ipso et ab alieno vocabulo denominatas; sed a se ipso denominatam partem solam semper in his repperies unitatem, ab alieno vero vocabulo vel unam vel quotlibet alias, quanti fuerint scilicet numeri quibus ille compositis procreatur, ut sunt hi: viiij xv xxj xxv xxvij xxxiij xxxviiij. Horum ergo singuli habent quidem a se denominatas partes proprias, scilicet unitates, ut viiij nonam,id est unum, xv quintam decimam eandem rursus unitatem et in ceteris, quos supra descripsimus, idem convenit.

Habent etiam ab alieno vocabulo partem, ut viiij tertiam, id est ternarium, et xv tertiam, id est quinque, et quintam, id est tres; xxj vero tertiam vij, septimam iij; et in omnibus aliis eadem consequentia est.

Secundus autem vocatur hic numerus, quoniam non sola unitate metitur sed etiam alio numero, a quo scilicet coniunctus est, neque habet quicquam in se principalis intellegentiae. Nam ex aliis numeris procreatur viiij quidem ex tribus, xv vero ex tribus et v, at xxj ex tribus et vij et ceteri eodem modo. Compositus autem dicitur eo, quod resolvi potest in eosdem ipsos, a quibus dicitur esse compositus, in eos scilicet, qui compositum numerum metiuntur. Nihil autem, quod dissolvi potest, incompositum est, sed omni rerum necessitate compositum.

De eo, qui per se secundus et compositus est, ad alium primus et incompositus

His vero contra se positis, id est primo et incomposito et secundo et composito, et naturali diversitate disiunctis alius in medio consideratur, qui ipse quidem compositus sit et secundus et alterius recipiens mensionem atque ideo et partis alieni vocabuli capax, sed cum fuerit ad alium eiusdem generis numerum comparatus, nulla cum eo communi mensura coniungitur; nec habebunt partes aequivocas; ut sunt viiij ad xxv Nulla hos communis numerorum mensura metitur, nisi forte unitas, quae omnium numerorum mensura communis est. Et hi quidem non habent aequivocas partes. Nam quae in viiij tertia est, in xxv non est, et quae in xxv quinta est, in novenario non est. Ergo hi per naturam utrique secundi et compositi sunt, comparati vero ad se invicem primi incompositique redduntur, quod utrosque nulla alia mensura metitur, nisi unitas, quae ab utrisque denominata est; nam in novenario nona est, in xxv vicesima quinta.

De primi et incompositi et secundi et compositi et ad se quidem secundi et compositi, ad alterum vero primi et incompositi procreatione

Generatio autem ipsorum atque ortus huiusmodi investigatione colligitur, quam scilicet Eratosthenes cribrum nominabat, quod cunctis inparibus in medio conlocatis per eam quam tradituri sumus artem, qui primi quive secundi quique tertii generis videantur esse distinguitur. Disponantur enim a ternario numero cuncti in ordinem inpares in quamlibet longissimam porrectionem. iij v vij viij xj xiij xv xvij xviiij xxj xxiij xxv xxvij xxviiij xxxj xxxiij xxxv xxxvij xxxviiij xlj xliij xlv xlvij. His igitur ita dispositis considerandum, primus numerus quem eorum, qui sunt in ordine positi, primum metiri possit. Sed duobus praeteritis illum, qui post eos est positus, mox metitur, et, si post eundem ipsum, quem mensus est, alii duo transmissi sint, illum qui post duos est, rursus metitur, et eodem modo, si duos quis reliquerit, post eos qui est, a primo numero metiendus est; eodemque modo relictis semper duobus omnes a primo in infinitum pergentes metientur.

Sed id non vulgo neque confuse. Nam primus numerus illum, qui est post duos secundum se locatos, per suam quantitatem metitur. Ternarius enim intermissis duobus id est v et vij novenarium metitur, et hoc per suam quantitatem id est per ternarium. Ternarius enim numerus tertio viiij metitur. Si autem post novenarium duos reliquero, qui mihi post illos incurrerit, a primo metiendus est per secundi inparis quantitatem, id est per quinarium. Nam si post viiij duos relinquam, id est xj et xiij ternarius numerus xv metietur per secundi numeri quantitatem, id est per quinarii, quoniam ternarius xv quinquies metitur. Rursus si a quindenario inchoans duos intermisero, qui posterior positus est, eius primus numerus mensura est per tertii inparis pluralitatem. Nam si post xv intermisero xvij et xviiij, incurrit xxj, quem ternarius numerus secundum septenarium metitur xxj enim numeri ternarius septima pars est, atque ideo hoc in infinitum faciens repperio primum numerum, si binos intermiserit, omnes sequentes posse metiri secundum quantitatem positorum ordine inparium numerorum.

Sin vero quinarius numerus, qui in secundo loco est constitutus, velit quis, cuius prima ac deinceps mensura sit, invenire, transmissis iiij inparibus quintus ei, quem metiri possit, occurrit. Intermittantur enim iiij inpares, id est vij et viiij et xj et xiij. Post hos est xv, quem quinarius metitur secundum primi scilicet quantitatem id est ternarii. V enim xv tertio metitur. Ac deinceps si quattuor intermittat, eum, qui post illos locatus est secundus, id est quinarius, sui quantitate metitur. Nam post xv intermissis xvij et xviiij et xxj et xxiij post eos xxv repperio, quos quinarius scilicet numerus sua pluralitate metitur. Quinquies enim quinario multiplicato xxv succrescunt. Si vero post hunc quilibet iiij intermittat, eadem ordinis servata constantia, qui eos sequitur, secundum tertii, id est septenarii numeri, summam a quinario metietur; atque haec est infinita progressio.

Si vero tertius numerus quem metiri possit, exquiritur, sex in medio relinquentur, et quem septimum ordo monstraverit, hic per primi numeri, id est ternarii, quantitatem metiendus est; et post illum sex aliis interpositis, quem post eos numerum series dabit, per quinarium, id est per secundum, tertii eum mensura percurret. Sin vero alios rursus sex in medio quis relinquat, ille, qui sequitur, per septenarium numerum ab eodem septenario metiendus est id est per tertii quantitatem; atque hic usque in extremum ratus ordo progreditur.

Suscipiant ergo metiendi vicissitudinem quemadmodum sunt in ordinem naturaliter inpares constituti. Metientur autem, si per pares numeros a binario inchoantes positos inter se inpares rata intermissione transsiliant, ut primus duo, secundus iiij, tertius vj quartus viij quintus x, vel si locos suos conduplicent et secundum duplicationem terminos intermittant, ut ternarius qui primus est numerus et unus -- omnis enim primus unus est - - bis locum suum multiplicet faciatque bis unum; qui cum ij sint, primus ij medios transeat. Rursus secundus, id est quinarius, si locum suum duplicet, iiij explicabit, hic quoque uti iiij intermittat. Item si septenarius, qui tertius est, locum suum duplicet, sex creabit. Bis enim iij senarium iungunt. Hic ergo in ordinem vj relinquat. Quartus quoque si locum suum duplicet, viij succrescent. Ille quoque octo transsiliat. Atque hoc quidem in ceteris perspiciendum.

Modum autem mensionis secundum ordinem conlocatorum ipsa series dabit. Nam primus primum quem numerat, secundum primum numerat, id est secundum se; et secundum primus quem numerat, per secundum numerat, et tertium per tertium et quartum item per quartum. Cum autem secundus mensionem susceperit, primum quem numerat, secundum primum metitur, secundum vero quem numerat, per se, id est per secundum, et tertium per tertium, et in ceteris eadem similitudine mensura constabit. Alios ergo si respicias vel qui alios mensi sunt, vel qui ipsi ab aliis metiuntur, invenies omnium simul communem mensuram esse non posse, neque ut omnes quemquam alium simul numerent; quosdam autem ex his ab alio posse metiri, ita ut ab uno tantum numerentur; alios vero, ut etiam a pluribus; quosdam autem, ut praeter unitatem eorum nulla mensura sit. Qui ergo nullam mensuram praeter unitatem recipiunt, hos primos et incompositos iudicamus, qui vero aliquam mensuram praeter unitatem vel alienigenae partis vocabulum sortiuntur, eos pronuntiemus secundos atque compositos. Tertium vero illud genus per se secundi et compositi, primi vero et incompositi ad alterutrum comparati, hac inquisitor ratione, repperiet. Si enim quoslibet illos numeros secundum suam in semet ipsos multiplices quantitatem, qui procreantur, ad alterutrum comparati nulla mensurae communione iunguntur. IIJ enim et v si multiplices, iij tertio viiij facient, et quinquies v reddent xxv. His igitur nulla est communis mensurae cognatio. Rursus v et vij quos procreant, si compares, hi quoque incommensurabiles erunt. Quinquies enim v, ut dictum est, xxv, septies vij faciunt xlviiij, quorum mensura nulla communis est; nisi forte omnium horum procreatrix et mater unitas.

De inventione eorum numerorum, qui ad se secundi et compositi sunt, ad alios vero relati primi et incompositi

Qua vero ratione tales numeros invenire possimus, si quis nobis eosdem proponat et imperet agnoscere, utrum aliqua mensura commensurabiles sint, an certe sola unitas utrosque metiatur, repperiendi ars talis est. Datis enim duobus numeris inaequalibus, auferre de maiore minorem oportebit, et qui relictus fuerit, si maior est, auferre ex eo rursus minorem, si vero minor fuerit, eum ex reliquo maiore detrahere atque hoc eo usque faciendum, quoad unitas ultima vicem retractionis inpediat, aut aliquis numerus, inpar necessario, si utrique numeri inpares proponantur; sed eum, qui relinquitur, numerum sibi ipsi videbis aequalem. Ergo si in unum incurrat vicissim ista subtractio, primi contra se necessario numeri dicentur et nulla alia mensura nisi sola unitate coniuncti. Si vero ad aliquem numerum, ut superius dictum est, finis deminutionis incurrerit, erit numerus, qui metiatur utrasque summas, atque eundem ipsum, qui remanserit, dicemus utrorumque communem esse mensuram.

Age enim duos numeros propositos habeamus, quos iubeamur agnoscere, an eos aliqua communis mensura metiatur; atque hi sint viiij scilicet et xxviiij. Hoc igitur modo faciemus reciprocam deminutionem. Auferamus de maiore minorem, hoc est de xxviiij novenarium, relinquentur xx. Ex his ergo xx rursus minorem detrahamus, id est viiij et relinquentur xj Ex his rursus detraho viiij, relicti sunt ij. Quos si detraho novenario, reliqui sunt vij; quos si duo rursus septenario dempserim, supersunt v, atque ex his alios duos, iij rursus exuberant, quos alio binario deminutos sola unitas superstes egreditur. Rursus si ex duobus unum auferam in uno terminus detractionis haerebit, quem duorum illorum numerorum, id est viiij et xxviiij solam neque aliam constat esse mensuram. Hos ergo contra se primos vocabimus.

Sed sint alii numeri nobis eadem condicione propositi, id est xxj et viiij, ut quales hi sint investigentur, cum sibimet fuerint invicem comparati. Rursus aufero de maiore minoris numeri quantitatem, id est viiij de xxj, relinquuntur xij. Ex his rursus demo viiij, supersunt iij. Qui si ex novenario detrahantur, senarius relinquetur. Quibus item si quis ternarium demat, iij relinquentur, de quibus iij detrahi nequeunt, atque hic est sibi ipsi aequalis. Nam iij, qui detrahebantur, usque ad ternarium numerum pervenerunt, a quo quoniam aequales sunt, detrahi minuique non poterunt. Hos igitur commensurabiles pronuntiabimus et est eorum, qui est reliquus, ternarius mensura communis.

Alia partitio paris secundum perfectos, inperfectos et ultra quam perfectos

Ac de inparibus numeris quantum introductionis permittebat brevitas expeditum est. Rursus numerorum parium sic fit secunda divisio. Alii enim eorum sunt superflui, alii deminuti secundum utrasque habitudines inaequalitatis. Omnis quippe inaequalitas aut in maioribus aut in minoribus consideratur. Illi enim inmoderata quodammodo plenitudine proprii corporis modum partium suarum numerositate praecedunt; illos autem velut paupertate inopes oppressosque quadam naturae suae inopia minor, quam ipsi sunt, partium summa componit. Atque illi quidem, quorum partes ultra quam satis est sese porrexerint, superflui nominantur, ut sunt xij vel xxiiij Hi enim suis partibus comparati maiorem partium summam toto corpore sortiuntur. Est enim duodenarii medietas vj pars tertia iiij pars quarta iij pars sexta ij pars duodecima j omnisque hic cumulus redundat in xvj et totius corporis sui multitudinem vincunt. Rursus xxiiij numeri medietas est xij, tertia viij, quarta vj, sexta iiij, octava iij, duodecima ij, vicesima quarta j, qui omnes xxx et vj rependunt. In qua re manifestum est, quod summa partium maior est et supra proprium corpus exundat. Atque hic quidem, cuius compositae partes totius summam numeri vincunt, superfluus appellatur, deminutus vero ille, cuius eodem modo compositae partes totius termini multitudine superantur, ut viij vel xiiij. Habet enim octonarius partem mediam, id est iiij, habet et quartam, id est ij, et octavam, id est j quae cunctae in unum redactae vij colligunt, minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus xiiij habent medietatem, id est septenarium, habent septimam, id est ij, habent quartam decimam, id est j quae in unum si collectae sint, denarii numeri summa succrescit, toto scilicet termino minor.

Atque hi quidem hoc modo sunt, ut prior ille, quem suae partes superant, talis videatur, tamquam si quis multis super naturam manibus natus, ut centimanus gigas vel triplici coniunctus corpore, ut Geryo tergeminus, vel quicquid unquam monstruosum naturae in partium multiplicatione subripuit; ille vero, ut si naturaliter quadam necessaria parte detracta aut minus oculo nasceretur, ut Cyclopeae frontis dedecus fuit, vel quo alio curtatus membro naturale totius suae plenitudinis dispendium sortiretur.

Inter hos autem velut inter inaequales intemperantias medii temperamentum limitis sortitus est ille numerus, qui perfectus dicitur, virtutis scilicet aemulator, qui nec supervacua progressione porrigitur, nec contracta rursus deminutione remittitur, sed medietatis obtinens terminum suis aequus partibus nec crassatur abundantia, nec eget inopia, ut vj vel xxviiij. Namque senarius habet partem mediam, id est iij, et tertiam, id est ij et sextam, id est j quae in unam summam si redactae sint par totum numeri corpus suis partibus invenitur xxviiij vero habet medietatem xiiij et septimam iiij nec caret quarta, id est vij, possidet quartam decimam ij et repperies in eo vicesimam octavam j, quae in unum redactae totum partibus corpus aequabunt. XXVIII enim iunctae partes efficient.

De generatione numeri perfecti.

Est autem in his quoque magna similitudo virtutis et vitii. Perfectos enim numeros rarenter invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sint et nimis constanti ordine procreati. At vero superfluos ac deminutos longe multos infinitosque repperies, nec ullis ordinibus passim inordinateque dispositos et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri intra denarium numerum vj intra centenarium xxviij intra millenarium ccccxcvj intra decem milia viij cxxviij. Et semper hi numeri duobus paribus terminantur, vj et viij, et semper alternatim in hos numeros summarum fine provenient. Nam et primum vj, inde xxviij post hos cccc xcvj idem senarius, qui primus, post quem viiij cxxviij idem octonarius, qui secundus.

Generatio autem procreatioque eorum est fixa firmaque, ne quo alio modo fieri possint, nec ut si hoc modo fiant, aliud quiddam ullo modo valeat procreari. Dispositos enim ab uno omnes pariter pares numeros in ordinem quousque volueris, primo secundum adgregabis, et si primus numerus et incompositus ex illa coacervatione factus sit, totam summam in illum multiplicabis, quem posterius adgregaveras. Si vero coacervatione facta primus inventus non fuerit, sed compositus et secundus, hunc transgredere, atque alium, qui sequitur, adgregabis. Si vero nec dum fuerit primus et incompositus, alium rursus adiunge et vide, quid fiat. Quod si primum incompositumque repperies, tunc in ultimae multitudinem summae coacervationem multiplicabis. Disponantur enim omnes pariter pares numeri hoc modo:

j ij iiij viiij xvj xxxij lxiiij cxxviij

Facies ergo ita. Pones j eique adgregabis ij. Tunc respicias ex hac adgregatione qui numerus factus sit. Inde iij qui scilicet primus et incompositus est; et post unitatem ultimum binarium numerum adgregaveras. Si igitur ternarium, id est qui ex coacervatione collectus est, per binarium multiplices, qui est ultimus adgregatus, perfectus sine ulla dubitatione nascetur. Bis enim iij vj faciunt, qui habet unam quidem a se denominatam partem, id est sextam, iij vero medietatem secundum dualitatem, at vero ij secundum coacervationem, id est secundum ternarium, quoniam coacervati iij multiplicati sunt. xxviij autem eodem modo nascuntur. Si enim super j et ij, qui sunt iij addas sequentem pariter parem, id est iiij, septenariam facies summam. Sed ultimum numerum quaternarium consequenter adiunxeras. Per hunc igitur si illam coacervationem multiplicaveris, perfectus numerus procreatur. Septies enim iiij xxviij sunt, qui est suis partibus par, habens j a se denominatum, id est vicesimum octavum, medietatem vero secundum binarium xiiij, secundum quaternarium vij, septimum vero secundum septenarium iiij, secundum omnium collectionem quartum decimum ij, qui vocabulo medietatis obponitur. Ergo cum hi reperti sint, si alios invenire secteris, eadem oportet ratione ut vestiges. Ponas enim j licebit, et post hunc ij et iiij, qui in septenarium cumulantur. Sed de hoc dudum exstitit xxviij perfectus numerus. Huic igitur qui sequitur pariter par id est viij, continens iungatur accessio, qui prioribus superveniens xv restituet. Sed hic primus et incompositus non est, habet enim generis alterius partem super illam, quae est a se ipsa denominata, quintam decimam scilicet unitatem. Hunc igitur, quoniam secundus est et compositus, praeterito et adiunge superioribus continentem pariter parem numerum, id est xvj, qui cum xv iunctus, unum ac triginta conficiet. Sed hic primus rursus et incompositus est. Hunc igitur cum extremi adgregati summa multiplica, ut fiant sedecies xxxj, qui ccccxcvj explicant. Haec autem est intra millenarium numerum perfecta et suis partibus aequa numerositas. Igitur prima unitas virtute atque potentia non etiam actu vel opere et ipsa perfecta est. Nam si primam ipsam sumpsero de proposito ordine numerorum, video primam atque incompositam, quam si per se ipsam multiplico, eadem mihi unitas procreatur. Semel enim j solam efficit unitatem, quae partibus suis aequalis est potentia solum, ceteris etiam actu atque opere perfectis. Recte igitur unitas propria virtute perfecta est, quod et prima est et incomposita et per se ipsam multiplicata sese ipsam conservat.

Sed quoniam de ea quantitate, quae per se fit, dictum est, operis sequentiam ad illam, quae refertur ad aliquid, transferamus.

De relata ad aliquid quantitate.

Ad aliquid relatae vero quantitatis duplex est prima divisio. Omne enim aut aequale est aut inaequale, quicquid alterius comparatione metimur. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum neque minore summa infra est, neque maiore transgreditur, ut denarius denario vel ternarius ternario vel cubitum cubito vel pes pedi et his similia. Haec autem pars relatae ad aliquid quantitatis, id est aequalitas, naturaliter indivisa est. Nullus enim potest dicere, quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero huiusmodi. Omnis enim aequalitas unam servat in propria moderatione mensuram. Illud etiam, quod, quae ei quantitas comparatur, non alio vocabulo atque ipsa, cui comparatur, edicitur. Nam quemadmodum amicus amico amicus est, vicinusque vicino, ita dicitur aequalis aequali.

Inaequalis vero quantitatis gemina divisio est. Secatur enim quod inaequale est in maius atque minus, quae contraria sibimet denominatione funguntur. Namque maius minore maius est et minus maiore minus est, et utraque non eisdem vocabulis, quemadmodum secundum aequalitatem dictum est, sed diversis distantibusque signata sunt, ad modum discentis scilicet vel docentis vel caedentis vel vapulantis vel quaecunque ad aliquid relata aliter denominatis contrariis comparantur.

De speciebus maioris quantitatis et minoris.

Maioris vero inaequalitatis v sunt partes. Est enim una, quae vocatur multiplex, alia superparticularis, tertia superpartiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpartiens. His igitur quinque maioris partibus obpositae sunt aliae quinque partes minoris, quemadmodum ipsum maius minori semper obponitur, quae minoris species ita singillatim speciebus quinque maioris his, quae supra dictae sunt, obponuntur, ut eisdem nominibus nuncupentur, sola tantum sub praepositione distantes. Dicitur enim submultiplex, subsuperparticularis, subsuperpartiens, submultiplex superparticularis et submultiplex superpartiens.

De multiplici eiusque speciebus earumque generationibus.

Rursus multiplex est prima pars maioris inaequalitatis cunctis aliis antiquior naturaque praestantior, ut paulo post demonstrabitur. Hic autem huius modi est, ut comparatus cum altero illum, contra quem comparatus est, habeat plus quam semel; quod primum in naturalis numeri dispositione conveniet. Namque ad unum cuncti, qui sequuntur, omnium ordine multiplicium sequentias varietatesque custodiunt. Ad primum enim, id est unitatem, ij duplus, iij triplus, iiij quadruplus atque ita in ordinem progredientes omnes texuntur multiplices quantitates. Quod autem dictum est plus quam semel, id a binario numero principium capit et in infinitum per ternarium, quaternariumque et ceterorum ordinem sequentiamque progreditur. Contra hunc vero discriminatus est ille, qui vocatur submultiplex; et haec quoque prima minoris quantitatis species est. Hic autem numerus huiusmodi est, qui in alterius comparatione productus plus quam semel maioris numerat summam, sua scilicet quantitate cum eo aequaliter inchoans aequaliterque determinans. Idem autem dico numerat, quod metitur. Si igitur bis solum maiorem numerum minor numerus metiatur, subduplus vocabitur, si vero ter, subtriplus, si

quater, subquadruplus et fit per haec in infinitum progressio, additaque eos semper sub praepositione nominabis, ut unus duorum subduplus, trium subtriplus, iiij subquadruplus appelletur et consequenter.

Cum autem naturaliter multiplicitas et submultiplicitas infinita sit, eorum quoque species per proprias generationes in infinita consideratione versantur. Si enim positis in naturali constitutione numeris singulos per suas sequentias pares eligas, omnium ab uno parium atque inparium sese sequentium duplices erunt et huius speculationis terminus deficit. Ponatur enim naturalis numerus hoc modo: i ij iij iiij v vj vij viij viiij x xj xij xiij xiiij xv xvj xvij xviij xviiij xx. Horum ergo si primum sumas parem, id est ij, primi duplus erit, id est unitatis; si vero sequentem parem, id est iiij, secundi duplus est, id est duorum; si vero tertium parem sumas, id est vj, tertii numeri in naturali constitutione duplus est, id est ternarii; si vero quartum parem inspicias, id est. viij quarti numeri, id est quaternarii, duplus est. Idemque in ceteris in infinitum sumentibus sine aliquo inpedimento procedit. Triplices autem nascuntur, si in eadem dispositione naturali duo semper intermittantur, et qui post duos sunt, ad naturalem numerum comparentur, excepto ternario, qui, ut unitatis triplus sit, solum binarium praetermittit. Post unum enim et duo tres sunt, qui triplus unius est; rursus post iiij et v sunt vj., qui secundi numeri, id est duorum, triplus est; rursus post vj sunt vij. et viij et post hos viiij, qui tertii numeri, id est ternarii triplus est; atque hoc idem in infinitum si quis faciat, sine ulla offensione procedit. Quadruplorum vero generatio incipit, si quis tres numeros intermittat. Post unum quippe et duo et iij sunt iiij, qui primi, id est unius, quadruplus est; rursus si intermisero quinarium, senarium et septenarium, octonarius mihi quartus occurrit, tribus scilicet intermissis, qui binarii, id est secundi numeri quadruplus est; at vero si post viij tres terminos intermisero, id est viiij vel x vel xj. duodenarius, qui sequitur, ternarii numeri quadruplus est; atque hoc idem in infinitum progressis necesse est evenire, semperque una terminorum intermissione si crescat adiectio, ordinatas te multiplicis numeri vices invenire miraberis. Si enim iiij intermittas, quincuplus invenitur, si v sescuplus, si vj septuplus, semperque ipsius multiplicationis nomine uno minus intermissionis vocabulo procreantur. Nam duplus unum intermittit, triplus ij quadruplus iij quincuplus iiij et deinceps ad eundem ordinem sequentia est. Et omnes quidem dupli secundum proprias sequentias parium numerorum pares sunt; tripli vero unus semper par terminus, inpar alius invenitur; quadrupli vero rursus semper parem custodiunt quantitatem constituunturque a quarto numero uno ex prioribus per ordinem positis paribus intermisso, primo pari binario, post hunc viiij intermisso senario, post hunc xij transmisso denario, atque hoc idem in ceteris. Quincupli vero propositio secundum triplicis similitudinem alternatim paribus atque inparibus positis ordinatur.

De superparticulari eiusque speciebus earumque generationibus.

Superparticularis vero est numerus ad alterum comparatus, quotiens habet in se totum minorem et eius aliquam partem; qui si minoris habeat medietatem, vocatur sesqualter, si vero tertiam partem, vocatur sesquitertius, si vero quartam, sesquiquartus, et si quintam, vocatur sesquiquintus; atque his nominibus in infinitum ductis in infinitum quoque superparticularium forma progreditur. Et maiores quidem numeri hoc modo vocantur, minores vero, qui habentur toti et eorum aliqua pars, unus subsesqualter, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, alius vero subsesquiquintus, atque idem secundum maiorum normam multitudinemque protenditur. Voco autem maiores numeros duces, minores comites. Superparticularium quoque infinita est multitudo ob eam rem, quod eiusdem species interminabili progressione funguntur. Namque sesqualter habebit quidem duces omnes post ternarium numerum naturaliter triplices, comites vero omnes post binarium numerum naturaliter pares, hoc modo ut primus primo, secundus secundo, tertius tertio comparetur et deinceps. Describantur enim longissimi versus triplicium naturalis numeri atque duplicium et sit hoc modo:

j ij iij j ij iij iiij

ij j iiij ij v viij xj xiiij xvij xx

j iij j iij ij iiij vj iiij x

Primus igitur versus continet numerum naturalem, secundus eius triplicem, tertius vero duplicem. Atque in eo si ternarius binario, vel si senarius quaternario, vel novenarius senario comparetur, vel omnes triplices superiores si duplicibus numeris consequentibus opponantur, hemiolia id est sesqualtera proportio nascetur. III  enim habent intra se ij et eorum mediam partem, id est unum. Sex quoque continent intra se iiij et eorum medietatem, id est ij. Et viiij intra se senarium claudunt et eius mediam partem, id est iiij; eodemque modo in ceteris.

Dicendum vero est, si quis secundam speciem superparticularis numeri considerare desideret, id est sesquitertiam, quali ratione repperiet. Ac definitio quidem huius comparationis talis est. Sesquitertius est, qui minori comparatus habet eum semel et eius tertiam partem. Sed hi inveniuntur, si omnibus a quaternario numero continuatim quadruplis constitutis a ternario numero triplices comparentur, eruntque duces quadrupli, comites tripli. Sit enim in ordine hoc modo numerus naturalis, ut sub eo quadrupli et tripli subponantur, sub primo quadruplo primus triplus, sub secundo secundus, sub tertio tertius, et eodem modo cuncti eiusdem primi versus tripli in ordinem digerantur.

j ij iij j ij iij iiij

iij iij ij vj x xiiij xviij xxij xxvj l

ij j iiij ij v viij xj xiiij xvij xx

Igitur primum primo si compares, sesquitertia ratio continebitur. Nam si iiij tribus compares habebunt in se iiij totum ternarium et eius tertiam partem, id est j. Et si secundum secundo id est octonarium senario compares, idem invenies. Habebit enim octonarius senarium totum et eius tertiam partem, id est ij Et per eandem sequentiam usque in infinitum progrediendum est. Notandum quoque est, quod iij comites sunt, duces iiij, rursus vj comites, duces viij, et in eodem ordine ceteri simili modo vocantur duces sesquitertii comites subsesquitertii. Et in cunctis secundum hunc modum posita convenit servare vocabula.

De quodam utili ad cognitionem superparticularibus accidente.

Hoc autem admirabile profundissimumque in istorum ordinibus invenitur, quod primus dux primusque comes ad se invicem nulla numeri intermissione copulantur. Nam primi se nullo in medio posito transeunt, secundi interponunt unum, tertii duos, quarti tres et deinceps uno semper minore, quam ipsi sunt, intermissione succrescunt, atque hoc vel in sesqualteris vel in sesquitertiis vel in aliis superparticularis partibus necesse est inveniri. Namque ut quaternarius contra ternarium comparetur, nullum intermisimus; post iij enim mox iiij sunt; ut vero vj contra viij, in secundo scilicet sesquitertio, una facta est intermissio. Inter vj enim et viij solus est septenarius, qui transmissus est numerus. Rursus ut viiij contra xij comparemus, qui sunt in dispositione tertii duorum mediorum est facta transmissio. Inter viiij enim et xij sunt x et xj. Secundum hunc modum quarta dispositio iij, quinta iiij intermittit.

Descriptio, per quam docetur ceteris inaequalitatis speciebus antiquiorem esse multiplicitatem.

Quoniam autem naturaliter et secundum propriam ordinis consequentiam multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat, hic quoque perstringentes id, quod proposuimus, planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio, in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo naturalis et secundo versu duplus ordo texatur, tertio triplus, quarto quadruplus et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus, quemadmodum superparticulari et superpartienti et cunctis aliis princeps erit species multiplicis et quaedam alia simul inspiciemus et ad subtilitatem tenuissima et ad scientiam utilissima et ad exercitationem iucundissima.

× j ij iij iiij v vj vij viij viiij x j j ij iij iiij v vj vij viij viiij x ij ij iiij vj viij x xij xiiij xvj xviij xx

iij iij vj viiij xij xv xviij xxj xxiiij xxvij xxx iii iiij viij xij xvj xx xxiiij xviij xxxij xxxvj xl j v v x xv xx xxv xxx xxxv xl xlv l vj vj xij xviij xxiiij xxx xxxvj xlij xlviij liiij lx vi xxvii xlviii vij xiiij xxj xxxv xlij lvj lxiij lxx j j j vi viij xvj xxiiij xxxij xl xlviij lvj lxiiij lxxij lxxx ij vi viiij xviij xxvij xxxvj xlv liiij lxiij lxxij lxxxj xc iij x x xx xxx xl l lx lxx lxxx xc c

Ratio atque expositio digestae formulae.

Si igitur duo prima latera propositae formulae, quae faciunt angulum ab uno ad x et x procedentia, respiciantur et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a iiij angulum incipientes in vicenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicitatis ostenditur ita, ut primus primum sola superet unitate, ut duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut viij quaternarium, et per eandem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant. Si vero tertius angulus aspiciatur, qui ab viiij inchoans longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit ita, ut ista comparatio per x litteram fiat, hique se numeri superabunt secundum paritatis factam naturaliter connexionem. Primus enim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eundem ceteri modum progressionis augescunt. Quam rem nobis scilicet et ipsa naturalis obiecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet. Si quis autem quarti anguli terminum, qui xvj numeri quantitate notatus est et longitudinem latitudinemque in quadragenos determinat, velit superioribus comparare, per x litterae formam proportione conlata, quadrupli multitudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se progressio, ut primus primum tribus superet, ut iiij unitatem, secundus secundum senario vincat, ut viij binarium, tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adiecta quantitate transsiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque ad decuplum dispositissima ordinatione perveniet. Si quis vero in hac descriptione superparticularis species requirat, tali modo repperiet. Si enim secundum angulum notet, cuius est initium quaternarius, eique superiacet binarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesqualtera proportio declarabitur. Nam tertius secundi versus sesqualter est, ut iij ad ij, vel vj ad iiij, vel viiij ad vj vel xij ad viij itemque in ceteris, qui sunt in eadem serie numeri, si talis coniugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo subripiet. Eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque, quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium, uno superat, secundus vero secundum duobus, tertius tertium tribus et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut iiij ad iij et eodem ceteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligetur, ut iiij ad iij vel viij ad vj et xij ad viiij. Videsne ut in omnibus his sesquitertia comparatio conservetur? Praeterea eos, qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterutris comparaveris, omnes sine ullo inpedimento species superparticularis agnosces.

Hoc autem in hac est dispositione divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod post latius explicabitur, quem duo aequales numeri multiplicant, ut in hac quoque descriptione est. Unus enim semel unus est, et est potestate tetragonus. Item bis duo iiij sunt, ter tres viiij, quos in semet ipsos multiplicationes primi ordinis perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt, id est circum angulares, longilateri numeri sunt. Longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplicant. Circum iiij enim ij sunt et vj Sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris; sed unitas a binario unitate praeceditur; vj vero ex duobus et tribus; bis enim tres senarium reddunt. Novenarium vero vj et xij claudunt qui xij ex tribus nascuntur et iiij ter enim iiij fiunt xij, senarius vero ex duobus et tribus, bis enim tres faciunt vj qui omnes uno maioribus lateribus procreati sunt. Nam cum vj ex binario ternarioque nascantur, tres binarium numerum uno superant, cunctique alii eiusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus longilateris altrinsecus positis et bis medio tetragono tetragonus sit; et rursus, quod ex duobus altrinsecus tetragonis et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit; et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli sit prima unitas, alterius vero, qui contra est, tertia, bini vero altrinsecus anguli secundas habeant unitates; et duo angularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub ipsis continetur, illi, quod fit ab uno illorum, qui est altrinsecus, angulorum. Multa etiam sunt alia quae in hac descriptione utilia possint admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus. Nunc vero ad sequentia propositum convertamus.

De tertia inaequalitatis specie, quae dicitur superpartiens deque eius speciebus earumque generationibus.

Igitur post duas primas habitudines multiplices et superparticulares et eas, quae sub ipsis sunt, submultiplices et subsuperparticulares tertia inaequalitatis species invenitur, quae a nobis superius superpartiens dicta est. Haec autem est, quae fit, cum numerus ad alium comparatus habet eum totum intra se et eius insuper aliquas partes, vel duas vel tres vel iiij vel quotquot ipsa tulerit comparatio; quae habitudo incipit a duabus partibus tertiis; nam si duas medietates habuerit, qui illum intra se totum coercet, duplus pro superpartiente componitur. Habebit autem vel duas quintas vel duas septimas vel duas nonas et ita progredientibus, si duas solas partes minoris numeri superhabuerit per easdem partes inparibus numeris minorem maior summa transcendit. Nam si eum habeat totum et duas eius quartas, superparticularis necessario repperitur, nam duae quartae medietas est et fit sesqualtera comparatio; sin vero duas sextas, rursus est superparticularis, duae enim sextae pars tertia est, quodsi in comparatione ponatur, sesquitertiae habitudinis efficiet formam.

Post hos nascuntur comites, qui subsuperpartientes vocantur. Hi autem sunt, qui habentur ab alio numero, et eorum vel duae vel tres vel iiij vel quotlibet aliae partes. Si ergo numerus alium intra se numerum habens eius duas partes habuerit, superbipartiens nominatur, sin vero tres, supertripartiens, quodsi iiij, superquadripartiens, atque ita progredientibus in infinitum fingere nomina licet. Ordo autem eorum naturalis est, quotiens disponuntur a tribus omnes pares atque inpares numeri naturaliter constituti et sub his aptantur alii, qui sunt a quinario numero incipientes omnes inpares. His igitur ita dispositis si primus primo, secundus secundo, tertius tertio et ceteri ceteris comparentur, superpartiens habitudo procreatur. Sit enim dispositio hoc modo:

ij iij j ij iij iiij

ij iiij j iij v vij viiij

Si igitur quinarii numeri ad ternarium comparatio consideretur, erit superpartiens ille, qui vocatur superbipartiens; habet enim quinarius totos in se tres et eorum duas partes id est duo. Si vero ad secundum ordinem speculatio referatur, supertripartiens proportio cognoscetur atque ita in sequentibus per omnes dispositos numeros omnes in infinitum species huius numeri convenientes ordinatasque respicies.

At vero quemadmodum singuli procreentur si in infinitum quis curet agnoscere, hic modus est. Habitudo enim superbipartientis, si utrisque terminis duplicetur, semper superbipartiens proportio procreatur. Si enim quis duplicet v, faciet x, si iij, faciet vj, qui x contra senarium comparati superbipartientem faciunt habitudinem. Et hos ipsos rursus si duplicaveris, idem ordo proportionis adcrescit, idemque si infinitum facias, statum prioris habitudinis non mutabit. Si vero supertripartientes invenire contendas, primos supertripartientes, id est vij et iiij triplicabis et huiusmodi nascentur. Si vero, qui ex his nati fuerint, ternarii multiplicatione produxeris, idem rursus efficient. Quodsi superquadripartientes quemadmodum in infinitum progrediantur, appetas addiscere, primas eorum radices in quadruplum multiplices licet, id est viiij et v et eos, qui illa multiplicatione proferentur, rursus in quadruplum, et eandem fieri proportionem inoffensa nimirum ratione repperies; et ceterae species una semper plus multiplicatione crescentibus radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco numeros in superiore dispositione descriptos, quasi quibus omnis summa supradictae comparationis innititur.

Hoc quoque videndum est, quoniam, cum duae partes ex minore plus in maioribus sunt, tertii semper vocabulum subauditur, ut superbipartiens qui dicitur, quoniam duas minoris numeri tertias partes habet, dicatur superbipartiens tertias; et cum dico supertripartiens, subaudiri necesse sit supertripartiens quartas, quoniam tribus super quartis exuberat; et superquadripartienti subauditur superquadripartiens quintas, et ad eundem modum in ceteris uno semper adiecto super habitas partes subauditio facienda est, ut eorum germana convenientiaque his nomina haec sint: qui dicitur superbipartiens, idem dicatur superbitertius; qui dicitur supertripartiens, is sit supertriquartus, et qui dicitur superquadripartiens, idem dicatur superquadriquintus, eademque similitudine usque in infinitum nomina producantur.

De multiplici superparticulari.

Igitur relatae ad aliquid quantitatis simplices et primae species hae sunt. Duae vero aliae ex his velut ex aliquibus principiis componuntur, ut multiplices superparticulares et multiplices superpartientes, horumque comites submultiplices superparticulares et submultiplices superpartientes. Namque in his ut in praedictis proportionibus minores numeri omnes addita sub praepositione dicuntur, quorum definitio talis reddi potest. Multiplex superparticularis est, quotiens numerus ad numerum comparatus habet eum plus quam semel et eius unam partem, hoc est habet eum aut duplum aut triplum aut quadruplum aut quotienslibet et eius quamlibet aliquam partem vel mediam vel tertiam vel quartam vel, quaecunque alia partium exuberatione contigerit. Hic ergo ex multiplici et superparticulari consistit. Quod enim comparatum numerum plus quam semel habet, multiplicis est, hoc vero, quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Itaque ex utroque nomine ficto vocabulo est speciesque eius ad illarum scilicet fiunt imaginem proportionum, ex quibus ipse numerus originem trahit. Nam prima pars huius vocabuli, quae multiplicis nomine possessa est, multiplicis numeri specierum vocabulo nominanda est, quae vero superparticularis est, eodem vocabulo nuncupabitur, quo superparticularis numeri species vocabantur. Dicetur enim, qui duplicem habuerit alium numerum et eius mediam partem, duplex sesqualter, qui vero tertiam, duplex sesquitertius, qui quartam, duplex sesquiquartus et deinceps. Si vero ter eum totum contineat et eius mediam partem vel tertiam vel quartam, dicetur triplex sesqualter, triplex sesquitertius, triplex sesquiquartus et eodem modo in ceteris; diceturque quadruplus sesqualter, quadruplus sesquitertius, quadruplus sesquiquartus; et quotiens totum numerum in semet ipso continuerit per multiplicis numeri species appellabitur, quam vero partem comparati numeri clauserit, secundum superparticularem comparationem habitudinemque vocabitur.

Horum autem exempla huiusmodi sunt. Duplex sesqualter est, ut v ad duo. Habent enim v binarium numerum bis et eius mediam partem, id est j. Duplex vero sesquitertius est septenarius ad ternarium comparatus. At vero novenarius ad quaternarium duplex sesquiquartus; si vero xj ad v, duplex sesquiquintus; et hi semper nascentur dispositis in ordinem a binario numero omnibus naturaliter paribus inparibusque terminis, si contra eas omnes a quinario numero inpares comparentur, ut primum primo, secundum secundo, tertium tertio caute et diligenter adponas, ut sit dispositio talis:

j ij iij j ij iij iiij j

ij iiij j iij v vij viiij xj xiij

Si vero a duobus paribus omnibus dispositis terminis illi, qui a quinario numero inchoantes quinario numero rursus sese transsiliunt, comparentur, omnes duplices sesqualteros creant, ut est subiecta descriptio,

j iij j iij ij

v x xv xx

Si vero a tribus inchoent dispositiones et tribus sese transsiliant, et ad eos aptentur, qui a septenario inchoantes septenario sese numero transgrediuntur, omnes duplices sesquitertii habita diligenter comparatione nascuntur, ut subiecta descriptio monet.

x ij j iiij ij v viij xj x ij iiij xj xviij lij lviiij

Sin vero omnes in ordinem quadrupli disponantur, hi qui naturalis numeri quadrupli sunt, ut unitatis quadruplus, et duorum triumque et quattuor atque quinarii et ceterorum sese sequentium, et ad eos aptentur a novenario numero inchoantes semper sese novenario praecedentes, tunc duplicis sesquiquartae proportionis forma texetur.

iij iij ij vj x xiiij

iiij viij xvij xxvj lv iiij

Ea vero species huius numeri, quae est triplex sesqualtera, hoc modo procreatur, si disponantur a binario numero omnes in ordinem pares et ad eos a septenario numero inchoantes septenario sese supergredientes solito ad alterutrum comparationis modo aptentur.

j iij j iij

ij iiij xj xiiij

Si autem a ternario numero ingressi cunctos naturalis numeri triplices disponamus et eis a denario numero denario sese supergredientes ordine comparemus, omnes triplices sesquitertii in ea terminorum continuatione provenient.

ij j iiij

x xx

De eorum exemplis in superiori formula inveniendis.

Horum autem eorumque qui sequuntur exempla integre planeque possumus pernotare, si in priorem descriptionem, quam fecimus, cum de superparticulari et multiplici loqueremur, ubi ab uno usque in denariam multiplicationem summa concrevit, diligens velimus acumen intendere. Ad primum enim versum omnes, qui sequuntur, conlati ordinatas convenientesque multiplicis species reddent. Sin vero ad secundum cunctos, qui tertii sunt ordinis, aptaveris, ordinatas species superparticularis agnosces. Quod si tertio ordini, quicunque sunt in quinto versu, compares superpartientis numeri species positas convenienter aspicies. Multiplex vero superparticularis ostenditur, cum ad secundum versum omnes, qui sunt quinti versus serie comparantur, vel qui sunt in septimo, vel qui sunt in nono, atque ita si in infinitum sit ista descriptio, in infinitum huius proportionis species procreabuntur. Manifestum autem hoc etiam est, quod horum comites semper cum sub praepositione dicentur, ut est subduplex sesqualter, subduplex sesquitertius, subduplex sesquiquartus et ceteri quidem ad hunc modum.

De multiplici superpartiente.

Multiplex vero superpartiens est, quotiens numerus ad numerum comparatus habet in se alium numerum totum plus quam semel et eius vel duas vel tres vel quotlibet plures particulas secundum numeri superpartientis figuram. In hoc quoque propter causam superius dictam non erunt duae medietates neque duae quartae neque duae sextae, sed duae tertiae vel duae quintae vel duae septimae ad priorum similem consequentiam. Non est autem difficile secundum priorum exempla positorum hos quoque et praeter nostra exempla numeros invenire. Vocabunturque hi secundum proprias partes duplex superbipartiens, vel duplex supertripartiens, vel duplex superquadripartiens, et rursus triplex superbipartiens et triplex supertripartiens et triplex superquadripartiens et similiter, ut, viij ad iij comparati faciunt duplicem superbipartientem, et xvj ad vj et omnes, quicunque ab viij incipientes octonario sese numero transgrediuntur, comparati ad eos, qui a tribus inchoantes ternaria sese quantitate praetereunt. Nec erit difficile alias eius partes secundum praedictum modum diligentibus repperire. Hic quoque illud meminisse debemus, quod minores et comitesnon sine sub praepositione nominantur, ut sit subduplex superbipartiens, subduplex supertripartiens.

Demonstratio quemadmodum omnis inaequalitas ab aequalitate processerit.

Restat autem nobis profundissimam quandam tradere disciplinam, quae ad omnem naturae vim rerumque integritatem maxima ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat, quod bonitas definita et sub scientiam cadens animoque semper imitabilis et perceptibilis prima natura est et suae substantiae decore perpetua, infinitum vero malitiae dedecus est, nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans a boni definitione principii tamquam aliquo signo optimae figurae inpressa componitur et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem quasi quidam rector animus pura intellegentia roboratus adstringit, et has quodammodo inaequalitatis formas temperata bonitate constituit. Hoc autem erit perspicuum, si intellegamus, omnes inaequalitatis species ab aequalitatis crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequalitas matris et radicis obtinens vim ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque profundat. Sint enim nobis tres aequales termini, id est tres unitates, vel ter bini vel ter terni vel ter quaterni vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in unis tribus terminus evenit, idem contingit in ceteris. Ex his igitur secundum praecepti nostri ordinem videas primum nasci multiplices et in his duplices prius, dehinc triplos, inde quadruplos et ad eundem ordinem consequentes. Rursus multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur, et ex duplicibus quidem sesqualteri ex triplis sesquitertii, ex quadruplis sesquiquarti et ceteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesqualtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat et ex sesquiquarto superquadripartiens procreetur. Rectis autem positis neque conversis prioribus superparticularibus multiplices superparticulares oriuntur; rectis vero superpartientibus multiplices superpartientes efficiuntur. Praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundum vero primo et secundo, tertium primo, secundis duobus et tertio. Hoc igitur cum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur, duplices erunt, de quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur et de his quadruplices atque in infinitum omnes formas numeri multiplicis explicabit. Iaceant igitur tres termini aequales.

jjj

Ponatur itaque primo primus aequalis, id est unus, secundus vero primo et secundo, id est ij, tertius vero primo, duobus secundis et tertio par sit, id est uni et duobus unis et uni, quod sunt iiij ut est descriptio.

j iij

Videsne ut duplici proportione sequens ordo texatur? Fac rursus idem de duplicibus, ut sit primus primo aequalis, id est uni, secundus primo et secundo, id est uni et duobus, qui sunt tres, tertius primo, id est uni, duobus secundis, id est iiij, et tertio, id est iiij, qui simul viiij fiunt, et venit haec formula.

j iij

ij iiij

Rursus si triplicibus idem feceris, continuus quadruplus procreabitur. Sit enim primus primo aequus, id est unus, sit secundus primo et secundo aequalis, id est iiij, sit tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est xvj.

j iij

ij iiij

iij vj

Et in ceteris quidem ad hanc formam tribus his praeceptis utemur. Si vero qui ex aequalibus nati sunt multiplices, eos disponamus et secundum haec praecepta vertamus, ita ut converso sint ordine, sesqualter ex duplici procreabitur, sesquitertius ex triplici, sesquiquartus ex quadruplo. Sint enim iij duplices termini, qui ex aequalibus creati sunt, et qui ultimus est, primus ponatur hoc modo:

iiij ij j

Et constituatur primo in hoc ordine primus par, id est iiij, secundus vero primo et secundo par, id est vj, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est viiij.

iij j

iij j iiij

Ecce tibi illa sesqualtera quantitas ex termino duplicitatis exoritur. Videamus nunc ad eundem modum, ex triplici qui nascatur. Disponantur enim triplices superiores

viiij iij j

Converso scilicet ordine, sicut duplex, hic est quoque ordo dispositus. Ponatur ergo primus primo aequus, id est viiij, secundus primo et secundo, id est xij, tertius primo, duobus secundis et tertio aequus, id est xvj.

iiij ij

iiij ij vj

Rursus secunda species superparticularis numeri, id est sesquitertius procreatus est. Quod si idem de quadruplo quis facere velit, sesquiquartus continuo nascetur, ut subiecta monstrat descriptio.

vj iij

vj x xv

Ac si quis idem de cunctis in infinitum partibus multiplicitatis faciat, convenienter ordinem superparticularitatis inveniet. Quod si conversos superparticulares aliquis secundum haec praecepta convertat, continuo videat superpartientes adcrescere et ex sesqualtero quidem superbipartiens, ex sesquitertio supertripartiens procreatur et ceteri secundum communes denominationis species sine ulla ordinis interpolatione nascentur. Disponantur igitur sic:

viiij vj iiij

Superioris igitur descriptionis primo primus aequus numerus adscribatur, id est viiij secundus vero primo et secundo, id est xv, tertius vero primo, duobus secundis et tertio, id est xxv.

iiij j iij

iiij v xv

Si vero sesquitertium eodem modo vertamus, ordo supertripartiens invenitur. Sit enim prima positio sesquitertii

xvj xij xiiij

Ponatur secundum priorem modum primo primus par, id est xvj, secundus primo et secundo, id est xxviiij, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est xlviiij. Omnis ergo summa disposita supertripartientes efficiet.

v vj ij iiij x vj xviij lviiij

Rursus si sesquiquartum eodem modo verteris, superquadripartiens statim quantitas procreabitur, ut est ea forma, quam subpositam vides.

xv x vj

xv lv xxxj

Restat, quemadmodum ex superparticularibus et superpartientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes nascantur ostendere, quorum binas tantum faciam descriptiones. Namque si rectum et non conversum sesqualterum ponimus, duplex superparticularis excrescit. Sit enim hoc modo:

iiij vj viiij

Ponatur secundum superiorem modum primo primus aequalis, id est iiij, secundus primo et secundo, id est x, tertius primo, duobus secundis et tertio aequalis, id est xxv.

iij j iiij

iij xv

Atque haec quidem duplex sesqualtera summa producta est; si vero sesquitertium non conversum ponamus duplex sesquitertius invenitur, ut subiecta descriptio docet:

x iiij ij vj x iiij xj lviiij

At vero si ad superpartientes animum convertamus eosque ordinatim secundum superiora praecepta disponamus, multiplices superpartientes ordinatim progenitos repperiemus. Disponatur enim superpartientis haec formula:

viiij xv xxv

Adscribatur ergo primus primo aequus, id est viiij, secundus primo et secundo, id est xxiiij, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est lxiiij.

x iiij v xv l iiij xiiij xviiij

Videsne, ut ex superbipartiente duplus superbipartiens exortus sit? At vero si supertripartientem ponam, duplex sine dubio supertripartiens invenitur, ut in subiecta descriptione perspicuum est.

x vj xviij lviiij c vj liiij xxj

Sic ergo de superparticularibus vel de superpartientibus multiplices superparticulares vel multiplices superpartientes oriuntur. Quare constat, omnium inaequalitatum aequalitatem esse principium. Ex eadem enim inaequalia cuncta nascuntur. Ac de his quidem hactenus disserendum esse credidimus, ne vel infinita sectemur, vel circa res obscurissimas ingredientium animos detinentes ab utilioribus moraremur.

Liber primus explicit.

Liber Secundus

Quemadmodum ad aequalitatem omnis inaequalitas reducatur

Superioris libri disputatione digestum est, quemadmodum tota inaequalitatis substantia a principe sui generis aequalitate processerit. Sed quae rerum elementa sunt, ex hisdem principaliter omnia componuntur, et in eadem rursus resolutione facta solvuntur; ut, quoniam articularis vocis elementa sunt litterae, ab eis est syllabarum progressa coniunctio et in easdem rursus terminatur extremas; eandemque vim obtinet sonus in musicis. Iam vero mundum corpora quattuor non ignoramus efficere; namque ut ait: Ex imbri, terra atque anima gignuntur et igni. Sed in haec rursus eius quattuor elementa fit postrema solutio. Ita igitur, quoniam ex aequalitatis margine cunctas inaequalitatis species proficisci videmus, omnis a nobis inaequalitas ad aequalitatem velut ad quoddam elementum proprii generis resolvatur. Hoc autem trina rursus imperatione colligitur, eaque resolvendi ars datis quibuslibet tribus terminis inaequalibus quidem sed proportionaliter constitutis, id est ut eandem medius ad primum vim proportionis obtineat, quam qui est extremus, ad medium, in qualibet inaequalitatis ratione vel in multiplicibus, vel in superparticularibus, vel in superpartientibus, vel in his, qui ex his procreantur multiplicibus superparticularibus, vel multiplicibus superpartientibus, eadem atque una ratione indubitata constabit. Propositis enim tribus, ut dictum est, terminis aequis proportionibus ordinatis ultimum semper medio detrahamus et ipsum quidem ultimum primum terminum conlocemus, quod de medio relinquitur, secundum. De tertia vero propositorum terminorum summa auferemus unum primum et duos secundos, eos, qui de medietate relicti sunt, et id quod ex tertia summa relinquitur, tertium terminum constituemus. Videbis igitur hoc facto in minorem modum summas reverti et ad principaliorem habitudinem comparationes proportionesque reduci, ut si sit quadrupla proportio, primo ad triplam, inde ad duplam, inde ad aequalitatem usque remeare; et si sit superparticularis sesquiquartus, primo ad sesquitertium, inde ad sesqualterum, postremo ad tres aequales terminos redire. Hoc autem nos exempli gratia in multiplici tantum proportione docebimus, sollertem vero in aliis quoque inaequalitatis speciebus id experientem eadem ratio praeceptorum iuvabit. Constituantur enim tres a se termini quadrupli.

viij xxxij cxxviij

Aufer igitur ex medio minorem, id est ex triginta duobus octonarium, relinquuntur xxiiij et primum octonarium terminum pone, secundum vero, quod relictum fuerit ex medio, id est xxiiij, ut sint hi duo termini viij et xxiiij. De tertio vero, id est cxxviij, aufer unum primum id est viij et duos secundos, qui sunt reliqui, id est bis xxiiij et relinquuntur lxxij. His dispositis terminis ex quadrupla propinquior aequitati proportio tripla redacta est. Sunt enim hi termini: viij xxiiij lxxij. Ex his autem ipsis idem si feceris, ad duplam rursus comparatio remeabit. Pone enim primum minori aequum, id est viij, et ex secundo aufer primum, xvj relinquentur; sed ex tertio, id est ex lxxij, aufer primum, id est viij et duos secundos, id est bis xvj, et erit reliqua pars xxxij, quibus positis ad duplas proportiones habitudo redigitur: viij xvj xxxij. Idem vero ex his si fiat rem omnem ad aequitatis summas eliquabimus. Pone enim primum minori aequum, id est viij; et aufer ex xvj octonarium, remanent viij, quibus positis ex tertio, id est xxxij, sumptis primo, id est viij et duobus secundis, id est octonariis, supersunt viij; quibus dispositis prima nobis aequitas cadit, ut subiectae summulae docent

viij viij viij

Hinc igitur si quis ad alias inaequalitatis species animum tendat, eandem convenientiam intitubanter inveniet. Quare pronuntiandum est, nec ulla trepidatione dubitandum, quod quemadmodum per se constantis quantitatis unitas principium et elementum est, ita et ad aliquid relatae quantitatis aequalitas mater est. Demonstravimus enim, quod hinc et eius procreatio prima foret et in eam rursus postrema solutio.

De inveniendo in unoquoque numero quot numeros eiusdem proportionis possit praecedere eorumque descriptio descriptionisque expositio.

Est autem quaedam in hac re profunda et miranda speculatio et ut ait Nicomachus enmusotaton theorema proficiens et ad Platonicam in Timaeo animae generationem et ad intervalla armonicae disciplinae. Ibi enim iubemur producere atque extendere tres vel quattuor sesqualteros vel quotlibet sesquitertias proportiones et sesquiquartas comparationes easque secundum propositum ordinem saepe continuas iubemur extendere. Ne autem hoc labore quodam, semper quidem maximo, frequentius inferaci fiat, hac nobis ratione in quot numeris quanti possint esse superparticulares vestigandum est.

Omnes enim multiplices tantarum similium sibimet proportionum principes erunt, quoto ipsi loco ab unitate discesserint. Quod autem dico sibimet similium, tale est, ut dupli semper multiplicitas, ut superius destinatum est, sesqualteros creet et dux sit triplex sesquitertiorum, quadruplus sesquiquartis. Primus ergo duplex unum solum habebit sesqualterum, secundus duo, tertius tres, quartus quattuor et secundum hunc ordinem eadem fit in infinitum progressio, neque unquam fieri potest, ut vel superet proportionum numerum vel ab eo sit deminutior aequabilis ab unitate locatio. Primus ergo duplex est binarius numerus, qui unum solum sesqualterum recipit, id est ternarium, binarius enim contra ternarium comparatus sesqualteram efficit proportionem. Ternarius vero quoniam medietatem non recipit, non est alter numerus, ad quem in ratione sesqualtera comparetur. Quaternarius vero numerus secundus duplus est. Hic ergo duos sesqualteros praecedit. Est enim ad ipsum quidem comparatus senarius numerus, ad senarium vero, quoniam medietatem habet, novenarius, et sunt duo sesqualteri, ad iiij scilicet vj, ad vj vero viiij; novenarius vero, quoniam medietate caret, ab hac comparatione seclusus est. Tertius vero duplex est viij. Hic ergo tres sesqualteros antecedit. Comparatur enim ad ipsum duodenarius numerus, ad duodenarium xviij, ad xviij rursus xxvij. At vero xxvij medio carent. Idem quoque in sequentibus evenire necesseest, quod nos cum propria ordinatione subdidimus. Semper enim hoc divina quadam nec humana constitutione speculationibus occurrit, ut quotienscunque ultimus numerus invenitur, qui loco duplicis ab unitate sit par, talis sit, ut in medietates dividi secarique non possit.

x j iij iij vj xxij x ij j ij xiiij lviij l iiij viij xxvj xxij c xvij iiij viij c xxxj lxij c cxliij

Idem contingit etiam in triplicibus. Ex illis enim sesquitertii procreantur. Nam quoniam primus triplex est ternarius numerus, habet unum sesquitertium, id est iiij, cuius quaternarii tertia pars non potest inveniri. Atque ideo hic epitrito caret. Secundus vero, qui est viiij, habet ad se duodenarium numerum sesquitertium, duodenarius autem, quoniam habet tertiam partem, in sesquitertia proportione comparatur ad eum numerus xvj, qui tertiae partis sectione solutus est xxvij autem, quoniam tertius est triplex, habet ad se sesquitertium xxxvj et hic rursus ad xlviij eadem proportione comparatur. Cui si lxiiij appositi fuerint, eandem rursus vim proportionis explebunt, quos lxiiij ad nullum sesquitertium rursus aptabis, quoniam parte tertia non tenentur. Atque hoc in cunctis triplicibus invenitur, ut extremus eiusdem proportionis numerus tantos ante se praecedentes habeat, quanto primus eorum ab unitate discesserit et qui tot super se eiusdem proportionis habuerit numeros, quotus ab unitate primus eorum iacet. Eius pars, qua illi comparatus numerus possit eandem facere proportionem, inveniri nequeat. Et triplicis quidem haec est descriptio.

ccx  ij iiij xvij xxxj liij ccc iij ij xxvj viij xxiiij ccc vj lviij xliiij cxxxij dlx xiiij xciij xvj dcc clvj lxviij mx xiiij

At quadrupli secundum hanc formam descriptio est, ad quam scilicet, qui a prioribus instructus accesserit, nulla ratione trepidabit. Et de ceteris quidem multiplicibus eandem convenientiam pernotabis.

c mxx iij vj xiiij clvj iiij c mcc x xxx ccxx lxxx c mdc xv ccc

d mm xxv d mm cxxv d mm mcxxv

Hinc quoque perspicuum est superparticularium, quemadmodum prius ostensum est, primos esse multiplices, si quidem duplices sesqualteros, triplices sesquitertios et cuncti multiplices cunctos in ordinem superparticulares creant. Est etiam in his quoque mirabile. Namque ubi prima latitudo fuerit duplex, et sub eisdem qui sunt versus continui alternatim positi secundum seriem latitudinis duplices erunt. Si vero fuerint triplices et inferiores ordines tripla se in suis terminis multiplicatione superabunt; at in quadrupla quadrupli atque hoc in infinita ductum speculatione non fallit. Angulares autem omnium multiplices evenire necesse est. Erunt autem duplicium quidem triplices, triplicium quadruplices, quadruplorum vero quincupli et secundum eandem ordinis incommutabilem rationem sibimet cuncta consentient. Quibus expositis ad sequentem operis seriem conpetens disputatio convertatur.

Quod multiplex intervallum ex quibus superparticularibus medietate posita intervallis fiat eiusque inveniendi regula.

Si igitur duae primae superparticularis species coniungantur, prima species multiplicationis exoritur. Omnis enim duplex ex sesqualtero sesquitertioque componitur et omnis sesqualter et sesquitertius duplicem iungunt. Nam ternarius sesqualter est duorum, quattuor vero sesquitertius ternarii, sed iiij duplus duorum.

Sic igitur sesqualter et sesquitertius unum duplicem componunt. At vero si fuerint medietas et duplus, inter duplicem et medium potest una medietas talis inveniri, quae ad alteram extremitatem sesqualtera sit, ad alteram sesquitertia. Altrinsecus enim positis senario et ternario, id est duplici et medietate, si quaternarius in medio conlocetur, ad ternarium numerum sesquitertiam continet rationem, ad senarium vero sesqualteram.

Recte igitur dictum est, et duplicem a sesqualtero sesquitertioque coniungi et has duas superparticularis species duplicem procreare, id est primam speciem multiplicis quantitatis. Rursus ex prima multiplicis specie id est ex duplici et prima superparticularis id est sesqualtera, continens multiplicis species id est tripla coniungitur. Namque xij senarii numeri duplus est, x vero et viij ad duodenarium sesqualter, qui ad senarium numerum triplus est.

Et si positis eisdem vj et xviij novenarius numerus in medietate ponatur, erit ad senarium sesqualter, qui ad xviij duplus est, et ad senarium xviij triplus est.

Ex duplici igitur et sesqualtero triplex ratio proportionis exoritur, et in eas rursus resolutione facta revocatur. Si autem hic, id est triplus numerus, qui est species secunda multiplicis, secundae speciei superparticularis aptetur, quadrupli continuo forma contexitur. Et in easdem rursus partes naturali partitione solvetur secundum modum, quem superius demonstravimus. Si vero quadruplus sese ac sesquiquartus adglomerent, quincuplus continuo fiet, et si quincuplus cum sesquiquinto, mox sescupli proportio coniugabitur, atque ita secundum hanc progressionem cunctae multiplicitatis species sine ulla rati ordinis permutatione nascentur, ita ut duplus cum sesqualtero triplicem creet, triplus cum sesquitertio quadruplum, quadruplus eum sesquiquarto quincuplum et eodem modo, ut nullus hanc continuationem finis inpediat.

De per se constante quantitate, quae in figuris geometricis consideratur; in quo communis ratio omnium magnitudinum.

Haec quidem de quantitate, quam secundum ad aliquid speculamur, ad praesens dicta sufficiant. Nunc autem in hac sequentia quaedam de ea quantitate, quae per se ipsam constat, neque ad aliquid refertur, expediam, quae nobis ad ea prodesse possint, quae post haec rursus de relata ad aliquid quantitate tractabimus. Amat enim quodammodo matheseos speculatio alterna probationum ratione constitui. Nunc autem nobis de his numeris sermo futurus est, qui circa figuras geometricas et earum spatia demensionesque versantur, id est de linearibus numeris et de triangularibus vel quadratis ceterisque, quos sola pandit plana demensio, nec non de inaequali laterum compositione coniunctis; de solidis etiam, id est cybis et sphericis vel pyramidis, laterculis etiam vel tignulis et cuneis, quae omnia quidem geometricae propriae considerationis sunt, sed sicut ipsa geometriae scientia ab arithmetica velut quadam radice ac matre producta est, ita etiam eius figurarum semina in primis numeris invenimus, planum siquidem fecimus, quod omnes disciplinas haec interempta consumeret, quas minime constituta firmaret. Hoc autem cognoscendum est, quod haec signa numerorum, quae posita sunt, quae nunc quoque homines in summarum designatione describunt, non naturali institutione formata sunt. Ut enim quinarii subiectam notulam fingant de v, vel denarii, quam descripsimus, id est de x, et alias huiusmodi non natura posuit, sed usus adfinxit. Quinque enim unos,vel decem vel quotlibet alios illis notulis pro conpendio notare voluerunt, ne, quot unitates quis monstrare vellet, totiens ei virgulae ducerentur. Nos autem, quotienscunque aliquid monstrare volumus, in his praesertim formulis, ordinatarum virgularum multitudinem non gravamur apponere. Cum enim quinque volumus demonstrare, facimus quinque virgulas ducimusque eas hoc modo iiij et cum septem, totidem, et cum decem, nihilo minus, quia naturalius est quemlibet numerum, quantas in se retinet, tot unitatibus adsignare quam notulis. Est igitur unitas vicem obtinens puncti, intervalli longitudinisque principium; ipsa vero nec intervalli nec longitudinis capax, quemadmodum punctum principium quidem lineae est atque intervalli, ipsum vero nec intervallum nec linea. Neque enim punctum puncto superpositum ullum efficit intervallum, velut si nihil nulli iungas. Nihil enim est, quod ex nullorum procreatione nascatur. Eadem quippe etiam circa aequalitates proportio manet. Nam si quotlibet fuerint termini pares, tantum quidem est a primo ad secundum, quantum a secundo ad tertium, sed inter primum et secundum vel secundum et tertium nulla est intervalli longitudo vel spatium. Si enim tres senarios ponas, hoc modo: vj vj vj quemadmodum primus est ad secundum, sic est secundus ad tertium, sed inter primum et secundum nihil interest. VI enim et vj nulla spatii intervalla disiungunt. Ita etiam unitas in se ipsa multiplicata nihil procreat. Semel enim unum nihil aliud ex se gignit, quam ipsa est. Nam quod intervallo caret, etiam vim gignendi intervalla non recipit, quod in aliis numeris non videtur evenire. Omnis enim numerus in se ipsum multiplicatus alium quendam efficit maiorem, quam ipse est, idcirco, quoniam intervalla multiplicata maiore sese spatii prolixitate distendunt. Id vero, quod sine intervallo est, plus quam ipsa est pariendi non habet potestatem. Ex hoc igitur principio, id est ex unitate, prima omnium longitudo succrescit, quae a binarii numeri principio in cunctos sese numeros explicat, quoniam primum intervallum linea est. Duo vero intervalla sunt longitudo et latitudo, id est linea et superficies. Tria vero intervalla sunt: longitudo, latitudo, altitudo, id est linea, superficies atque soliditas. Praeter haec autem

alia intervalla inveniri non possunt. Aut enim unum intervallum erit, quod longitudo est, aut aliquid duobus intervallis expositum est, ut si qua res longitudinem habeat et latitudinem, vel trina intervalli demensione porrigitur, si longitudine altitudine latitudineque censetur; supra quae adeo nihil inveniri potest, ut ipsorum vj motuum formae ad intervallorum naturas et numerum componantur. Unum enim intervallum duos in se continet motus, ut in tribus intervallis sex sese motuum summa conficiat hoc modo: Est enim in longitudine ante et retro, in latitudine sinistra et dextera, in altitudine sursum ac deorsum. Necesse est autem, ut quicquid fuerit solidum corpus, hoc habeat longitudinem latitudinemque et altitudinem, et quicquid haec tria in se continet, illud suo nomine solidum vocetur. Haec enim tria circa omne corpus inseparabili coniunctione versantur, et in natura corporum constituta sunt. Quare quicquid uno intervallo caret, illud corpus solidum non est. Nam quod duo sola intervalla retinet, illud superficies appellatur. Omnis enim superficies sola longitudine et latitudine continetur. Et hic eadem illa conversio remanet. Omne enim quod superficies est, longitudinem et latitudinem retinet, et quod haec retinet, illud est superficies. Haec autem superficies uno tantum intervallo solidi corporis demensione superatur, quae uno rursus intervallo lineam vincit, quae longitudinis naturam retinens latitudinis expers est; quae linea, quod unius est intervalli sortita naturam, a superficie uno intervallo, a soliditate duobus spatiis vincitur. Punctum igitur alio rursus intervallo a linea vincitur, ipsa scilicet, quae reliqua est, longitudine. Quare si punctum uno quidem intervallo a linea supergreditur, idem a superficie vincitur duobus, tribus vero intervalli demensionibus a soliditate relinquitur, constat punctum ipsum sine ulla corporis magnitudine vel intervalli demensione, cum et longitudinis et latitudinis et profunditatis expers sit, omnium intervallorum esse principium et natura insecabile, quod Graeci atomon vocant, id est ita deminutum atque parvissimum, ut eius pars inveniri non possit. Est igitur punctum primi intervalli principium, non tamen intervallum, et lineae caput, sed nondum linea, sicut linea quoque superficieiprincipium est, sed ipsa superficies non est, et secundi intervalli caput est, secundum tamen intervallum ipsa non retinet. Idem quoque et in superficiei rationem cadit, quae et ipsa solidi corporis et triplicis intervalli naturale sortitur initium, ipsa vero nec trina intervalli demensione distenditur, nec ulla crassitudine solidatur.

De numero lineari

Sic etiam in numero unitas quidem, cum ipsa linearis numerus non sit, in longitudinem tamen distenti numeri principium est, et linearis numerus, cum ipse totius latitudinis expers sit, in aliud tamen spatium latitudinis extenti numeri sortitur initium. Superficies quoque numerorum, cum ipsa solidum corpus non sit, additi tamen latitudini solidi corporis caput est. Hoc autem planius his exemplis liquebit. Linearis numerus est a duobus inchoans adiecta semper unitate in unum eundemque ductum quantitatis explicata congeries, ut est id, quod subiecimus.

ij iij iiij iiiij iiiiij iiiiiij iiiiiiij iiiiiiij iiiiiiiiij

De planis rectilineis figuris, quodque earum triangulum principium sit

Figurae de quattor modi ut polygona varas in triangulis resolviatur

Plana vero superficies in numeris invenitur, quotiens a tribus inchoatione facta addita descriptionis latitudine insequentium se naturalium numerorum multitudine anguli dilatantur, ut sit primus triangulus numerus, secundus quadratus, tertius qui sub quinque angulis continetur, quem pentagonum Graeci nominant, quartus exagonus, id est qui sex angulis includitur et ceteri eodem modo singillatim per naturalem numerum angulos augeant in plana scilicet descriptione figurarum. Hi vero idcirco a ternario numero inchoant, quod latitudinis et superficiei solus ternarius principium est. In geometria quoque idem planius invenitur. Duae enim lineae rectae spatium non continent. Et omnis triangularis figura vel tetragoni vel pentagoni vel exagoni vel cuiuslibet, qui pluribus angulis continetur, si a medietate per singulos angulos lineae producantur, tot eum dividunt trianguli, quot ipsam figuram angulos habere contigerit. Quadratum enim ita ductae lineae in quattuor, pentagonum in quinque triangulos, exagonum in sex et ceteros in suorum angulorum modo mensuraque per triangulos partiuntur, ut est subiecta descriptio: quadratus in quattuor triangulos divisus, pentagonus in v triangulos divisus, exagonus in sex triangulos divisus. At vero triangula figura, cum eam quis ita diviserit, in alias figuras non resolvitur, nisi in se ipsam. In tria enim triangula dissipatur. Triangulus in tres triangulos divisus. Adeo haec figura princeps est latitudinis, ut ceterae omnes superficies in hanc resolvantur, ipsa vero, quoniam nullis est principiis obnoxia neque ab alia latitudine sumpsit initium, in sese ipsam solvatur. Idem autem et in numeris fieri, sequens operis ordo monstrabit.

Dispositio triangulorum numerorum

Dispositio triangulorum numerorum

Est igitur primus triangulus numerus, qui in solis tribus unitatibus dissipatur secundum superficiei positionem, triangula scilicet descriptione, et post hunc quicunque aequalitatem laterum in trina laterum spatia segregant.

De lateribus triangulorum numerorum.

Ad hunc modum infinita progressio est, omnesque ex ordine trianguli aequilateri procreabuntur, primum omnium ponenti quod ex unitate nascitur ut haec vi sua triangulus sit, non tamen etiam opere atque actu. Nam si cunctorum mater est numerorum, quicquid in his, quae ab ea nascuntur, numeris invenitur, necesse est ut ipsa naturali quadam potestate contineat. Et huius trianguli latus est unitas. Ternarius vero, qui primus est opere et actu ipso triangulus, crescente unitate binarium numerum latus habebit. Vi enim et potestate primi trianguli, id est unitatis, unitas latus est, actu vero et opere trianguli primi, id est ternarii, dualitas, quam Graeci dyada vocant. Secundi vero trianguli, qui opere atque actu secundus est, id est senarii, crescente naturali numero in lateribus ternarius invenitur; tertii vero, id est denarii, quaternarius latus continet; quarti vero, id est xv, quinarius latus tenet, et quinti senarius idemque est usque in infinitum.

De generatione triangulorum numerorum

Nascuntur autem trianguli disposita naturali quantitate numerorum, si prioribus semper multitudo sequentium congregetur. Disponatur enim naturalis numerus hoc modo:

j ij iij iiij v vj vij viij viiij

Ex his igitur si primum sumam, id est unitatem, habeo primum triangulum, qui est vi et potestate, nondum etiam actu nec opere. Huic si secundum adgregavero, qui in naturali numerorum dispositione descriptus est, id est binarium, primus mihi triangulus opere et actu nascitur, id est ternarius. Si vero huic tertium ex naturali numero adiecero, secundus mihi opere et actu triangulus procreatur. Super unum enim et duo si tertium, id est ternarium adgregavero, senarius extenditur, secundus scilicet triangulus. Huic vero si consequentem quaternarium superposuero, denarius explicatur, qui est tertius actu triangulus, quos per latera disponens ad superioris descriptionis exemplar cunctos triangulos numeros sine ullius dubitationis erroribus pernotabis. Et quantas ultimus numerus in se unitates habet, quem superioribus adgregabis, tot ipse, qui fit triangulus, unitates habebit in latere. Nam ternarium, qui est primus actu triangulus, adiecto binario unitati feceramus; et hic duos habet in latere. Et senarium his adiecta ternarii quantitate produximus, cuius latus soli tres continent; et idem in aliis cunctis, quot unitates habentem numerum superioribus adgregabis, tot unitatibus eius latera continebuntur.

De quadratis numeris

Quadratus vero numerus est, qui etiam ipse quidem latitudinem pandit, sed non tribus angulis ut superior forma, sed quattuor ipse quoque aequali laterum demensione porrigitur.Sunt autem huius modi:

Numeri quadrati

De eorum lateribus

Sed in his quoque secundum naturalem numerum laterum augmenta succrescunt. Primus enim vi et potentia quadratus, id est unitas, unum habet in latere; secundus vero, qui actu primus est, id est quattuor, duobus per latera positis continetur; tertius vero, id est viiij, qui secundus est opere, tribus in latere positis adgregatur. Et ad eandem sequentiam cuncti procedunt.

De quadratorum numerorum generatione rursusque de eorum lateribus

Nascuntur autem tales numeri ex naturalis numeri dispositione, non quemadmodum superiores trianguli, ut ordinatis ad se invicem numeris congregentur, sed uno semper intermisso, qui sequitur, si cum superiore vel superioribus colligatur, ordinatos ex se quadratos efficient. Disponatur enim numerus naturalis hoc modo:

j ij iij iiij v vj vij viij viiij x xj

Ex his igitur si unum respiciam, primus mihi natus est potestate quadratus. Quod si uno relicto priori tertium iunxero secundus mihi quadratus efficitur. Nam si uni relicto binario ternarium adposuero, quaternarius mihi quadratus exoritur. Quod si rursus relicto medio quaternario quinarium similiter adgregavero, quadratus mihi tertius, id est novenarius, procreatur. Unus enim et iij et v viiij colligunt. At vero si his intermisso senario septenarium iungam tota in sedecim summa concrescit, id est quarti quadrati numerositas. Et ut breviter huius forma procreationis appareat, si cuncti inpares sibimet adponantur conlocato scilicet naturali numero, quadratorum ordo texetur. Est etiam in his haec naturae subtilitas et inmutabilis ordinatio, quod tot unitates unusquisque quadratorum retinebit in latere, quanti fuerint numeri ad coniunctionem propriam congregati. Nam in primo quadrato, quoniam ex uno fit, unus est in latere, in secundo, id est quaternario, quoniam ex uno et tribus procreatur, qui duo sunt termini, binario latus texitur. Et in novenario, quoniam tribus numeris procreatur, latus ternario continetur, atque idem in aliis videre licet.

De pentagonis eorumque lateribus

Numeri pentagones

Pentagonus vero numerus est, qui ipse quidem in latitudinem secundum unitatem descriptis quinque angulis continetur. Cunctis scilicet lateribus aequali demensione dispositis. Sunt autem hi j v xij xxij xxxv lj lxx. Eodem quoque modo eorum latera succrescunt. Nam primi potestate pentagoni, id est unius, idem unus spatium lateris tenet, secundi vero quinarii, qui est actu ipso atque opere primus pentagonus, bini per latera fixi sunt; tertius vero, id est xij, tribus in latus auctus est; quartus xxij quattuor numerorum in latere quantitate distenditur; atque idem in ceteris secundum unitatis progressionem. In naturali scilicet numero secundum superiorum figurarum incrementa tenduntur.

De generatione pentagonorum.

Nascuntur autem hi numeri, qui extensi in latitudinem v angulos pandunt, ab eadem naturalis numeri quantitate in se coacervata, ita ut duobus semper interiectis numeris superiori vel superioribus vincens ternario eum, cui iungendus est, adgregetur. Namque unitati intermissis duobus et tribus si iiij iungas, qui tribus ipsam superant unitatem, quinarius pentagonus procreabitur. Post iiij vero si intermisso quinario et senario septem adgreges, duodenarium pentagonum procreabis. Namque unus et iiij et vij numeri xij explebunt. Hoc etiam in aliis fiet. Nam si x vel xiij vel xvj vel xviiij vel xxij vel xxv superioribus cunctis adiunxeris, eodem quo superius modo pentagoni fient, secundum superiorem descriptionem: xxij xxxv lj lxx xcij cxvij.

De exagonis eorumque generationibus.

Exagoni autem, qui sex angulis, et eptagoni, qui vij rursus lateribus continentur, secundum hunc modum eorum laterum augmenta succrescunt. Namque in trianguli numeri natura procreationeque ipsos numeros iungebamus qui sese in naturali dispositione sequerentur et se tantum unitate transirent. Quadrati vero numeri, id est tetragoni, procreatio fiebat ex numeris, qui uno intermisso copulabantur, cum se binario superarent. Pentagoni vero natura fuit ex duobus interpositis relictisque, qui se ternario vincerent. Secundum talia quoque augmenta exagonorum vel eptagonorum vel octogonorum vel novem laterum figura vel x quotlibet aliorum conpetenti progressione conficitur. Ut enim in pentagono duobus intermissis eos iungebamus, qui se ternario superarent, nunc in exagono tribus intermissis eos iungemus, qui se quaternario transeant, et erunt quidem eorum radices et fundamenta, ex quibus iunctis omnes exagoni nascuntur: j v viiij xiij xvij xxj et ad eundem ordinem consequentes. Atque ab his sex angulorum formae nascuntur: j vj xv xxviij xlv lxvj quos ad superiorem modum scilicet descriptos in propriis ordinibus pernotabis.

De eptagonis eorumque generationibus et communis omnium figurarum inveniendae generationis regula descriptionesque figurarum

Numeri trianguli, quadrati, pentagoni, eptagonique.

Septem vero angulorum figura est, cum ad eundem ordinem progressionis uno plus quam in sexangulorum figura numero intermisso superiori coniunxeris. Nam si quattuor interpositis, qui se quinario vincant, adgregaveris, eptagoni continuo figura nascetur, ut hi numeri sint eorum radices et, ut superius dictum est, fundamenta: j vj xj xvj xxj. Qui vero ex his constant, hi sunt: j vij xviij xxxiiij lv. Novem vero angulorum secundum eundem ordinem forma procreatur ita, ut secundum aequalem progressionem primi quoque eorum numeri distent. Nam in triangulo qui sunt numeri, quae prima superficiei figura est, uno sese tantum numeri praecedunt, qui scilicet, eorum naturam descriptionemque perficiunt; in tetragono vero, qui secundus est, duobus sese iuncti numeri vincunt, et in pentagono tribus et in exagono iiij et in eptagono quinque, huiusque rei nullus est modus. Hoc autem nos subiectarum formarum descriptiones docebunt.

Descriptio figuratorum numerorum in ordine

Similiter autem licebit et aliarum formarum, quae pluribus angulis continentur quantitates adscribere. Sed quoniam facilius oculis subiecta retinentur supradictarum formarum numerositas in subteriore descriptione ponatur.

Tri x x l x xlv anguli ij j v xj xviij xxvj v Qu x x l lxx c adrati iij iiij vj xv xvj lviiij xiiij xj Pen x l x cx c tagoni ij xij xxv j xx cij vij xlv Exa x x c clii c goni j v xviij lv xvj cj xx j xc Ept x c c clx c agoni ij viij xxiiij v xxxj xij xlviij xxviiij cxxxv

Qui figurati numeri ex quibus figuratis numeris fiant, inque eo quod triangulus numerus omnium reliquorum principium sit.

His igitur ita sese habentibus quid in hac re sit consequens vestigemus. Omnes enim tetragoni, qui sub triangulis sunt naturali ordinatione dispositi, ex superioribus triangulis procreantur illorumque collectione quadrati figura componitur. Quattuor enim tetragonus fit ex uno et tribus, id est ex duobus superioribus triangulis; novenarius vero ex tribus et sex, sed utrique sunt trianguli; at xvj ex decem et sex; et xxv ex x et xv. Idemque in sequenti ordine quadratorum constans atque inmutabile repperitur. Pentagonorum vero summae conficiuntur ex uno super se tetragono et altrinsecus triangulo constituto. Nam quinarius pentagonus ex quaternario super se posito tetragono et ex uno, qui in triangulorum ordine ponitur, adgregatur. xij vero pentagonus ex novenario super se quadrato et tribus, secundo triangulo, nascitur. XXII vero ex xvj et vj, quadrato scilitet atque triangulo; et xxxv ex xxv et x. Et in ordinem ad eundem modum intuentem nulla cunctatio contrarietatis inpediet. At vero si exagonos librata examinatione perspicias, ex eisdem triangulis et super se positispentagonis procreantur. Namque vj exagonus ex quinario pentagono et uno, qui est in triangulorum ordine dispositus, nascitur. Nec alia est origo xv exagoni nisi ex duodenario pentagono et ternario triangulo. Quod si xxviij rursus exagonum ex quibus superioribus nascatur addiscas, nullos invenies nisi xxij pentagonum senariumque triangulum. Atque hoc in ceteris. Nec hunc geniturae ordinem eptagonorum procreatio refutabit. Namque ex super se exagonis et ex eminus positis triangulis procreantur. Septenarius enim eptagonus nascitur ex senario exagono et uno potestate triangulo; xviij vero eptagonus ex xv exagono et ternario triangulo coniungitur; et xxxiiij ex xxviij scilicet exagono et senario triangulo; atque hoc in cunctis inoffensum repperire licet. Videsne igitur, ut primus omnium triangulus cunctorum summas efficiat et omnium procreationibus misceatur?

Pertinens ad figuratorum numerorum descriptionem speculatio.

Hi vero omnes, si ad latitudinem fuerint comparati, id est trianguli tetragonis vel tetragoni pentagonis vel pentagoni exagonis vel hi rursus eptagonis, sine aliqua dubitatione triangulis sese superabunt. Nam si ternarium triangulum quaternario, vel quaternarium tetragonum quinario, vel quinarium pentagonum senario exagono, vel senarium septenario eptagono compares, primo se triangulo, id est sola transeunt unitate. At vero si senarius contra novenarium, vel hic contra xij, vel hic contra xv, vel quindecim contra x et viij, pro inveniendis differentiis comparentur, secundo se triangulo, id est ternario superabunt. X vero ad xvj et xvj ad xxij et xxij ad xxviij et xxviij ad xxxiiij si componas, tertio se triangulo vincent, id est senario. Atque hoc rite notabitur in aliis cunctis sequentibus sese perspectum omnesque se triangulis antecedent. Quare perfecte, ut arbitror, demonstratum est, omnium formarum principium elementumque esse triangulum.

De numeris solidis.

Hinc vero ad figuras solidas facilior via est. Praecognito enim, quid in planis numerorum figuris vis ipsa quantitatis naturaliter operetur, ad solidos numeros non erit ulla cunctatio. Sicut enim longitudini numerorum aliud intervallum, id est superficiem, ut latitudo ostenderetur, adiecimus, ita nunc latitudini si quis addat eam, quae alias altitudo alias crassitudo alias profunditas appellatur, solidum numeri corpus explebit.

De pyramide, quod ea sit solidarum figurarum principium sicut triangulus planarum

Triangulum cum notatis

Videtur autem, quemadmodum in planis figuris triangulus numerus primus est, sic in solidis, qui vocatur pyramis, profunditatis esse principium. Omnium quippe ratarum in numeris figurarum necesse est invenire primordia. Est autem pyramis alias a triangula basi in altitudinem sese erigens, alias a tetragona, alias a pentagona et secundum sequentium multitudines angulorum ad unum cacuminis verticem sublevata. Posito enim triangulo atque descripto si per tres angulos singulae lineae recte stantes ponantur, haeque tres inclinentur, ut ad unum medium punctum vertices iungant, fit pyramis, quae, cum a triangula basi profecta sit, tribus triangulis per latera concluditur hoc modo: Sit a b c triangulum. Si huic igitur triangulo per tres angulos erigantur lineae et ad unum punctum convertantur, quod est d, ita ut d punctum non sit in plano, sed pendens, illae scilicet lineae ad ipsum erectae verticem et quodammodo cacumen d facient et erit basis a b c unum triangulum, per latera vero tria triangula, id est unum triangulum a d b, aliud vero b d c, tertium c d a.

De his pyramidis, quae a quadratis vel a ceteris multiangulis proficiscuntur figuris

Tetragonum, pentagonum, exagonumque cum notatis

Idem si a tetragona basi proficiscatur et ad unum verticem eius lineae dirigantur, erit pyramis quattuor triangulorum per latera, uno tantum tetragono in basi posito, super quam ipsa figura fundata est. Et si a pentagono surgant v lineae, quinque rursus pyramis triangulis continebitur, et si ab exagono, sex triangulis nihilominus; et quantoscunque angulos habuerit figura, super quam pyramis residet, tot ipsa per latera triangulis continetur, ut ex subiectis descriptionibus palam est.

Solidorum generatio numerorum

Dicuntur autem huiusmodi pyramides hoc modo: prima pyramis de triangulo, secunda pyramis de tetragono, tertia pyramis de pentagono, quarta pyramis de exagono, quinta pyramis de eptagono, idemque in ceteris constat numeris. Nam quoniam lineares numeros esse diximus, qui ab uno profecti in infinitum currerent, ut sunt j ij iij iiij v vj vij viij viiij x, his autem ordinatim compositis et ad se invicem cum distantia iunctis superficies nascebantur, ut, si unum et duo iungeres, primus triangulus nasceretur, id est tres, et cum his adiungeremus tertium, id est ternarium, senarius triangulus rursus occurreret, et post hos tetragoni uno intermisso, pentagoni vero duobus, exagoni tribus, eptagoni relictis quattuor nascebantur: nunc vero ad solidorum corporum procreationem ipsae nobis superficies naturaliter figuratae provenient. Et ad faciendas quidem pyramidas a triangulo ipsi nobis trianguli componendi sunt; ad procreandas vero pyramidas a tetragono tetragoni; ad eas vero, quae sunt a pentagono pentagoni copulandi sunt. Et illae, quae sunt ab exagono vel eptagono non nisi exagonorum vel eptagonorum copulatione nascentur. Primus ergo potestate triangulus est unitas eandemque etiam ponimus virtute pyramidam; secundus vero triangulus est ternarius, quem si cum primo coniunxero, id est cum unitate, quaternaria mihi profunditas pyramidis excrescit. At vero si his tertium, senarium, iunxero denaria pyramidis procreabitur altitudo. His si denarium iunxero viginti numerorum pyramis veniet, atque ita in cunctis aliis eadem ratio copulationis est.

Trianguli

j iij vj x xv xxj xxviij xxxvj xlv lv

Pyramides a triangulis

j iiij x xx xxxv lvj lxxiiij cxx clxv ccxx

In hac igitur coniunctione necesse est, ut semper, qui ultimus est coniugatorum numerorum, is quasi quodammodo basis sit. Cunctis enim latior invenitur. Et qui ante ipsum numeri coniungantur, minores esse necesse est, usque dum ad unitatem detractio rata perveniat, quae puncti quodammodo et verticis obtineat locum. Namque in x pyramide super sex additi sunt tres atque unus, qui senarius superat ternarium quantitate, ipsi vero tres unum pluralitate transcendunt, qui unus extremum terminum progressionis offendit. Similis quoque ratio in ceteris perspici potest, si eorum procreationes diligentius volueris perscrutari. Illae quoque, quae sunt a tetragono pyramides, eadem tetragonorum super se compositione nascuntur. Descriptis enim cunctis tetragonis, id est j iiij viiij xvj xxv xxxvj xlviiij lxiiij lxxxj c, si unitatem primam ex hac dispositione praesumam, erit mihi potestate et vi pyramis ipsa unitas, nondum etiam opere atque actu. At si huic tetragonum superponam, id est quattuor, nascetur pyramis quinque numerorum, quae duobus tantum numeris per latera positis continetur. Sin vero his sequentes novem adiecero, fiet mihi quattuordecim numerorum forma pyramidis, quae per latera tribus unitatibus concludatur. Atque huic si sequentem tetragonum xvj superponam, tricenaria mihi pyramidis forma producitur. In his quoque omnibus pyramidis tot erunt unitates per latera, quantae in se numerorum adgregatae fuerint quantitates. Nam unitas, quae prima pyramis est, unum solum, id est se ipsam gerit in latere, quinaria vero, quae constat ex uno et quattuor, duobus per latera designatur, et xiiij, quae ex tribus numeris compositis fit, ternario numero in latere posito constituitur. Hanc autem pyramidum generationem monstrat subiecta descriptio.

Tetragoni

j iiij viiij xvj xxv xxxvj xlviiij lxiiij lxxxj c

Pyramides a tetragonis

j v xiiij xxx lv xcj cxl cciiij cclxxxv ccclxxxv

Et ad eundem modum cunctae a ceteris multiangulis profectae formae in altioris summae spatia producuntur. Omnis enim multorum angulorum forma ex sui generis figura unitati superposita ab uno ingredientibus ad pyramidum constituendas figuras usque in infinita progreditur et ex hoc equidem apparere necesse est, triangulas formas ceterarum figurarum esse principium, quod omnis pyramis a quacunque basi profecta vel a quadrato, vel a pentagono, vel ab exagono, vel ab eptagono vel a quocunque similium solis triangulis usque ad verticem continetur.

De curtis pyramidis

Scire autem oportet, quae sint curtae pyramides, vel quae his curtae, vel quae ter curtae vel quater et deinceps secundum numerorum adiectionem. Perfecta enim pyramis est, quae a qualibet basi profecta usque ad primam vi et potestate pyramidam pervenit, unitatem. Sin vero a qualibet basi profecta usque ad unitatem altitudo illa non venerit, curta vocabitur, recteque huiusmodi pyramis tali nuncupatione signatur, si usque ad extremitatem punctumque non venerit. Haec autem est, ut si quis xvj tetragono adiciat viiij atque huic iiij et ab ulterioris sese unitatis adiectione suspendat. Pyramidis equidem figura est, sed quoniam usque ad cacumen verticis non excrevit, curta vocabitur et habebit summitatem non iam punctum, quod unitas est, sed superficiem, quod est quilibet numerus secundum basis ipsius angulos porrectus atque ultimus adgregatus. Nam si tetragona fuerit basis, quadrata deminutione semper ascendit, et si pentagona basis, similiter, et si exagona, illa quoque ultima superficies erit exagona. Ergo in curta pyramide tot erit angulorum superficies, quot fuerit basis. Si vero illa pyramis non solum ad unitatem extremitatemque non pervenit, sed nec ad primum quoque opere et actu multiangulum eius generis, cuius fuerit basis, bis curta vocabitur; ut si a xvj tetragono proficiscens usque in novem terminum ponat neque excrescat ad quattuor. Et quotcunque tetragoni defuerint, totiens eam curtam esse dicemus; ut si unitas defuerit, primus quadratus, curtam, quam Graeci κολουρον vocant; si vero duobus tetragonis deficitur, id est unitate et eo, qui sequitur, vocatur bis curta, quod Graeci δικολουρον appellant. Quod si tribus tetragonis, ter curta dicetur, quam Graeci τρικολουρον nominant. Et quotcunque tetragoni fuerint minus,

totiens illam pyramidem curtam esse proponimus. Hoc autem non solis a tetragono pyramidis sed in omnibus ab omni multiangulo progredientibus speculari licet.

De cybis vel asseribus vel laterculis vel cuneis vel sphericis vel parallelepipedis numeris

Ac de solidis quidem, quae pyramidis formam obtinent, aequaliter crescentibus et a propria velut radice multiangula figura progredientibus dictum est. Est alia rursus quaedam corporum solidorum ordinabilis compositio, eorum qui dicuntur cybi vel asseres vel laterculi vel cunei vel spherae vel parallelepipeda, quae sunt, quotiens superficies contra se sunt, et ductae in infinitum nunquam concurrent. Dispositis enim in ordinem tetragonis i iiij viiij xvj xxv, quoniam hi solam longitudinem latitudinemque sortiti sunt et altitudine carent, si per latera solam unam multiplicationem recipiant, aequalem provehunt profunditatem. Nam quattuor tetragonus duos habet in latere et natus est ex bis duobus. Bis enim duo quattuor faciunt. Hos ergo duos ex ipsius latere si multiplices aequaliter, cybi forma nascetur. Nam si bis binos bis facias, octonaria quantitas crescit. Et est primus hic cybus. VIIII vero tetragonus, quoniam tres habet in latere et factus est ex tribus in se multiplicatis, si ei unam lateris multiplicationem adiunxeris, rursus alius cybus aequabili laterum formatione concrescit. Ter enim tres si tertio duxeris, xxvij cybi figura producitur. Et xvj, qui est ex quattuor, si quater augescat, lxiiij cybus pari laterum demensione crassabitur. Et sequentes quidem tetragoni secundum eundem modum multiplicatione facta provehuntur. Tot autem necesse est unitates cybus habeat in latere, quot habuit primus ille tetragonus, ex quo ipse productus est. Nam quoniam quattuor tetragonus duos tantum numeros habet in latere, duos quoque habet octonarius cybus. Et quoniam viiij tetragonus tribus per latus unitatibus signabatur, solo ternario xxvij cybi latus urgetur. Et quoniam xvj tetragonus iiij unitatum latus habebat, totidem lxiiij cybus in latere gestabit unitates. Quare etiam vi et potestate cybi, quod est unitas, unus erit in latere. Omnis enim tetragonus una quidem superficies est quattuor angulorum, totidemque laterum. Omnis autem cybus, qui ex tetragonorum superficie in profunditatem corporis crevit, per tetragoni scilicet latus multiplicatus, habebit quidem superficies vj, quarum singula planitudo tetragono illi priori aequalis est, latera vero xij, quorum unumquodque singulis his, quae superioris fuere tetragoni, aequum est, et, ut superius demonstravimus, tot unitatum est; angulos vero viij, quorum singulus sub tribus eiusmodi continetur, quales priores fuere tetragoni, unde cybus ipse productus est. Ergo ex naturaliter profuso numero qui in subiecta forma descripti sunt subiecti tetragoni nascuntur, et ex his tetragonis qui subnotati sunt cybi provehuntur.

Numerus naturalis:

j ij iij iiij v vj vij

Tetragoni:

j iiij viiij xvj xxv xxxvj xlviiij

Cybi:

j viij xxvij lxiiij cxxv ccxvj cccxliij

Et quoniam omnis cybus ab aequilateris quadratis profectus aequus ipse omnibus partibus est -- nam et latitudini longitudo et his duobus compar est altitudo -- et secundum sex partes, id est sursum deorsum dextra sinistra ante post, sibi aequalem esse necesse est: huic oppositum contrariumque esse oportebit qui neque longitudinem latitudini neque haec duo profunditati gerat aequalia, sed cunctis inaequalibus, quamvis solida sit figura, ab aequalitate cybi longissime distare videatur. Hi autem sunt, ut si quis faciat bis tres quater, vel ter quattuor quinquies et alia huiusmodi, quae per inaequales spatiorum gradus inaequaliter provehuntur. Haec autem forma Graeco nomine scalenos vocatur. Nos vero gradatum possumus dicere, quod a minore modo velut gradibus crescat ad maius. Vocant autem eandem figuram Graeci quidam spheniscon; nos autem cuneum possumus dicere. Etenim quos ad quamlibet illam rem constringendam cuneos formant neque latitudinis neque longitudinis neque altitudinis habita ratione, quantum commodum fuerit, tantum vel altitudini minuitur, vel crassitudini profunditatis augetur. Atque ideo hos plerumque necesse est omnibus partibus inaequalibus inveniri. Quidam vero hos bomiscos vocant, id est quasdam arulas, quae in Ionica Graeciae regione, ut ait Nicomachus, hoc modo formatae fuerunt, ut neque altitudo latitudini neque haec longitudini convenirent. Vocatur autem aliis quibusdam nominibus, quae nunc persequi supervacuum iudicavimus. Igitur cybi aequalibus se spatiis porrigentis et huius formae, quam diximus, gradata distributione dispositae medietates sunt, quae neque cunctis partibus aequales sunt, neque omnibus inaequales, quos Graeci parallelepipedos vocant. Latini nomen hoc ita uniformiter compositum habere non possunt, ut tamen idem pluribus dictum sit. Ea namquc hoc nomine vocatur figura, quae alternatim positis latitudinibus continetur.

De parte altera longioribus numeris eorumque generationibus

Huiusmodi vero formas quales sunt, quae vocantur a Graecis ετερομηκεις, nos dicere possumus parte altera longiores. quarum figurarum numerus hoc modo definiendus est: Parte altera longior est numerus, quem si in latitudinem describas et ipse quidem quattuor venit laterum et quattuor angulorum, sed non cunctis aequalibus sed semper minus uno. Namque nec latera lateribus cuncta cunctis aequa sunt, nec longitudini latitudo, sed, ut dictum est, cum hinc altera pars maior fuerit, uno tantum minorem praecedit ac superat. Si enim numerum naturalem disponas in ordinem, et secundum per primum multiplices, talis nascitur numerus, vel si secundum per tertium, vel si tertium per quartum, vel si quartum per quintum, omnesque hi unitate tantum addita, multiplicentur, nascentur parte altera longiores. Disponatur enim numerus naturalis j ij iij iiij v vj vij. Et nunc quidem hactenus. Si quis igitur faciat unum bis, faciet ij, et rursus bis tres, faciet vj, ter quattuor, faciet xij, quater quinque, faciet xx, et hoc ad eundem ordinem. Quicunque igitur facti sunt, procreabuntur parte altera longiores, ut subiecta descriptio docet, in qua, ex quibus numeris multiplicati nascuntur parte altera longiores, super adscripti sunt, qui vero nascuntur, subterius sunt notati.

De antelongioribus numeris et de vocabulo numeri parte altera longioris

Ergo si unitate tantum discrepent, qui multiplicantur, descripti superius numeri protenduntur, sin vero aliquo numero, ut ter vij vel ter v vel aliquo modo alio, et non eorum latera sola discrepent unitate, non vocabitur hic numerus parte altera longior, sed antelongior. Alterum enim apud Pythagoram vel sapientiae eius heredes nulli alii nisi tantum binario adscribebatur. Hunc alteritatis principium esse dicebant, eandem autem naturam et semper sibi similem consentientemque nullam aliam nisi primaevam ingeneratamque unitatem. Binarius autem, numerus primus, est unitati dissimilis, idcirco quod primus ab unitate disiungitur. Atque ideo alteritatis cuiusdam principium fuit, quod ab illa prima et semper eadem substantia sola tantum est unitate dissimilis. Merito ergo dicentur hi numeri parte altera longiores, quod eorum latera unius tantum sese adiecta numerositate praecedunt. Argumentum autem est, alteritatem in binario numero iuste constitui, quod non dicitur alterum nisi e duobus ab his, inter quos bene loquendi ratio non neglegitur. Amplius, quod inpar numerus sola perfici unitate monstratus est, par vero sola dualitate, id est solo binario numero. Nam cuiuscunque medietas unus est, ille inpar est, cuius vero duo, hic paritate recepta in gemina aequa disiungitur. Quare dicendum est, inparem numerum eiusdem atque in sua se natura tenentis inmutabilisque substantiae esse participem, idcirco quod ab unitate formetur, parem vero alterius plenum esse naturae, idcirco quod a dualitate conpletur.

Quod ex inparibus quadrati, ex paribus parte altera longiores fiant

At vero positis in ordinem ab unitate inparibus et sub his a dualitate paribus descriptis coacervatio inparium tetragonos facit, coacervatio parium superiores efficit parte altera longiores. Quare quoniam tetragonorum haec natura est, ut ab inparibus procreentur, qui sunt unitatis participes, id est eiusdem inmutabilisque substantiae, cunctisque partibus suis aequales sint, quod et anguli angulis et latera lateribus et longitudini compar est latitudo, dicendum est, huiusmodi numeros eiusdem naturae atque inmutabilis substantiae participes, illos vero numeros, quos parte altera longiores paritas creat, alterius dicemus esse substantiae. Nam quemadmodum unus a duobus uno tantum alter est, sic horum latera a se tantum uno sunt altera et una tantum differunt unitate. Quare disponantur in ordinem omnes ab uno inpares et sub his omnes a binario numero pares.

ij ij iiij j iij

j iij j iij ij iiij

Est ergo princeps inparis ordinis unitas, quae ipsa quidem effectrix et quodammodo forma quaedam est inparitatis, quae in tantum eiusdem nec mutabilis substantiae est, ut, cum vel se ipsa multiplicaverit vel in planitudine vel in profunditate, vel si alium quemlibet numerum per se ipsa multiplicet, a prioris quantitatis forma non discrepet. Namque si unum semel facias, vel si semel unum semel, vel si duo semel, vel si tres semel, vel si quattuor semel, vel quemlibet alium numerum multiplicet, a quantitate sua is, quem multiplicat, numerus non recedit, quod circa alium numerum non potest inveniri. Paris vero ordinis binarius numerus princeps est, quae dualitas, cum in eodem ordine paritatis sit, tum principium totius est alteritatis. Namque si se ipsa multiplicet vel per latitudinem vel etiam per profunditatem vel si quem numerum in suam conglobet quantitatem, continuo alter exoritur. Nam bis unum vel bis duo si facias, vel bis tres vel bis quattuor vel bis quinque vel quemlibet alium multiplicet, quisquis hinc nascitur, alius quam primo fuerat, invenitur. Nascuntur autem ex superiore descriptione et ex primo ordine omnes tetragoni hoc modo. Unum enim si respexeris, primus potestate tetragonus est. Sin vero unum tribus coacervaveris, quattuor tetragonus exoritur. Huic si quinarium iungam, novenarius rursus occurrit. Huic si copules septem, sedecim quadrati forma se suggerit. Idemque si in ceteris facias, omnes conpetenter quadratos videas procreari. At vero ex secundo paritatis ordine idem cuncti parte altera longiores fiunt. Namque si duos primo respexero, huiusmodi mihi numerus occurrit, qui fit ex bis uno. Cum vero duobus sequentes quattuor iunxero, parte altera longior rursus erit, senarius scilicet, qui fit ex bis tribus. Cui si sequentem adgregavero, nascetur mihi duodenaria forma, quae fit ex quater tribus. Quod si continuatim quis faciat, cunctos huiusmodi numeros in conpetenti ordine procreatos videbit, quam descriptionem scilicet inferior forma demonstrat.

Radices

j j iij v j iij v vij iij iij v iij v vij vij viiij viiij xj

Tetragoni id est quadrati

iij iiij vj xv xxvj

Radices

i ij iiij ij iiij ij iiij vj j iiij j iiij vj vj viij vj viij x viij x xij

Parte altera longiores

j ij x xx lij

De generatione laterculorum eorumque definitione

Quos autem superius laterculos diximus, quae sunt et ipsae quidem solidae figurae, hoc modo fiunt, quotiens aequalibus spatiis in longitudinem latitudinemque porrectis minor his additur altitudo, ut sunt huius modi: tres ter bis, qui sunt xviij vel quattuor quater bis, vel alio quo modo, ut his in latitudinem longitudinemque aequis minor altitudo ducatur. Hi definiuntur hoc modo: Laterculi sunt, qui fiunt ex aequalibus aequaliter in minus. Asseres vero et ipsae quidem figurae sunt solidae sed hoc modo, ut ex aequalibus aequaliter ducantur in maius. Nam si aequa fuerit latitudo longitudini et maior sit altitudo, illae figurae a nobis asseres, a Graecis docides nominantur. Ut si quis hoc modo faciat: iiij quater novies, qui inde procreantur, asseres nominati sunt. Sphenisci vero, quos cuneolos superius appellavimus, hi sunt, qui ex inaequalibus inaequaliter ducti per inaequalia creverunt, cybi vero, qui ex aequalibus aequaliter per aequalia producti sunt.

De circularibus vel sphericis numeris

Ipsorum vero cyborum quanticunque fuerint ita ducti, ut a quo numero cybicae quantitatis latus coeperit, in eundem altitudinis extremitas terminetur, numerus ille cyclicus vel sphericus appellatur; ut sunt multiplicationes, quae a quinario vel a senario proficiscuntur. Nam quinquies quinque, qui fit xxv, ab v progressus in eosdem desinit v. Et si hos rursus quinquies ducas, in eosdem v eorum terminus veniet. Quinquies enim xxv fiunt. CXXV et si hos rursus quinquies ducas, in quinarium numerum extremitas terminabitur. Atque hocusque in infinitum idem semper eveniet. Quod in senario quoque convenit considerari. Hi autem numeri idcirco cyclici vel spherici vocantur, quod sphera vel circulus in proprii semper principii reversione formantur. Est enim circulus posito quodam puncto et alio eminus defixo illius puncti, qui eminus fixus est, aequaliter distans a primo puncto circumductio et ad eundem locum reversio, unde moveri coeperat. Sphera vero est semicirculi manente diametro circumductio et ad eundem locum reversio, unde prius coeperat ferri. Unitas quoque virtute et potestate ipsa quoque circulus vel sphera est. Quotiens enim punctum in se multiplicaveris, in se ipsum, unde coeperat, terminatur. Si enim faciat semel unum, unus redit, si hoc semel, idem est, et si hoc rursus semel, idem est. Igitur si una fuerit multiplicatio, solam planitudinem reddit et fit circulus, si secunda, mox sphera conficitur. Etenim secunda multiplicatio effectrix semper est profunditatis. Ex v igitur et vj paucas huiusmodi formas subscripsimus.

v vj xxv xxxvj cxxv ccxvj dcxx mccxcvj v mm mmmmmmmdc mccxxv clxxvj

De ea natura rerum, quae dicitur eiusdem naturae, et de ea, quae dicitur alterius naturae et qui numeri cui naturae coniuncti sint