De institutione musica (page 2)

Alioquin unitas diuidetur, quod est inconueniens.

Quare ne inter 10 quidem atque 15 quisquam inuenietur numerus qui talem ad 10 obtineat proportionem qualem ad eum tenent 15.

[PLLXIII:1248,1; text: sesquialtera proportio, in minimis differentia, 10, 2, 1, 3, 15, C, G, D, F, B] [BOEDIM4 02GF]

Si interuallum non multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione nec multiplex est nec superparticulare. Sit enim interuallum non multiplex B C, et fiat ut C ad B, sic B ad D. Dico quoniam E eius quod est C, neque multiplex est, neque superparticularis. Sit enim, si fieri potest, primum D eius quod est C multiplex, et quoniam cognitum est. Si interuallum binario multiplicatum sit, et multiplex interuallum creatum, id quod multiplicatum est bis interuallum esse multiplex. Erit igitur B C multiplex sed non est positum. Non igitur erit D eius quod est C multiplex, nec uero superparticulare. Nam superparticularis proportionis medius proportionaliter terminus nullus interuenit. Inter D uero et B est proportionaliter terminus constitutus, id est B. Nam ut est C ad B, ita B ad D; impossibile igitur erit D eius quod est C, uel multiplicem esse. uel snperparticularem, quod oportebat ostendere. Et in numeris sit non multiplex interuallum 6 ad 6, fiatque ut sunt 4 ad 6, ita sex ad alium quemlibet numerum. Hic erit igitur nouenarius, qui quaternarii neque multiplex neque superparticularis est.

[PLLXIII:1248,2; text: Non multiplex, nec super particulare, 4, 6, 9, C, B, D] [BOEDIM4 02GF]

Si interuallum binario multiplicetur, atque id quod ex ea multiplicatione creabitur multiplex non fit, ipsum quoque non erit multiplex. Sit enim interuallum B C, fiatque ut C ad B, ita B ad D, et non fit D [1249] eius quod est C multiplex. Dico quoniam nec B eius quod est C erit multiplex. Si enim est et D eius quod est C, est multiplex. At non est, non erit igitur B eius quod est C multiplex.

[PLLXIII:1249,1; text: Non multiplex, 4, 6, 9, C, B, D] [BOEDIM4 03GF]

Duplex interuallum ex duobus maximis superparticularibus, coniungitur sesquialtero et sesquitertio. Sit enim A quidem eius quod est Bsesquialter, B uero eius quod est C sesquitertius. Dico quoniam A eius quod est C duplex est. Quoniam igitur sesquialter est A eius quod est B, igitur A habet in se totum B eiusque dimidium. Duo igitur A aequi sunt tribus B. Rursus quoniam B eius quod est C sesquitertius est, B igitur habet C, et eius tertiam partem. Tres :igitur B aequi sunt ad quatuor C Tres autem B aequi erant duobus A. Duo igitur A aequi sunt ad quatuor C; unus igitur A aequus est duobus C Duplex erit igitur A eius qui est C, et in numeris. Sit enim sesquialter 12 ad 8, sesquitertius uero 8 ad 6: ergo 12 ad 6 duplices sunt.

[PLLXIII:1249,2; text: Duplex, 6, 3, 2, A, B, C, Sesquialter. Sesquitertius] [BOEDIM4 03GF]

Ex duplici interuallo atque sesquialtero triplex nascitur interuallum.

Sit enim A eius quod est B duplex, B autem eius quod est C sesquialter. Dico quoniam A eius quod est C triplex est. Nam quoniam A eius quod est B duplex est, A igitur aequus est duobus B. Rursus quoniam B eius quod est C sesquialter est, B igitur habet in se totum C et eius dimidiam partem. Duo igitur B aequi sunt tribus C Sed duo B aequi erant uni A, et unus igitur A aequus est tribus C; igitur A uno C triplex est. Et in numeris sit duplex quidem senarius ternario, sesquialter uero ternarius, binario. Senarius igitur triplex est binario.

[1250] [PLLXIII:1250,1; text: Triplex, 6, 3, 2, A, B, C, Duplex, Sesquialter] [BOEDIM4 04GF]

Si sesquialtero interuallo sesquitertium demptum fuerit interuallum, erit quod relinquitur sesquioctauum. Sit enim A quidem eius quod est B sesquialter, at uero C eius quod est B sesquitertius: dico quoniam A eius quod est C sesquioctauus est. Quoniam enim A eius quod est B sesquialter est, A igitur habet in se B et eius dimidiam partem. Octo igitur A aequi sunt ad duodecim B. Rursus quoniam C eius quod est B sesquitertius est, C igitur habet in se B et tertiam eius partem.

Nouem igitur C aequi sunt ad duodecim B. Duodecim B aequi erant ad octo A; et octo igitur A aequi sunt ad nouem C Igitur A aequus est ei quod est C, et octauae eius parti. A igitur eius quod est C sesquioctauus est. Et in numeris sesquialterum quidem interuallum sit nouenarius ad senarium, sesquitertium uero octonarius ad senarium.

Nouem igitur ad octo sesquioctaua proportio est.

[PLLXIII:1250,2; text: Sesquialter, 9, 8, 6, A, C, B, Sesquioctauus, Sesquitertius] [BOEDIM4 04GF] Sex proportiones sesquioctauae maiores sunt uno duplici interuallo.

Sit enim quidem numerus A, huius autem sit sesquioctauus B, huius sesquioctauus C, et huius sesquioctauus D, et huius sesquioctauus F, eiusque sesquioctauus G, atque huius sesquioctauus K. Id autem fiat secundum descriptum in Arithmetica modum, et sint numeri A B C D F G K, et sit A 262144, huius autem sesquioctauus qui est B 294912, huius autem sesquioctauus qui est C 331776, huius autem sesquioctauus qui est D 373248, huius autem sesquioctauus qui est F 419904, huius autem sesquioctauus qui est G 472392, huius autem sesquioctauus qui est K 531441. Et sunt 531441 quod est K, plus quam duplices ad ducenta 60 duo millia 144 quod est A.

Sex igitur sesquioctauae proportiones ampliores sunt uno duplici interuallo.

[1251] [PLLXIII:1251; text: Sex sesquioctauae proportiones maiors duplici intetuallo, Sesquioctauus, A, B, C, D, E, G, K, 262144, 294912, 331776, 373248, 410904, 472392, 531441, Numerus A 263144 dimidus est ad hunc subtus scriptum ergo diapason deficiens ab K numero 7151.] [BOEDIM4 05GF]

III Musicarum per Graecas ac Latinas litteras notarum nuncupatio.

Restat quoniam sumus neruum secundum praedictas consonantias per regulam diuisuri, quoniamque necessarios sonos tribus generibus cantilenae exhibebit ista partitio, musicas interim notas apponere, ut cum diuisam lineam iisdem notulis signauerimus, quod unicuique sit nomen, facillime possit agnosci. Veteres enim musici propter compendium scriptionis, ne integra semper nomina necesse esset apponere, excogitauere notulas quasdam quibus neruorum uocabula notarentur, easque per genera modosque diuisere, simul etiam hac breuitate captantes, ut si quando melos aliquod musicus uoluisset ascribere, super uersum rhythmica metri compositione distentum, has sonorum notulas ascriberet, ita miro modo reperientes, ut non tantum carminum uerba, quae litteris explicarentur sed melos quoque ipsum, quod his notulis signaretur, in memoriam posteritatemque duraret. Sed ex his omnibus modis unum interim Lydium eiusque notulas per tria genera disponamus, in reliquis modis idem facere in tempus aliud differentes. Sane si quando dispositionem notarum Graecarum litterarum nuncupatione descripsero, lector nulla nouitate turbetur. Graecis enim litteris fiunt in quamlibet partem imminutis, nunc etiam inflexis, tota haec notarum descriptio constituta est. Nos uero cauemus aliquid ab antiquitatis auctoritate transuertere. Erunt igitur priores ac superiores notulae dictionis, id est uerborum, secundae uero atque inferiores percussionis. Proslambanomenos qui acquisitus dici potest, Z non integrum et tau iacens [signum]. Hypate hypaton, quae est principalis principalium, L conuersum et [Gamma] rectum [signum]. Parhypate hypaton, id est subprincipalis principalium, B non integrum, et [Gamma] supinum [signum]. Hypaton enharmonios, quae est principalium enharmonios, V supinum, et [Gamma] conuersum, [1252] retro habens uirgulam [signum]. Hypate chromaticae, quae est principalium extenta, [signum] supinum babens lineam et [Gamma] conuersum duas habens lineas [signum]. Hypaton diatonos, quae est principalium extenta, [Phi] Graecum et digammon [Phi]F. Hypate meson, quae est principalis mediarum, C et C CC Parhypate meson, quae est subprincipalis mediarum, P et C supinum [signum]. Meson enharmonios, quae est mediarum enharmonios, [Pi] Graecum C et C conuersum [signum]

Meson chromaticae, quae est mediarum chromatica, [Pi] Graecum habens uirgulam, et C conuersum per medium habens uirgulam C Meson diatonos, quae est mediarum extenta, M Graecum [Pi] [Pi] Graecum diductum [signum] Mese, quae est media. I et A iacens [signum]. Trite synemmenon, quae est tertia coniunctarum, [Phi] et [Lambda] supinum [signum]. Synemmenon enharmonios, quae est coniunctarum enharmonios, H Graecum et [Lambda] iacens conuersum per medium habens uirgulam [signum]. Synemmenon chromaticae, quae est coniunctarum chromatica H Graecum habens uirgulam, et [Lambda] conuersum habens uirgulam [signum]. Synemmenon diatonos, quae est coniunctarum extenta L et N [signum]. Nete synemmenon, quae est ultima coniunctarum, M quadratum supinum et Z [signum]. Paramese, quae est sub media, Z et [Pi] Graecum iacens [signum]. Trite diezeugmenon, quae tertia diuisarum, E quadratum et [Pi] Graecum supinum [signum]. Diezeugmenon enharmonios, quae est diuisarum enharmonios, [Delta] et [Pi] Graecum iacens conuersum [signum]. Diezeugmenon chromaticae, quae est diuisarum chromatica, [Delta] habens uirgulam et [Pi] Graecum iacens conuersum, habens lineam angularem. [signum]

Diezeugmenon diatonos, quae est diuisarum diatonos, [Omega] quadraum supinum et [signum]. Nete diezeugmenon, quae est ultima diuisarum, [Phi] iacens et N inuersum diductum [signum] Trite hyperboleon, quae est tertia excellentium, [Gamma] deorsum respiciens dextrum et semi [Delta] sinistrum sursum respiciens [signum].

Hyperboleon enharmonios, quae est excellentium enharmonios T supinum et semi A dextrum supinum [signum].

Hyperboleon chromaticae, quae est excellentium chromatica, T supinum habens lineam et semi A dextrum supinum habens retro lineam [signum]. Hyperboleon diatonos, quae est excellentium extenta, M Graecum habens acutam et [Pi] diductum habens acutam [signum]. Nete hyperboleon, I habens acutam, et A iacens habens auctam [signum].

[1253-54] [PLLXIII:1253-54; text: Proslambanomenos. Hypate hypaton. Parhypate hypaton. Lychanos hypaton enharmonios. Lychanos hypaton chromaticae. Lychanos hypaton diatonos. Hypate meson. Parhypate meson. Lychanos meson enharmonios. Lychanos meson chromaticae. Lychanos meson diatonos. Mese. Trite synemmenon.

Paranete synemmenon enharmonios. Paranete synemmenon chromaticae. Paranete synemmenon diatonos. Nete synemmenon extensa. Nete synemmenon ultima. Paramese, Trite diezeugmenon. Paranete diezeugmenon enharmonios. Paranete diezeugmenon chromaticae. Paranete diezeugmenon diatonos. Nete diezeugmenon. Trite hyperboleon.

Paranete hyperboleon enharmonios. Paranete hyperboleon chroma icae. Paranete hyperboleon diatonos. Nete hyperboleon.] [BOEDIM4 06GF]

[1253] IV Monochordi regularis partitio in genere diatonico.

Sed iam tempus est ad regularis monochordi diuisionem uenire. De qua re illud est praedicendum, quod siue in mensura nerui, siue in numeris, atque in eorum proportione statuatur describenda diuisio, maius spatium chordae et maior numeri multitudo sonos grauiores efficiet. At si fuerit nerui longitudo contractior, et in numeris aeque non multa pluralitas, acutiores uoces edi necesse est.

Atque ex hac comparatione, quantum unaquaeque fuerit uel longior uel plurium numerorum, aliaque uel contractior, uel paucioribus signata numeris, tanto uel grauior uel acutior inuenitur. Nec lectorem res illa conturbet, quod intendentes saepe spatia proportionum numero maiore signauimus, remittentes uero minore, cum intensio acumen faciat, remissio grauitatem. Illic enim tantum proportionum spatia signabamus, nihil de grauitatis aut acuminis proprietate laborantes, atque ideo et in acumen maioribus numeris intendimus, et minoribus in grauitatem saepe remisimus. Hic uero ubi chordarum spatia sonosque metiemur, naturam rerum sequi necesse est, maiorique longitudini chordarum ex qua grauitas existit, ampliores, minori uero ex qua uocis acumen nascitur, dare breuiores. Sit chorda intensa A B, huic aequa sit regula quae propositis partitionibus diuidatur, ut, ea regula chorda apposita, eaedem diuisiones in nerui longitudine signentur quas ante assignaueramus in regula. Nos uero nunc diuidimus ita, quasi ipsam chordam et non regulam partiamur. Diuidatur igitur A B in quatuor partes, per tria puncta quae sunt C D E. Erit igitur tota quidem A B dupla ab his quae sunt D B, A D; sigillatim uero A D, D B duplae sunt ab his quae sunt A C, C D, D E, E B. Erit igitur A B quidem grauissima, [1254] id est proslambanomenos, D B autem mese. Est enim dimidia totius, et sicut A B ab ea quae est B D dupla est spatio, ita B D ab ea quae est A B, dupla est acumine. Nam, ut superius dictum est, spatii et acuminis semper ordo conuersus est. Nam tanto est chorda maior in acumine, quanto fuerit minor in spatio, quocirca erit et E B nete hyperboleon quoniam E B eius quae est D B, dimidia quidem in quantitate, dupla uero in acumine. Rursus quoniam eadem E B eius quae est A B quarta pars est in spatio, quadrupla erit ab eadem in acumine. Erit igitur (ut dictum est) nete hyperboleon dupla in acumine ab ea quae est mese. Mese autem dupla in acumine ab ea quae est proslambanomenos. Nete uero hyperboleon quadrupla in acumine ab ea quae est proslambanomenos; consonabit igitur proslambanomenos ad mesen diapason, mese ad neten hyperboleon diapason, proslambanomenos ad netem hyperboleon bis diapason. Rursus quoniam aequae sunt partes A C, C D, D E, E B. Est antem A B quatuor earumdem partium, C B autem trium, A B sesquitertia est ab ea quae est C B. Rursus quia trium est aequalium partium C B sed D B duarum, erit igitur C B sesquialtera eius quae est D B. Rursus quoniam C B est trium partium aequalium, qualis est una E B, tripla igitur est C B ab ea quae est E B; erit igitur C B lychanos hypaton diatonos, consonabitque proslambanomenos quidem ad lychanon hypaton diatonon diatessaron consonantiam. Eadem uero lychanos hypaton diatonos consonabit ad mesen consonantiam diapente. Eademque lychanos diatonos consonabit ad neten hyperboleon, diapason et diapente. Rursus si de tota A B nonam partem auferam, eam quae est A F, erunt partes octo F B. Erit igitur F B hypate hypaton, ad quam sesquioctauam contineat proportionem A B, id est proslambanomenos, in musica uero tonum.

[1255] [PLLXIII:1255; text: Bis diapason, Diapason, Diatessaron, Diapason et Diapete, Tonus, Diapente, A, F, C, D, E, B, Proslambanomenos, Hypate hypaton, Luehanos hypaton, Mese, Nete hypmboieon, Z, Lychanos hypaton diapason [Phi], Diapason dupla, 3, B, Diapason quadruplus, Diatessaron sesquitertia, Diapason et diapente tripla, Nete hyperboleon] [BOEDIM4 05GF]

Quanto spatium maius erit, tanta maior grauitas; ubi uero minus, ibi maior acuties. Dum ergo A B in quadruplo spatio excedit E B, erit recte proslambanomenos in quadruplo grauior, et C B acutior in quadruplo, et eadem chorda A B ad F B est sesquioctaua spatio, quare tono ab F B uincitur; erit ergo hypate hypaton. Eadem rursus ad C B sesquitertia est spatio, erit ergo C B lychanos hypaton diatonos.

Vincetque C B in acumine ipsum A B consonantia diatessaron. Insuper idem A B spatio duplum est ad D B; erit idcirco acumine duplum D B ad A B. Et sic C B neten hyperbol constituet, quod doctus lector facile conspiciet dum acutius contemplatur.

Superior uero descriptio inferiora signa quae continet, eius sunt descriptionis, ubi chordis notulas apposuimus, quoniam earum nomina longum fuit ascribere. Item si A B tribus incisionibus partiamur, erit pars tertia A G. Duae igitur eiusdem erunt G B. Consonabit igitur A B proslambanomenos ad G B, quae est hypate meson, diapente consonantiam in proportione sesquialtera constitutam; C B autem ad G B erit sesquioctaua, et continebit tonum, idque ordine cadit. Nam lychanos hypaton diatonos, id est C B, ad eam quae est hypate meson, id est G B, continet tonum. Rursus A B quidem proslambanomenos ad C B lychanon hypaton diatonos consonantiam habet diatessaron, A B autem proslambanomenos ad G B hypate meson habet consonantiam diapente. Item C B ad D B, id est lychanos hypaton diatonos ad mesen habet consonantiam diapente, G B autem ad D B, id est hypate meson ad mesen, habet consonantiam diatessaron. Lychanos autem hypaton, id est C B, ad totius chordae modum ab eo quod est A usque ad id quod est LL, hanc, id est A, proslambanomenon 9216 diuido, dimidiam ad O, ut sit tota A dupla ad [1256] hypaten meson comparata, id est G B, distabit tono. Si autem eius quae est C B quartam partem sumpsero, erit C K. Igitur C B ad K B obtinet sesquitertiam proportionem, K B autem ab ea quae est D B sesquioctaua proportione distabit. Erit igitur K B quidem lychanos diatonos meson, et erit C B, id est lychanos hypaton diatonos, ad K B, id est lychanos diatonon meson diatessaron consonantiam continens.

Rursus si eius quae est D B nonam partem sumpsero, erit mihi D L Igitur L B erit paramese. Si autem eius quae est D B quartam partem sumpsero, erit D N. Igitur N B erit nete synemmenon. Si autem eius quae est D B tertiam partem sumpsero, erit D N. Igitur N B erit nete diezeugmenon.

Si autem K B in duas partes aequas fuerit diuisa, erit K X, eritque X B paranete hyperboleon.

[PLLXIII:1256; text: Proslambanomenos, Lychanos hypalon meson, Hypale meson, Lychanos meson, Mese, Paramese, Nete synemmenon, Diapete, A, C, G, K, D, L, M, N, X, B, Diatessaron, Tonus, Paranele byperboleon, Nete diezeugmenon, F, E, T] [BOEDIM4 07GF]

V Monochordi netarum hyperboleon per tria genera partitio.

Nunc igitur diatonici generis descriptio facta est in eo scilicet modo qui est simplicior ac princeps, quem Lydium nuncupamus. De quibus modis nunc disserendum non est; ut uero per tria genera currat mixta descriptio, et omnibus propria numerorum pluralitas apponatur ad conseruandas scilicet proportiones, uel tonorum atque dieseon, excogitatus est numerus qui haec omnia posset explere, ut maximus quidem ad proslambanomenon describatur, qui sit 9216; minimus uero 2304. Reliquorum uero sonorum proportiones in horum medietate texentur. Sane ab inferiore procedimus omniumque nomina chordarum non solum nominibus. uerum etiam oppositis litteris demonstramus. Sed ita ut quoniam trium generum est facienda partitio, neruorumque modus litterarum excedit numerum, ubi defecerint litterae, easdem geminemus rursus hoc modo, ut quando ad Z fuerit usque peruentum, ita describamus reliquos neruos: bis A id est AA, et bis B, id est BB, et bis C, id est CC Sit igitur primus quidem numerus maximusque qui proslambanomenon obtineat locum 9216. Sitque [1257] ea quae est O.

Item O sit dupla ab ea quae est LL, Erit igitur A quidem proslambanomenos, O autem mese, et LL nete hyperboleon; habebit igitur A quidem 9216, O uero horum dimidium, id est 4608, ut mese ad proslambanomenon diapason consonantia conueniat. Ea uero quae est LL dimidium est meses, ut sit proslambanomenos ab ea quae est nete hyperboleon quadrupla, et bis diapason ad eam consonet symphoniam, sitque LL 2304. Si igitur ex 2304 octauam abstulero partem, id est 288, eisdemque adiecero, fient mihi 2592, eritque NN 2592 quae sit paranete hyperboleon ad neten hyperboleon obtinens distantiam tonum.

Rursus eius quae est NN, id est 2592, aufero octauam quae est 324, eamque eis quorum est octaua subiungo, erunt 2916, fietque mihi FF trite hyperboleon diatonos in diatonico scilicet genere 2916 totum quidem distans ab ea quae est paranete hyperboleon, diatonum uero ab ea quae est nete hyperboleon, eadem uero FF erit in chromatico genere trite hyperboleon chromatica. In enharmonio uero paranete hyperboleon enharmonios, quod facilius agnoscetur cur eueniat, cum trium generum tria prima tetrachorda a nete hyperboleon inchoantia descripserimus.

Quoniam uero si A sesquitertia proportione duas sesquioctauas abstulero, relinquitur mihi semitonium minus, sumo tertiam eius quae est LL, id est neten hyperboleon, et sunt 768. Hos eisdem adiicio, fient mihi 3072. Quorum est DD nete diezeugmenon continens ad triten hyperboleon semitonium minus. Nam quoniam nete diezeugmenon ad neten hyperboleon diatessaron continet consonantiam, trite autem hyperboleon diatonos ab ea ditonum distat, relinquitur spatium quod est inter neten diezeugmenon et triten hyperboleon semitonii minoris.

[PLLXIII:1257; text: Bis Diapason, Diapason, Nete hyperboleon, A, O, LL, 9216, 4608, 2304, Proslambanomenos, Mese] [BOEDIM4 07GF]

Quoniam igitur tetrachordum hyperboleon diatonici generis expleuimus, nunc chromatici et enharmonii tetrachorda supplenda sunt hoc modo: quoniam enim paranete hyperboleon ad neten hyperboleon in diatonico quidem genere tono distat, in chromatico uero tribus semitoniis, in enharmonio uero duobus [1258] tonis, si distantiam paranetes hyperboleon et netes hyperboleon diatonici generis sumpserimus, eiusque dimidium paranete hyperboleon, quae est diatonici generis, apponamus, habebimus numerum tribus semitoniis ab hyperboleon nete distantem, et erit haec in chromatico genere paranete hyperboleon.

Aufero igitur de 2592, id est de paranete hyperboleon diatonici generis 2304, id est nete hyperboleon, relinquuntur mihi 288, hos diuido, erunt mihi 144, eosdem adiiciam 2592, id est paranete hyperboleon diatonici generis, et erunt mihi 2736: haec erit paranete hyperboleon chromatica. Rursus quoniam trite hyperboleon, uel diatonica, uel chromatica, duos tonos distat a nete hyperboleon, et in enharmonio genere paranete hyperboleon duobus tonis distat ab ea quae est nete hyperboleon eadem erit in enharmonico genere paranete hyperboleon, quae est in diatonico uel chromatico trite hyperboleon.

Sed quoniam trite hyperboleon diatonici generis et chromatici ad nete diezeugmenon minus semitonium seruant, constat autem tetrachordum enharmonii generis ex duobus integris tonis, et diesi, ac diesi, quae sunt dimidia spatia semitonii minoris, distantiam eam quae est inter neten diezeugmenon et paranetem hyperboleon enharmonium sumo; sed quoniam nete diezeugmenon est 3072, paranete autem hyperboleon enharmonios 2916, horum distantia erit 156, horum sumo dimidiam partem, qui sunt 78. Hos adiicio 2916, fient 2994, haec erit E E trite hyperboleon enharmonios; descriptum est igitur secundum tria genera tetrachordum quod est hyperboleon, cuius formam subter adiecimus.

[PLLXIII:1258; text: Tetrachordum hyperboleon, Diateffaron, Nete diezeugmenon, Nete byperboleon, Diatonico, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Tonus, DD, FF, NN, LL, 3072, 2916, 2592, 2304, Hemitonium, Tonus sesquiocta ratio, Tonus sesquiocta proportio, Chromaticum, 2736, hemitonium minus, hemitonium maius, Tria hemitonia unum maius duo minora, Nete hyperboleon] [BOEDIM4 08GF]

[1259] [PLLXIII:1259; text: Tetrachordum hyperboleon, Diateffaron, Nete diezeugmenon, Nete hyperboleon, Trite hyperboleon, Paranete byperboleon, Enharmonium, D, DD, NN, LL, EE, Tonus, 3072, 2994, 2916, 2307, Diesis, Duo toni, Tetrachordos hyperboleon.

Diatessaron, Sesquitertia omnium tetrachordorum ratio, Hemitonium minus, 2304, 2692, Paranote hyperboleon, Genus diatonicum. Hemitonium maius, Tria hemitonia unum maius duo minora, 2736, Chromaticum. Ditonus, darum chordarum interuallum, 3994, Enharmonicum, Quae hic late tribus figuris dicuntur, hac unica perspicacius conspicis.] [BOEDIM4 09GF]

VI Ratio superius digestae descriptionis.

Tria igitur tetrachorda tali nobis ratione descripta sunt.

Tetrachordum enim omne diatessaron retinet consonantiam. Igitur nete hyperboleon, et nete diezeugmenon in tribus generibus, id est, uel in diatono, uel in chromate, uel in enharmonio diatessaron continent symphoniam. Diatessaron autem consonantia constat duobus tonis et semitonio minore. Id hoc modo per tria genera in supradictis tetrachordis diuisum est. In diatonico enim genere quod est primum paranete hyperboleon, id est 2592, ad neten hyperboleon, id est 2304, obtinet distantiam tonum, quod tali notula inscripsimus [signum].

Rursus trite hyperboleon diatonici generis, quae est 2916, ad paraneten hyperboleon diatonici generis, quae est 2592, rursus obtinet differentiam quam simili nota insigniuimus [signum]. Nete autem diezeugmenon ad trite hyperboleon, id est 3072 ad 2916, semitonium refert, quod tali notula signauimus [signum]; hoc est totum spatium netes diezeugmenon, et netes hyperboleon duorum tonorum [1260] ac semitonii. Sed idem duo toni ac semitonium in chromatico genere hac ratione diuisi sunt. Secundum enim genus, quod est chromaticum, hoc modo descriptum est: paranete enim chromatice hyperboleon, quae est 2736, ad neten hyperboleon, quae est 2304 comparata, continet spatium paranetes hyperboleon diatonici generis ad neten hyperboleon quod est unus tonus, id est, duo semitonia maius ac minus, et diuisum rursus spatium paranetes hyperboleon diatonici, ad netes hyperboleon. Ita enim factum est, qui est dimidius tonus sed non integre, quia (ut supra uberrime monstratum est) non potest tonus in duo aequa partiri. Consignabimus igitur hoc spatium trium semitoniorum, id est toni ac semitonii, hoc modo. [signa] Rursus paranete hyperboleon chromatica ad triten hyperboleon retinet partem toni, id est semitonium, quod reliquum fuit ex duobus tonis qui continuentur inter triten hyperboleon diatonicam, et neten hyperboleon. Subtractis uero quatuor semitoniis, reliquum ex toto tetrachordo spatium semitonii est, quod continetur inter neten diezeugmenon, et trite hyperboleon. Constat igitur et hoc tetrachordum ex duobus tonis ac semitonio, diuisum in uno quidem spatio tribus semitoniis. In duobus autem spatiis, duobus semitoniis. Tria uero spatia neruis quatuor continentur. In enharmonio uero genere summa est id pernoscendi facilitas, ab ea enim quae est nete hyperboleon, id est 2304, paranete hyperboleon enharmonios, id est 2916, duos tonos integros distat, quos hoc modo notabimus.

Relinquitur igitur ex totius tetrachordi duobus tonis ac semitonio unum quidem semitonium quod continetur inter neten diezeugmenon et paraneten hyperboleon enharmonion. Quod scilicet diuisimus in duas dieses trite hyperboleon enharmonion. Media interiecta, spatiumque dieseos hoc modo signauimus [signum] ita igitur nobis hyperboleon tetrachordum descriptum est. Quo peracto ad diezeugmenon tetrachordum ueniamus. Nec immorandum est eisdem commemorationibus in caeteris. Cum ab hac descriptione etiam in aliis sumi possit exemplum.

VII Monochordi netarum diezeugmenon per tria genera partitio.

Netes igitur diezeugmenon, quae est 3072, si dimidium sumam, erunt 1536. Qui eisdem additi fiunt 4608 quae est mese, quam O littera designauimus; quod si eisdem netes diezeugmenon, id est DD, scilicet 3072, auferam tertiam partem, erunt 1024. Qui eisdem coniuncti facient 4096 quae uocabitur paramese, X littera subnotata. Nete igitur diezeugmenon, id est 3072, ad mesen, id est 4608, quoniam in sesquialtera comparatione consistit, diapente consonabit symphoniam.

Eadem uero nete diezeugmenon, id est 3072, ad paramesen, id est 4096, quae ad eam in sesquitertia proportione composita est, diatessaron retinet consonantiam. Si igitur ab ea quae est nete diezeugmenon 3072 octauam auferam partem, [1261] id est 384, eisque adiiciam, fient 3456, eritque paranete diezeugmenon diatonos, CC litteris pernotata, ad neten diezeugmenon obtinens tonum. Ab hac uero si octauam auferam partem, id est de 3456, que est 432, eosque eidem adiungam, erunt 3888. Eritque ea Y trite diezeugmenon diatonos. Sed quoniam nete dizeugmenon ad paramesen sesquitertiam obtinebat proportionem, trite autem diezeugmenon diatonos a nete dizeugmenon duos tonos abest, continebitur inter triten diezeugmenon et paramesen semitonium minus.

Diatonicum igitur genus, hoc quoque tetrachordo ac pentachordo ita expletum est, ut tetrachordi quidem eius, quod est netes diezeugmenon ad paramesen, diatessaron consonantia sit. Pentachordi uero eius quod est netes diezeugmenon ad mesen, diapente sit consonantia.

[PLLXIII:1261; text: nto ohoiaiii dzeuomenon, Mese, Paramese, zeugnonon, rinclazeuomenon, Neiodioziu, O, X, Y, CC, CC, 4506, 4090, 380, 3456, 3072, homitomi, Tonus, Tetracho dumniiazeu menon, Diapente, Diatessaron] [BOEDIM4 10GF]

Enharmonium uero atque chromaticum genus hac ratione texemus: Sumo distantiam netes et paranetes diezeugmenon diatoni, id est 3072 et 3456, est eorum differentia 384; hanc diuido, erunt 192; hanc si sumam et ei quae est paranete diezeugmenon diatonos adiungam, id est 3456, fient 3648, haec erit paranete dizeugmenon chromatica, BB geminatis litteris adnotata distans nete diezeugmenon tono et semitonio, id est tribus semitoniis, continens ad triten diezeugmenon dudum quidem diatonicam.

Nunc [1262] uero chromaticam, id est 5888, semitonium reliquum ab eo tono, quod diuisum est inter paraneten diatonon diezeugmenon, et triten diatonon diezeugmenon, et sit reliquum aliud ex tetrachordo semitonium inter triten diezeugmenon chromaticam et paramesen, quod scilicet ex diatessaron consonantia relinquitur, ea quae est inter neten diezeugmenon et paramesen subtractis duobus tonis, quod nete diezeugmenon chromatica, et trite diezeugmenon chromatica continebant. Quae autem in diatonico genere trite diezeugmenon diatonica est. In chromatico autem diezeugmenon chromatica, ea in enharmonio genere paranete diezeugmenon enharmonios dicitur, integros enim duos tonos distat ab ea quae est nete diezeugmenon et notetur AA. Et inter neten diezeugmenon et paraneten enharmonion diezeugmenon nulla interest chorda, atque ideo paranetes uocabulo nuncupatur. Semitonium uero quod est inter paraneten enharmonion diezeugmenon et paramesen, id est inter AA et X hac ratione partimur, ut fiant duae dieses. Sumo differentiam paranetes enharmonii diezeugmenon et parameses, id est 3888 et 4096, ea est 208, hanc diuido, fient 104, hos appono 3888, fient 3992. Ea erit trite diezeugmenon enharmonios Z littera pernotata. Huius igitur tetrachordi per tria genera descriptionem subter adieci, superiusque dispositum hyperboleon tetrachordum aggregaui, uti esset utrorumque una descriptio, et paulatim iuncta dispositionis totius forma consurgeret.

[PLLXIII:1262; text: Tetrachordum hyperboleon, Enharmonium, Chromaticum, Diat nicum, Diatessaron in tribus generibus. nete diezeugmenon, trite hyperboleon, paranete hyperboleon, nete hyperboleon, DD, FF, NN, LL, CC, D, 3072, 2916, 2592, 2304, Hemitonium minus, Tonus, 2736, Hemitonium maius, Traib hemitonia, 2994, Diesis, Duo toni] [BOEDIM4 10GF]

[1263] [PLLXIII:1263; text: Tetrachrdum diezeugmenon, Enharmonium, Chromaticum, Diatonicum, paramese, trite diezeugmenon diat diaton, paranete diezeugmenon, nete diezeugmenon, X, Y, CC, DD, Z, AA, BB, D, 4096, 3808, 3456, 3072, Hemitonium minus, Tonus, trite diezeugmenon, paranete diezeugmenon chromaticum, nete = diezeugmenon, 3888, 3648, Tria hemitoncanu maius duo minora, trite diezeugmenon enharmonium, 3992] [BOEDIM4 11GF]

VIII Monochordi netarum synemmenon per tria genera partitio.

Duo quidem tetrachorda quae sibimet quidem coniuncta sunt, a mese uero disiuncta, trium generum snperior descriptio, quemadmodum locarentur ostendit. Nunc ad aliud tetrachordum ueniendum est, quod synemmenon uocatur, quod iunctum est ei quae est mese. Quoniam enim inter neten diezeugmenon et mesen diapente consonantiam esse praediximus, est autem diapente consonantia trium tonorum ac semitonii. Tres uero sunt toni in hoc pentachordo, quorum unus quidem netes diezeugmenon ad paraneten diezeugmenon diatonon. Alter uero paranetes diezeugmenon diatonon ad triten diezeugmenon diatonon. Tertius autem parameses ad mesen, reliquumque semitonium trites diezeugmenon diatoni ad paramesen, quoniamque netes diezeugmenon et parameses tetrachordum ab ea quae est mese, eo tono disiunctum est, quod est inter paramesen ac mesen. Si ex eo pentachordo, quod est a nete dizeugmenon ad mesen, unum abstulerimus tonum, eum scilicet qui continetur inter neten diezeugmenon et paraneten diezeugmenon diatonon, poterimus aliud tetrachordum ad mesen iungere, ut fiat synemmenon. quod est coniunctum hoc modo. Nam quoniam paranetes diezeugmenon diatoni, quae est CC, numerus est 3456, horum tertia eisdem addita faciet mesen. Hic ergo numerus in diezeugmenon tetrachordo [1264] CC litteris adnotatus, tono distabat a nete diezeugmenon in genere diatonico, et paranete diezeugmenon diatonos uocabatur, in synemmenon autem tetrachordo, id est, coniunctarum sit nete synemmenon in tribus generibus constituta Y littera pernotata, et ab ea octaua pars auferatur quae est 432 eisque apponatur, fient 5888 quae est paranete synemmenon et T littera pernotata. Huius pars sumatur octaua ea quae est 486; haec summa si eisdem, quorum octaua est, aggregetur, fient 4374, quae est trite synemmenon diatonos, id est, E. Sed quoniam nete synemmenon ad mesen, id est 3456 ad 4608, sesquitertiam obtinet proportionem quae est diatessaron, trite autem synemmenon, ad netem synemmenon, id est 4374 ad 3456, duorum tonorum obtinet proportionem, relinquitur trites synemmenon diatoni ad mesen proportio semitonii, et coniunctum est hoc tetrachordum cum mese, atque ideo synemmenon quasi continuum et coniunctum uocatur. Et diatonici quidem generis hoc modo est facta proportio. Chromatici uero talis diuisio est: sumo netes synemmenon et paranetes synemmenon diatonici, id est 3456 et 3888 differentiam, ea est 432; hanc si diuido ut semitonium fiat, fiunt 216; hanc adiicio ad 3888 ut tria semitonia fiant, erunt 414, quae est paranete synemmenon chromatica, cui littera S superapposita est. Ab hac igitur, id est, paranete synemmenon chromatica, ad triten synemmenon prius quidem diatonicam, nunc uero chronicam semitonium est. A qua trite synemmenon chromatica usque mesen aliud semitonium reperitur. Sed quoniam a nete synemmenon usque ad triten synemmenon diatonicam uel chromaticam duo toni sunt, quae est diatonico uel chromatico generibus trite synemmenon diatonos uel chromatica, eadem in genere enharmonio paranete synemmenon enharmonios est, habens summam 4374, quae sit R, A, qua usque ad meson semitonium est, hoc partior in duas dieses hoc modo: Sumo differentiam paranetes synemmenon enharmonii et meses, id est 4374 et 4608, facit 234; hanc diuido, fient 117; hanc adiicio paranete synemmenon enharmonios, id est 4374, fient 4491, quae P littera pernotatur, et sit ea trite synemmenon enharmonios. Eritque semitonium quod continetur inter paraneten synemmenon enharmonion et mesen, id est inter 4374 et 4608, diuisum per triten synemmenon enharmonion eam, scilicet quae est 4491. Quocirca huius quoque tetrachordi expedita ratio est.

Nunc autem facienda est descriptio, iuncta tamen cum caeteris tetrachordis, id est hyperboleon ac diezeugmenon, ut paulatim fiat descriptionis rata progressio.

[1265-66] [PLLXIII:1265-66; text: Diatonicum, Chromaticum, Enharmonium, Mese, Paramese, Trite diezeugmenon, Trite synemmenon, Paranete diezeugmenon, Paranete synemmenon, Nete diezeugmenon, Nete synemmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, Hemitonium minus, Hemitonium maius, Tonus, Tria hemitonia, Diesis, Ditonus, Hemitonium, 5072, 4608, 4491, 4374, 4104, 4096, 3888, 3648, 3456, 3072, 2994, 2916, 2736, 2592, 2304, E, T, S, P, R, D, X, Y, CC, DD, FF, NN, LL, BB, Z, AA, EE, Diapason totius distantiae duorum tetrachordorum, puta diezeugmenon et hyperboleon in tribus modulandi generibus, Quanquam ex duobus tetrachordis non nisi disdiatessaron, ubique tamen tonus appositus est. Qui est quidem a paramese ad mesen ratio uerae distantiae dupla est, ut id pernotatur facillime] [BOEDIM4 12GF]

[1265] IX Monochordi meson per tria genera partitio.

Ex his igitur quae praedicta sunt, in caeteris non arbitror diutius laborandum esse. Ad horum enim exemplar etiam reliqua tetrachorda meson atque hypaton texenda sunt. Ac primum quidem diatonici generis meson tetrachordon hoc ordine describemus. Meses enim quae est O 4608 sumo tertiam partem, ea est 1536; hanc eidem copulo, fient 6144, ea sit H hypate meson diatessaron ad mesen continens consonantiam, haec duobus tonis ac semitonio ita diuiditur: Sumo enim meses, id est 4608, octauam partem, quae est 576; hanc eidem adiungo, fient 5184, ea est lichanos meson diatonos, id est M. Cuius interim pars sumitur octaua, ea est 648; hanc eidem adiungo, fient 5832. Ea sit I parhypate meson diatonos tonum obtinens ad lichanon meson diatonon, duobus autem tonis distans a mese. Relinquitur igitur semitonium inter hypaten meson diatonon [1266] et parhypaton meson diatonon constitutum, id es inter 6164 et 5832. Idem uero tetrachordum meses atque hypates meson in chromatico genere tali ratione partimur. Sumo meses differentiam ad lichanon meson diatonon, id est 4608 ad 5184, ea est 576; hanc dimidiam partior, fient 288; eadem adiicio numero maiori, id est 5184, fient 5472, quae fit N lichanos meson chromatice. Relinquuntur igitur duo semitonia, unum inter lichanon mesen chromaticen et parhypaten meson chromaticen, id est inter 5472 et 5832, et aliud inter parhypate meson chromaticen et hypaten meson, id est inter 5832 et 6144.

Enharmonium uero genus hoc modo diuidimus, quoniam ea quae erat ptahypate meson diatonos, uel ea quae erat parhypate meson chromatice, duos tonos distabat a mese obtinens numerum 5832, ea in enharmonio genere erit lichanos meson enharmonios, L littera pernotata, duos nihilominus ad mesen obtinens tonos. Reliquum igitur semitonium [1265-<recte -1267->] quod est inter lichanos meson enharmonion et hypaten meson, id est inter 5832 et 6144, in duas dieses hoc modo diuidimus. Aufero differentiam 5832 ad 6144, ea est 312: hanc dimidiam partior, fient- 156; hanc ad 5832 iungo, fient 5888; et haec sit K parhypate meson enharmonios. Duae uero sunt dieses [1266-<recte - 1268->] inier lychanon meson enharmonion et parhypate meson enharmonion, id est inter 5832 et 5988, et inter parhypaten meson enharmonion et hypaten meson, id est inter 5988 et 6144. Diuisum est igitur meson tetrachordon. Quod ita in descriptione ponatur, ut superius descriptis tetrachordis aggregetur.

[PLLXIII:1265-66 <recte 1267-68>; text: Diatonicum, Chromaticum, Enharmonium, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese, Trite synemmenon, Paranete synemmenon, Nete synemmenon, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, 6144, 5988, 5832, 5472, 5184, 4608, 4491, 4374, 4104, 4096, 3888, 3648, 3456, 3072, 2994, 2992, 2916, 2736, 2592, 2304, H, I, M, O, E, T, Y, N, K, L, X, CC, DD, FF, NN, LL, BB, Z, AA, EE, Diesis, Hemitonium minus, Hemitonium maius, Tonus, Tria hemitonia, Ditonus] [BOEDIM4 13GF]

[1265-<recte -1267->] X Monochordi hypaton per tria genera partitio, et totius dispositio descriptionis.

Nunc uero hypaton tetrachordum per tria genera diuidendum est. Sumo hypates meson, id est 6144: dimidiam partem, quae sit 3072, hanc eidem si adiecero, fient 9216, quae est proslambanomenos ad hypaten meson diapente consonantiam seruans. Eiusdem autem hypaten meson 6154. Si auferam tertiam partem quae est 2048 eidemque adiecero, fient 8192. Et haec est B hypate hypaton, Igitur hypaten meson ad proslambanomenon diapente est consonantia, ad hypaten uero hypaton diatessaron. Ab hac igitur [1266 -<recte -1268->] hypate meson, id est 6144, pars auferatur octaua, erunt 768; hanc eisdem si quis adiungat, fient 6912.

Quae est E lychanos hypaton diatonos ad hypaten meson toni obtinens proportionem. Rursus de 6912, pars auferatur octaua, erunt 864; hoc si eisdem copuletur, fient 7776, quae est C parhypate hypaton, diatonos ad lichanon hypaton diatonon toni, ad hypaten meson duorum tonorum distantiam seruans. Relinquitur igitur semitonium inter parhypaten hypaton diatonon et hypaten hypaton, id est inter 7776 et 8192, et diatonici quidem generis hypaton tale tetrachordum est, chromaticum uero tali ratione diuidimus. Sumo enim differentiam hypaten meson, et [1269] eius quae est lichanos hypaton diatonos, id est 6144 et 6912, ea est 768; hanc dimidiam partior ut duo efficiam semitonia, fient 384: hanc adiicio 6912 ut tria semitonia fiant, erunt 7296; haec erit F lichanos hypaton chromatice ab ea quae est hypate meson tribus semitoniis distans. Relinquuntur ergo duo semitonia, unum quidem inter lichanos hypaton chromaticen et parhypaten hypaton chromaticen, id est inter 7296 et 7776. Aliud uero inter parhypaten hypaton chromatice et hypaten hypaton, id est inter 7776 et 8192.

Restat enharmonium genus, cuius ad superius exemplar talis diuisio est. Quoniam enim parhypate hypaton diatonos uel parhypate hypaton chromatice, qua 7776 unitatibus insignita est, duobus tonis distat ab ea quae est hypate meson, eadem erit in genere enharmonio lichanos hypaton enharmonios, quae ab hypate meson duobus integris differant tonis. Restat igitur ex diatessaron consonantia semitonium quod est inter lichanos hypaton enharmonion [1270] et hypaten hypaton, id est inter 7776 et inter 8192, hoc in duas dieses ita diuidimus. Sumo differentiam eius quae est lichanos hypaton enharmonios, et hypaten hypaton, id est 7776 et 8192, ea est 416; huius dimidiam sumo, sunt 208; hanc adiicio 7776, fient 7984 quae sit D parhypate hypaton enharmonios. Sunt igitur duae dieses: una quidem quae est inter lichanon hypaton enharmonion et parhypaten hypaton enharmonion, id est inter 7776, et 7984; altera uero quae est inter parhypaten hypaton enharmonion, et hypaten hypaton, id est inter 7984 et 8192. Tonus uero ultimus inter proslambanomenon et hypaten hypaton, id est inter 9216 et 8192, continetur. Diuisum est igitur hypaton tetrachordum secundum tria genera diatonicum chromaticum enharmonion. Quod si superioribus tetrachordis hyperboleon diezeugmenon synemmenon meson adiungatur, fit integra perfectaque descriptio diuisi per omnia monochordi regularis.

[PLLXIII:1269-70; text: Tetrachordos hypaton Diatonicae, Tetrachordos hypaton Chromaticum, Tetrachordos hypaton Enharmonicum, Tetrachordos meson Diatonicae, Tetrachordos meson Chromaticum, Tetrachordos meson Enharmonicum, Tetrachordos synemmenon Diatonicae, Tetrachordos synemmenon Chromaticum, Tetrachordos synemmenon Enharmonicum, Tetrachordos diezeugmenon Diatonicum, Diatonicum, Chromaticum, Enharmonium, Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hyppate hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Trite synemmenon, Paranete synemmenon, Nete synemmenon, Paramese, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, M, N, O, P, R, S, X, Y, Z, CC, DD, Diesis, Hemitonium minus, Hemitonium maius, Tonus, Tria hemitonia, Ditonus, 9216, 8192, 7984, 7776, 7296, 6912, 6832, 6144,5988, 5832, 5442, 5194, 4608, 4491, 4374, 4096, 4069, 4068, 4014, 3888, 3456, 372] [BOEDIM4 14GF]

[1271-72] [PLLXIII:1271-72,1; text: Tetrachordos diezeugmenon Chromaticum, Tetrachordos diezeugmenon Enharmonicum, Tetrachordos hyperboleon Diatonicum, Tetrachordos hyperboleon Chromaticum, Tetrachordos hyperboleon Enharmonicum, Chromaticum, Enharmonium, Diatonicum, Paramese, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, X, Y, Z, AA, BB, DD, EE, FF, KK, LL, NN, 4096, 3888, 3648, 2994, 2916, 2736, 2592, 2034, 399, 388, 372, Diesis, Hemitonium minus, Hemitonium maius, Tonus, Tria hemitonia, Ditonus] [BOEDIM4 15GF]

[PLLXIII:1271-72,2; text: Henrici Glareani speculatio. Plana monochordi regularis partitio in tribus generibus. Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Trite synemmenon, Paranete synemmenon, Nete synemmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, Secupla ratio, Sesquitertia ratio, Diapente, Diatessaron, Tetrachordos bypaton cum proslambanomene in tribus modulandi generibus, Tetrachordos meson in iisdem, Tetrachordos hyperboleon in tribus modulandi generibus, Tetrachord syemmenon in iisdem iribus generibus, Diatonico, Enharmonico, Chromatico, sesquitertia, 9216, 8192, 7984, 7776, 6912, 6144, 5998, 5832, 5472, 5184, 5144, 4608, 4491, 4374, 4104, 3888, 3456, 3072, 2994, 2916, 2736, 2592, 2304] [BOEDIM4 15GF]

[1273] [PLLXIII:1273; text: Sesquitertia ratio. Diatessaron, Tetrachordos diezeugmenon in tribus. Enharmonico, sesquitertia, Chromatico, Diatonico, Paramese, 4096, Trite diezeugmenon, 3888, Paranete diezeugmenon, 3456, Nete diezeugmenon, 3072, 3648, 3992] [BOEDIM4 11GF]

XI Ratio superius dispositae descriptionis.

In superiore igitur forma obtinet quidem consonantiam diapason proslambanomenos ad mesen, mese autem ad neten hyperboleon. Bis diapason autem proslambanomenos ad neten hyperboleon. Diatessaron autem consonantiam seruat hypate hypaton ad hypaten meson. Hypate meson ad mesen mese, ad neten synemmenon, paramese ad neten diezeugmenon, nete diezeugmenon ad neten hyperboleon. Atque hoc ita fit, ut his consonantiis integra tetrachorda numeremus. Atque ut clarius omnis in hac forma respiciatur ordo neruorum, secundum tria genera 5 tantum notantur esse tetrachorda. Primum atque grauissimum hypaton, cuius est princeps hypate hypaton, ultima autem hypate meson, secundum uero meson cuius est princeps hypate meson, extrema uero mese. Tertium synemmenon, cuius est princeps mese, finalis nete synemmenon. Quartum diezeugmenon, cuius est prima paramese, nete uero diezeugmenon extrema. Quintum uero est hyperboleon cuius est quidem princeps nete diezeugmenon, ad neten uero hyperboleon terminatur extrema.

XII De stantibus et mobilibus uocibus.

Harum uero omnium uocum partim sunt in totum immobiles, partim in totum mobiles, partim uero nec in totum immobiles, nec in totum mobiles. In totum immobiles sunt proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synemmenon, paramese, nete diezeugmenon, nete hyperboleon. Idcirco quoniam in omnibus tribus generibus eaedem sunt, nec nomina nec loca permutantes, siue pentachorda, siue tetrachorda contineant. Pentachorda quidem ut proslambanomenos ad hypaten meson, et mese ad neten diezeugmenon. Tetrachorda uero ut hypate hypaton ad hypaten meson, hypate meson ad mesen. Mobiles uero sunt quae secundum singuia [1274] genera permutantur hoc modo ut paranete et lichanos diatonici et chromatici, trite et parhypate enharmonici.

Alia est enim paranete hyperboleon diatonos, alia paranete hyperboleon chromatica, alia trite enharmonios. Diuersae sunt etiam paranete diezeugmenon diatonos, atque chromatica. Nec est eadem quae in generibus caeteris trite diezeugmenon enharmonios, neque eaedem sunt paranete synemmenon diatonos et chromatica et trite synemmenon enharmonios, his qui sunt in reliquis generibus trite. Distant etiam lichanos meson diatonos et lichanos meson chromatice, et parhypate meson enharmonios nulli aliorum generum parhypate similis inuenitur. Nec eosdem locos ac numeros seruant lichanos hypaton diatonos et lichanos hypaton chromatice. Nam parhypate hypaton enharmonios aliorum generum parhypatis reperitur esse dissimilis. Non in totum uero immobiles aut mobiles sunt, quae in duobus quidem generibus manent, id est chromatico et diatonico sed in enharmonio permutantur. Id autem sic consideratur trite hyperboleon, diatonos, et trite hyperboleon chromatice eadem in superiori forma descripta est, hisdem numeris 2829. At uero cum enharmonium genus aspicimus triten aliam reperimus, id est 2916. Quae igitur uox duobus fuit generibus communis, eadem in tertio permutata est. Idem est et in diezeugmenon tetrachordo. Nam trite diezeugmenon diatonos et trite diezeugmenon chromatica eaedem sunt, sibique consentiunt, trite autem diezeugmenon enharmonios a superiore distat, in synemmenis etiam idem est. Trite enim synemmenon diatonos et trite synemmenon chromatice eaedem sunt. Ted trite synemmenon enharmonios est diuersa. Item parhypate meson diatonos, et parhypate meson chromatica eaedem notantur. Sed in enharmonio genere sicut superius trite ita hic parhypate iuxta hypates meson quidem inueniuntur, ui autem ac soni acumine diuersae sunt caeteris. Rursus parhypate hypaton diatonos et parhypate hypaton chromatica eadem est.

Sed non eadem est cum in enharmonio genere quaeritur. Sed ut harum non plena mutabilitas clarius colliquescat ad hyperboleon tetrachordum redeamus, in hoc igitur quae in diatonico atque in chromatico genere trite hyperboleon est, eadem mutatur in enharmonio, et fit paranete.

Item quae trite diezeugmenon in diatonico uel chromatico genere uocabatur, paranete in enharmonio dicitur quae trite synemmenon in chromatico uel diatonico fuit, in enharmonio in paraneten transit.

Quae uero parhypate meson in chromatico uel diatonico uidebatur, eadem lichanos meson in enharmonio reperitur. Quae autem parhypate hypaton, uel in diatonico uel in chromatico dicebatur, lichanos hypaton in enharmonio nuncupatur. Sunt igitur quidem immobiles, proslambanomenos, hypate [1275] hypaton, hypate meson, mese, nete synemmenon, paramese, nete diezeugmenon, nete hyperboleon, mobiles uero quas lychanos, uel paranetas, uel diatonicas, uel chromaticas, uel enharmonicas nominamus. Non in totum mobiles aut immobiles, quas parhypatas tritas in diatonico uel chromate, lichanos autem uel paranetas in enharmonico genere dicimus.

XIII De consonantiarum speciebus.

Nunc de speciebus primarum consonantiarum tractandum est; primae autem consonantiae sunt diapason, diapente, diatessaron. Species autem est quaedam positio propriam habens formam secundum unum quodque genus in uniuscuiusque proportionis consonantiam facientis terminis constituta, ut in diatonico genere. Nam si diezeugmenon tetrachordum inter hyperboleon tetrachordum mesenque ponamus, subtracto scilicet synemmenon tetrachordo, erunt 15 nerui. At si ab his proslambanomenos detrahatur, erunt quatuordecim. Hi ergo disponantur hoc modo. Sit A hypate hypaton, B parhypate hypaton, C hypate ilchanos, D hypate meson, E parhypate meson, F lichanos meson, G mese, H paramese, I trite diezeugmenon, K paranete diezeugmenon, L nete diezeugmenon, M trite hyperboleon, N paranete hyperboleon, O nete hyperboleon. Ab hypate igitur ad paramesen diapason consonantia est. A mese uero ad hypaten meson diatessaron, ab eadem uero mese ad lichanon hypaton diapente. Erit igitur diapason quidem octo chordarum. Diatessaron uero quatuor, diapente autem quinque. Ac per hoc habebit diatessaron quidem species tres, diapente autem species quatuor, diapason uero species septem. Semperque una minus species erit quam fuerint uoces, ut enim a mese caeteras ordinamus diatessaron consonantiae species tres sunt, hoc modo: una quidem species erit ab G ad D; secunda uero ab F ad C; tertia uero ab E ad B, et huc usque diatessaron species progrediuntur.

Idcirco quia huc usque species binos continet neruos eiusdem diatessaron, ut G D quidem eos qui sunt E F continent, F C eos qui sunt E D, et E B eos continent qui sunt C D; si uero his adiecero diatessaron D A, diuersa non erit ab ea quae est G D, unum enim solum G D consonantiae neruum continebit, id est D solum. Excessit igitur G D consonantiam, atque ideo diatessaron tres species habere perhibetur.

Et in caeteris quidem consonantiis idem est. Diapente autem erunt species quatuor hoc modo: Una quidem est H ad D; alia uero ab eo quod est G ad C; alia ab eo quod est F ad B; alia autem ab eo quod est E ad A. Diapason uero consonantiae 7 erunt species, hoc modo: prima ab eo quod est O ad G secunda ab eo quod est N ad F; tertia ab eo quod est M ad E; quarta ab eo quod [1276] est L ad D; quinta ab eo quod est K ad C; sexta ab eo quod est I ad B; septima ab eo quod est H ad A. Liquet igitur ex his quae dicta sunt, diatessaron consonantiam semel tantum in immobilibus ac statutis uocibus contineri. Nam si ab hypate hypaton incipiam, erit A D, id est ab hypate hypaton in meson hypaten ea quae est in ordine prima. Nam caeterae non statutis uocibus terminantur, ut B E C F. Nam parhypate hypaton et parhypate meson, lichanos hypaton et lichanos meson mobiles esse monstratae sunt. Quod si rursus ab hypate meson diatessaron consonantiam inchoemus, erit species diatessaron statutis uocibus terminata G D, ea quae est prima, id est ab hypate meson in mesen.

Reliquae minime, ut E H et F I Nam parhypate meson et lichanos meson et trite diezeugmeuon non probantur immobiles. Rursus si eamdem diatessaron paramese suscipiat ordiendam, erit quoque quae statutis coerceatur sonis, diatessaron species H L, id est a paramese in nete diezeugmenon, quae est prima. Nam caeterae quae sunt I M et K N mobilibus terminantur sonis. Nam triten diezeugmenon, et paraneten diezeugmenon, et triten hyperboleon, et paraneten hyperboleon mobiles uoces esse praediximus. Item diapente consonantia duas tantummodo species tenet, quae statutis uocibus includuntur. Ut si ab hypate meson ordiamur, una quidem est D H, id est ab hypate meson in paramesen, ea quae est prima. Altera uero G L, id est a mese in neten diezeugmenon, haec uero est quarta. Reliquae uero, id est E I et F K, minime statutis uocibus clausae sunt. Nam parhypate, et lichanos, et trite, et paranete instabiles approbantur. Similis autem ratio erit si a nete diezeugmenon in grauiorem partem, id est ad mesen, consonantiae huius species considerentur, eisdem enim immobilibus uocibus, quae superius dictae sunt, continebuntur. Siue autem ab hypate meson, seu a mese, seu a paramese, siue etiam a nete hyperboleon consonantias ad grauiorem partem ducamus. Duarum quae statutis uocibus coerceantur, non poterit esse destructio. Diapason uero consonantiae siue ab hypate hypaton in paramesen, siue a nete hyperboleon in mesen ordo sumatur, tres tantummodo species obtinebit, quae immobilibus uocibus coerceantur. Nam ab hypaten hypaton ordientibus una est A B, ea quae est prima ab hypate hypaton in paramese. Altera D L ea quae quarta ab hypate meson in nete diezeugmenon. Dehinc G O haec septima est, id est a mese in neten hyperboleon. Reliquarum uero specierum uoces extimae nullo modo immobilibus uocibus constitutae sunt. Nam parhypate, et lichanos, et trite, paranete (ut supra quodque dictum est) immobiles non sunt. Similiter autem et per easdem uoces si ab hyperboleon nete ordiamur, specierum ordo contexitur, quorum omnium intelligentiam subiecta descriptio docet.

[1277] Stabiles A Hypate hypaton Mobiles B Parhypate hypaton Mobiles C Lichanos hypaton Stabiles D Hypate meson Mobiles E Parhypate meson Mobiles F Lichanos meson Stabiles G Mese Stabiles H Paramese Mobiles I Trite diezeugmenon Mobiles K Paranete diezeugmenon Stabiles L Nete diezeugmenon Mobiles M Trite hyperboleon Mobiles N Paranete hyperboleon  Stabiles O nete hyperboleon [PLLXIII:1277; text: Diapason septem speciebus et octophthongus, Diapente 4 speciebus, Diatessaron 3 species, Species, Proslambanomenos, A, Hypate hypaton, Stans, B, Parhypate hypaton. Mobilis, C, Lichanos hypaton. D, Hypate meson, Stans phthongus, E, Parhypate meson, F, Lichanos meson, Mobilis phthongus, G, Mese. H, Paramese. I, Paranete diezeugmenon, K, L, Nete diezeugmenon, M, Trite hyperboleon, N, Paranete hyperboleon, O, Nete hyperboleon] [BOEDIM4 16GF]

[1278] XIV De modorum exordiis, in quo dispositio notarum per singulos modos ac uoces.

Ex diapason igitur consonantiae speciebus existunt qui appellantur modi, quos eosdem tropos uel tonos nominant. Sunt autem tropi constitutiones in totis uocum ordinibus, uel grauitate, uel acumine differentes, constitutio uero est plenum ueluti modulationis corpus ex consonantiarum coniunctione consistens, quale est uel diapason, uel diapason et diapente et diatessaron, uel bis diapason. Est enim diapason constitutio, a proslambanomenos in meson caeteris quae sunt mediae uocibus annumeratis, uel a mese rursus in neten hyperboleon cum uocibus interiectis, uel ab hypate meson in neten diezeugmenon, cum his quas extremae uoces medias claudunt. Diapason et diatessaron uero constitutio ea est quae a proslambanomenos in neten synemmenon, cum his quae mediae sunt interiectae constat. Bis diapason autem a proslambanomenon in neten hyperboleon, cum his quae in medio sunt interpositae consideratur. Has igitur constitutiones si quis totas faciat acutiores uel in grauius totas remittat, secundum supradictas diapason consonantiae species efficiet modos septem, quorum nomina sunt haec: hypodorius, hypophyrygius, hypolydius, dorius, phrygius, lydius, mixolydius; horum uero sic ordo procedit. Sit in diatonico genere uocum ordo dispositus a prolambanomene in neten hyperboleon, atque hic sit hypodorius modus. Si quis proslambanomenon in acumen intendat tono, hypatenque hypaton eodem tono attenuet, caeterasque phthongorum omnes faciat acutiores, acutior totus ordo proueniet, quam fuit prius quam toni susciperet intensionem. Erit igitur tota constitutio acutior effecta hypophrygius modus, quod si in hypophrygio toni rursum intensionem uoces acceperint, hypolydii modulatio nascentur.

At si hypolydium quis semitonio intendat, dorium faciet, et in aliis quidem similis est in acumen intensionemque processus. Quorum, non ut intelligentiam solummodo ratio comprehendatur, uerum oculis quoque forma possit agnosci, ab antiquis tradita musicis descriptio supponenda est; sed quoniam per singulos modos a ueteribus musicis unaquaeque uox diuersis notulis insignita est, descriptio prius notularum uidetur esse ponenda, ut his primum per se cognitis in modorum descriptione facilis possit esse dispectio.

[1279-80] [PLLXIII:1279-80; text: Hypermixolydius, Mixolydius, Lydius, Phrygius, Dorius, Hypolydius, Hypophrygius, Hypodorlus, Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, [MESE], Trite synemmenon, Paranete synemmenon, Nete synemmenon, Paramese, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, A, [sqb], C, D, E, F, G, a, b, c, d, e, f, g, Aa] [BOEDIM4 17GF]

[1279] XV Descriptio continens modorum ordinem ac differentias.

Superior igitur descriptio chordarum nomina tenet ascripta, notulas uero iuxta positas, et quae cuiusque sit modi, siue lydii, siue phrygii, siue dorii uocabulorum [1280] signat adiectio. Sed quoniam hos modo diximus in speciebus diapason consonantiae reperiri, age eosdem in diatonico tantum genere describamus, ut qui eorum ordo sit, sub aspectu cadens intelligentiam non moretur.

[1281-82] [PLLXIII:1281-82; text: Acutissimus Tetrardus Hypermixolydius, Plagis Tetrardi Mixolydius, Tritus Lydius, Deuterus Phrygius, synemmenon, paramese, Dorius Protus, Hypolydius Plagi triti, Hypophrygius Plagis deuteri, Hypodorius Plagis proti] [BOEDIM4 18GF]

[1281] XVI De superius disposita modorum descriptione.

Septem quidem praediximus esse modos sed nihi uideatur incongruum quod octauus super annexus est. Huius enim adiectionis rationem paulo posterius eloquemur. Nunc illud est considerandum quod hae paginulae, quas inter se rectus linearum ordo distinguit, aliae quidem habent notulas musicas, aliae uero minime, uelut in eo modo qui scribitur hypermixolydius. Prima quidem paginula [Omega] tertia [Phi] litteris adnotatur. Secunda notula uacat. In hac igitur inter [1282] capedine notularum tonus interesse monstratur. Quod uero [Phi] tertiae atque [Gamma] quartae paginae notam non paginula diuidit sed uersus recto ordine diductus, semitonium eas differre pronuntiat, quod probatur hoc modo: nam si [Omega] proslambanomenos est, [Phi] hypate hypaton, [Gamma] parhypate hypaton, necesse est inter proslambanomenon quod est [Omega] et inter hypaten hypaton, quod est [Phi] toni esse distantiam, inter hypaten autem hypaton quod est [Phi] et parhypaten hypaton, quod est [Gamma], semitonii differentiam contineri iamque hoc regulariter in cunctis est considerandum, ut si uocum [1283] notulas integra pagina disgregauerit, toni inter eas sciamus esse distantiam. Sin uersus notulas, ac non pagina distinguit, semitonii non ignoremus esse distantiam. His igitur ita praemissis, si duo ordines in bis diapason consonantia constituti sibi inuicem comparentur, ut qui ordo sit grauior possit agnosci, si proslambanomenos proslambanomene fuerit grauior uel quaelibet alia uox eiusdem loci uoce grauior pernotetur, in eodem scilicet genere constituta, totum quoque ordinem necesse est esse grauiorem. Tamen id melius sumetur ad mediam quae est mese.

Duorum enim ordinum bis diapason consonantium cuius mese fuerit grauior, eiusdem totus ordo quoque grauior erit. Nam caeterae singulae singulis comparatae nihilominus grauiores inuenientur, itaque si media ab alia media tono aut acutior uideatur, aut grauior, omnes quoque nerui si id eodem genere sint, singuli sibimet comparati tono acutiores aut grauiores esse uidebuntur. Quatuor autem mediis si prima ad quartam diatessaron distantiam seruet, prima uero a secunda tono differat, secunda quoque a tertia eodem differat tono, tertia ad quartam semitonii faciet differentiam hoc modo: sint 4 mediae A B C D, et A ei quae est D comparata seruet ad eam sesquitertiam proportionem, quae est diatessaron. Item A a B distet tono, B a C distet tono, relinquitur ut C ad D semitonii distantiam seruet.

[PLLXIII:1283; text: Sesquitertia ratio. Diatessaron, A, B, C, D, Tonus, Semitonium] [BOEDIM4 19GF] Et si quinque sint mediae eodem modo. Si enim prima a quinta sesquialtera disteterit proportione, primaque a secunda, ac secunda a tertia, quartaque a quinta, singulis disteterint tonis, tertia ad quartam semitonii faciet differentiam. Item quaecumque mediae aliorum modorum proslambanomenos accedunt hae grauiores modos operantur. Quae netis, illae acutiores efficiunt. Quoniam igitur in superiore pagina descriptis modis partem sinistram legentis proslambanomeni primi tenent. Dextera uero legentis extremis clauditur netis, erit omnibus quidem acutior modis, qui inscribitur hypermixolydius, omnibus uero grauioris qui hypodorius. Nos uero a grauissimo hypodorio inchoantes, caeteros quam inter se habent differentiam designabimus. Namque in hypodorio modo mese quae est [Omega] ab ea mese quae est in modo hypophrygio tono distabit. Quod in hoc facile perspicietur, si quis ad mesen hypophrygii, quae est [Psi] eiusdem hypophrygii [Omega] comparet, quae est hypodorii quidem mese, in hypophrygia autem lichanos meson. Nam [Psi] atque [Omega] tono differunt, quod pagina interiecta [1284] demonstrat. Item mese hypolydii ab ea quae est mese hypophrygii toni differentiam facit. Namque C, quae est mese hypolydii, tono distat a [Psi], quae est hypolydii quidem lichanos mesen, in hypophrygio autem mese. Item mese hypolydii, quae est C, ab ea quae est mese dorii semitonio distat.

Quod hinc poterit agnosci, quoniam ordinem sursum prodeuntem eius meses, quae est hypolydii, atque eum ordinem in sursum prodeuntem eius meses quae est dorii, unus uersiculus, non pagina distinguit. Quo fit ut mese hypodorii ab ea mese quae est dorii, integra diatessaron consonantia distet, idque probatur hoc modo: nam quae est mese [Omega] in hypodorio, eadam est [Omega] in dorio; hypate meson est ab ea quae est mese, quouis modo uel genere diatessaron consonantia differens. Item mese dorii quae est [Pi] ab ea mese quae est phrygii, id est M, distat tono. Nam quae est mese in dorio, [Pi] eadem in phrygio lichanos meson. Rursus mese phrygii quae est M, ab ea mese quae est lydii, id est I distat tono.

Nam quae in phrygio est M mese, in lydio est lichanos mese. Rursus mese lydii modi ab ea mese quae est myxolydii; id est H, semitonio distat. Etenim si ordo qui rectus lydii continet mesen ei ordini qui rectus mixolydii mesen habet comparatus, non paginula sed uersu disiungitur. Ea quoque mese quae est myxolydii H ad eam mesen quae est hypermixolydii, id est [Gamma], toni differentiam facit; idcirco quoniam H quae in mixolydio mese est eadem in hypermixolydio lichanos meson est. Unde fit ut mese dorii ab ea mese quae est mixolydii diatessaron consonantia distet. Id probatur hoc modo: nam meson quae est dorii id est [Pi] eadem est mixolydii, id est [Pi] hypate meson, quae ad cuiuslibet modi mesen diatessaron consonantiam seruat. Item mese dorii, id est [Pi], ad eam mesen quae est hypermixolydii quae est r diapente consonantiam seruat. Ea enim mese quae est dorii id est [Pi], in ordine hypermixolydii lichanos hypaton est; lichanos autem hypaton ad mesem in diatonico genere in quolibet modo si comparetur, diapente consonantia distat. Cur autem octauus modus, qui est hypermixolydius, adiectus est, hic patet. Sit bis diapason consonantia haec.

ABCDEFGHIKLMNOP XVII Ratio superius dispositae modorum descriptionis.

Diapason igitur consonantiam seruat A ad id quod est H, octo enim uocibus continetur: primam igitur dicimus esse speciem diapason ea quae est A H, secundam uero B I, tertiam C K, quartam D L, quintam E M, sextam F N, septimam G O. Relinquitur igitur extra H P, quae ut totus ordo impleatur adiecta est, atque hic est octauus modus, quem Ptolemaeus super annexuit.

[1285] XVIII Quemadmodum indubitanter musicae consonantiae aure diiudicari possint.

Ut uero indubitanter consonantiarum ratio colligatur, tali breuissimo ac simplici effici poterit instrumento. Sit igitur regula diligenter extensa A D, cui duo hemispheria, quas magadas Graeci uocant, insuper apponantur, ita ut ab ea quae est E curuatura ad id quod est B deducta linea rectos circa se angulos reddat: item ab ea quae est F curuatura ad id quod est C punctum deducta linea rectos circum se angulos efficiat. Sint uero hae aequaliter undique perpolitae ad eosdem usus, sint eisdem aliae aequales paratae, super has intendatur neruus aequalis undique, is qui est A E F D. Si igitur diatessaron consonantiam qualis sit reperire uoluero, hoc modo faciam: ab E puncto, quo neruus semisphaerium tangit, usque ad F punctum, quo rursus ab alia parte altero neruus semisphaerio iungitur, diuido spatium quod est E F septem partibus, et ad partem quartam septimarum appono punctum quod est K; est igitur E K ad eam quae est K F sesquitertia. Si igitur K ad aequum superioribus semisphaeriis apposuero, atque alterutra uicissim E K et K F plectro adhibito pellantur, diatessaron distantiam consonabit. Sin uero simul partes idem C K et K F utrasque percussero, diatessaron consonantiam [1286] nosco. Quod si diapente efficere uolumus, quinque partibus totam chordam, id est spatium ab E ad diuido ac tres uni proportioni, duas uero reliquae dabo, atque ita posito semisphaerio, secundum superius dictum modum consonantias dissonantiasque perpendo; item si diapason consonantiam temptare uoluero, totum tribus partibus seco, atque in unam duasque distribuens easdem simul uel alterutram pulsans quid consonet, uel quod dissonet utraque cognosco. Triplex uero, quae ex permixtis consonantiis nascitur, ita redditur, ut si totam in quatuor partium diuisionibus partiamus, atque in tres et unam tota nerui prolixitas diuidatur, ita semisphaerium tribus appositum triplae proportionis dissonantiam et consonantiam reddat.

LIBER QUINTUS [1285] Post monochordi regularis diuisionem adiicienda arbitror esse ea in quibus ueteres musicae doctores sententiae diuersitate discordant, habendumque de omnibus subtile iudicium, atque id quod proposito deest operi, mediocris doctrinae dispositione supplendum est. Potest enim alia quoque esse diuisio, in qua non unus tantummodo neruus assumitur, qui positis proportionibus diuidat. Verum octo, atque eiusmodi cithara fiat, aut in pluribus, et quanti necessarii sunt nerui, tota proportionum ratio quasi oculis subiecta cernatur.

primam.

De ui harmonicae et quae sint eius instrumenta iudicii et quoniam usque sensibus oporteat credi.

Sed de his paulo post loquemur; nunc dicendum est quae sit uis harmonicae, de qua tractare instituentes, quatuor libros impleuimus.

Naturam uero eius unoque exprimendam in huius quinti uoluminis seriem distulimus. Harmonica est facultas differentias acutorum et grauium sonorum sensu ac ratione [1286] perpendens. Sensus enim ac ratio, quasi quaedam facultatis harmonicae instrumenta sunt. Sensus namque confusum quiddam ac proxime tale, quale est illud quod sentit, aduertit. Ratio autem diiudicat integritatem atque unas persequitur differentias. Itaque sensus inuenit quidem confusa ac proxima ueritati, accipit uero ratione integritatem. Ratio uero ipsas quidem inuenit integritatem, accipit uero sensu confusam ac proximam uerisimilitudinem.

Namque sensus nihil concipit integritatis sed usque ad proximum uenit.

Ratio uero diiudicat, uelut si quis manu circulum scribat, fortasse eum circulum uere oculus arbitretur. Ratio uero nullo modo esse id quod simulatur intelligit. Hoc uero idcirco est, quoniam sensus circa materiam uertitur, speciesque in ea comprehenditur, quae ita sunt fluide atque imperfecte. Neque determinate, et usque ad unguem expolite, sicut est ipsa materia.

Quare ipsum quoque confusio sequitur, mentem uero atque rationem, quoniam materia non moratur, species quas praeuidet, praeter subiecti communionem intuetur, atque ideo eam integritas comitatur ac ueritas, potiusque in sensum quod peccatur, aut minus est, aut emendat, aut complet. Fortasse autem id quod sensus non integre sed confuse, atque ueritate minus quasi quidam incallidus aestimator agnoscit, in singulis minus [1287] habeat errati. Collecta uero multiplicantur in summam, atque idcirco magnam faciunt differentiam. Nam si duas uoculas tono sensus distare arbitretur, neque distent, rursusque ab una earum tono putet distare tertiam, neque sit integra ac uera toni sit distantia. Item tertiae quartaeque toni sensus differentiam putet, atque in eadem quoque errent, neque sit differentia toni, ab hac etiam quarta, quintam distare semitonium putet, neque uere, neque integre aestimet, in singulis fortasse minus uideatur erratum. Quod uero in primo tono sensus reliquit atque id quod in secundo et tertio atque in quarto semitonio peccatum est, in unum congregatum atque collectum efficiet, ut prima uox ad quintam uocem diapente non contineat consonantiam, quod oportebat fieri si tres tonos ac semitonium sensus integre iudicasset. Quod igitur in singulis tonis minus peruidebatur, id collectum in consonantiam euidenter apparuit. Atque ut peruideatnr sensum quidem confusa colligere, nullo modo autem ad integritatem rationis ascendere, sic consideremus: Datae enim lineae maiorem minorem ne aliam reperire, nihil est difficile sensui. Proposita uero mensura in tanto maiorem, tantoue minorem reperiat, id non faciet sensus prima conceptio sed solers rationis inuentio. Vel si rursus datam lineam propositum sit uel duplicare, uel dimidiam secare, id fortasse licet paulo difficilius quam confuse maiorem minoremue reperire, poterit tamen sensus inuentione constitui. Si uero imperetur, ut propositae lineae tripla ponatur, uel ab ea pars tertia recidatur, uel quadrupla constituatur, uel pars quarta resecetur nonne impossibile sit sensui, nisi integritas rationis accedat, hoc ideo, quia per processus quidem rationi locus accrescit, deficit sensui. Si enim octauam partem propositae lineae auferre aliquis imperetur, uel eiusdem octuplam dare cogatur, totius quidem dimidiam sumere compellitur, dimidiaeque dimidiam, ut sit quarta, quartae quae dimidium, ut sit octaua. Rursusque totius duplam, duplaeque duplam, ut sit quadrupla, quadruplaeque duplam, ut sit octupla. Itaque in tanta rerum numerositate nihil efficit sensus. Cuius omne iudicium subitum, atque in superficie positum integritatem persecutionemque non explicat. Idcirco non est aurium sensui dandum omne iudicium sed exhibenda est etiam ratio quae errantem sensum regat ac temperet, qua labens sensus deficiensque ueluti baculo innitatur. Nam ut singulae artes habent instrumenta quaedam quibus partem confuse aliquid informent ut asciculum, partim uero quod est integrum deprehendat, ut circinum. Ita etiam harmonica uis habet duas iudicii partes: unum quidem huiusmodi, per quam sensus comprehendit subiectorum differentias uocum, aliam uero per quam ipsarum differentiarum modum mensuramque considerat.

II Quid sid harmonica regula, uel quam intentionem [1288] harmonici Pythagorici uel Aristoxenus, uel Ptolemaeus esse dixere.

Huiusmodi igitur instrumentum in quo rationis adhibito modo, sonorum differentiae perquiruntur, uocatur harmonica regula, in qua re multorum doctorum sententiae discordia fuit. Quidam enim qui Pythagoricis disciplinis maxime crediderunt, hanc intentionem harmonicae esse dicebant, ut cuncta rationi consentanea sequerentur.

Sensum enim dare quaedam quodam modo semina cognitionis, rationem uero perficere. Aristoxenus uero econtrario rationem quidem comitem ac secundarium esse dicebat, cuncta uero sensus iudicio terminari, et ad eius modulationem consensumque esse tenendum. A Ptolemaeo autem quodam modo harmonicae definitur intentio, ea scilicet ut nihil auribus rationique possit esse contrarium. Id enim secundum Ptolemaeum harmonicus uidetur intendere, ut id quod sensus iudicat ratio quoque perpendat, et ita ratio proportiones inueniat ut ne sensus reclamet, duorumque horum concordia omnis harmonicae intentio misceatur. Atque in eo maxime Aristoxenum ac Pythagoricos reprehendit, quod Aristoxenus nihil rationi sed tantum sensibus credit, Pythagoricos autem quod minimum sensibus, plurimum tamen proportionibus rationis inuigilent.

III In quo Aristoxenus uel Pythagorici uel Ptolemaeus grauitatem atque acumem constare posuerunt.

Quoniam uero sonum esse omnes consentiunt aeris percussionem, grauitatis atque acuminis differentiam diuersa ratione ponebant, Aristoxenum secuti et Pythagorici. Aristoxenus quippe sonorum differentias secundum grauitatem, atque acumen arbitratur in qualitate consistere; Pythagorici uero in quantitate ponebant. Ptolemaeus autem Pythagoricis propior uidetur. Idcirco quoniam ipse quoque grauitatem atque acumen non in qualitate putat sed in quantitate constitui.

Etenim spissiora ac subtiliora corpora acumen, rariora et uastiora edere grauitatem, ut nihil nunc de intensionis relaxationisque modo dicatur.

Quanquam etiam cum relaxatur aliqua quasi sit rarius atque crassius, cum uero intenditur spissius redditur, subtiliusque tenuatur.

IV De sonorum differentiis Ptolemaei sententia.

His igitur ita expeditis, differentias sonorum Ptolemaeus diuidit hoc modo: Vocum aliae sunt unisonae, aliae minimae. Unisonae sunt, quarum unus sonus est, uel in graui, uel in acuto. Non unisonae uero; quando alia est grauior, alia acutior. Harum partim ita sunt, ut earum inter se differentia communi fine iungatur. Non enim discreta est sed a graui in acutum ita deducitur, ut continua uideatur. Aliae uero sunt non unisonae, quarum differentia silentio interueniente distinguitur, ut uero uoces communi fine iungantur, fit hoc modo: Sicut enim cum [1289] in nubibus arcus aspicitur, ita colores sibimet sunt proximi: ut non sit certus finis, cum alter ab altero disgregetur. Sed ita uerbi gratia a rubro discedit ad pallidum, ut per continuam mutationem in sequentem uertatur colorem, nullo medio certoque interueniente, qui utrosque distinguat; ita etiam fieri solet in uocibus, ut si quis percutiat neruum eumque dum percutit torqueat, euenit ut in principio pulsus grauior sit, dum torquetur uero uox illa tenuetur, continuique fiant grauis uocis sonitus et acutae.

V Quae uoces enharmoniae sunt aptae.

Cum igitur non unisonarum uocum aliae sint continuae, aliae disgregatae, continuae quidem tales sunt, ut inter se earum differentia communi fine iungatur nec habeat locum designatum uox acuta grauisque quem teneant. Discretae uero habent proprios locos, uel uti colores impermixti, quorum differentia uisitur suo quodam loco constituta. Continuae quidem non unisonae uoces ab harmonica facultate separantur. Sunt enim sibi ipsis dissimiles, nec unum aliquid personantes. Discretae uero uoces harmonicae subiiciuntur arti. Potest enim distantium sibique dissimilium uocum differentia deprehendi, in quibus quae iunctae efficere melos possint, [emmeleis] dicuntur, [ekmeleis] autem quibus iunctis effici non potest.

VI Quem numerum proportionum Pythagorici statuunt.

Consonae autem uocantur quae copulatae mixtos suauesque efficiunt sonos. Dissonae uero quae minime. Et hoc quidem est Ptolemaei de sonorum differentia iudicium. Nunc autem quid a caeteris musicis in consonantiarum positione disteterit dicendum uidetur: Pythagorici enim consonantias diapente ac diatessaron simplices arbitrantur, atque ex his unam diapason consonantiam iungunt; esse etiam diapente ac diapason, et bis diapason, illam triplicis hanc quadrupli. Diapason uero ac diatessaron consonantiam esse non aestimant, idcirco quoniam non insuper particulari uel multiplici cadit comparatione sed in multiplici superpartiente. Est enim haec proportio uocum ut octo ad 3; si quis enim horum in medio quatuor ponat, efficit terminos hos 8 4 3.

Quorum octo ad 4 diapason efficiunt consonantiam; 4 ad 3, diatessaron; octo uero ad 3, in multiplici superpartiente constituitur. Quae autem sit multiplex superpartiens comparatio ex arithmeticis libris cognoscendum est, et ex his quae secundo huius institutionis libro digessimus. Pythagorici autem consonantias in multiplicibus ac superparticularibus ponunt, sicut in eodem libro secundo quartoque praedictum est. A superpatientibus uero ac multiplicibus superpartientibus consonantiam separant. Quibus autem [1290] modis diapason quidem duplici, diatessaron uero sesquitertio, ac diapente sesquialtero iungunt Pythagorici, ex secundo huius institutionis Musicae libro quarto petendum est.

VII Quod reprehendat Ptolemaeus Pythagoricos in numero propositionum.

Reprehendit autem Pythagoricos Ptolemaeus, totamque eam quam praedictis libris exposuimus demonstrationem pluribus modis, in quo totum illud etiam quod diatessaron ac diapente sesquialtero et sesquitertio coniungunt, in reliquis uero superparticularibus, cum eiusdem sint generis, nullas omnino applicent consonantias. VIII Demonstratio secundum Ptolemaeum diapason et diatessaron consonantiae.

Probat autem ex diapason et diatessaron quamdam symphoniam fieri hoc modo. Quoniam enim diapason consonantia talem uocis efficit coniunctionem, ut unus atque idem neruus esse uideatur, idque Pythagorici quoque consentiunt, quocirca si qua ei consonantia fuerit addita, integra inuiolataque seruatur. Ita enim diapason consonantiae additur tanquam uni neruo. Sit igitur diapason consonantia quae contineatur inter hypaton meson et neten diezeugmenon. Utraque haec ita sibi consentit, et coniungitur sono, ut una uox quasi unius nerui, non quasi duorum mixta pellat auditum. Quamcumque igttur huic diapason consonantiae consonantiam iunxerimus, seruatur integra, quia ita iungitur tamquam uni uoculae ac neruo. Si igitur hypate meson et neten diezeugmenon duae in acutum deatessaron fuerint iunctae, si coniungitur nete quidem diezeugmenon ea quae est nete hyperboleon, hypate autem meson ea quae est mese, utraque ad utramque consonabit, et mese ad neten diezeugmenon, et eadem mese ad hypaten meson. Item nete hyperboleon ad neten diezeugmenon et ad hypaten meson. Item si ad grauiorem partem utriusque diatessaron consonantiae relaxentur, erit ad meses quidem hypaton diatessaron retinens consonantiam hypate hypaton, ad neten autem diezeugmenon paramese. Consonabitque et hypate hypaton ad hypaten meson, et ad neten diezeugmenon ad paramesen et nete diezeugmenon, et ad hypate meson. Sed eo modo ut grauior quae est ad sibi quidem proximam diatessaron retineat consonantiam, ad ulteriorem uero diatessaron ac diapason, ut hypate hypaton, ad hypaten meson diatessaron, ad neten diezeugmenon diatessaron ac diapason.

Item nete hyperboleon, quae est acutior, ad sibi proximam neten diezeugmenon diatessaron consonantiam, ad hypaten meson diatessaron ac diapason.

[1291] [PLLXIII:1291; text: Disdiapason systema immobile, Diapason et diatessaron, Diapason, Diatessaron, Diapente, Nete hyperboleon, Paranete hyperboleon, Trite hyperboleon, Nete diezeugmenon, Paranete dizeugmenon, Trite diezeugmenon, Paramese, Mese, Lichanos meson, Parhypate meson, Hypate meson, Lychanos hypaton, Parhypate hypaton, Hypate hypaton, Proslambanomenon] [BOEDIM5 02GF]

IX Quae sit proprietas diapason consonantiae.

Hoc uero idcirco euenire contendit, quoniam diapason pene una uocula est, talisque consonantia est, ut unum quodammodo effingat sonum, et sicut denario numero, qui fuerit additus intra eum positus integer inuiolatus seruatur; cum in caeteris ad ita minime eueniat, ita etiam in hac consonantia. Nam si duo tribus adiicias, quinque continuo reddis, et numeri species immutata est. Si uero eosdem denario addas, duodecim feceris, et binarius iunctus denario conseruatus est. Item ternarius caeterique eodem modo: ita igitur symphonia diapason quamcumque aliam susceperit consonantiam seruat, nec immutat, nec ex consona dissonam reddit. Nam sicut diapente symphonia iuncta diapason consonantiae in tripla scilicet proportione diapason ac diapente consonantiam seruat, ita etiam diatessaron cum sit consonantia iuncta cum diapason, aliam consonantiam reddit, et fit secundum Ptolemaeum alterius consonantiae additio eiusque est diapason ac diatessaron [1292] in multiplici superpartiente constituta. Estque ea proportio dupla superbipartiens, ut octo ad tres; habent enim ternarium octo bis, duasque eius partes, id est duas unitates. X Quibus modis Ptolemaeus consonantias statuat.

Et de Pythagoricorum quidem opinione Ptolemaeus ita diiudicat: quibus uero modis ipse consonantiarum proportiones numerosque uestiget, hinc ordiendum est. Voces, inquit, inter se uel unisonae sunt, uel non unisonae. Non unisonarum autem uocum aliae quidem sunt aequisonae, aliae emmelis, aliae dissonae, aliae ecmelis. Et unisonae quidem sunt quae unum atque eumdem sigillatim pulsae reddunt sonum. AEquisonae uero quae simul pulsae unum ex duobus atque simplicem quodammodo efficiunt sonum, ut est diapason, eaque duplicata quae est bis diapason.

Consonae autem sunt quae compositum permixtumque suauem tamen efficiunt sonum, ut diapente ac diatessaron.

Emmelis autem sunt quaecumque quidem consonae non sunt, possunt aptari tamen recte ad melos, ut sunt hae quae consonantias iungunt. Dissonae uero sunt quae non permiscent sonos, atque insuauiter feriunt sensum. Ecmelis uero quae non recipiunt in consonantiarum coniunctione, de quibus paulo posterius in diuisione tetrachordorum dicemus. Quoniam igitur uniuocis quidem comparationibus proxime sunt aequiuocae, necessarie est ut aequis numeris ea numerorum inaequalitas adiungatur, quae est proxima aequis. Est autem iuxta aequalitatem numerorum ea quae est dupla. Nam et prima multiplicitatis species est, et maior numerus cum minorem numerum superuenit, aequo cum ipsi minori transcendit, ut duo unum uno transgrediuntur, qui eidem unitati aequalis est; iure igitur duplex proportio aequisonis aptatur, id est diapason. Bis diapason uero bis duplici, id est quadruplo. Quae autem proportiones diuidunt duplicem proportionem primae ac maximae, his aptandae sunt consonantiis quae diuidunt diapason aequiconsonantiam. Unde fit ut diapente quidem sesquialterae, diatessaron uero sesquitertiae comparationi copulentur.

Iunctae uero consonantiae cum aequisonis alias efficiunt consonantias, ut diapente ac diapason in triplo, diatessaron ac diapason in ea proportione quae est octo ad tres Emmelis autem sunt quae diapente ac diatessaron diuidunt, ut tonus caeteraeque proportiones, de quibus paulo posterius in diuisione tetrachordorum loquemur, simplices earum scilicet partes.

XI Quae sint aequisonae, uel quae consonae, uel quae hemmelis.

Igitur aequisonae quidem sunt diapason ac bis diapason, quoniam earum temperamento mixturaque unus atque simplex quodammodo efficitur sonus.

Consonantiae autem sunt, primae quidem insuper particularibus sesquialtera et sesquitertia, id est diapente ac diatessaron, et diapason ac diapente, et [1293] diapason ac diatessaron, hae sunt compositae atque coniunctae ex aequisonis et consonantibus. Emmelis autem reliqui inter has poni possunt, ut inter diatessaron ac diapente differentia tonus, iungunturque quodammodo aequisonae quidem ex consonantibus, ut diapason ex diatessaron et diapente.

Consonantiae autem ex his qui emmelis soni uocantur, ut eadem diapente et diatessaron tonis caeterisque posterius dicendis proportionibus; sed quomodo quidem horum omnium proportio colligi possit, ex eo loco sumendum est quem quarto uolumine in fine descripsimus, ubi numerus super semisphaeria, tendebatur. Ibi enim deprehenditur aequisonantia, diapason ac bis diapason, et consonantiae simplices diapente ac diatessaron, et consonantiae compositae, diapason ac diapente, et diapason ac diatessaron et qui sunt emmelis soni, ut in toni differentia consistentes. XII Quemadmodum Aristoxenus interuallum consideret.

Quid uero de his Aristoxenus sentiat breuiter aperiendum est. Ille enim quoniam minime tractatum rationi constituit sed aurium iudicio permittit, idcirco uoces ipsas nullis numeris notat, ut earum colligat proportiones sed earum in medio differentiam sumit, ut speculationem non in ipsis uocibus sed in eo quod inter se differunt, collocet, nimis improuide, qui differentiam se scire arbitretur earum uocum, quarum magnitudinem nullam mensuramue constituat.

Hic igitur et diatessaron consonantiam duorum tonorum ac semitonii esse proponit, et diapente trium tonorum ac semi onii, et diapason sex tonorum, quod fieri non posse superioribus uoluminibus demonstratum est. [PLLXIII:1293; text: Sextoni, Diapason] [BOEDIM5 01GF]

XIII Descriptio octochordi, qua ostenditur diapason consonantiam minorem esse sex tonis.

Docet autem Ptolemaeus per cuiusdam octochordi. [1294] diuisionem diapason intra sex tonos cadere hoc modo: intendantur enim octo chordae, id est A B C D E F G H, fiatque sesquioctaua A K eius quae est BL, et B L eius quae est C M, et C M eius quae est D N, et D N eius quae est E X, et E X eius quae est F O, et FO eius quae est G P. Erunt igitur sex toni. Rursus inter F G et G P H ducatur medius neruus ad R. Erit igitur A K dupla ab eo quod est H R. Pulsae igitur simul A K H R diapason aequisonantiam consonabunt. Si uero aliquis G P percutiat, semper erit paulo acutior quam est H R. Ac per hoc transcendunt sex toni diapason consonantiam. Si enim A K et G P diapason pulsati resonarent, tonorum sex esset diapason consonantia.

Si uero his idem A K et G P non consonantibus A K et H R diapason consonarent, et H R acutior esset quam G P, diapason consonantia sex tonos excederet. Nunc uero quia consonantibus A K et H R eadem M K ab ea quae est G P grauior inuenitur, non potest dubitari quin sex toni diapason consonantiam excedant. Atque ita sensu quoque potest colligi diapason consonantiam inter sex tonos cadere. Sic igitur Aristoxeni error sine dubitatione conuincitur. [PLLXIII:1294; text: A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M, N, X, O, R, P] [BOEDIM5 01GF]

XIV Diatessaron consonantiam tetrachordo contineri.

Nunc de tetrachordorum diuisione dicendum est. Etenim diatessaron consonantia quatuor efficitur neruis; idcirco etiam diatessaron nuncupatur, ut igitur duobus neruis altrinsecus positis ad diatessaron symphoniam consonantibus tetrachordum fiat, duos necesse est statui in medio neruos, qui ad se inuicem atque ad extremos tres proportiones efficiant.

XV Quomodo Aristoxenus uel tonum diuidat, uel genera eiusque diuisionis dispositio.

Hoc igitur diatessaron Aristoxenus per genera tali ratione partitur.

Diuidit enim tonum in duas partes, atque id semitonium uocat. Diuidit in tres partes, cuius tertiam diesin uocat chromatis mollis, diuidit in 4, cuius quartam cum propria medietate, id est cum octaua totius toni, appellat diesin chromatis hemiolii. Rursus solam quartam eius uocat diesin enharmonios.

[1295] Figura Glareani [PLLXIII:1295; text: Semitonium, Toni medietas Semitonium. Z, Diesis enharmonios, 4, 3, Diesis chromatis mollis, 4 1/8, Diesis chromatis hemioli, Tonus, Omnium interuallorum quae in tono sunt secundum Aristoxenum diuisio.] [BOEDIM5 03GF]

Ad lectorem Minutas diuisiones pingere non potuimus, care lector. nam Aristoxenus tonum in duodecim partes scindit. Diesis ergo enharmonios habebit tres; diesis autem chromatis mollis habebit quatuor, demum hemitonium sex; diesis uero chromatis hemioli quatuor et semis obtinebit. Quod si dupletur spatium, ut paulo post Boetius, erunt quae diximus interualla omnia duplanda ob numeros commodiores, quod doctus facile uidet. Vale.

Cum igitur haec ita sint, cumque generum diuisio secundum eum sit duplex, unum quidem genus est mollius; aliud uero incitatius. Et mollius quidem est enharmonium, incitatius uero diatonicum. Inter haec uero consistit chromaticum incitatione mollitieque participans; fiunt igitur secundum hunc ordinem differentiae permixtorum generum sex. Una quidem enharmonii, 3 autem chromatici, id est chromatici mollis, et chromatici hemiolii, et chromatici thoniaei. Duae uero reliquae diatonici, mollis atque incitati. Quorum omnium talis secundum Aristoxenum diuisio est. Quoniam enim quarta pars toni diesis enharmonios nuncupari praedicta est, quoniamque Aristoxenus non uoces ipsas inter se comparat sed differentiam uocum interuallumque metitur, et secundum eum tonus est duodecim unitatum, huius igitur erit pars quarta diesis enharmonios tres. Quoniam uero ex duobus tonis ac semitonio diatessaron consonantia iungitur, erit tota diatessaron ex his duodecim ac sex unitatibus constituta. Sed quoniam saepe fit ut si usque ad octauas uelimus deducere partes, non integros numeros sed in aliquas particulas incurramus, idcirco quidem facienda est tota diatessaron consonantia 60. At uero 24 tonus, semitonium duodecim, pars quarta, quae diesis enharmonios dicitur, sex, octaua autem tres; iuncta uero octaua cum quarta, sex scilicet cum tribus, ut faciat diesin chromatis hemiolii, erunt nouem. His igitur ita constitutis, tria genera, enharmonicum, chromaticum, diatonicum, has Aristoxeno uidentur habere proprietates, ut alia eorum dicantur spissa, alia minime. Spissa sunt, quorum duae grauiores proportiones: unam eam quae ad acutum apposita est magnitudine non [1296] uincunt. Non spissa uero quorum duae proportiones unam reliquam poterunt superare; est autem enharmonium et chromaticum spissum, diatonicum uero non spissum.

Itaque enharmonium secundum Aristoxenum diuiditur sic 6, 6, 48, ut inter grauem neruum ac prope grauem sit quarta pars toni, quae dicitur diesis enharmonios, cum sit tonus 24 unitatibus constitutus. Item secundum interuallum a graui neruo ad tertium, sit eadem quarta pars toni. Reliqui uero qui restant ex sexaginta qui totius proportionis sunt inter tertium a graui neruo atque acutissimum quartum ponuntur 48, et duae proportiones ad grauem positae, id est 6 ac 6, unam reliquam ad acutum locatam, id est 48, non uincunt. Chromatis uero mollis hanc facit diuisionem 8, 8, 44, ut octo atque octo sint tertiae partes tonorum; est enim tonus (ut dictum est) 24 unitatum, et dicitur toni pars tertia diesis chromatis mollis. Item chromatis hemiolii diatessaron ita partitur, 9, 9, 42.

Sed diligentius intuenti quinque, non amplius tetrachorda reperiuntur, hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon.

XXVI Quibus nominibus neruos appellauerit Albinus.

Albinus autem earum nomina Latina oratione ita interpretatus est, ut hypatas principales uocaret, mesas medias, synemmenas coniunctas, diezeugmenas disiunctas, hyperboleas excellentes. Sed nobis inalieno opere non erit immorandum.

XXVII Qui nerui quibus sideribus comparentur.

Illud tamen interim de superioribus tetrachordis addendum uidetur, quod ab hypate meson usque ad neten quasi quoddam ordinis disiunctionisque coelestis exemplar est. Namque hypate meson Saturno est attributa, parhypate uero Iouiali circulo consimilis est, lichanon meson Marti tradidere, Sol meson obtinuit, trite synemmenon Venus habet, paranete synemmenon Mercurius regit, nete autem Lunaris circuli tenet exemplum. Sed Marcus Tullius contrarium ordinem facit. Nam in sexto libro de Republica sic ait: Et natura fert ut extrema ex altera parte grauiter, ex altera autem acute sonent. Quam ob causam summus ille coeli stellifer cursus, cuius conuersio est concitatior acuto, et excitato mouetur sono, grauissimo autem hic lunaris atque infimus. Nam terra nona, immobilis manens, ima sede semper haeret; hic igitur Tullius terram quasi silentium ponit, scilicet immobilem. Post hanc sui proximus a silentio est, dat Lunae grauissimum sonum, ut sit Luna proslambanomenos. Mercurius hypate hypaton, Venus parhypate hypaton, Sol lichanos hypaton, Mars hypate meson, [1193] Iupiter parhypate meson, Saturnus lichanos meson, Coelum ultimum mese. Quae uero sint harum immobiles, quae uero in totum mobiles, quae autem immobiles mobilesque consistant, cum de monochordi regularis diuisione tractauero, erit locus aptior explicandi.

XXVIII Quae sit natura consonantiarum.

Consonantiam uero licet aurium quoque sensus diiudicet, tamen ratio perpendit. Quotiens enim duo nerui, uno grauiore, intenduntur, simulque pulsi reddunt permixtum quodammodo et suauem sonum, duaeque uoces quasi coniunctae in unum coalescunt, tunc fit ea quae dicitur consonantia. Cum uero simul pulsi, sibi quisque ire cupit, nec permiscent ad aurem suauem atque unum ex duobus compositum sonum, tunc est quae dicitur dissonantia.

XXIX Ubi consonantiae reperiuntur.

In his autem comparationibus grauitatis atque acuminis has consonantias necesse est inueniri, quae sibi commensuratae sint, id est quae notam possunt communem habere mensuram, ut in multiplicibus duplum, quod est, illa pars metitur, quae inter duos est terminos differentia, ut inter duos et quatuor binarius utrosque metitur, inter duos atque sex quae tripla est, binarius utrosque metiatur, inter nouem atque octo eadem unitas est, quae utrosque metiatur. Rursus in superparticularibus si sesquialtera sit proportio, ut quatuor ad sex, binarius est qui utrosque metiatur, qui scilicet utrorumque est differentia. Quod si sesquitertia sit proportio, ut si octo senario comparentur, idem binarius utrosque metitur; id uero non euenit in caeteris generibus inaequalitatum, quae supra retulimus, ut in superpartiente. Nam si quinarium ad ternarium comparemus, binarius qui eorum differentia est, neutrum metitur. Nam si semel ternario comparatus, minor est, duplicatus excedit. Item bis quinario comparatus, minor est, tertio uero supergreditur. Atque idcirco hoc primum inaequalitatis genus a consonantiae natura disiungitur amplius quod in his quae consonantias formant, multa similia sunt, in his uero minime, id probatur hoc modo: namque duplum nihil est aliud nisi bis simplum Triplum nihil aliud nisi tertio simplum. Quadruplum uero idem est quod quarto simplum. Sesquialterum, bis medietas. Sesquitertium uero ter pars tertia, quod haud facile in caeteris inaequalitatum generis inuenitur.

XXX Quemadmodum Plato dicat fieri consonantias.

Plato uero hoc modo fieri in aure consonantiam dicit. Necesse est, inquit, uelociorem quidem esse acutiorem sonum. Hic igitur cum grauem praecesserit, in aurem celer ingreditur, ostensaque extrema [1194] eiusdem corporis parte quasi pulsus iterato motu reuertitur. Sed iam segnior, nec ita celeri, ut primo impetu emissus cucurrit, quocirca grauior quoque. Cum igitur iam grauior rediens, nunc primum graui sono uenienti similis occurrit, miscetur ei, unamque, ut ait Plato, consonantiam miscet.

XXXI Quid contra Platonem Nicomachus sentiat.

Sed id Nicomachus non arbitratur dictum ueraciter. Neque enim similium esse consonantiam sed dissimilium potius in unum eamdemque consonantiam uenientium; grauius uero graui si misceatur, nullam facere consonantiam, quoniam hanc canendi concordiam similitudo non efficit sed dissimilitudo. Quae cum distet in singulis uocibus, copulatur in mixtis. Sed hinc potius Nicomachus consonantiam fieri putat. Non, inquit, unus tantum pulsus est, qui simplicem modum uocis emittat sed semel percussus neruus saepius aerem pellens multas efficit uoces. Sed quia ea uelocitas est percussionis, ut sonus sonum quodammodo comprehendat, distantia non sentitur, et quasi una uox auribus uenit. Si igitur percussiones grauium sonorum commensurabiles sint percussionibus acutorum sonorum, ut in his proportionibus quas supra retulimus, non est dubium quin ipsa commensuratio sibimet misceatur, unamque uocum efficiat consonantiam.

XXXII Quae consonantia quam merito proecedat.

Sed inter omnes quas retulimus consonantias, habendum iudicium est ut in aure, ita quoque in ratione quam harum meliorem oporteat arbitrari.

Eodem namque modo auris afficitur sonis, uel oculus aspectu, quo animi iudicium numeris uel continua quantitate. Proposito enim numero uel linea, nihil est facilius quam eius duplum oculo uel animo contueri.

Item post dupli iudicium sequitur dimidii, post dimidium tripli, post triplum partis tertiae. Quae ideo quoniam facilior est dupli descriptio, optimam Nicomachus putat diapason consonantiam, post hanc diapente, quae medium tenet, hinc diapente ac diapason, quae triplum.

Caeteraque secundum eumdem modum formamque diiudicat. Non uero hoc Ptolemaeus eodem modo, cuius omnem sententiam posterius explicabo.

XXXIII Quo sint modo accipienda quae dicta sunt.

Omnia tamen quae dehinc diligentius expedienda sunt, summatim nunc ac breuiter attentemus, ut interim in superficie quadam animum haec lectoris assuefaciant, qui ad interiorem scientiam posteriore tractatione descendet. Nunc uero quod erat Pythagoricis in morem, ut cum quid a magistro Pythagora diceretur, hinc nullus rationes petere audebat sed erat ei ratio docentis auctoritas, idque fiebat quandiu discentis animus firmiore doctrina roboratus, ipse eamdem rerum rationem nullo etiam docente [1195] reperiret; ita etiam nunc lectoris fidei quae proponimus, commendamus. ut arbitretur diapason in dupla, diapente in sesquialtera, diatessaron in sesquitertia, diapente ac diapason in triplici, bis diapason in quadrupla propositione consistere. Post uero et hoc ratio diligentius explicabit, et quibus modis aurium quoque iudicio consonantiae musicae colligantur, caeteraque omnia quae superius dicta sunt amplior tractatus edisseret, et tonum sesquioctauam facere proportionem, eumque in duo aequa diuidi non posse, sicut nullam eiusdem generis proportiones, id est superparticularis; diatessaron etiam consonantiam duobus tonis semitonioque consistere, semitonia uero esse duo, maius ac minus, diapente autem tribus tonis ac semitonio minore contineri. Diapason uero quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis expleri, neque ad sex tonos ullo modo peruenire. Haec omnia posterius et numerorum ratione et aurium iudicio comprobabo, atque haec hactenus.

XXXXIV Quid sit musicus.

Nunc illud est intuendum quod omnis ars, omnisque etiam disciplina honorabiliorem naturaliter habeat rationem, quam artificium, quod manu atque opere artificis exercetur. Multo enim est maius atque altius scire quod quisque faciat, quam ipsum illud efficere quot sciat; etenim artificium corporale, quasi seruiens famulatur. Ratio uero quasi domina imperat, et nisi manus secundum id quod ratio sancit efficiat, frustra sit. Quanto igitur praeclarior est scientia musicae in cognitione rationis, quam in opere efficiendi atque actu tantum, scilicet quantum corpus mente superatur! Quod scilicet rationis expers seruitio degit, illa uero imperat, atque ad rectum deducit, quod nisi pareat eius imperio, et expers rationis opus titubabit. Unde fit ut speculatio rationis operandi actu non egeat. Manuum uero opera nulla [1196] sint, nisi ratione ducantur. Iam uero quanta sit gloria meritumque rationis hic intelligi potest, quod caeteri (ut ita dicam) corporales artifices non ex disciplina sed ex ipsis potius instrumentis cepere uocabula. Nam citharoedus ex cithara, uel tibicen ex tibia, caeterique suorum instrumentorum uocabulis nuncupantur. Is uero est musicus qui, ratione perpensa, canendi scientiam, non seruitio operis sed imperio speculationis assumit. Quod scilicet in aedificiorum bellorumque opera uidemus, et in contraria scilicet nuncupatione uocabuli. Eorum namque nominibus uel aedificia inscribuntur, uel ducuntur trinmphi, quorum imperio ac ratione instituta sunt. non quorum opere seruitioque perfecta. Tria sunt igitur genera quae circa artem musicam uersantur: unum genus est quod instrumentis agitur, aliud fingit carmina, tertium quodinstrumentorum opus carmenque diiudicat. Sed illud quidem quod in instrumentis positum est, ibique totam operam consumit, ut sunt citharoedi, quique organo caeterisque musicae instrumentis artificium probant, a musicae scientiae intellilectu seiuncti sunt, quoniam famulantur (ut dictum est), nec quidquam afferunt rationis sed sunt totius speculationis expertes. Secundum uero musicam agentium est genus poetarum, quod non potius speculatione ac ratione quam naturali quodam instinctu fertur ad carmen, atque idcirco hoc quoque genus a musica segregandum est.

Tertium est quod iudicandi peritiam sumit, ut rhythmos cantilenasque eorumque carmen possit perpendere. Quod scilicet quando totum in ratione ac speculatione positum est, hoc proprie musicae deputabitur.

Isque musicus est cui adest facultas secundum speculationem rationemue propositam ac musicae conuenientem, de modis ac rhythmis, deque generibus cantilenarum, ac de permixtionibus, ac de omnibus de quibus posterins explicandum est, ac de poetarum carminibus, iudicandi.

LIBER SECUNDUS

Est autem diesis chromatis hemiolii pars octaua toni cum quarta, id est ex 24 sex cum tribus.

Item chromatis thoniaei talis secundum Aristoxenum partitio est, 12, 12, 36. Scilicet in duobus interuallis singula semitonia constituat, et quod reliquum est in ultimo. Atque in his omnibus duae proportiones, quae grauiori neruo sunt proximae, reliquam quae ad acutum posita est, magnitudine minime superant, sunt enim (ut dictum est) spissorum generum. Spissa quippe genera sunt enharmonium atque chromaticum. Diatonica uero diuisio ipsa quoque est duplex. Et mollis quidem diatonici diuisio est hoc modo, 12, 18, 30, ut 12 semitonium sit, decem et octo semitonium, et quarta pars toni, 32 uero quod reliquum est. Quorum decem et octo et 12 efficiunt 30, nec superantur ab ea parte quae reliqua est. Item diatonici incitati talis partitio est, ut semitonium ac duos habeat integros tonos 12, 24, 24, ex quibus 24 et 12, id est 36, non superantur a reliqua parte quae ad acutum est sed potius uincunt. Est igitur secundum Aristoxenum tetrachordorum praedicta partitio, quae subiecta descriptione monstratur.

[PLLXIII:1296; text: Diuisio diatonici incitati, Diatessaron, 60, Tonus, Semitonium, 24, 12, Diuisio diatonici mollis, 30, 18, Diuisio chromatici thoniaei, 36] [BOEDIM5 03GF]

Glareanus ad lectorem.

Nos totum negotium in tetrachordi hyperboleon ita (ut spero)

declarauimus, ut facile lector consideret quid me Deus uoluit elaborare. Multa tamen ex superioribus praesupponenda sunt, ut quomodo se diuisio generum habeat, alioqui inutilis erit labor. Caetera, mi lector, [1297] tuae attentioni consideranda relinquo. Vale, et me ama.

Id tamen uolo te admoneri, in applicatione grauiores chordas uertisse ad maiorem numerum, cum tamen hic numerus non sit chordarum sed potius interuallorum. Ubi ergo nete diezeugmenon erat, ibi apte potuit poni nete hyperboleon. Attamen crede parum erroris esse. Nomina enim non omnino speculationem impediant.

[PLLXIII:1298; text: Diuisio chromatis hemiolii, Diatessaron, 60, Diesis et octa pars toni, 42, 9, Diuisio chromatis mollis, 3 pars toni, 44, 8,Diuisio enharmonii, 4 pars toni, quarta pars toni, 48, 6] [BOEDIM5 04GF] [PLLXIII:1297-98; text: Hemitonium, 12, Paranete hyperboleon, Tonus, 24, Trite hyperboleon, Nete diezeugmenon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, Hemitonium cum quarta parte, 18, Trite hyperboleon, Tonus cum quarta parte, 30, Nete diezeugmenon, Tonus cum hemitonio, 36, Octaua cum quarta, 9, Pars octaua cum quarta, Tonus cum 6/8 uel 3/4, 42, Pars tertia, 8, Tonus cum hemitonio et insuper 3/4, 44, Quatra pars, 6, Pars quarta, Duo toni, 48, Tetrachordos hyperboleon in genere enharmonio partitum. Tetrachordos hyperboleon in chromate molli disectum, Tetrachordos hyperboleon in genere chromatici hemioli diuisum, Tetrachordos hyperboleon in chromate tonico separatum, Tetrachordos hyperboleon in genere diatonico molli disiunctum, Tetrachordos hyperboleon in diatonico incitato scissum, Chromatici generis tria secundum Aritoxenum, Diatonici generi duo] [BOEDIM5 04GF]

[1297] XVI Quomodo Archytas tetrachorda diuidat eorumque descriptio.

Archytas uero cuncta in ratione constituens non modo sensum aurium in primis consonantiis obseruare neglexerit, uerum etiam maxime in tetrachordorum diuisione rationem secutus est. Sed ita, ut neque ea quam quaerebat efficaciter expediret, neque sensui proposita ab eo ratio consentiret. Ille enim tria esse genera arbitratur, enharmonium, chromaticum, diatonicum. In quibus eosdem grauissimos statuit atque acutissimos sonos, in omnibus quidem generibus grauissimos sonos faciens 2016, acutissimos uero 1512; inter hos in tribus generibus neruum grauissimo proximum collocat, eum scilicet qui sit 1954, ut ad eum 2016, sesquiuicesimam septimam obtineant proportionem. Post haec uero infra acutum neruum, tertium uero a grauissimo eum collocat in [1298] enharmonio genere, qui sit 1890, ad quem 1944 sesquitricesima quinta proportione iungantur. Idemque 1890 ad acutissimum 1512 in sesquiquarta proportione sit constitutus. Item in diatonico genere tertium quidem a grauissimo neruo, secundum uero ab acutissimo eum ponit, qui sit 1701, ad quos 1944 sesquiseptima proportione coniuncti sunt. Ipsi autem 1701 ad acutissimum, 1512 sesquioctaua. In chromatico uero genere tertium a grauissimo, et secundum ab acutissimo eum ponit, qui ad 1701, qui est tertius a grauissimo in diatonico genere eam obtineat proportionem quam obtinent 256 et 243; hic autem est 1792, qui est secundus ab acutissimo appositus, habetque proportionem secundus ab acutissimo in diatonico genere, id est 1701 ad secundum ab acutissimo in chromatico genere, id est 1762 eam quam habent 243 ad 257, eorumque tetrachordorum, secundum Archytae sententiam, diuisorum formam monstrat subiecta descriptio.

[1299] [PLLXIII:1299-1300; text: Enharmonicum, Ratio sesquitertia totum tetrachordum. Diatessaron ex quatuor neruis, Proportio sesquiquarta, diuide enim 1512 per 4, et prouenient 378, quae si adieceris 1512, producuntur 1890. Proportio sesquitricesima-quinta, quod patet si diuidantur 1890 per 35, et quod uenit id quotiente addas ad 1890. Proportio sesquiuicesima-septima patet hic diuidendo 1944 per 27, et addendo ei 27. 2016, Diatonicum, Diatessaron ex quatuor chordis, Proportio sesquioctaua, diuide enim 1512 per 8, et prouenient tibi 189, quae adde 1512, et erunt 1701. Proportio sesquiprima, diuide enim 1701 per 7, et prouenient 243, quae dum adieceris 101, procreantur 1944. Proportio quae in enharmonio sesquiuicesima-septima. Chromaticum, Proportio hemitonii minoris superpartiens 180. Proportio superpartiens 152. Proportio quae in enharmonio et diatonico, scilicet sesqui-uicesima-septima. 1792, 1945] [1299] XVII Quemadmodum Ptolemaeus et Aristoxeni et Architae tetrachordorum diuisiones deprehendat.

Sed utrasque tetrachordorum diuisiones Ptolemaeus ita reprehendit.

Architam quidem primo, quoniam secundus ab acutissimo neruus chromatico genere, id est 1792, ita est collocatus, ut nec ad acutissimum 1512, nec ad proximum grauiori 1944, ullam superparticularem efficiat proportionem, cum Architas tantam superparticularibus comparationibus hahuit dignitatem, ut eas etiam in consonantiarum ratione susceperit. Dehinc quod primam a grauissimo neruo proportionem in chromatico quidem maiorem sensus deprehendat quam fecit Architas, hic namque in chromatico genere 1944 ad 2016distare fecit sesquiuicesimam septimam proportionem, cum secundum consuetam chromatici generis modulationem sesquiuicesima prima esse debuerit. Item enharmonium genus ea proportio, quam primam a grauissimo secundum Architae retinet diuisionem, talis est, ut longe minor esse debeat quam in caeteris generibus inuenitur; hic autem aequam eam caeteris generibus statuit, dum primas a graui proportione in tribus generibus sesquiuicesimas septimas ponit. Aristoxenum uero culpat, quoniam in chromate molli et in chromate hemiolio tales posuerit primas secundasque a graui neruo proportiones, quae a se a minimo et quantum sensus non possit internoscere distarent. Est quippe proportio prima in chromatis [1300] mollis, prima diuisione secundum Aristoxenum octo, at in chromate hemiolio nouem. Sed octo ad nouem unitatis differentia distant. Est autem tonus totus 24 unitatibus secundum positionem uel propositionem quorum unitas 24 est. Primae igitur a graui inter se proportiones chromatis mollis, et chromatis hemiolii 24 parte toni distant, quod propter breuitatem differentiae nullo modo sentit auditus. Idem etiam Aristoxenum reprehendit cur diatonici generis duas tantum fecerit diuisiones, ut in molle incitatumque diuideret, cum possint aliae quoque diatonici generis species inueniri.

XVIII Quemadmodum tetrachordum diuisionem fieri dicat oportere.

Ptolemaeus tetrachordo diuersa ratione partitur, illud in principio statuens, ut inter duos altrinsecus sonos tales uoculae aptentur, quae se superparticularibus proportionibus excedant, inaequalibus tamen, quoniam superparticularis proportio non potest in aequa diuidi. Dehinc ut omnis comparatio, quae fit ad eum neruum qui est grauissimus, in tribus minor sit caeteris, quae acutis uocibus coniunguntur. Sed in his ea quae spissa nominamus talia esse debent, ut duae proportiones, quae grauitati sunt proximae, minores sint ea proportione quae relinquuntur ad acutum, in non spissis uero ut in diatonicis generibus nusquam una.