De institutione musica

LIBER PRIMUS I Musica naturaliter nobis esse coniunctam, et mores uel honestare uel euertere.

Omnium quidem perceptio sensuum, ita sponte ac naturaliter quibusdam uiuentibus adest, ut sine his animal non possit intelligi. Sed non aeque eorumdem cognitio ac firma perceptio animi inuestigatione colligitur. Illaboratum est enim quod sensum percipiendis sensibilibus rebus adhibemus. Quae uero sit ipsorum sensuum secundum quos agimus natura, et quae rerum sensibilium proprietas, id non obuium neque cuilibet explicabile esse potest, nisi quem conueniens inuestigatio ueritatis contemplatione direxerit, Adest enim cunctis mortalibus uisus, qui utrum uenientibus ad uisum figuris, an ad sensibilia radiis emissis efficiatur, inter doctos quidem dubitabile est, uulgus quoque ipsa dubitatio praeterit. Rursus cum quis triangulum respicit, uel quadratum, facile id quod oculis inuenitur agnoscit. Sed quaenam trianguli uel quadrati sit natura, a mathematica necesse est petat.

Idemque de caeteris sensibus dici potest, maximeque de arbitrio aurium, quarum uis ita sonos captat, ut non modo de his iudicium capiat, differentiasque cognoscat, uerum etiam delectetur saepius, si dulces coaptatique modi sunt, angatur uero, si dissipati atque incohaerentes feriant sensum. Unde fit, ut [1168] cum sint quatuor matheseos disciplinae, caeterae quidem ad inuestigationem ueritatis laborent; musica uero non modo speculationi, uerum etiam moralitati coniuncta sit. Nihil est enim tam proprium humanitati, quam remitti dulcibus modis astringique contrariis. Idque non modo sese in singulis uel studiis uel aetatibus tenet, uerum per cuncta diffunditur studia, et infantes ac iuuenes, necnon etiam senes, ita naturaliter affectu quodam spontaneo modis musicis adiunguntur, ut nulla omnino sit aetas quae a cantilenae dulcis delectatione seiuncta sit. Hinc etiam internosci potest, quod non frustra a Platone dictum est, mundi animam, musica conuenientia fuisse coniunctum. Cum enim ex eo quod in nobis est iunctum conuenienterque coaptatum, illud excipimus, quod in sonis apte conuenienterque coniunctum est, eoque delectamur, nos quoque ipsos eadem similitudine compactos esse cognoscimus. Amica est enim similitudo. Dissimilitudo uero odiosa atque contraria. Hinc etiam morum quoque maxime permutationes fiunt. Lasciuus quippe animus, uel ipse lasciuioribus delectatur modis, uel saepe eosdem audiens cito emollitur, ac frangitur. Rursus asperior mens uel incitatioribus gaudet, uel incitatioribus asperatur. Hinc est etiam quod modi musici gentium uocabulo designati sunt, ut Lydius modus, et Phrygius. Quo enim [1169] quasi unaquaeque gens gaudet, eodem modus ipse uocabulo nuncupatur. Gaudet enim gens modis morum similitudine. Neque enim fieri potest ut mollia duris, dura mollioribus adnectantur aut gaudeant. Sed amorem delectationemque (ut dictum est) similitudo conciliat. Unde Plato etiam maxime cauendum existimat, ne de bene morata musica aliquid permutetur. Negat enim esse ullam tantam morum in republica labem, quam paulatim de pudenti ac modesta musica inuertere. Statim enim idem quoque audientium animos pati, paulatimque discedere, nullumque honesti ac recti retinere uestigium, si uel per lasciuiores modos inuerecundum aliquid, uel per asperiores ferox atque immane mentibus illabatur. Nulla enim magis ad animum disciplinis uia, quam auribus patet. Cum ergo per eas rhythmi modique ad animum usque descenderint, dubitari non potest quin aequo modo mentem atque ipsa sunt efficiant atque conforment. Id uero etiam intelligi in gentibus potest. Nam quae asperiores sunt Getarum, durioribus delectantur modis. Quae uero mansuete, mediocribus, quanquam id hoc tempore pene nullum est. Quod uero lasciuum ac molle est genus humanum, id totum scenicis ac theatralibus modis tenetur. Fuit uero pudens ac modesta musica, dum simplicioribus organis ageretur. Ubi uero uarie permixteque tractata est, amisit grauitatis atque uirtutis modum, et pene in turpitudinem prolapsa, minimum antiquam speciem seruat. Unde Plato praecipit minime oportere pueros ad omnes modos erudiri sed potius ad ualentes ac simplices. Atque hic maxime illud est retinendum, quod si quoquo modo per paruissimas mutationes hinc aliquid permutaretur, recens quidem minime sentiri, post uero magnam facere differentiam, et per aures ad animum usque delabi. Idcirco magnam esse custodiam reipublicae Plato arbitratur musicam optime moratam pudenterque coniunctam, ita ut sit modesta ac simplex, et mascula, nec effeminata, nec fera, nec uaria. Quod Lacedaemonii maxima ope seruauere, dum apud eos Taletas Cretensis Gortinus magno pretio accitus, pueros disciplina musicae artis imbueret. Fuit enim id antiquis in morem, diuque permansit. Quoniam uero eis Timotheus Milesius super eas quas ante repererat unum addidit neruum, ac multipliciorem musicam fecit, exegere de laconica. Consultumque de eo factum est. Quod quoniam insigne est Spartiatarum lingua S litteram in R uertentium, ipsum de eo consultum eisdem uerbis Graecis apposui.

[Epeide Timotheor o Milesior, elthon ettan ameteran polin, tan palaian molpen atimasdei, kai, tan dia tan hepta chordan kitharizein apostrephomenor, poluphonian eisagon lumainetai tar akoar ton neon, diate tar poluchordiar kai tar kainotetor to meleor, agenne kai poikilan anti aploar kai tetagmenar amphiennutai tan mousan, epi chromatos sunistamenos tan to meleor diaskeuan, anti tar enarmonio poion antistrophon amoiban paraklatheis de [1170] kai etton agona tar Heleusiniar Damatror aprepe dieskeusato tan to mutho diaskeuan, tar gar tar Semelar odinar ouk endeka tor neor didaske. Dedoktai uper touton tor Basileor kai tor ephoror mempsasthai Timotheon. k. t.

l.]

Quod consultum id scilicet continet, id circo Timotheo Milesio Spartiatas succensuisse, quod multiplicem musicam reddens puerorum animis quos acceperat erudiendos, officeret, et a uirtutis modestia praepediret, et quod harmoniam, quam modestam susceperat, in genus chromaticum, quod est mollius, inuertisset. Tanta igitur fuit apud eos musicae diligentia, ut eam animos quoque obtinere arbitrarentur.

Vulgatum quippe est, quam sape iracundias cantilena represserit, quam multa uel in corporum, uel in animorum affectionibus miranda perfecerit. Cui enim est illud ignotum, quod Pythagoras ebrium adolescentem Taurominitanum sub Phygii modi sono incitatum, spondeo succinente reddiderit mitiorem et sui compotem. Nam cum scortum in riualis domo esset clausum, atque ille furens domum uellet amburere, cumque Pytghagoras stellarum cursus (ut ei mos nocturnus erat) inspiceret, ubi intellexit sono Phrygii modi incitatum, multis amicorum admonitionibus a facinore noluisse desistere, mutari modum praecepit atque ita furentis animum adolescentis ad statum mentis pacatissimae temperauit. Quod scilicet Marcus Tullius commemorat in eo libro quem de consiliis suis composuit, aliter quidem sed hoc modo.

Sed ut aliqua similitudine adductus, maximis minima conferam, ut cum uinolenti adolescentes tibiarum etiam cantu (ut fit) instincti, mulieris pudicae fores frangerent, admonuisse tibicinam ut spondeum caneret Pythagoras dicitur; quod cum illa fecisset, tarditate modorum et grauitate canentis, illorum furentem petulantiam consedasse. Sed ut similia breuiter exempla conquiram. Terpander atque Arion Methymnaeus Lesbios atque Iones, grauissimis morbis, cantus eripuere praesidio.

Ismenias uero Thebanus Boetiorum pluribus, quos schiatici doloris tormenta uexabat, modis fertur cuncta abstersisse molestias. Sed et Empedocles cum eius hospitem quidam gladio furibundus inuaderet, quod eius patrem ille accusatione damnasset, inflexisse dicitur modum canendi, itaque adolescentis iracundiam temperasse. In tantum uero priscae philosophiae studiis uis musicae artis innotuit, ut Pythagorici, cum diurnas in somno resoluerent curas, quibusdam cantilenis uterentur, ut eis lenis et quietus sopor irreperet. Itaque experrecti, aliis quibusdam modis stuporem somni confusionemque purgabant. Id nimirum scientes, quod tota nostrae animae corporisque compago musica coaptatione coniuncta sit. Nam ut sese corporis habet affectus, ita etiam pulsus cordis motibus incitantur. Quod scilicet Democritus Hippocrati medico tradidisse fertur, cum eum quasi insanum cunctis Democriti uicibus id opinantibus, in custodia medendi [1171] causa uiseret. Sed quorsum ista haec? Quia non potest dubitari quin nostrae animae et corporis status, eisdem quodammodo proportionibus uideatur esse compositus, quibus harmonicas modulationes posterior disputatio coniungi copularique monstrabit. Inde est enim quod infantes quoque cantilena dulcis oblectat. Aliquid uero asperum atque immite, ab audiendi uoluptate suspendit. Nimirum id etiam omnis aetas patitur, omnisque sexus. Quae licet suis actibus distributa sint, una tamen musicae delectatione coniuncta sunt. Quid enim fit, cum in fletibus luctus ipsos modulantur dolentes? Quod maxime muliebre est, ut cum cantico quodam dulcior fiat causa flendi. Id uero etiam fuit antiquis in morem, ut cantus tibiae luctibus praeiret. Testis est Papinius Statius hoc uersu: Cornu graue mugit adunco, Tibia cui teneros suetum producere manes.

Et qui suauiter canere non potest, sibi tamen aliquid canit, non quod eum aliqua uoluptate id quod canit afficiat sed quod quamdam insitam dulcedinem ex animo proferentis quoquomodo proferant, delectantur.

Nonne illud etiam manifestum est, in bellum pugnantium animos tubarum carmine accendi? Quod si uerisimile est, ab animi pacato statu, quemquam ad furorem atque iracundiam posse proferri. Non est dubium, quod conturbatae mentis iracundiam, uel nimiam cupiditatem modestior modus possit astringere. Quid quod cum aliquis cantilenam libentius auribus atque animo capit, ad illud etiam non sponte conuertitur, ut motum quoque aliquem similem auditae cantilenae corpus effingat, et quod omnino aliquod melos auditum sibi memor animus ipse decerpat? Ut ex his omnibus perspicue nec dubitanter appareat, ita quidem nobis musicam naturaliter esse coniunctam ut ea ne si uelimus quidem carere possimus. Quocirca intendenda uis mentis est, ut id quod natura est insitum, scientia quoque possit comprehensum teneri. Sicut enim in uisu quoque non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam quae sit horum proprietas inuestigauerint: sic non sufficit cantilenis musicis delectari, nisi etiam quali inter se coniunctae sint uocum proportione discatur.

II Tres esse musicas, in quibus de ui musicae narratur.

Principio igitur de musica disserenti, illud interim dicendum uidetur, quot musicae genera ab eius studiosis comprehensa esse nouerimus. Sunt autem tria. Et prima quidem mundana est; secunda uero humana; tertia quae in quibusdam constituta est instrumentis, ut in cithara uel in tibiis, caeterisque quae cantilenae famulantur. Et primum ea quae est mundana in his maxime perspicienda est quae in ipso coelo, uel compage elementorum, uel temporum uarietate uisuntur. Qui enim fieri potest, ut tam uelox coeli machina tacito silentique cursu moueatur? Et si ad nostras aures sonus ille non peruenit, quod [1172] multis fieri de causis necesse est, non poterit tamen motus tam uelocissimus ita magnorum corporum, nullos omnino sonos ciere, cum praesertim tanta sint stellarum cursus coaptatione coniuncti, ut nihil aeque compaginatum, nihil ita commixtum possit intelligi. Namque alii excelsiores, alii inferiores feruntur, atque ita omnes aequali incitatione uoluuntur, ut per dispares inaequalitates ratus cursuum ordo ducatur. Unde non potest ab hac coelesti uertigine ratus ordo modulationis absistere.

Iam uero quatuor elementorum diuersitates contrariasque potentias, nisi quaedam harmonica coniungeret, qui fieri posset, ut in unum corpus ac machinam conuenirent? Sed haec omnis diuersitas ita et temporum uarietatem parit et fructuum, ut tamen unum anni corpus efficiat. Unde si quid horum, quae tantam uarietatem rebus ministrant, animo et cogitatione discerpas, cuncta pereant, nec (ut ita dicam) quidquam consonum seruent. Et ut in grauibus chordis is uocis est modus, ut non ad taciturnitatem grauitas usque descendat, atque in acutis ille custoditur acuminis modus ne nerui nimium tensi uocis tenuitate rumpantur sed totum sibi sit consentaneum atque conueniens; ita etiam in mundi musica peruidemus, nihil ita nimium esse posse ut alterum propria nimietate disoluat. Verum quidquid illud est, aut suos affert fructus, aut aliis auxiliatur ut afferant. Nam quod constringit hiems, uer laxat, torret aestas, maturat autumnus, temporaque uicissim uel ipsa suos afferunt fructus, uel aliis ut afferant subminstrant. De quibus posterius studiosius disputandum est.

Humanam uero musicam, quisquis in sese ipsum descendit, intelligit.

Quid est enim quod illam incorpoream rationis uiuacitatem corpori misceat, nisi quaedam coaptatio, et ueluti grauium leuiumque uocum, quasi unam consonantiam efficiens, temperatio? Quid est autem aliud quod ipsius inter se partes animae coniungat, quae (ut Arisoteli placet) ex rationabili irrationabilique coniuncta est? Quid uero quod corporis elementa permisceat, aut partes sibimet rata coaptatione contineat? Sed de hac quoque posterius dicam. Tertia est musica, quae in quibusdam consistere dicitur instrumentis. Haec uero administratur, aut intentione, ut neruis, aut spiritu, ut tibiis, uel his quae ad aquam mouentur, aut percussione quadam, ut in his quae in concaua quaedam uirga aerea feriuntur, atque inde diuersi efficiuntur soni. De hac igitur instrumentorum musica primum hoc opere disputandum uidetur.

Sed prooemii satis est. Nunc de ipsis musicae elementis est disserendum.

III De uocibus ac de musicae elementis.

Consonantia, quae omnem musicae modulationem regit, praeter sonum fieri non potest. Sonus uero praeter quemdam pulsum percussionemque non redditur. Pulsus uero atque percussio nullo modo esse potest, nisi praecesserit motus. Si enim cuncta sint immobilia, [1173] non poterit alterum alteri concurrere, ut alterum impellatur ab altero. Sed cunctis stantibus motuque carentibus, nullum fieri necesse est sonum.

Idcirco definitur sonus: Aeris percussio indissoluta usque ad auditum.

Motuum uero alii sunt uelociores, alii tardiores, eorumdemque motuum alii rariores sunt alii spissiores. Nam si quis in continuum motum respiciat, ibi aut uelocitatem aut tarditatem necesse est comprehendat. Sin uero quis moueat manum, aut frequenti eam motu mouebit aut raro. Et sit tardus quidem fuerit ac rarior motus graues necesse, est sonos effici ipsa tarditate et raritate pellendi. Sin uero motus sint celeres ac spissi, acutos reddi necesse est sonos. Idcirco enim idem neruus si intendatur amplius, acutum sonat; si remittatur, graue. Quando enim tensior est, uelociorem pulsum reddit, celeriusque reuertitur, et frequentius ac spissius aerem ferit. Qui uero laxior est, solutos ac tardos pulsus effert, rarusque ipsa imbecillitate feriendi, nec diutius tremit. Neque enim quotiens chorda pellitur, unus edi tantum putandus est sonus, aut unam in his esse percussionem sed totiens aer feritur quotiens eum chorda tremebunda percusserit. Sed quoniam iunctae sunt uelocitates sonorum, nulla intercapedo sentitur auribus. Et unus sonus sensum pellit uel grauis, uel acutus, quamuis uterque ex pluribus constet, grauis quidem ex tardioribus, et rarioribus, acutus uero ex celeribus ac spissis, ueluti si conum, quem turbonem uocant, quis diligenter exornet, eique unam uirgulam coloris rubri uel alterius ducat, et eum qua potest celeritate conuertat, tunc totus conus rubro colore uidetur infectus, non quod totus ita sit sed quod partes puras rubrae uirgae uelocitas comprehendat, et apparere non sinat. Sed de his posterius. Igitur quoniam acutae uoces spissioribus et uelocioribus motibus incitantur, graues uero tardioribus ac raris, liquet additione quadam motuum ex grauitate acumen intendi, detractione uero motuum laxari ex acumine grauitatem. Ex pluribus enim motibus acumen, quam grauitas constat. In quibus autem pluralitas differentiam facit, eam necesse est in quadam numerositate consistere. Omnis uero paucitas ad pluralitatem ita sese habet, ut numerus ad numerum comparatus. Eorum uero quae secundum numerum conferuntur, partim sibi sunt aequalia, partim inaequalia.

Quocirca soni quoque partim sunt aequales, partim uero sunt inaequalitate distantes. Sed in his uocibus, quae nulla inaequalitate discordant, nulla omnino consonantia est, etenim consonantia est dissimilium inter se uocum in unum redacta concordia.

IV De speciebus inaequalitatum.

Quae uero sunt inaequalia, quinque inter se modis inaequalitatis momenta custodiunt. Aut enim alterum ab altero multiplicate transcenditur, aut singulis partibus, aut pluribus aut multiplicitate et parte, aut multiplicitate et partibus. Et primum quidem inaequalitatis genus multiplex appellatur. Est uero multiplex [1174] ubi maior numerus minorem numerum habet, in se totum, uel bis, uel ter, uel quater, ac deinceps nihilque deest, nihilque exuberat, appellaturque uel duplum, uel triplum, uel quadruplum. atque ad hunc ordinem in infinita progreditur. Secundum uero inaequalitatis genus est quod appellatur superparticulare, id est cum maior numerus minorem numerum habet in se totum, et unam eius aliquam partem, eamque uel dimidiam, ut tres duorum, et uocatur sesquialtera proportio, uel tertiam, ut quatuor ad tres, et uocatur sesquitertia.

Ad hunc etiam modum in posterioribus numeris pars aliqua a maioribus super minores numeros continetur. Tertium uero genus inaequalitatis est, quotiens maior numerus totum intra se minorem continet, et eius aliquantas insuper partes, et si duas quidem supra continet, uocabitur proportio superbipartiens, ut sunt quinque ad tres. Sinuero tres super se continet, uocabitur supertripartiens, ut suut septem ad quatuor. Et in caeteris quidem eadem similitudo esse potest. Quartum uero est inaequalitatis genus, quod ex multiplici et superparticulari coniungitur, cum scilicet maior numerus habet in se minorem numerum, uel bis uel ter uel quotieslibet, atque eius unam aliquam partem. Et si eum bis habet, et eius dimidiam partem, uocabitur duplex sesquialter, ut sunt quinque ad duo. Sin uero bis minor continebitur, et eius tertia pars, uocabitur duplex sesquitertius, ut sunt septem ad tres. Sin uero tertio continebitur, et eius dimidia pars, uocabitur triplex sesquialiter. ut sunt septem ad duo. Atque ad eumdem modum in coeteris et multiplicitatis et superparticularitatis uocabula uariantur. Quintum est genus inaequalitatis, quod appellatur multiplex superpartiens, quando maior numerus minorem numerum habet in se totum plusquam semel, et eius plusquam unam aliquam partem. Et si bis maior numerus minorem numerum continebit, duasque eius insuper partes, uocabitur duplex superbipartiens, ut sunt tres ad octo, et rursus triplex superbipartiens, ut sunt tres ad undecim. Ac de his idcirco nunc strictim ac breuiter explicamus, quoniam in libris quos de Arithmetica Institutione conscripsimus. diligentius enodauimus.

V Quae inaequalitatis species consonantiis aptentur.

Ex his igitur inaequalitatis generibus postrema duo, quoniam ex superioribus mixta sunt, relinquamus. De tribus uero prioribus speculatio facienda est. Obtinere igitur maiorem ad consonantias potestatem uidetur multiplex, consequenter autem superparticularis.

Superpartiens uero ab harmoniae concinentia separatur, ut quibasdam praeter Ptolemaeum uidetur.

VI Cur multiplicitas et superparticularitas consonantiis deputentur.

Ea namque probantur comparationi consentanea, quae sunt natura simplicia. Et quoniam grauitas et acumen in quantitate consistunt, ea maxime uidebuntur seruare naturam concinentiae, quae discretae [1175] proprietatem quantitatis poterunt custodire. Nam cum sit alia quidem discreta quantitas, alia uero continua, ea quae discreta est in minimo quidem finita est sed in infinitum per maiora procedit. Namque in ea minima unitas eademque finita est. In infinitum uero modus pluralitatis augetur, ut numerus qui cum a finita incipiat unitate, crescendi non habet finem. Rursus quae est continua, tota quidem finita est sed per infinita minuitur. Linea enim quae continua est, in infinita semper partitione diuiditur. Cum sit eius summa, uel bipedalis, uel quaecumque alia definita mensura. Quocirca numerus semper in infinita concrescit, continua uero quantitas in infinita minuitur, Multiplicitas igitur quoniam crescendi ffnem non habet, numeri maxime seruat naturam. Superparticularitas autem, quoniam in infinitum minorem minuit proprietatem seruat continuae quantitatis.

Minuit autem minorem, cum semper eum continet, et eius uel dimidiam partem, uel tertiam, uel quartam, uel quintam. Nam semper pars a maiore numero denominata ipsa decrescit. Nam cum tertia a tribus denominata sit, quarta uero a quatuor, cum quatuor tres superent, quarta potius quam tertia minutior inuenitur. Superpartiens uero iam quodammodo a simplicitate discedit. Duas enim, uel tres, uel quatuor habet insuper partes, et a simplicitate discedens exuberat ad quamdam partium pluralitatem. Rursus multiplicitas omnis in integritate se continet. Nam duplum bis habet totum minorem; triplum item tertio continet totum minorem, atque ad eumdem modum et caetera.

Superparticularitas uero nihil integrum seruat sed uel dimidio superat, uel tertia, uel quarta, uel quinta. Sed tamen diuisionem singulis ac simplicibus partibus operatur. Superpartiens autem inaequalitas nec seruat integrum nec singulis adimit partes. Atque ideo secundum Pythagoricos, minime musicis consonantiis adhibetur.

Ptolemaeus tamen etiam hanc proportionem inter consonantias ponit, ut posterius ostendam.

VII Quae proportiones quibus consonantiis musicis aptentur Illud tamen esse cognitum debet, quod omnes musicae consonantiae, aut in duplici, aut in triplici, aut in quadrupla, aut in sesquialtera aut in sesquitertia proportione consistunt. Et uocabitur quidem quae in numeris sesquitertia est, diatessaron in sonis. Quae in numeris sesquialtera, diapente appellatur in uocibus Quae uero in proportionibus dupla est diapason in consonantiis. Tripla uero diapente ac diapason. Quadrupla autem bisdiapason. Et nunc quidem uniuersaliter atque indiscrete dictum sit. Posterius uero omnis ratio proportionum lucebit.

VIII Quid sit tonus, quid interuallum, quid concinentia.

Sonus igitur est uocis casus, emmeles, id est aptus melo, in unam intensionem. Sonum uero non generalem nunc uolumus definire; sed eum qui graece dicitur phthongus, dictus a similitudine loquendi [phthengesthai]. Interuallum uero est soni acuti grauisque [1176] distantia. Consonantia est acuti soni grauisque mixtura, suauiter uniformiterque auribus accidens.

Dissonantia uero est duorum sonorum sibimet permixtorum ad aurem ueniens aspera atque iniucunda percussio.

Nam dum sibimet misceri nolunt, et quodammodo integer uterque nititur peruenire, cumque alter alteri officit, ad sensum insuauiter uterque transmittitur.

IX Non omne iudicium dandum esse sensibus sed amplius rationi esse credendum in quo de sensuum fallacia. Sed de his ita proponimns, ut non omne iudicium sensibus demus, quanquam a sensu aurium huiusce artis sumatur omne principium. Nam si nullus esset auditus, nulla omnino disputatio de uocibus exstitisset.

Sed principium quodammodo, et quasi admonitionis uicem tenet auditus.

Postrema ergo perfectio, agnitionisque uis in ratione consistit, quae certis regulis sese tenens nullo unquam errore prolabitur. Nam quid diutius dicendum est de errore sensuum, quando nec omnibus eadem sentiendi uis, nec eidem homini semper aequalis? Frustra autem uario iudicio quisquam committet, quod ueraciter affectat inquirere. Idcirco Pythagorici medio quodam feruntur itinere. Nam nec omne iudicium dedunt auribus, et quaedam tamen ab eis non nisi auribus explorantur.

Ipsas etenim consonantias aure metiuntur. Quibus uero inter se distantiis consonantiae differant, id iam non auribus, quarum sunt obtusa iudicia sed regulis rationique permittunt, ut quasi obediens quidem famulusque sit sensus, iudex uera atque imperans ratio. Nam licet omnium pene artium, atque ipsius uitae momenta, sensum occasione producta sint, nullum tamen in his iudicium certum, nulla ueri est comprehensio, si arbitrium rationis abscedat. Ipse enim sensus aeque maximis minimisque corrumpitur. Nam neque minima sentire propter ipsorum sensibilium paruitatem potest, et maioribus saepe confunditur.

Ut in uocibus, quae si mininae sint, difficilius captat auditus: si sint maximae, ipsius sonitus intentione surdescit.

X Quemadmodum Pythagoras proportiones consonantiarum inuestigauerit.

Haec igitur maxima causa fuit cur, relicto aurium iudicio, Pythagoras ad regularum momenta migrauerit, qui nullius humanis auribus credens, quae partim natura, partim etiam extrinsecus accidentibus permutantur, partim ipsis uariantur aetatibus, nullis etiam deditus instrumentis, penes quae saepe multa uarietas atque inconstantia nasceretur, dum nunc quidem si neruos uelis aspicere, uel aer humidior pulsus obtunderet, uel siccior exsiccaret, uel magnitudo chordae grauiorem redderet sonum, uel acumen subtilior tenuaret, uel alio quodam modo statum prioris constantiae permutaret. Et cum idem esset in caeteris instrumentis, omnia haec inconsulta minimaeque aestimans fidei, diuque aestuans inquirebat quanam ratione firmiter et constanter consonantiarum momenta [1177] perdisceret. Cum interea diuino quodam motu praeteriens fabrorum officinas, pulsos maleos exaudiuit, ex diuersis sonis unam quodammodo concinentiam personare. Ita igitur ad id quod diu inquirebat attonitus, accessit ad opus: diuque considerans, arbitratus est diuersitatem sonorum ferientium uires efficere. Atque ut id apertius colliqueret, mutarent inter se malleos imperauit. Sed sonorum proprietas non in hominum lacertis haerebat sed mutatos malleos comitabatur. Ubi igitur id animaduertit, malleorum pondus examinat. Et cum quinque essent forte mallei, dupli reperti sunt pondere qui sibi secundum diapason consonantiam respondebant.

Eumdem etiam qui duplus esset alio, sesquitertium alterius comprehendit, ad quem scilicet diatessaron sonabat. Ad alium uero quemdam, qui eidem diapente consonantia iungebatur, eumdem superioris duplum reperit esse sesquialterum. Duo uero hi, ad quos superior duplex sesquitertius et sesquialter esse probatus [1178] est, ad se inuicem sesquioctauam proportionem perpensi sunt custodire. Quintus uero est reiectus, qui cunctis erat inconsonans. Cum igitur ante Pythagoram consonantiae musicae, partim diapason, partim diapente, partim diatessaron, quae est consonantia minima, uocarentur primus Pythagoras hoc modo reperit, qua proportione sibimet haec sonorum chorda iungeretur. Et ut sit clarius quod dictum est, sint, uerbi gratia, malleorum quatuor pondera, iquae subterscriptis numeris contineatur, 12, 9, 8, 6. Hi igitur mallei, qui 12 et 6 ponderibus uergebant, diapason in duplo concinentiam personabant. Malleus uero 12 ponderum ad malleum 9, et malleus 8 ponderum ad malleum 6 ponderum, secundum epitritam proportionem diatessaron consonantia iungebatur.

Nouem uero ponderum ad 6, et 12 ad 8 diapente consonantiam permiscebant. Nouem uero ad 8, in sesquioctaua proportione resonabant tonum.

Haec ultima figura et in suprema calce Arithmeticae.

[PLLXIII:1177-78; text: 12, 9, 6, 8, Sesquitertius, diatessaron, Sesquiocta, tonus, Sesquitertium, Dupla, Diapason, Sesquialter, Diapente, epitrita] [BOEDIM1 01GF]

XI *3Quibusdam modis uarie a Pythagora proportiones consonantiarum perpensae sint.

[1177] Hinc igitur domum reuersus, uaria examinatione perpendit an in his proportionibus ratio symphoniarum tota consisteret. Hunc quidem aequa pondera neruis aptans, eorumque consonantias aure diiudicans; nunc uero in longitudine calamorum duplicitatem medietatemque restituens, caeterasque proportiones aptans, integerrimam fidem diuersa experientia capiebat. Saepe et pro mensurarum modo cyathos aequorum ponderum acetabulis imimttens; saepe ipsa quoque acetabula diuersis formata ponderibus uirga, uel aerea, ferreaue percutiens, nihil esse diuersum inuenisse laetatus est.

Hinc etiam ductus, longitudinem crassitudinemque chordarum ut examinaret aggressus est.

Itaque inuenit regulam, de qua posterius loquemur, quae ex re uocabulum sumpsit, non quod regula sit linea, per quam magnitudines chordarum sonumque metimur sed quod regula quaedam sit huiusmodi inspectio fixa firmaque, ut nullum inquirentem dubio fallat iudicio.

XII De diuisione uocum earumque explanatione.

Sed de his hactenus; nunc uocum differentias colligamus. [1178] Omnis enim uox aut [suneches] est, quae continua, aut [diastematike], quae dicitur cum interuallo suspensa. Et continua quidem est, quia loquentes uel ipsam orationem legentes uerba percurrimus. Festinat enim tunc uox non inhaerere in acutis et grauibus sonis sed quam uelocissime uerba percurrere, expediendisque sensibus, exprimendisque sermonibus continuae uocis impetus operantur. Diastematice autem est ea quam canendo suspendimus, in qua non potius sermonibus sed modulis inseruimus. Estque uox ipsa tardior, et per modulandas uarietates quoddam faciens interuallum, non taciturnitatis sed suspensae ac tardae potius cantilenae. His (ut Albinus autumat) additur tertia differentia, quae medias uoces possit includere sed heroum poemata legimus, neque continuo cursu, ut prosam, neque suspenso segniorique modo uocis, ut canticum.

XIII  Quod infinitatem uocum humana natura finierit.

Sed quae continua uox est, et ea rursus qua decurrimus cantilenam, naturaliter quidem infinitae sunt. Consideratione enim accepta, nullus modus uel euoluendis sermonibus fit, uel acuminibus attollendis grauitatibusque laxandis sed utrisque natura humana fecit proprium finem. Continuae enim uoci terminum [1179] humanus spiritus fecit, ultra quem nulla ratione uales excedere. Tantum enim unusquisque loquitur continue, quantum naturalis spiritus sinat. Rursus diastematice uoci natura hominum facit terminum. quae acutam eorum uocem grauemque determinat. Tantum enim unusquisque uel acumen ualet extollere, uel deprimere grauitatem, quantum uocis eius naturaliter patitur modus.

XIV Quis modus sit audiendi.

Nunc quis modus audiendi sit disseramus. Tale enim quiddam fieri consueuit in uocibus, quale cum paludibus uel quietis aquis iactum eminus mergitur saxum. Prius enim in paruissimum orbem undam colligit, deinde maioribus orbibus undarum globos spargit, atque eo usque dum fatigatus motus ab eliciendis fluctibus conquiescat. Semperque posterior et maior undula pulsu debiliore diffunditur. Quod si quid sit, quod crescentes undas possit offundere, statim motus ille reuertitur, et quasi ad centrum, unde profectus fuerat, eisdem undulis rotundatur. Ita igitur cum aer pulsus fecerit sonum, pellit alium proximum, et quodammodo rotundum fluctum aeris ciet. Itaque diffunditur et omnium circumstantium simul ferit auditum, atque illi est obscurior uox, qui longius steterit, quoniam ad eum debilior pulsi aeris unda peruenit.

XV De ordine theorematum, id est speculationum.

His igitur ita propositis dicendum uidetur quot generibus omnis cantilena texatur, de quibus harmonicae inuentionis disciplina considerat. Sunt autem haec diatonicum, chromaticum, enharmonicum. De quibus ita demum explicandum est, si prius de tetrachordis disseramus, et quemadmodum auctus neruorum numerus, ad id quo nunc pluralitas est, usque peruenerit. Id autem fiet, si prius commemoremus quibus proportionibus symphoniae musicae misceantur.

XVI De consonantiis proportionum, et tono, et semitonio.

Diapason consonantia est quae fit in duplo, ut haec est, 1, 2; diapente uero quae constat his numeris, 2, 3; diatessaron uero est quae in hac proportione consistit 3, 4; tonus uero sesquioctaua proportione concluditur sed in hoc nondum est consonantia, ut 8, 9; diapason uero et diapente tripla comparatione colligitur hoc modo, 2, 4, 6; bisdiapason quadrupla collatione perficitur, 2, 4, 8; diutessaron uero ac diapente unum perficiunt diapason hoc modo, 2, 3, 4.

[PLLXIII:1179-80; text: Diapente, Sesquialtera, Diatessaron, Sesquitertia, Tonus, Sesquioctaua, Tripla, Diapason, ac diapente, Quadrupla, Bis diapason, Dupla id est diapason, Diatessaron ac diapente, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9] [BOEDIM1 02GF]

[1181] Nam si uox uoci duplo sit acuta uel grauis, diapason consonantia fiet. Si uox uoci sesquialtera proportione sit, uel sesquitertia, uel sesquioctaua, acutior grauiorque diapente, uel diatessaron, uel tonum consonantiam reddet. Item si diapason, ut 2 et 4, et diapente, ut 4 et 6, coniungantur, triplam, et quae est diapason et diapente, efficiant symphoniam. Quod si bis diapason fiant, ut duo ad quatuor, et quatuor ad octo, quadrupla fiet consonantia, quae est bisdiapason. Quod si sesquialtera et sesquitertia, id est diapente et diatessaron, ut duo ad tres, et tres ad quatuor coniungantur, dupla id est, diapason nimirum nascitur concinentia. Quatuor enim ad tres sesquitertiam obtinent proportionem. Tres uero ad binarium sesquialtera collatione iunguntur, et idem quaternarius ad binarium appositus dupla ei comparatione copulatur. Sed sesquitertia diatessaron, sesquialtera proportio diapente consonantiam creant. Dupla uero diapason efficit symphoniam. Diatessaron igitur ac diapente unam diapason consonantiam iungunt. Rursus tonus in aequa diuidi non potest, cur autem posterius liquebit. Nunc hoc tantum nosse sufficiat, quod nunquam tonus in gemina aequa diuiditur. Atque ut id facillime comprobetur, sit sesquioctaua proportio 8 et 9. Horum nullus naturaliter medius numerus incidet. Hos igitur si binario multiplicemus, fiuntque bis 8 16, 9 18, inter 16 autem et 18 unus numerus naturaliter incidit qui est scilicet 17. Qui disponantur in ordinem 16, 17, 18. Igitur 16 ac 18 collati, sesquioctauam retinent proportionem, atque idcirco tonum. Sed hanc proportionem 16 numerus medius non in aequalia partitur.

Comparatus enim ad 16, habet in se totum 16, et eius sextam decimam partem, scilicet unitatem. Si uero ad eum, id est 17, tertius, id est 18, numerus comparetur, habet eum totum, et eius decimam septimam partem. Non igitur iisdem partibus et minorem superat, et a maiore superatur. Est enim minor pars septima decima, maior sexta decima. Sed utraque semitonia nuncupantur. Non quod omnino semitonia ex aequo sint media sed quod semum dici solet, quod ad integritatem usque non peruenit. Sed inter haec unum maius semitonium nuncupatur, aliud minus.

XVII In quibus primis numeris semitonium constet.

Quod uero integrum sit semitonium, aut in quibus primis numeris constet, nunc euidentius explicabo. Id enim quod de diuisione toni dictum est, non ad hoc pertinent, ut semitoniorum modos uoluerimus ostendere. Sed ad id potius quod tonum in gemina aequa diceremus non posse disiungi. Diatessaron, quae est consonantia, uocum quidem est quatuor, interuallorum trium. Constat autem ex duobus tonis, et non integro semitonio. Sit enim subiecta descriptio 192, 216, 243, 256, Si igitur 192 numerus, 256 comparetur, sesquitertia proportio fiet, ac diatessaron concinentiam resonabit. Sed si 216 ad 192 comparemus, [1182] sesquioctaua proportio est; est enim eorum differentia 24, quae est octaua pars, 192 est igitur tonus. Rursus si 243 ad 216 comparetur, erit altera sesquioctaua proportio. Nam eorum differentia 27, pars 216, probatur octaua, restat comparatio 256 ad 243, quorum differentia est 13. Qui octies facti, medietatem 243 non uidentur implere. Non est igitur semitonium sed minus a semitonio. Tunc enim integrum esse semitonium iure putaretur, si eorum differentia, quae est 13 facta octies, medietatem 243 numerorum potuisset aequare. Estque uerum semitonium minus 243 ad 256 comparatio.

[PLLXIII:1182,1; text: Diatessaron, Differentia 64, Sesquitertia, Differentia 51, Differentia 40, Tonus, Semitonium, Differentia 24, Differentia 27, Differentia 13, 192, 216, 243, 256] [BOEDIM1 03GF]

XVIII Diatessaron a diapente tono distare.

Rursus diapente consonantia, uocum quidem est quinque interuallorum quatuor, trium tonorum, et minore semitonio. Ponatur enim idem numerus 192, et eius sesquialter sumatur, qui ad eum diapente faciat consonantiam. Sit igitur numerus 288. Igitur horum et superius deprehensorum 192, ponantur in medio numeri hi 216, 243, 256, et sit hoc modo formata descriptio, 192, 216, 243, 256, 288.

[PLLXIII:1182,2; text: Diapente, Differentia 96, Sesquialtera, Differentia 51, Differentia 45, Tonus, Semitonium, Differentia 24, Differentia 27, Differentia 13, Differentia 32, 192, 216, 243, 256, 288] [BOEDIM1 03GF] In superiore igitur descriptione, 192 et 256 duos tonos et semitonium contineri monstrati sunt. Restat igitur comparatio 256 ad 288, quae est sesquioctaua, id est tonus, eorumque differentia est 32, quae est octaua pars 256. Itaque monstrata est diapente consonantia ex tribus tonis semitonioque constare. Sed dubium diatessaron consonantia a centum nonaginta duobus numeris usque ad 256 uenerat. Nunc uero diapente ab eisdem 192 numeris usque ad 288 distenditur. Superatur igitur diatessaron consonantia a [1183] diapente, ea proportione quae inter 256 et 288 numeros continetur, at est hic tonus. Diatessaron igitur symphonia a diapente tono transcenditur.

XIX Diapason quinque tonis et duobus semitoniis iungi.

Diapason consonantia constat ex quinque tonis et duobus semitoniis, quae tamen unum non impleant tonum. Quoniam enim monstratum est diapason ex diapente et diatessaron consistere, diatessaron uero probata est ex duobus tonis et semitonio constare; diapente ex tribus tonis ac semitonio simul iuncta efficiunt quinque tonos. Sed quoniam illa duo semitonia non erant integrae medietatis, eorum coniunctio ad plenum usque non peruenit. Sed medietatem quidem superat, ab integritate relinquitur. Estque diapason secundum hanc rationem ex quinque tonis et duobus semitoniis. Quae sicut ad integrum tonum non aspirant, ita ultra integrum semitonium prodeunt. Sed quae horum sit ratio, uel quemadmodum ipsae musicae consonantiae reperiantur, postea liquidius explanabitur. Interea praesenti disputationi sub mediocri intelligentia credulitatis adhibenda est: tunc uero firma omnis fides sumenda est, cum propria unum quodque demonstratione claruerit. His igitur ita dispositis paulisper de cytharae neruis, ac de eorum nominibus, quoque modo sunt additi, disseramus, quaque eorum causa sit nominum. His enim primum ad notitiam uenientibus facile erit scientia, quae sequuntur, amplecti.

XX De additione chordarum earumque nominibus.

Simplicem principio fuisse musicam refert Nicomachus, adeo ut quatuor neruis tota constaret. Idque usque ad Orpheum durauit, ut primus quidem neruus et quartus diapason consonantiam resonarent. Medii uero ad se inuicem atque ad extremos diapente, ac diatessaron, ac tonum.

Nihil uero in eis esset inconsonum, ad imitationem scilicet musicae mundanae, quae ex quatuor constat elementis. Cuius quadrichordi Mercurius dicitur inuentor.

[PLLXIII:1183; text: Tetrachordum Mercurii, 6, c, Trite diezeugmenon, Diapente, 8, G, Lichanos meson. Diatessaron, 9, F, Parhypate meson. Tonus, 12, C, Parhypate hypaton. 1, 2, 3, 4, Diapason] [BOEDIM1 03GF]

Quinta uero chordam post Chorebus Athylis filius adiunxit, qui fuit Lydorum rex. Hyagis uero Phryx sextum his apposuit neruum. Sed septimus neruus a Terpandro Lesbio adiunctus est, secundum septem scilicet planetarum similitudinem. Inque bis quae grauissima quidem erat, uocata est hypate, quasi maior atque honorabilior. Unde Iouem etiam Hypaton [1184] uocant. Consulem eodem quoque nuncupant nomine propter excellentiam dignitatis, eaque Saturno est attributa propter tarditatem motus et grauitatem soni. Parhypate uero secunda, quasi iuxta hypaten posita et collocata.

Lichanos tertia idcirco, quoniam lichanos digitus dicitur, quem nos indicem uocamus. Graecus a lingendo lichanon appellat. Et quoniam in canendo ad eam chordam, quae erat tertia ab hypate, index digitus, qui est lichanos inueniebatur, idcirco ipsa quoque lichanos appellata est. Quarta dicitur mese, quoniam inter septem semper est media. Quinta est paramese, quasi iuxta mediam collocata. Septima autem dicitur nete, quasi neate, id est inferior. Inter quam neten et paramesen est sexta, quae uocatur paranete, quasi iuxta neten locata. Paramese uero quoniam tertia est a nete, eodem quoque uocabulo trite, id est tertia nuncupatur, ut sit descriptio haec.

[PLLXIII:1184,1; text: Tetrachordum synemmenon iunctum, Mercurius, Synaphe, Chorebus, Lydorum rex, Atis filius, Hyagnis, Phryx, Terpander, Lesbius, 1, mi, Hypate, 2, fa, Parhypate, 3, sol, Lichanos, 4, la mi, Mese Synaphe, 5, Paramese, uel trite, 6, Paranete, 7, la, Nete, tetrachordum] [BOEDIM1 03GF]

His octauam Samius Lichaon adiunxit, atque inter paramesen, quae etiam trite dicitur, et paraneten neruum medium coaptauit, ut ipse tertius esset a nete. Et paramese quidem uocata est solum, quae post mediam collocabatur. Trites uero nomen perdidit, posteaquam inter eam atque paraneten tertius a nete locatus est neruus, qui digne trites nomen exciperet, ut sit octochordum secundum Lichaonis additionem, hoc modo:

[PLLXIII:1184,2; text: Orthocordum diezeugmenon disiunctum, [Diazenxis] Tonus, 1, mi, Hypate, 2, fa, Parhypate, 3, sol, Lichanos, 4, la, Mese, 5, Paramese, 6, Trite, 7, Paranete, 8, Nete, tetrachordum] [BOEDIM1 03GF] [1185] In superioribus igitur duabus dispositionibus heptachordi et octochordi. Heptachordum quidem dicitur synemmenon, quod est coniunctum. Octochordum uero diezeugmenon, quod est disiunctum. In heptachordo enim est unum tetrachordum, hypate, parhypate, lichanos, mese. Aliud uero mese, paramese, panarete, nete, dum mesen neruum secundo numeramus, atque ideo duo tetrachorda per mesen coniunguntur.

In octochordo uero quoniam octo sunt chordae, superiores quatuor, id est hypate, parhypate, lichanos, mese, unum tetrachordum explent. Ab hoc uero disiunctum atque integrum inchoat a paramese, progrediturque per triten et paraneten, et finitum ad neten, et est disiunctio, quae uocatur diezeuxis. Tonusque est distantia meses et parameses. Hic igitur mese tantum quidem nomen obtinuit. Non enim est media positione, quia in octochordo duae quidem semper mediae reperiuntur sed una media non potest inueniri. Prophrastus autem periotes ad grauiorem partem unam addidit chordam, ut faceret totum enneachordum.

Quae quoniam super hypaten est addita, hyperhypate est nuncupata. Quae prius quidem dum nouem chordarum tantum esset cythara, hyperhypate uocabatur. Nunc autem lichanos hypaton dicitur aliis superadditis. In quo ordine atque instructione, quoniam ad indicem digitum uenit, lichanos appellata est. Sed hoc posterius apparebit. Nunc uero enneachordi ordo sic se habet.

[PLLXIII:1185; text: Enneachordum, 1, Hyperhypate, 2, Hypate, 3, Parhypate, 4, Lichanos, 5, Mese, 6, Paramese, 7, Trite, 8, Paranete, 9, Nete] [BOEDIM1 04GF]

Hestiaeus Colophonius decimam in grauiorem partem coaptauit chordam, Timotheus uero Milesius undecimam. Quae quoniam super hypaten atque parhypaten sunt additae, hypate quidem hypaton uocatae sunt quasi maximae magnarum et grauissimae grauium, aut excellentes excellentium.

Sed uocata est prima inter undecim hypate hypaton. Secunda uero parhypate hypaton, quoniam iuxta hypaten hypaton collocata est. Tertia quae dudum in enneachordo parhypate uocabatur, lichanos hypaton est nuncupata. Quarta uero hypate antiquum tenuit nomen. Quinta parhypate.

Sexta lichanos antiquum scilicet habens uocabulum. Septima mese.

Octaua paramese. Nona trite. Decima paranete. Undecima nete. Est igitur unum tetrachordum hypate hypaton, [1186] parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate. Aliud uero hypate, parhypate, lichanos, mese, et haec quidem coniuncta sunt. Tertium uero est paramese, trite, paranete, nete. Sed quoniam inter superius tetrachordum, quod est hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate meson, et inter infimum, quod est paramese, trite, paranete, fit positione medium tetrachordum, quod est hypate, parhypate. Lichanos, mese, totum hoc medium tetrachordum meson uocatum est, quasi mediarum, uocaturque cum additamento hoc hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese.

Quoniam uero inter hoc meson tetrachordum, et inferius, quod est netarum, disiunctio est, meses scilicet et parameses, inferius omne tetrachordum disiunctarum, id est diezeugmenon, uocatum est, cum additamento scilicet hoc: paramese diezeugmenon, trite diezeugmenon, paranete diezeugmenon, nete diezeugmenon, ut sit descriptio hoc modo:

[PLLXIII:1186,1; text: Endecachordum, Tetrachordum diezeugmenon, Tetrachordum nete, Tetrachordum meson, Tetrachordum, 1, Hypate hypaton, 2, Parhypate hypaton, 3, Lichanos hypaton, 4, Synaphe, Hypate meson, 5, Parhypate meson, 6, Lichanos meson, 7, Mese, 8, Paramese diezeugmenon, 9, Trite diezeugmenon, 10, Paranete diezeugmenon, 11, Nete diezeugmenon, Diazeuxis] [BOEDIM1 04GF]

Est igitur hic inter paramesen ac mesen disiunctio, atque ideo diezeugmenon tetrachordum hoc uocatum est. Quod si paramese auferatur, et sit mese trite, paranete, nete, tunc coniuncta, id est synemmena, erunt tria tetrachorda, uocabiturque ultimum tetrachordum synemmenon hoc modo:

[PLLXIII:1186,2; text: Decachordum, Tetrachordum synemmenon, Tetrachordum meson, Tetrachordum, 1, Hypate hypaton, 2, Parhypate hypaton, 3, Lychanos hypaton, 4, Hypate meson, 5, Parhypate meson, 6, Lichanos meson, 7, Mese synemmen, 8, Trite synemmen, 9, Paranete synemmen, 10, Nete synemmen] [BOEDIM1 04GF]

[1187] Sed quoniam in hac uel in superiore hendecachordi dispositione mese, quae propter mediam collocationem ita uocata est, nete proxima accedit, et longe ab hypatis ultimis distat, nec proprium distantiae retinet locum, aliud unum tetrachordum adiunctum est, super neten diezeugmenon, quae quoniam superuadebat acumine netas superius collocatas, omne illud tetrachordum hyperboleon uocatum est hoc modo:

[PLLXIII:1187; text: Ordo 14 chordorum, Tetrachordum hyperboleon, Tetrachordum diezeugmenon, Tetrachordum meson, Tetrachordum hypaton, 1, Hypate hypaton. 2, Parhypate hypaton. 3, Lichanos hypaton. 4, Hypate meson, 5, Parhypate meson, 6, Lichanos meson, 7, Mese, 8, Paramese, 9, Trite diezeugmenon, 10, Paranete diezeugmenon, 11, Nete diezungmenon, 12, Trite hyperboleon, 13, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon]

[BOEDIM1 05GF]

Sed quoniam rursus mese non erat loco media sed magis hypatis accedebat, idcirco super hypatas hypaton addita est una chorda, quae dicitur proslambanomenos; ab aliquibus autem prosmelodos dicitur, tono integro distans ab ea quae est hypate hypaton. Et ipsa quidem, id est proslambanomenos a mese octaua est, resonans cum ea diapason symphoniam, eademque ad lichanon hypaton resonat diatessaron ad quartam, scilicet quae lichanos hypaton ad meson resonat diapente symphoniam, et est ab ea quinta. Rursus mese a paramese distat tono, quae eadem mese ad neten diezeugmenon quintam facit diapente consonantiam. Quae nete diezeugmenon ad neten hyperboleon quartam, facit diatessaron consonantiam. Et proslambanomenos ad neten hyperboleon reddit bisdiapason consonantiam hoc modo: [1188] [PLLXIII:1188; text: Bis diapason, Diapason, Diatefferon, Diapente, Tonus, Semitonium, B, C, D, E, F, G, a, b, c, d, e, f, g, a A, Proslambanomenos, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese, Trite diezeugmenon, Paranete diezungmenon, Nete diezeungmenon, Trite hyperboleon, Paranete hyperboleon, Nete hyperboleon, Semitouius] [BOEDIM1 05GF]

XXI De generibus cantilenarum.

His igitur expeditis, dicendum est de generibus melorum. Sunt autem tria diatonum, chroma, enharmonium, et diatonicum quidem, aliquanto durius et naturalius. Chroma uero est iam quasi ab illa naturali intentione descendens, et in mollius decidens. Enharmonium uero optime atque apte coniunctum. Cum sint igitur quinque tetrachorda, hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperboleon; in his omnibus secundum diatonum cantilenae procedit uox per semitonium, tonum ac tonum, in uno tetrachordo. Rursus in alio tetrachordo per semitonium tonum et tonum ac deinceps. Ideoque uocatur diatonicum quasi quod per tonum ac per tonum progrediatur. Chroma autem quod dicitur color, quasi iam ab huiusmodi intentione prima mutatio cantatur per semitonium et semitonium et tria semitonia. Tota enim diatessaron consonantia est duorum tonorum ac semitonii sed non pleni. Tractum est autem hoc uocabulum ut diceretur chroma a superficiebus, quae cum permutantur, in alium transeunt colorem. Enharmonium uero quod est magis coaptatum, est quod cantatur in omnibus tetrachordis per diesin et diesin et diatonum. Diesis autem est semitonii dimidium, ut sit trium generum descriptio, per omnia tetrachorda discurrens hoc modo:

[1189] [PLLXIII:1189; text: semitonium, tonus, tria semitonia, Diesis, Ditonus, Diatonicum, Chromaticum, Enarmonium] [BOEDIM1 06GF]

XXII De ordine chordarum nominibusque in tribus generibus.

Nunc igitur ordo chordarum disponendus est omnium quae per tria genera uariantur, uel inconstanti ordine disponuntur. Prima est igitur proslambanomenos, quae eadem dicitur prosmelodos; secunda, hypate hypaton; tertia parhypate hypaton; quarta uero uniuersaliter quidem lichanos appellatur. Sed si in diatono genere aptetur, dicitur lichanos hypaton diatonos. Si uero in chromate, dicitur diatonos chromaticae, uel lichanos hypaton chromaticae. Si autem in enharmonio, dicitur lichanos hypaton enharmonios, uel diatonos hypaton enharmonios. Post hanc uocatur hypate meson; dehinc parhypate meson; atque hic lichanos meson simpliciter. In [1190] diatonico quidem genere, diatonos meson. In chromate, lichanos meson chromaticae, uel diatonos meson chromaticae. In enharmonio diatonos meson enharmonios, uel lichanos meson enharmonios. Has sequitur mese. Post hanc sunt duo tetrachorda partim synemmenon, partim diezeugmenon. Et synemmenon est quod post mesen ponitur, id est trite synemmenon. Dehinc lichanos synemmenon, eadem in diatonico diatonos synemmenon.

In chromate uero uel diatonos synemmenon chromaticae, uel lichanos synemmenon chromaticae. In enharmonio uero uel diatonos synemmenon enharmonios, uel lichanos synemmenon enharmonios. Post has nete synemmenon. Si uero mese neruo non sit synemmenon tetrachordum adiunctum sed sit diezeugmenon, est post mesen paramese. Dehinc trite diezeugmenon, inde lichanos diezeugmenon, quae, in diatono, diatonos diezeugmenon. In chromate tum diatonos diezeugmenon chromaticae, tum lichanos diezeugmenon chromaticae. In enharmonio uero tum diatonos diezeugmenon enharmonios, tum lichanos diezeugmenon enharmonios. Eadem uero dicitur et paranete, cum additione uel diatoni, uel chromatis, uel enharmonii. Super has nete diezeugmenon, trite hyperboleon, paranete hyperboleon, nete hyperboleon, et quae est paranete hyperboleon, eadem in diatono diatonos hyperboleon. In chromate uero chromaticae hyperboleon; in enharmonio uero enharmonios hyperboleon. Harum ultima ea est quae est nete hyperboleon, et sit descriptio eiusmodi ut trium generum contineat dispositionem in quibus et similitudinem nominum et differentiam pernotabis, ut si nerui similes in omnibus, cum eis qui sunt dissimiles colligantur, fiant simul omnes octo et uiginti. Hoc autem monstrat subiecta descriptio. [1189-90] Diatonicum. Proslambanomenos. Hypate hypaton. Parhypate hypaton. Lichanos hypaton diatonos. Hypate meson. Parhypate meson. Lichanos meson diatonos. Mese. Trite synemmenon. Paranete synemmenon diatonos. Nete synemmenon. Paramese.  Trite diezeugmenon. Paranete diezeugmenon diatonos. Nete diezeugmenon. Trite hyperboleon. Paranete hyperboleon diatonos. Nete hyperboleon. Chromaticum. Proslambanomenos. Hypate hypaton. Parhypate hypaton. Lichanos hypaton chromaticae. Hypate meson. Parhypate meson. Lichanos meson chromaticae. Mese. Trite synemmenon. Paranete synemmenon chromaticae. Nete synemmenon. Paramese. Trite diezeugmenon. Paranete diezeugmenon chromaticae. Nete diezeugmenon. Trite hyperboleon. Paranete hyperboleon chromaticae. Nete hyperboleon. Enharmonium. Proslambanomenos. Hypate hypaton. Parhypate hypaton. Lichanos hypaton enharmonios. Hypate meson. Parhypate meson. Lichanos meson enharmonios. Mese. Trite synemmenon. Paranete synemmenon enharmonios. Nete synemmenon. Paramese. Paranete diezengmenon enharmonios. Trite diezeugmenon. Nete diezeugmenon. Trite hyperboleon. Paranete hyperboleon enharmonios. Nete hyperboleon. XXIII Quae sint inter uoces in singulis generibus proportiones. [1189] Hoc igitur modo per singula tetrachordo in generum proprietates partitio facta est, ut omnia quidem diatonici generis quinque tetrachorda, duobus tonis ac semitonio partiremur. Diciturque in hoc genere [1190] tonus imcompositus, idcirco quoniam integer ponitur, nec aliquod ei aliud interuallum adiungitur. Sed in singulis interuallis integri insunt toni. In chromate uero semitonio, ac semitonio incompositoque trihemitonio posita diuisio est. Idcirco autem incompositum hoc trihemitonium appellauimus, quoniam in uno collocatum est interuallo; potest autem appellari [1191] trihemitonium in diatono genere semitonium ac tonus; sed non est incompositum, duobus enim id perficitur interuallis, et in enharmonio genere idem est. Constat autem ex diesi, et diesi, et diatono incomposito, quod scilicet propter eamdem causam incompositum nuncupamus, quoniam in uno collocatum est interuallo. XXIV Quid sit synaphe. Sed in his ita dispositis constitutisque tetrachordis synaphe est. Quam coniunctionem dicere Latina significatione possumus, quotiens duo tetrachorda unius termini medietas continuat atque coniungit, ut in hoc tetrachordo.  [PLLXIII:1191; text: Tetrachordum, Synaphe, Hypate hypaton, Parhypate hypaton, Lichanos hypaton, Hypate meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese] [BOEDIM1 06GF] Hoc igitur est unum tetrachordum hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate meson. Aliud uero hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. In utrisque igitur tetrachordis hypate meson annumerata est. Superiorisque tetrachordi ea est acutissima, posterioris uero grauissima. Estque ista coniunctio una eademque chorda hypate meson, duo tetrachorda coniungens, ut eadem hypaton ac meson tetrachorda in superiore descriptione adiunxit. Est igitur synaphe, quae coniunctio dicitur, duorum tetrachordum uox media, superioris quidem acutissima, posterioris uero grauissima. XXV Quid sit diezeuxis. Diezeuxis uero appellatur, quae disiunctio dici potest, quotiens duo tetrachorda toni medietate separantur, ut in his duobus tetrachordis. [1192] [PLLXIII:1192; text: Tetrachordum, Tonus, Tetrachor, Hyptea meson, Parhypate meson, Lichanos meson, Mese, Paramese, Trite diezeugmenon, Paranete diezeugmenon, Nete diezeugmenon] [BOEDIM1 06GF] Duo igitur esse tetrachorda euidenter apparet, quoniam quidem octo sunt chordae. Sed diezeuxis est, id est disiunctio inter mesen et paramesen, quae inter se pleno differunt tono, de quibus euidentius explicabitur, cum unumquodque studiosius explanandum posterior tractatus assumpserit.

ANICII MANLII SEVERINI BOETHII: DE MUSICA

primum Prooemium [1195] Superius uolumen cunctas digessit, quae nunc diligentius explicanda esse proposui; itaque priusquam ad ea ueniam quae propriis rationibus perdocenda, sunt, pauca praemittam, quibus elucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda perueniat.

II Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit.

Primus omnium Pythagoras sapientiae studium philosophiam nuncupauit, quam scilicet eius rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie uereque esse diceretur. Esse autem illa putabat quae nec intentione crescerent, nec diminutione decrescerent, [1196] nec ullis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas, magnitudines, qualitates, habitudines, caeteraque quae per se speculata immutabilia sunt, iuncta uero corporibus permutantur, et multimodis uariationibus mutabilis rei cognatione uertuntur.

III De differentiis quantitatis, et quae cui disciplinae sit deputata.

Omnis uero quantitas secundum Pythagoram uel continua, uel discreta est. Sed quae continua est magnitudo appellatur, quae discreta est multitudo. Quorum haec est diuersa et contraria pene proprietas.

Multitudo enim a finita inchoans quantitate, crescens in infinita progreditur, ut nullus crescendi finis occurrat. Estque ad minimum terminata, interminabilis [1197] ad maius, eiusque principium unitas est, qua minus nihil est. Crescit uero per numeros atque in infinita protenditur, nec ullus numerus, quo minus crescat, terminum facit. Sed magnitudo finitam rursus suae mensurae recipit quantitatem sed in infinita decrescit. Nam si sit pedalis linea, uel cuiuslibet alterius modi, potest in duo aequa diuidi, eiusque medietas in medietatem secari, eiusque rursus medietatis in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem terminus fiat. Ita magnitudo quantum ad maiorem modum terminata est, fit uero cum decrescere coeperit infinita. At contra numerus, quantum ad minorem modum finitus est, infinitus autem incipit esse cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita, tamen quasi de rebus finitis philosophia pertractat, inque rebus infinitis reperit aliquid terminatum, de quo possit iure acumen prpriae speculationis adhibere. Namque magnitudinis alia sunt immobilia, ut terra, ut quadratum, uel triangulum, uel circulus. Alia sunt mobilia, ut sphaera mundi, et quidquid in eo rata celeritate conuertitur. Discretae uero quantitatis alia sunt per se, ut tres uel quatuor, uel caeteri numeri; alia uero ad aliud, ut duplum, triplum, aliaque quae ex comparatione nascuntur. Sed immobilis magnitudinis geometria speculationem tenet. Mobilis uero scientiam astronomia persequitur. Per se uero discretae quantitatis arithmetica auctor est.

Ad aliquid uero relatae musica probatur obtinere peritiam.

IV De relatae quantitatis differentiis.

Ac de ea quidem quantitate discreta quae per se est in arithmetica sufficienter diximus. Relatae uero ad aliquid quantitatis simplicia quidem genera tria sunt: unum quidem multiplex, aliud uero superparticulare, tertium superpartiens. Cum uero multiplex superparticulari superpartientique miscetur, fiunt duae aliae ex his, id est multiplex superparticularis, et multiplex superpartiens. Horum igitur omnium talis est regula, si unitatem cunctis in naturali numero uolueris compare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad eumdem triplus, quatuor quadruplus, et in caeteris eodem modo, ut subiecta descriptio docet.

[PLLXIII:1197; text: Differentiae unius ab alio numero. Ordo naturalis. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, duplus, Triplus, quadruplus, Quitiplus, Sextuplus, Septuplus, Octuplus, Noncuplus, Decuplus] [BOEDIM2 01GF]

Si uero superparticularem proportionem quaeras, naturalem [1198] sibi compara numerum, detracta scilicet unitate, ut tres duobus sesquialter est, quatuor tribus, qui sesquitertius est, quinarius quaternario sesquiquartus est, et in caeteris eodem modo, quod monstrat subiecta descriptio.

[PLLXIII:1198,1; text: Sesquialter, Sesquiquartus, Sesquisextus, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Sesquitertius, Sesquiquintus] [BOEDIM2 01GF]

Superpartienties autem tali modo reperies. Disponas naturalem numerum a ternario scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris, superbipartientem effici pernotabis; quod si duo, supertripartientem; quod si tres, superquadripartientem, idemque in caeteris.

[PLLXIII:1198,2; text: Superbipartiens, Superquadriparties, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Supertripartions] [BOEDIM2 01GF]

Ad hunc ordinem spectans et compositas ex multiplici et superparticulari, et ex multiplici et superpartienti proportiones, lector diligens speculabitur. Sed de his tamen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est.

V Cur multiplicitas antecellat.

Sed in his illud est considerandum quod multiplex inaequalitatis genus longe duobus reliquis uidetur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio, in multiplicibus unitati quae prima est, comparatur.

Superparticularis uero non unitatis comparatione perficitur sed ipsorum, qui post unitatem sunt dispositi numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium, et in caeteris ad hunc modum.

Superpartientium uero longe retro formatio est, quae nec continuis numeris comparatur sed intermissis, nec semper aequali [1199] intermissione. Sed nunc quidem una, nunc uero duabus, nunc tribus, nunc quatuor, atque ita in infinita succrescit. Amplius multiplicitas ab unitate incipit, superparticularitas a binario, superpartiens proportio a ternario initium capit.

Sed de his hactenus; nunc quaedam quae quasi axiomata Graeci uocant, praemittere oportebit, quae tum demum quo spectare uideantur intelligemus, cum de uniuscuiusque rei demonstratione tractabimus.

VI Qui sint quadrati numeri deque his speculatio.

Quadratus numerus est qui gemina dimensione in aequa concreuerit, ut bis duo, ter tres, quater quatuor, quinquies quinque, sexies sex, quorum est ista descriptio:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Superius igitur dispositus numerus naturalis, latus est quadratorum inferius descriptorum. Continuum enim naturaliter sunt quadrati, qui sese in subiecto ordine consequuntur, ut 4, 9, 16, et caeteri.

[PLLXIII:1199,1; text: 4, 2, 9, 3, 16, 4, 25, 5, 36, 6, Bases quadratorum.] [BOEDIM2 02GF]

Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato maiore sustulero, quod relinquitur tantum erit quantum est quod ab utrorumque quadratorum lateribus iungitur; ut si quatuor auferam a nouenario, quinque sunt reliqui, qui ex duobus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum latera, coniunguntur. Item si nouenarium aufero de eo qui sedecim numeris ascriptus est, 7 sunt reliqui, qui scilicet ex ternario quaternarioque coniunctus est, qui praedictorum quadratorum latera sunt. Idemque est in caeteris.

[PLLXIII:1199,2; text: 7, 2, 5, 25, 4, 21, senarius, tonus, 16, 12, tonus sedecimus, 9, tonus nouenarius] [BOEDIM2 02GF]

Quod si non sint continui quadrati sed unus inter eos transmissus sit, fit eius quod relinquitur medietas, id quod ex utriusque lateribus efficitur, ut si quaternarium de 16 quadrato auferamus, 12 relinquuntur, quorum 12 medietas est is numerus qui ex utrorumque lateribus conuenti. Sunt autem utrorumque latera, duo et quatuor, quae senarium iuncta perficiunt Atque in caeteris idem modus est. Sin uero duo irtermittantur, tertia pars erit eius quod relinquitur, id quod utrorumque latera coniungunt, ut si quatuor de 25 auferam, intermissis duobus quadratis, relinqui 21 sunt. Eorum uero latera sunt 2 et 5 qui efficiunt 7, qui sunt pars tertia numeri 21. Atque haec regula est, ut si tres intermissi sint, pars quarta sit, id quod ex utrorumque lateribus efficitur eius [1200] quod subtracto minore a maiore relinquitur. Sin quatuor transmittantur, quinta, atque uno plus uocabulo numeri partes uenient, quam sit intermissio numerorum.

VII Ommem inaequalitatem ex aequalitate procedere, eiusque demonstratio.

Est autem quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tribus enim praeceptis (ut in arithmetica dictum est) multiplices proportiones ex aequalitate producimus, ex conuersis uero multiplicibus superparticulares habitudines procreamus.

Item ex conuersis superparticularibus, superpartientes comparationes efficimus. Ponantur enim tres unitates, uel tres binarii, uel tres ternarii, uel quotlibet aequi termini, et sit primus primo aequus in sequenti scilicet ordine constitutus. Secundus uero primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio, ita enim numero progresso, fit duplex multiplicitatis prima proportio, ut haec subiecta descriptio monet.

111 124 Nam unitas in secundo ordine constituta, aequa est primae unitati in superiore loco dispositae. Item binarius aequus est unitati primae ac secundae. Item quaternarius aequus est unitati primae, ac duabus unitatibus secundis atque unitati tertiae et est 1, 2, 4, dupla proportio. Quod si de his idem feceris, tripla comparatio procreabitur, ac de tripla quadrupla, de quadrupla quincupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. Rursus hisdem tribus praeceptis superparticulares fiunt, ut uno probamus exemplo.

Conuertamus nunc, et priorem maiorem numerum disponamus 4, 2, 1; ponatur igitur primus primo aequus, id est 4; secundus primo scilicet et secundo, id est 6; tertius primo, duobus secundi, et tertio, id est 9; quibus dispositis sesquialtera notatur esse proportio.

[PLLXIII:1200,1; text: 4, 2, 1, 6, 9, Sesquialtera] [BOEDIM2 02GF]

Atque id si de triplis fiat, sesquitertia; se de quadruplis sesquiquarta, consimilibusque in alterutra parte uocabulis proportionalitas ex multiplicitate nascetur, ex superparticularitate uero conuersa ducitur superpartiens habitudo. Disponatur enim conuersim sesquialtera comparatio, 9, 6, 4. Ponatur enim primus primo aequus, id est 9; secundus primo et secundo, id est 15; tertius primo duobus secundis ac tertio, id est 25; ac disponantur in ordinem hoc modo:

[PLLXIII:1200,2; text: 9, 6, 4, 5, 25, Superbipartiens] [BOEDIM2 02GF]

Superbipartiens igitur ex conuersis sesquialteris habitudo [1201]

producta est; quod si quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat, ex sesquitertiis conuersis supertripartientem producit, caeterisque similibus uocabulis adaequatis cunctas ex superparticularitate superpartientis species procreari mirabitur. Ex non conuersis autem superparticularibus sed ita ut ex multiplici procreati sunt, manentibus, necesse est multiplices superparticulares creari. Ex manentibus uero superpartientibus, ita ut ex superparticularibus prodierunt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his quidem hactenus, diligentius enim in Arithmeticae libris de hac comparatione est disputatum.

VIII Regula quotlibet continuas proportiones superparticulares inueniendi.

Saepe autem accidit ut tres, uel quatuor, uel quotlibet aequas superparticularium proportiones de musica disputator inquirat. Sed ne in casu atque inscitia facientes, error ullus difficultatis impediat, hac regula quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus.

Unusquisque multiplex ab unitate scilicet computatus, tot superparticulares habitudines praecedit, suae scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit.

Hoc modo ut duplex sesquialteras antecedat, triplex sesquitertias, quadruplex sesquiquartas, ac deinceps in hunc modum. Sit igitur duplorum subiecta descriptio. 1 2 4 8 16 32 3 6 12 24 48 9 18 36 72 27 54 108 81 162 243 In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex, unum ad se ternarium habet, qui possit facere sesquialteram proportionem.

Ternarius uero non habet talium qui eius possit esse sesquialter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex, hic duos sesquialteros antecedit senarium et nouenarium, qui medietate caret. Atque idcirco nullus ei habitudine sesquialtera comparatur, et in caeteris idem est. Tripli uero eodem modo sesquitertios creant; sit enim similis in triplo descriptio.

[PLLXIII:1201; text: Latitudo. In latitudine et unoquoque ordine tripli. 1, 3, 9, 27, 81, 4, 12, 36, 108, 16, 48, 144, 64, 192, 236, Superas ad proximos inferos sesquitertii. Quadruplares omnes et diagonii] [BOEDIM2 02GF]

In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas uidemus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos, tertius tres, [1202] semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. Quod si quadruplum statueris eodem modo, sesquiquartos inuenies, si quincuplum sesquiquintos. Ac deinceps singuli denominationis multiplicis tot superparticulares praecedunt, quoto loco ipsi a se unitate discesserint. Unam uero tantum quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea sicut in caeteris lector diligens acumen mentis exerceat. [PLLXIII:1202; text: Latitudo, Quadrupli in latitudine. 1, 4, 16, 64, 236, 5, 20, 80, 320, 25, 100, 400, 125, 500, 625, Sesquiquarti superni ad inferos proximos. Quincupli omnes diagonii] [BOEDIM2 03GF]

Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem uidetur inuenta, ut quotienscunsque 4 uel 5, uel quotlibet sesquialteros, uel sesquitertios, uel sesquioctauos, uel quotlibet alias proportiones quis inuestigare uoluerit, nullo errore labatur, utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare, qui quanti sint propositi, tot praecedere, et post se habere non possit. Sed disponat potius multiplices, uideatque quantos superparticulares requirit, eumque multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitate recesserit, ut est in superioribus descriptionibus, si tres sesquialteros fortasse quaesierit, non a quaternario ingrediatur inuestigationem. Hic enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit, tertiumque ei aptare non poterit sed ut ab octonario medietates tentet apponere. Hic enim quoniam tertius est, tres quas quaerit sesquialteras proportiones efficiet, et in caeteris eodem modo. Est etiam alia augendi proportiones uia hoc modo: Radices proportionum dicuntur in eisdem comparationibus minimae proportionis. Disponatur enim numerus naturalis, unitate multiplicatus.

234567 Minimae igitur proportiones sunt, ut in sesqualtera 3 ad 2, in sesquitertia 4 ad 3, in sesquiquarta 5 ad 4, et deinceps in infinitum, et quaecumque se proportiones unitate praecesserint. Propositum igitur sit duas sesquialteras proportiones continua comparatione producere.

Sumo radicem sesquialteram, eamque dispono, 2 et 3. Multiplico igitur binarium per binarium, fiunt 4. Item ternarius per binarium crescat, erunt 6. Rursus lernarium in semetipsum ducemns, fiunt 9, qui disponuntur hoc modo: 23469 Inuenimus igitur duas propositas sesquialteras proportiones 6 ad 4, et 9 ad 6. Sit nunc propositum tres inuenire. Dispono eosdem numeros quos supra in exquirendis duabus sesquialteris habitudinibus proposueram, ipsasque sesquialteras proportiones [1203] Multiplico binario quaternarium, fiunt octo. Rursus senarium binario, fiunt 12. Rursus nouenarium binario, fiunt 18. Rursus nouenarium ternario, fiunt 27.

Disponantur igitur hoc modo:

466 8 12 18 28  Atque hic modus erit in caeteris, ut si sesquitertias proportiones uelis extendere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius ad se inuicem comparati.

9 12 16 27 27 48 64 Atque ad hunc modum multiplices, quod si sesquiquartas sesquiquartorum dispones radices eademque multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendes. Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit.

IX De proportione numerorum qui ab aliis metiuntur.

Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt proportione etiam hi numeri secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim numeri 50, 55; hi ergo ad se inuicem sesquidecima habitudine comparantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri 50. Hic igitur metietur quidem 50 numerum decies, 55 uero undecies; secundum decem igitur atque 11 numeros 55 et 50 propria differentia, id est quinarius, permetietur, et sunt 11 ad 10 sesquidecima comparatione compositi. In eadem igitur sunt proportione numeri quos propria differentia integra permensa est, in qua sunt hi secundum quos eos propria differentia est permensa; quod si qua differentia numerorum ita eos numeros quorum est differentia metiatur, ut eamdem mensuram numerorum pluralitas excedat, idemque in utrisque sit excessus, et sit diminutior differentiae mensura, quam est pluralitas numerorum, maiorem obtinebunt proportionem ad se inuicem numeri, si ei illud quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo 33, 58; hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur 55 quinarius decies usque ad 50, relinquit uero ternarium. Rursus 58 numerum metitur idem undecies usque ad 55, atque in eo iterum ternarium derelinquit.

Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt 50 et 55, qui disponatur hoc modo:

53 58 50 55 In hoc igitur manifestum est maioris esse proportionis inter se 50 et 55 quam 53 et 58. In minoribus enim numeris maior semper proportio reperitur, [1204] quod paulo posterius demonstrabimus. Sin uero illa differentiae permensio numerorum multitudinem superuadat, eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minores erunt proportiones numeri superius mensi cum additione eius summae quae utrosque metiens differentia superuadit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri 48 et 53, horum quinarius differentia est. Metiatur igitur 48 numerum, quinarius decies fiunt 50. Superuadit igitur 50 numerus 48 numerum binario, idem quinarius 53 undecies metiatur fiunt 55, qui eisdem rursus duobus 53 numerum superuadit; addatur utrisque binarius et disponantur hoc modo:

48 53 50 55 Minores igitur sunt proportiones 50 ad 55 comparati, cum additione scilicet binarii quo differentia eos metiens superuadit, quam 48, et 53 numeri quos eadem, quae tamen in eis supercreuit, quinarii differentia permensa est. Maiores uero et minores proportiones hoc modo intelliguntur. Dimidia pars maior est quam tertia. Tertia pars est maior quam quarta. Quarta pars maior est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit ut sesquialtera proportio maior sit sesquitertia, et sesquitertia sesquiquartam uincat. Atque idem in caeteris. Hinc euenit ut in numeris maioribus minor, et minoribus maior semper uideatur proportio superparticularium numerorum. Quod apparet in numero naturali:

disponatur enim numerus naturalis 1, 2, 3, 4.

Binarius igitur ad unitatem duplus est. Ternarius ad binarium sesquialter est. Quaternarius uero ad ternarium sesquitertius. Maiores uero sunt numeri tres et 4. Minores uero binarius et unitas: in maioribus igitur minor, et in minoribus maior proportio continetur: hinc apparet quod si aliquid numeris proportionem continentibus superparticularem, aequa pluralitas addatur, maiorem esse proportionem ante aequae pluralitatis augmentum, quam posteaquam eis aequa sit addita pluralitas.

X Quae ex multiplicibus et superparticularibus multiplicitate fiunt.

Illud etiam praetermittendum non uidetur, quod paulo post demonstrabitur, si multiplex interuallum binario fuerit multiplicatum, id etiam quod ex illa multiplicatione nascetur multiplex esse. Quod si id quod ex tali multiplicatione procreatum sit non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex, quod binario fuerit multiplicatum. Item si superparticularis proportio binario multiplicetur, id quod fit neque superparticulare esse, neque multiplex. Quod si id quod ex tali multiplicatione nascetur, neque multiplex, neque superparticulare est, tunc illud quod binario multiplicatum est, uel superparticularis uel alterius generis est, non uero multiplicis.

[1205] XI Qui superparticulares quos multiplices efficiant.

His illud est addendum duos primos superparticulares primam efficere multiplicem proportionem, ut sesquialter et sesquitertius si coniungantur duplicem creant. Sint enim numeri 2, 3, 4, 3 ad 2 sesquialter est, 4 ad 3 sesquitertius, quatuor ad duo duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri 2, 4, 6; 4 namque ad 2 duplex est, primus scilicet multiplex. At 6 ad 4 sesquialter, qui est primus superparticularis; 6 ad duos triplus, qui secuudus est multiplex: quod si triplum sesquitertio addas, quadruplus efficitur; si quadruplum sesquiquarto, quincuplus. Atque in hunc modum iunctis proportionibus multiplicium ac superparticularium, in infinitum multiplices procreantur.

XII De arithmetica, geometrica, harmonica medietate.

Quoniam uero de proportionibus quae erant interim tractanda praediximus, nunc de medietatibus est dicendum. Proportio enim est duorum ad se terminorum quaedam comparatio, terminos autem uoco numerorum summas. Proportionalitas est aequarum proportionum collectio. Proportionalitas uero in tribus terminis minimis constat.

Constat autem plerumque in pluribus, ut in quatuor uel in sex terminis. Cum enim primus ad secundum terminum eamdem retinet proportionem quam secundus ad tertium, dicitur haec proportionalitas.

Estque inter tres terminos medius, qui secundus est. Has igitur proportiones medii termini coniungentis, trina partitio est- Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium, et medii ad maximum sed non aequa proportio, ut in his numeris 1, 2, 3; inter unum quippe ac duo et inter duo et tres tantum unitas differentiam tenet. Non est autem aequa proportio. Duo quippe ad unum dupli sunt, ternarius ad duo sesquialter. Aut est aequa proportio iu utrisque, non uero aequalibus differentiis constituta, ut in his numeris 1, 2, 4. Nam duo ad unum ita sunt dupli, quemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit. Est uero tertium medietatis genus, quod neque eisdem proportionibus neque eisdem differentiis constat. Sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita sese habet maiorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris 3, 4, 6. Nam sex ad 3 duplus est, inter sex uero 4 binarius interest. Inter quaternarium uero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est; ergo ut est maximus terminus in numeris ad minimum, ita maiorum differentia ad minorum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas, in qua aequae sunt differentiae, arithmetica. Illa uero in qua aequae proportiones, geometrica.

Illa autem quam [1206] tertiam descripsimus, harmonica. Quarum haec subiiciamus exempla: [PLLXIII:1206; text: Arithmetica, Geometrica, Harmonica, 1, 2, 3, 4, 6, aequae differentiae, aequae proportiones, diuersae differentiae et proportiones] [BOEDIM2 03GF] Non uero ignoramus alias quoque esse proportionum medietates, quas quidem in arithmetica diximus; sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie, et maxime geometrica nuncupatur, idcirco quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem utemur promiscue uocabulo, proportionalitates etiam caeteras nuncupantes. XIII De continuis medietatibus et disiunctis. Sed in his alia continua est proportionalitas, alia disiuncta. Continua quidem, ut superius disposuimus. Unus enim idemque numerus medius, nunc quidem maiori supponitur, nunc quidem minori praeponitur. Quotiens uero duo sunt medii, tunc disiuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo, 1, 2, 3, 6. Nam ut est binarius ad unitatem, ita senarius ad ternarium, et uocatur haec disiuncta proportionalitas; unde intelligi potest continuam quidem proportionalitatem in tribus et minimis terminis inueniri, disiunctam uero in 4. Potest autem in 4 et in pluribus continua esse proportionalitas, siquidem hoc modo sit, 1, 2, 4, 8, 16. Sed hic non erunt duae proportiones sed plures, semperque una minus quam sint termini constituti. XIV Cur ita appellatae sint digestae superius medietates. Idcirco autem una eorum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter terminos, secundum numerum aequa est differentia. Geometrica uero secunda dicitur, quod similis est qualitas proportionis. Harmonica autem uocatur, quoniam ita est coaptata, ut in differentiis ac terminis aequalitas proportionum consideretur. Et de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est, nunc uero ut commemoremus, tantum ista percurrimus. XV Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerant medietates. Sed paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procreantur dicendum est. Praedictum est enim quod in numero ualet unitas, idem in proportionibus aequalitatem ualere, et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium. Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur: positis enim tribus aequis terminis, hi duo modi sunt quibus haec proportionalitas producatur. Ponatur enim primus primo aequus. Secundus primo et secundo. Tertius primo secundo ac tertio, quod hoc monstratur exemplo: Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus [1207] id est unus. Secundus primo ac secundo, id est duo. Tertius primo secundo ac tertio, id est tres, eritque dispositio talis: 111 123  Rursus sint tres binarii inaequalitate constituti, 2, 2, 2: ponatur primus primo aequus, id est 2. Secundus primo et secundo, id est 4. Tertius primo secundo ac tertio, id est 6, et erit dispositio haec: 222 246 Sed in his hoc speculandum est, quod si unitas fuerit ad aequalitatis principium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi uero numeri inter se nullum intermittunt. Si uero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia, et unus inter terminos semper numerus intermittitur. Sin uero ternarius idem differentia est, inter terminos uero duo naturaliter constituti intermittentur, ac deinceps in hunc modum. 333 369 Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi uia. Ponantur enim tres aequi termini, constituaturque primus primo ac secudo aequus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo et duobus secundis ac tertio, ut si sint tres unitates. Sit primo primo ac secundo aequus, id est secundo, Secundus uero primo, ac duobus secundis, id est tertio. Tertius autem primo, duobus secundis ac tertio, id est quatuor, 111 234 Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet; inter binarium enim et unitatem, atque inter ternarium ac binarium, unitas interest. Nullus uero naturalis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post binarium ternarius naturaliter constitutus, idem rursus in binario fiat. Sintque tres binarii, et sit primus primo ac secundo aequus, id est quaternarius; secundus uero primo et duobus secundis, id est senarius; tertius autem primo, duobus secundis ac tertio, id est octonarius. 222 468 Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum, uno inter eos naturaliter intermisso. Nam inter 4 et 6 quinarius naturaliter intermittitur, inter 6 atque 8 septenarius collocatur. Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentia; uerbi gratia: Sint termini tres ad regulas superiorum subtus. 333 6 9 12 In his ergo ternarius est differentia, et duo numeri intermissi, id est uno minus quam sit differentia semper [1208] numeris intermissis, atque idem et in quaternario, quinarioque perspicitur, et quae nos propter breuitatem tacemus, iisdem regulis ex semetipso diligens lector inueniet. Geometrica uero proportionalitas tunc quemadmodum inueniri ab aequalitate possit ostendimus, quando quemadmodum ab aequalitate omnis inaequalitas profluit monstrabamus, nisi tamen fastidium est, nunc quoque breuiter repetendum est. Constitutis enim tribus aequis terminis, ponatur primus primo aequus. Secundus primo ac secundo. Tertio primo duobus secundis ac tertio. Idemque fiat continue atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed de harum proportionum proprietatibus quam diligentissime in arithmeticis diximus; quod si ad haec illis instructus lector accedat, nullo dubitationis errore turbabitur.

Harmonica uero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ratione procreatur. Constituatur enim, siquidem duplices curamus effingere, tribus aequis terminis positis, primus primo ac duobus secundis aequalis. Secundus duobus primis et duobus secundis. Tertius semel primo, bis secundo, et ter tertio. Atque hoc modo sint unitates.

111 Constituatur igitur primus primo ac duobus secundis aequalis, id est ternarius. Secundus uero duobus primis et duobus secundis, id est quaternarius. Tertius uero primo ac duobus secundis et tribus tertiis, id est sex. Et si in binariis aequalitas construatur, uel in ternariis eadem ratio medietatis apparet, duplo a se terminis differentiisque distantibus, ut subiectae descriptiones monent.

111 346 222 6 8 12 333 8 12 18 Quod si facienda est in extremitatibus tripla proportio, tribus aequis terminis constitutis, primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, secundus uero ex primo ac duabus secundis, tertius autem ex primo, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subiecta descriptio.

111 236 222  4 6 12 333 6 9 18 Sed ingressi harmonicam disputationem, quae de ea diligentius dici possunt tacite praetereunda esse non arbitror. Collocetur igitur harmonica proportionalitas, inque ea descriptione superiore ordine terminorum inter se differentiae disponantur.

[1209] [PLLXIII:1209,1; text: Differentiae, 1, 2, Termini, 3, 6, Diatessarion, Sesquitertia, Sesquialtera, Diapente, Dupla Diapason] [BOEDIM2 03GF]

Videsne igitur ut quatuor ad tres diatessaron consonantiam prodant, sex ad quatuor diapente concordent; sex uero ad tres diapason misceant symphoniam, ipsaeque earum differentiae rursus eamdem statuant consonantiam. Binarius enim ad unitatem duplus est in diapason consonantia constitutus; quod si se extremitates multiplicent, itemque medius sui multiplicitate succrescat, comparati numeri toni habitudinem concordiamque seruabunt. Ter enim sex efficiunt 18, quater fient 16. Sed 18 numerus, 16 numerum minoris parte octaua transcendit.

Rursus minimus terminus si se ipse multiplicet, efficiet 9. Quod si maior terminus sui multiplicatione concrescat, efficiet 36, qui sibimet comparati, quadruplam, id est bis diapason, concinentiam seruant. Quod si haec diligentius inspiciamus, haec erit omnis rei differentiarum uel terminorum in se inuicem multiplicatio. Minimus enim terminus, si medio multiplicetur, fient 12. Item minimus terminus, si maximo multiplicetur, fient 18. Medius uero terminus, si maximi numerositate augeatur, fiant 24. Rursus terminus minimus, si seipso concrescat, fient 9, Eodem modo si medius, fiant 16. Senarius uero, qui maximus est, si seipsum multiplicet, 36 reddet: haec igitur in ordinem disponantur, 36, 24, 18, 16 12, 9.

[PLLXIII:1209,2; text: 9, 16, 36, 3, 4, 6, 12, 24, 18] [BOEDIM2 03GF]

Sunt igitur diatessaron consonantiam resonantes 24 ad 18, et 12 ad 9, diapente uero 18 ad 12, et 24 ad 16, et 36 ad 24. Tripla autem quae est diapason et diapente 36 ad 12. Quadrupla uero quae est bis diapason 36 ad 9. Epogdous uero qui tonus est 18 ad 16 comparatione seruatur.

[1210] [PLLXIII:1210; text: Diapafon et Diapente, Diapason, Diateffaron, Tonus, Diatessaron, 36, 24, 18, 16, 12, 9, Diapente, Bis diapafon] [BOEDIM2 04GF]

XVI Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates uicissim collocentur.

Solent autem duo termini dari proponique, ut inter eos nunc quidem arithmeticam, nunc uero geometricam, nunc harmonicam medietatem ponamus; de quibus in arithmeticis quoque diximus, id tamen ipsum nunc etiam breuiter explicemus. Si arithmetica medietas quaeritur, datorum terminorum uidenda differentia est, eademque diuidenda ac minori termino adiicienda. Sint enim decem et 40 altrinsecus termini constituti, horumque medietas secundum arithmeticam proportionalitatem quaeratur. Differentiam prius utrorumque respicio, quae est 30; hanc diuido, fiunt 15; hanc minori termino, id est decem appono, fiunt 25.

Si igitur hic inter 10 et 40 medius collocetur, fit arithmetica proportionalitas hoc modo, 10, 25, 40. Item inter eosdem terminos medietatem geometricam collocemus. Extremos propria numerositate multiplico, ut 10 in 40 fiunt 400; horum tetragonale latus assumo, fiunt uiginti. Vicies enim uiginti fiunt 400. Hos igitur 20 medios inter 10 ac 40 si collocem, fit geometrica medietas subiecta descriptione formata, 10, 20, 40. Si uero harmonicam medietatem quaeramus, sibimetipsos copulamus extremos, ut 10 et 40 fient 50.

Eorum differentiam quae est 30 in minorem terminum multiplicemus, scilicet in 10, ut fiant decies 30, qui sunt 300; hos si secundum 50 partimur, fiunt 6. Quos cum minori termino addiderimus, fient 16. Hunc igitur numerum si inter 10 ac 40 medium collocemus, harmonica proportionalitas expedietur 10, 16, 40.

XVII De consonantiarum modo secundum Nicomachum.

Sed his hactenus. Nunc illud addendum uidetur quemadmodum Pythagorici probant consonantias musicas in praedictis proportionibus inueniri, in qua re scilicet eis Ptolemaeus non uidetur assensus, de quo paulo posterius dicemus. Haec enim ponenda est maxime esse prima suauisque consonantia, cuius [1211] proprietatem sensus apertior comprehendit.

Quale enim est unumquodque per semetipsum, tale et deprehenditur sensu. Si igitur cunctis notior est ea consonantia quae in duplicitate consistit, non est dubium primam esse omnium diapason consonantiam, meritoque excellere, quoniam cognitione praecedat. Reliquae uero hunc necessario secundum Pythagorico, ordinem tenent, quem dederint multiplicitas augmenta et superparticularis habitudinis detrimenta.

Monstratum quippe est quod multiplex inaequalitas superparticulares proportiones meriti antiquitate transcendat.

Quocirca naturalis numerus ab unitate usque ad quaternarium disponatur, 1, 2, 3, 4.

Igitur unibinarius comparatus proportionem duplicem facit, et reddit diapason consonantiam eam, quae est maxima, ei simplicitate notissima.

Si uero unitati ternarius comparetur, diapason ac diapente concordiam personabit. Quaternarius uero unitati comparatus quadruplam tenet, scilicet bis diapason efficiens symphoniam; quod si ternarius binario comparetur, diapente. Si uero quaternarius ternario diatessaron consonantiam supplet, isque est horum ordo cunctis ad se inuicem comparatis. Nam comparatio quae restat, si quaternarium binario comparemus, cadet in duplicem proportionem, quam tenebat ad unitatem binarius comparatus; itaque maxime distant soni in bis diapason cum a se quadrupla interualli dimensione discedunt. Minimum uero, cum acutior grauiorem tertia grauioris parte transcendit, ac stat deinceps concinentiarum modus, qui neque ultra quadruplam possit extendi, neque intra partem tertiam coarctari; et secundum Nicomachum quidem hic consonantiarum est ordo, ut sit prima diapason, secunda diapason et diapente, tertia bis diapason, quarta diapente, quinta diatessaron.

XVIII De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi.

Sed Eubulides atque Hippasus alium consonantiarum ordinem ponunt: aiunt enim multiplicatis augmenta superparticularitatis diminutioni rato ordine respondere. Itaque non posse esse duplum nisi dimidium, nec triplum praeter tertiam partem. Quoniam igitur sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi. Quoniam uero sit dimidium, ex eo quasi contraria diuisione sesquialteram, id est diapente, effici proportionem. Quibus mixtis, scilicet diapason ac diapente, triplicem procreari, quae utramque contineat symphoniam sed rursus triplicis partem tertiam contraria diuisione partiri. Ex que rursus diatessaron symphonia nascetur. Triplicem uero atque sesquitertium iunctos quadruplam comparationem proportionis efficere; unde fit ut ex diapason et diapente quae est una consonantia, et diatessaron una continentia coniungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason nomen accepit. Secundum hos quoque hic ordo est: Diapason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapason.

[1212] XIX Sententia Nicomachi quae quibus consonantiis apponantur.

Sed Nicomachus non eamdem esse eis arbitratur contrariam positionem.

Sed potius ut unitas in arithmeticis crementi erat diminutionisque principium, ita etiam diapason symphoniam reliquarum esse principium, illas uero sibi contraria diuisione posse constitui; id uero facilius erit cognitu si prius praeuideatur in numeris. Constituatur igitur unitas, duaeque partes ab ea fluant, una multiplicis, alia diuisionis. Sitque haec formula:

[PLLXIII:1212; text: Dimidium, Pars 3, Pars 4, Pars 5, Pars 6, I, II, III, IV, V, VI] [BOEDIM2 04GF] Et ad hunc modum ad infinita progressio est. Binarius enim unitatis duplex est. Contraria uero eius pars eisdem dimidium unitatis ostendit. Tres triplus et contraria pars tertia. Quatuor quadruplus, parsque et contraria quarta. Atque ita crescendi et decrescendi in simplici est unitate principium. Idem igitur nunc ad consonantias conuertamus. Est igitur diapason quae dupla est supremi loco principii, quae uero reliquae sunt, in contraria diuisione hoc modo. Sesquialter quidem triplo, sesquitertius uero quadruplo quod tali argumentatione probabitur. Idem enim primum est sesquialter, qui primus triplus principalis, scilicet unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est, scilicet unitati. Idem primus sesquialter, si binario comparetur. Rursus idem ternarius eiusdem differentiae quam ad binarium facit, cuius naturaliter positus probatur esse sesquialter, triplus est. Cum igitur iure sesquialter triplici opponatur, diapente consonantia, diapente ac diapason consonantiae rationabiliter putatur opponi. Rursus quadruplus sesquitertii contrariam diuisionem tenet.

Nam qui est primus quadruplus, idem rursus primus sesquitertius inuenitur hoc modo. Quaternarius quippe primus est quadruplus, si unitati primus sesquitertius, si ternario comparetur. Rursus eius differentiae, quam inter se ac ternarium tenet, ipse fit quadruplus.

Unde fit ut sesquitertia proportio, quae est diatessaron, quadruplae proportioni, quae est bis diapason, in contrarium diuidatur. Dupla uero quoniam nullam habet oppositam proportionem, nec ullius ipsa sesquialtera est, aut exstat numerus cui possit binarius, qui primus est duplus, superparticulari proportione coniungi, talem formam contrariae proportionis excedit. Atque idcirco secundum Nicomachum diapason consonantiarum principium teneat hoc modo.

[1213] [PLLXIII:1213; text: Diapason. Diapente et diapason. Diapente.

Bisdiapason. Diatessaron.] [BOEDIM2 04GF]

Sed quamuis ita sese habeat, inquit tamen omnes melius multiplices proportiones consonantiarum praecedere, superparticulares sequi, sicut paulo ante descripsimus. Cum igitur consonantia sit duarum uocum rata permixtio, sonus uero modulatae uocis casus, una intentione productus, sitque idem minima particula modulationis, omnis uero sonus constet impulsu. Pulsus uero omnis ex motu fiat, cumque motuum aliqui sint aequales, alii uero inaequales, inaequalium uero alii sint multo inaequales, alii uero minus, alii uero mediocriter inaequales. Ex aequalitate quidem nascitur sonorum aequalitas. Ex inaequalitate uero ea quae secundum mediocritatem distantiae inaequales sunt, manifestae, primaeque ac simpliciores eueniunt proportiones, quae sunt scilicet multiplices aut superparticulares, dupli, tripli, quadrupli, sesquialteri, atque sesquitertii consonantiae.

Ex his uero quae in reliquis proportionibus, uel multimodis, uel non ita claris, uel longe omnino a se distantibus inaequalitates fiunt, dissonantiae existunt. Nulla autem sonorum concordia procreatur.

XX Qui oporteat praemitti ut diapason in multiplici genere demonstretur.

Hoc igitur ita distincto, demonstrabitur diapason consonantiam quae cunctarum optima est in multiplici inaequalitatis genere, et in duplicitalis habitudine reperiri. Ac primum quidem illus demonstrandum, quemadmodum in multiplicitatis genere diapason consonantia possit agnosci. Praecurrendum est igitur ad breue quiddam, quo prius cognito facilior demonstratio fiat: ab omni superparticulari, si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem; quae est scilicet minor, id quod relinquitur minus est eius medietate, quae detracta est proportionis, ut in sesquialtera ac sesquitertia. Quonirm sesquialtera maior est, sesquitertiam de sesquialtera detrahamus, relinquitur sesquioctaua proportio quae duplicata non efficit integram sesquitertiam proportionem sed ea distantia minor est quae in semitonio reperitur; quod si duplicata sesquioctaua comparatio non est integra sesquitertiae, simplex sesquioctaua non est sesquitertiae proportionis plena medietas; quod si sesquiquartum sesquitertio auferas, id quod relinquitur medietatem sesquiquarti non efficit, idemque in caeteris.

XXI Demonstratio per impossibile diapason in multiplici genere esse.

Age nunc ad diapason consonantiam redeamus. [1214] Quod si ea non est in multiplici genere inaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonantia. Auferatur ab ea continua consonantia, id est diapente, relinquitur diatessaron. Bis igitur diatessaron minus est uno diapente, et ipsum diatessaron non implet diapente consonantiae medietatem, quod est impossibile. Monstrabitur enim bisdiatessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca nec diapason quidem in superparticulari inaequalitatis genere poni potest.

[PLLXIII:1214; text: Tonus, Differentia 32, Semitonium, Differentia 13, Differentia 27, Differentia 24, 288, 256, 243, 216, 192, Diapente, 69, Diatessaron, 64] [BOEDIM2 05GF]

XXII Demonstratio per impossible diapente diatessaron et tonum in superparticulari esse.

Restat igitur ut diapente ac diatessaron, et tonum, in superparticularitate ponenda esse monstremus. Nam etsi id in prima quoque probatione ea qua diapason in superparticulari genere non esse ponenda monstrauimus, id quoque quodam rationis modo perclaruit; sigillatim tamen de eo ac diligentius pertractemus. Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixirit, in mutiplici genere fatebitur collocandas. Nam in superpartienti uel caeteris mixtis cur poni non possint, superius (ut arbitror) explanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multiplici genere. Et quoniam diatessaron consonantia minor est, diapente maior, diatessaron duplici, diapente uero triplici proportioni multiplicitatis aptetur. Verisimile est enim ut est consonantia diatessaron consonantiae, diapente continua. ita si diatessaron in duplici statuitur, diapente incontinua duplicis poni, id est triplici.

Tonus autem quoniam in habitudinis musicis post diatessaron locatur, nimirum in ea proportione ponatur, quae est minor duplici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inueniri. Restat igitur ut in superparticularitatis habitudinem cadat. Sit igitur prima, id est sesquialtera, toni proportio. Nam si duplicem auferamus, triplici, quod relinquitur, sesquialter est. Quod si diatessaron [1215] quidem duplex est, diapente uero triplum, sublato diatessaron a diapente tonus reliquus fit, nullo modo dubitari potest quin tonus in sesquialtera debeat proportione constitui. Sed duae sesquialterae proportiones duplicem uincunt, quemadmodum ex arithmeticis instructus sibi potest quisque colligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconueniens: diatessaron enim duos tonos semitonii spatio transcendit. Non igitur fieri potest ut non diapente ac diatessaron in superparticulari inaequalitatis genere collocetur. Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor est quam diatessaron. Diatessaron uero minus est quam diapente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessaron in tripla, tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron et tono. Quadruplum igitur secundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequit. Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici, et diapente in quadruplo. Si igitur auferamus triplum a quadruplo, sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrahas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii uno triplici sunt minores. Tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supplebunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium minus diatessaron consonantiam supplent. Ex his igitur demonstratur diatessaron consonantiam non esse multiplicem. Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo statuatur, quoniam est ei minor continua, id est diatessaron, non locabitur diapente in minimo multiplici, id est duplici scilicet ut si locus quo diatessaron consonantia possit aptari. Sed diatessaron consonantia multiplicis generis non est. Quocirca nec diapente, in maiore habitudine multiplicis quam est dupla quae minima est, aptari potest. Si igitur diapente in minima, scilicet dupla, diatessaron uero, quae minor est, in multiplici quidem aptari non potest. Non est enim quidquam minus a se duplici. Sit igitur sesquialtera, tonus uero sesquitertia, in continua enim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesquialtero.

Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam uincent, quod nulla ratione continget.

Ex his igitur approbatur diapente ac diatessaron in multiplici genere collocari non posse: quocirca in superparticulari inaequalitatis genere iure ponentur.

XXIII Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus collocari.

Illud quoque addendum necessario est, quoniam si diapente ac diatessaron superparticulares proportiones tenent, in maximis superparticularihus proportionibus collocantur. Sunt autem maxime sesquialtera et sesquitertia. Hoc uero approbabitur hoc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesquialtera [1216] uel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocentur, non est dubium quin sicut aliae quaelibet proportiones superparticulares praeter sesquialteram et sesquitertiam iunctae non efficiunt unum duplum, ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludunt.

Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, duplex uero proportio ex sesquialtero sesquitertioque componitur; diapason uero ex diatessaron ac diapente copulatur, non est dubium quin, si totum diapason in duplici statuatur, diapente et diatessaron in sesquialtera sesquitertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non poterunt diapason iunctae perficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus proportionibus steterint sesquialtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim proportiones superpartisulares hanc nulla ratione coniungent.

[PLLXIII:1216; text: Sesquitertius, Sesquioctauus, 6, 8, 9] [BOEDIM2 05GF]

XXIV Diapente in sesquialtera, diatessaron in sesquitertia esse, tonum in sesquioctaua Dico autem quoniam proprie diapente in sesquialtera, et diatessaron in sesquitertia proportione consistit. Quoniam enim inter utrasque proportiones, sesquialteram scilicet et sesquitertiam, sesquialtera est maior et sesquitertia minor, quoniamque in consonantiis diapente maior diatessaron minor, apparet maiorem proportionem maiori, et minorem minori esse consonantiae aptandum. Erit igitur diapente quidem in sesquialtera, diatessaron uero in proportione sesquitertia collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantiam subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium uero si proportioni sesquialterae minuamus, relinquitur sesquioctaua proportio. Quo fit ut tonus in sesquioctaua debeat ratione constitui.

XXV Diapason ac diapente in tripla proportione esse, bis diapason in quadrupla.

Sed quoniam demonstratum est diapason quidem duplam, diapente uero sesquialteram, iunctas uero duplam ac sesquialteram triplicem proportionem procreare, ex his etiam apparet diapente ac diapason in triplici proportione constitui. Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem iungat, quadruplam facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatessaron symphonia iungatur, fit quadruplum spatium uocum, quod bis diapason supra esse monstrauimus, [1217] XXVI Diatessaron ac diapason non esse consonantiam secundum Pythagoricos.

Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis suppositae alias quasdam consonantes efficiant. Nam diapente ac diatessaron iunctae, diapason (ut dictum est) creant; huic uero, id est diapason rursus si diapente symphonia iungatur, fit consonantia, quae ex utrisque uocabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet. Quid igitur si diatessaron ac diapason consonantias iungamus, ullamne secundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in superpartiens inaequalitatis genus cadit, nec seruat uel multiplicitatis ordinem, uel superparticularitatis simplicitatem. Age enim statuantur numeri quibus id facilius approbemus: sit enim ternarius, cuius sit senarius, duplus scilicet, in diapason proportione consistens. Huic aptetur sesquitertia quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportionem tenet, qui octonarius ad ternarium comparatus habet eum bis. Sed ne sit multiplex, habet etiam eius aliquas partes, neque eas simplices. Duabus enim eum superuenit unitatibus, quae sunt quae tertiae partes ternarii, quem primum terminum minimumque locamus. Sint igitur termini hi, 3, 6, 8.

[PLLXIII:1217; text: Multiplex superbipartiens tertias. Diapason cum Diatessaron dissonantia. 3, 6, 8, Diapason, consonantia, Diatessaron, Dupla, Sesquitertia] [BOEDIM2 05GF]

Illud quoque quod inter duas sibi continuas consonantias cadit, etenim neque duplum est integrum, ut diapason consonantiam prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente efficiat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente sibi iunctae efficiunt triplum, diatessaron uero et tonus diapente consonantiam iungunt, si diapason consonantia addatur diatessaron, inconsonum fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intelligi. Quod si ei adiicio tonum, fit diapason, diatessaron, et tonus, quod nihil distabit utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim et tonus diapente constituunt. Sit enim diapason quidem 3 et 6; diatessaron 6 et 8; tonus 8 et 6; diapente 6 et 6; diapason ac diapente [1218] 3 ac 9: erit igitur sic tripla proportio 3, 6, 8, 9.

Sed quanquam de his multa Nicomachus, nos tamen qua potuimus breuitate partim ea ipsa quae Pythagorici affirmant promentes, partim ex eisdem quaedam consequentia argumentantes, probauimus, si diatessaron consonantiae diapason addatur, consonantiam ex his coniungi non posse.

Quid uero sentiat de his Ptolemaeus, posterius apponam.

Sed de his hac tenus nunc de semitoniis considerandum est, [PLLXIII:1218,1; text: on cum Diapente, Diapente, 3, 6, 8, 9, Diapason, dupla, Diatessaron, Sesquitertia, Tonus, Sesquioctaua, Diapason cum diatessaron] [BOEDIM2 06GF]

XXVII De semitanio in quibus minimis numeris constet.

Videntur enim semitonia nuncupata, non quod uere tonorum sint medietates sed quod sint non integri toni. Huiusque spatii quod nunc quidem semitonium nuncupamus, apud antiquiores autem limma uel diesis uocabatur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia proportione quae diatessaron est, duae sesquioctauae habitudines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed, quoniam hi (ut dictum est) in sesquioctaua proportione consistunt, duasque sesquioctauas proportiones continuas adhibere non possumus nisi multiplex ille, a quo hae deriuari possint, reperiatur, sit unitas prima eique octonarius octuplus primus. Ad hoc igitur unum sesquioctauum potero deriuare. Sed quia duos quaerimus, fient octies octo, atque ex eo 64 explicentur. Erit igitur secundus octuplus a quo possumus duas sesquioctauas proportiones educere. Namque octo quae est octaua pars 64 unitatum eisdem additi totam summam 72 perficiunt; his uero si sua octaua similiter opponatur, quae est nouenarius, 81 reddunt. Eruntque duo toni continui principali dispositione conscripti 64, 72, 81.

[PLLXIII:1218,2; text: 64, 72, 81, tonus] [BOEDIM2 06GF]

Nunc igitur 64 unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam 64 probantur partem tertiam non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit, et omnes in eadem proportione durabunt, in qua fuerunt antequam his ternarius multiplicator accederet; fiant igitur ter 64, id est 192, horum tertia 64 eisdem addita 256 reddet, Erit igitur haec sesquitertia proportio diatessaron [1219] consonantiam tenens. Nunc igitur quas sesquioctauas proportiones ad 192 duobus numeris continentes rato ordine collocemus; fiant igitur ter 72, id est 216. Rursus ter 81, qui sunt 243, qui inter duos supra scriptos terminos collocentur hoc modo: 192, 216, 243, 256.

[PLLXIII:1219; text: tonus, semitonium, 192, 216, 243, 256, Diatessaron.] [BOEDIM2 06GF]

In hac dispositione proportionum, primus numerus ad postremum diatessaron constituit consonantiam. Idem uero primus ad secundum, et secundus ad tertium geminos constituunt tonos. Constat igitur spatium quod relinquitur ex 243 ad 256, in quibus minimi semitonii forma consistit.

XXVIII, Demonstrationes non esse: 243 ad 256 toni medietatem.

Approbo igitur 253 ad 256 distantiam non esse integram toni medii dimensionem. Etenim ducentorum quadraginta trium et ducentorum 56, differentia 13 tantum unitatibus continetur. Qui tredecim minus quidem quam minoris octauam decimam, plus uero quam nonam decimam obtinent partem. Si enim octies decies tredecim ducas, efficies 234, qui 243 nullo modo aequabit; si decies nouies multiplices, superuadent, cum oporteat omne semitonium, si tamen integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septimam decimam collocari. Quod posterius demonstrabitur. Nunc illud liquebit talem semitonii distantiam sibimet geminatam, unum toni spatium non posse complere. Age enim ut sese 256 ad 243 habent, tales duas sibimet continuas proportiones, secundum superius descriptam regulam disponamus; 200 enim 50 et et 6 in semetipsos multiplicemus, et sit maximus terminus 65536. Item 243 propria numerositate concrescant, et sit minimus terminus 59049.

Rursus igitur 256 ad ducentorum 43 multitudinem concrescant. Erit igitur numerus 62208; hic igitur medius collocetur hoc modo:

65536 62208 59849 In eadem igitur sunt proportione ducenti 56 et 243. In qua 65536 ad 62208; et item 62208 ad 59049. Sed maximus eorum terminus, qui est 65536, ad minimum qui est 59040, unum integrum non efficit tonum. Quod si primi ad secundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium proportioni, integri esse semitonii probaretur, duo dimidia iuncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctaua proportio, manifestum est hae duo spatia proprie tonorum dimidia non uideri. Quidquid enim cuiuscumque est dimidium, id si duplicetur illud efficit, cuius dicitur esse dimidium.

Si uero illud implere non possit geminata particula, minus est parte dimidia. Si uero [1220] superfluat ac superuadat, plus est parte dimidia. Praeterea probabuntur 95536 non facere sesquioctauam proportionem. Si 56049 unitatibus comparentur, si octaua pars 59049, eisdem secundum eas quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quoniam integris numeris non consistit, idcirco eamdem octauam partem relinquimus lectorum diligentiae computandam. Liquet igitur eam proportionem quae in 256 et 243 est constituta, non esse integrum dimidium toni; quocirca id quod uere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia.

[PLLXIII:1220,1; text: Differentiae, 13196, 3328, 3159, 78732, 65536, 62208, 59049, Semiditonus cum comate, Semitonium minus. Diatessaron sesquitertia] [BOEDIM2 07GF] (Pinxissem totum spatium toni. At minimus terminus puta 59049 praecedentem sesquioctauam non habet, cum ipse sit quintus sesquioctauus, quinti octupli. Ut id in figurula ante picta comperies.)

XXIX De maiore parte toni in quibus minimis numeris constet.

Reliqua igitur pars, quae maior est, apotome nuncupatur a Graecis, a nobis uero potest uocari decisio. Id enim natura fert, ut quotiens aliquid secatur, ita ut non aequis partibus diuidatur, quanto minor pars dimidio minor est, tanto maior pars eadem, quae auctior est, dimidium uincat. Quantum igitur semitonium minus integro dimidio toni minus est, tanto apotome toni integrum superat dimidium et uincit.

Et quoniam docuimus semitonium in 256 et 243 principaliter stare, nunc ea quae apotome dicitur, in quibus possit minimis constare numeris approbemus. Si igitur 243 partem recipere octauam possent cum ad eum sesquioctauus numerus comparetur, tunc 256 habitudo ad sesquioctauam summam minimi numeri comparata, apotomen necessaria ratione monstraret. Nunc uero quoniam ei pars octaua deesse monstratur, utrique numeri octies fiant. Et ex 243 quidem octies multiplicatis fit numerus 1944. Quibus si propria conferatur octaua, qui sunt 243, fient 2187. Rursus 256 per octonarium crescant, fient igitur 2048. Atque hic suprascriptorum terminorum in medio collocetur.

[PLLXIII:1220,2; text: Semitonium minus, Apotome, 104, 139, 1944, 2048, 2187, primus secundus tertius, tonus sesquioctaua] [BOEDIM2 07GF]

[1221] Tertius igitur terminus ad primum toni retinet proportionem.

Secundus ad primum semitonii minoris. Apotomes uero tertius ad secundum. Atque in bisdem primis apotomes uidetur constare proportio, cum semitonii in 256 et 243, minimis numeris spatium contineatur.

Idcirco autem 1944 et 2048 in eadem proportione sunt qua 243 ad ducentos 56, quoniam 256 et 243 octonario multiplicati sunt. Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet, qui ex ea multiplicatione nascuntur, in eadem erunt proportione qua fuerunt hi numeri quos prior numerus multiplicauit.

XXX Quibus proportionibus diapente, diapason constent. et quoniam diapason sex tonis non constet.

Sed quoniam de diatessaron consonantia latius diximus, breuius et pene puris numeris de diapason ac diapente consonantiis disseramus.

Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est ex diatessaron et tono. Disponantur enim numeri quos superior descriptio comprehendit, 192, 216, 253, 256.

[PLLXIII:1221,1; text: Diatessaron ex duobus tonis et Hemitonio minore, 192, 216, 243, 256, Tonus, Hemitonius] [BOEDIM2 07GF]

In hac igitur dispositione primus terminus ad secundum, et secundus ad tertium tonorum retinet proportiones. Sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur 256 octaua eisdem quorum octaua est apponatur, fient 288. Quibus 192 comparati, sesquialterum spatium proportionis efficiunt.

[PLLXIII:1221,2; text: 192, 288, diapente secupla] [BOEDIM2 07GF]

Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Semitonium uero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet; quod si diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris, diapente uero trium tonorum ac semitonii minoris, iunctae uero diatessaron ac diapente unum diapason uidentur efficere, erunt quinque toni et duo spatia semitoniorum minora, quae unum tonum non uideantur implere. Non est igitur diapason consonantia constans sex tonis, ut Aristoxenus arbitratur, quod in numeris quoque dispositum euidenter apparet.

[1222] Sex enim toni in ordinem disponantur, scilicet in sesquioctauis proportionibus constituti, sex uero sesquioctauae proportiones a sexto octuplo procreantur. Disponantur igitur sexoctupli hoc modo:

[PLLXIII:1222,1; text: 1, 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144] [BOEDIM2 08GF]

Ab hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctaua proportione constituti locentur, hoc modo dispositis, primum octuplis terminis, ut octauae terminorum partes ipsorum terminorum, lateribus adiungantur; sit autem descriptio talis:

[PLLXIII:1222,2; text: Sexoctupli, 1, 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, Sesquioctaui, 294912, 331776, 373248, 419904, 472392, 531441, Partes octauae, 36864, 41472, 46656, 52488, 59039] [BOEDIM2 08GF]

Huius igitur dispositionis haec ratio est. Continuus enim uersus, qui limes dicitur, octuplus numeros tenet. A sexto uero octuplo sesquioctauae proportiones ducuntur. Ubi uero octauas partes scripsimus, octauae sunt eorum numerorum partes, quibus adiacent. Quae si eisdem quibus adiacent apponantur, posteriores numeros creant, ut in primo, qui est 262144. Huius octaua 32768; hi sibimet si coniungantur posteriorem efficit numerum qui est 294912. Idemque in caeteris inuenitur. Si igitur ultimus numerus qui est 531441 duplus esset prioris numeri qui est 262144, recte diapason sex tonis constare uideretur. Nunc autem si minimi numeri, id est prioris, duplicem conquiramus, minor erit eo numero qui est maximus ac supremus. Nam 262144 numeri duplus est qui ad eum scilicet diapason consonantiam tenet 524288; hic igitur minor est eo numero qui sextum retinet tonum, eo scilicet qui est 541441. Minor est igitur diapason consonantia sex tonis. Atque id quod sex toni diapason consonantiam superuadunt, uoco comma, quod constat in minimis numeris 524288 et 531441.

[PLLXIII:1222,3; text: Differentia. 7153, 5242888, 531441, comma seu spatium quo maiores sunt sex toni diapason.] [BOEDIM2 08GF]

Sed de his quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne iudicium, alias commemorabo. Nunc uoluminis seriem fastidii uitator astringam.

LIBER TERTIUS primum [1223] Aduersus Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem diuidi in aequa non posse, atque ideo nec tonum.

Superiore uolumine demonstratum est diatessaron consonantiam ex duobus tonis copulari ac semitonio, diapentes uero ex tribus tonis ac semitonio constare. Sed ea semitonia dimidium toni integrum non posse perficere, si sigillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo peruenire.

Sed quoniam Aristoxenus musicus, iudicio aurium cuncta permittens, haec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio sed sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum, demonstrandumque prius nullam superparticularem habitudinem noto numero posse diuidi in integram medietatem. Inter duos enim numeros superparticularem proportionem continentes, siue illi sint principales, quorum est unitas differentia, siue posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius teneat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportione sed aut differentias aequas facere potest, ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem, aut harmonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet medietatem, aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus mentionem. Quod si id demonstrabitur, nec illud quidem constare poterit, sesquioctauam proportionem, quae tonus est in dimidia posse discerni, quandoquidem sesquioctaua omnis insuperparticulari inaequalitatis genere consistit. Id uero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit quae, interposito medio termino, aequis proportionibus diuidatur, non est dubium quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri. Quod si uidetur consonum auribus aliquid canere, cum cuilibet [1224] uoci duobus tonis ac semitonio integro distans uocula comparetur, id non esse consonum natura monstratur. Sed quoniam sensus omnis quae minima sunt comprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum aurium non posse distinguere, fore autem ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur, compositum coniunctumque cum iam magnum esse coeperit peruidetur. A qua igitur proportione est ordiendum an compendium dabimus quaestioni, si ab eo de quo quaeritur ordiamur. Id uero est tonus, in duo aequa possit partiri necne. Nunc igitur de tono est pertractandum, et quemadmodum non possit in duo aequa diuidi demonstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari non posse. Primi igitur tonum continentes numeri sunt 8 atque 9. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inier eos numerus non sit, eosdem binario, quo scilicet minimo possum, mulplico. Fiunt igitur 16 ac 18, inter hos uero naturaliter numerus cadit qui est 17; igitur 18 ad 16 tonus est. Sed 10 et 8 ad 10 et 7, comparatus habet eum tonum, et eius septimam decimam partem. Septima decima uero pars minor est sexta decima naturaliter. Maior est igitur proportio quae sub 16 ac 17 numeris continetur, quam ea quae sub 17 ac 18. Qui disponantur hoc modo, et sit A 16, C 17, B 18. Medietas igitur integra toni inter C ac B nullo modo cadet. Minor est enim C B proportio C A proportione. Ad maiorem igitur partem medietas rata ponenda est. Sit uero medietas D. Quoniam igitur D B quidem proportio, quod est integrum dimidium toni, maior est C B proportione, quae est minor pars toni, A C autem proportio quae est maior pars toni A D proportione maior est, quod est dimidium toni, est autem A C proportio sesquisextadecima, C B autem sesquiseptimadecima, non est dubium quin integra medietas inter sesquisextamdecimam [1225] ac sesquiseptimamdeciam cadat. Sed hoc integro numero nullo modo poterit inueniri.

[PLLXIII:1225; text: Integra toni medietas. Integra toni medietas si dari queat. 16, 17, 18, A, D, C, B, Diesis homiionium minus, Comma, Sesquiseprima decima pportio Diesis hemitoniuminus minor toni pars, Apotome 16 pportirotio, Acotomo mair touu pars, Tonus sesquioctaua proportio. Totum hoc spatium.] [BOEDIM3 01GF]

Quoniam uero ad 16 numerum 17 numerus comparatus, supersesquisextamdecimam obtinet proportionem, si eiusdem 17 numeri sextam decimam requiramus, erit unitas, atque unitatis pars 16, hanc si eidem 17 numero coniungamus, fiunt 18 et pars sexta decima. Si igitur 18 et pars sexta decima 16 numero comparetur, recte toni mensuram uidetur excedere, cum ad eum solus 18 numerus sesquioctauam custodiat proportionem. Unde fit ut quoniam supersesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimidium.

Quidquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium illius esse uidebitur quod transcendit. Quocirca super sesquisextadecima, non erit toni dimidium. Ac per hoc, nec alia ulla maior sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit maior. Sed quoniam, sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur sesquiseptimadecima, uideamus an ea tonum bis multiplicata non impleat, 17 igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet terminus 18. In eadem igitur proportione si ad 18 numerum alium comparemus, erit 19 et septimadecima pars. Quod si ad 17 terminum in sesquioctaua proportione positum numerum comparemus, fient 19, et pars octaua. Maior uero est pars octaua parte septima decima. Maior igitur est proportio numerorum 17 ac 19 et octaua quam ea quae in 17 ac 19 et parte septima decima continetur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedecimae proportiones.

Duae igitur sesquiseptimaedecimae unum tonum non uidentur implere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non implet integrum non continet dimidium. Semper enim dimidium duplicatum e cuius dimidium est coaequatur.

[1226] [PLLXIII:1226; text: Supersesquisextadecima proportio, Apotome maior Toni pars. 16, 17, 8 1/16, Vera sesquioctaua proportio. Tonus, Tonus proportio una commate maior sesquioctaua proportione Tonus superauctus, Totum huins toni spatium ex duobus apotomis. Proportio sesquiseptimadecima.

Diesin, id est, hemitonium minus continens, Proportio itide sesquiseptimadecima Diesin, id est hemitonium minus faciens et continens; 17, 18, 19 1/17, Proportio minor sesquioctaeua commate. Tonus non integer ex duabus diesibus deficiens a tono integro commate. Proportio sesquioctaua tonum integrum ex diesi et apotome hahens. Tonus non integer, Tonus ex duabus Diesibus. qui incommate deficit a uero tono, 17, 18, 19 1/17, 19 1/8, Diesis, id est. bemitonium minus, Super sesquiseptima proportio Diesis bemitonium minus, Hemitonium maius, Supersesquisextadecima proportio. Proportio sesquioctaua et 1/8 non sesquiseptimadecima.] [BOEDIM3 02GF]

[1227] II Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis, toni dimidium non relinqui.

Iam uero si eos numeros disponamus qui de sesquitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus utrum ea proportio quae post duos tonos relinquitur, integri loco semitonii censeatur; quod si ita repertum, sit, illud quoque est comprobatum diatessaron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari. Erat igitur superius terminus primus 192. Ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant 256. Sed ad primum terminum 216 faciunt tonum. Ad 216 rursus 243 toni obtinet locum. Est igitur quod relinquitur ex diatessaron tota proportione, ea scilicet habitudo quae in 242 et 256 unitatibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse dimidium, dubitari non potest diatessaron ex duobus tonis semitonioque constare. Quoniam igitur demonstratum est toni dimidium inter sesquisextamdecimam et sesquiseptimamdecimam proportionem locari, ab hac comparatione etiam haec proportio metienda est. Ne enim longius progrediamur, sumo ex 243 octam decimam partem, ea fit 13 et semis. Hanc si eisdem apposuero, fiunt 256 et semis. Apparet igitnr minorem proportionem esse 256 ad 243 sesquioctauadecima habitudine. Quod si dimidius tonus maior quidem est in sesquisextadecima, minor uero in sesquiseptima decima proportione, sesquioctauadecima uero minor est sesquiseptimadecima habitudine, ducentorum uero 56 ad ducentos 43 comparatio, quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retractis tonis, minor est sesquioctauadecima: non est dubium quin haec duorum numerorum proportio semitonio longissime diminutior sit.

III Aduersum Aristoxenum demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis et semitonio non constare, nec diapason sex tonis.

Quod si (ut ait Aristoxenus) diatessaron consonantia ex duobus tonis semitonioque coniungitur, duae diatessaron consonantiae necessario quinque tonos efficient, et diapente ac diatessaron iunctae, sicut unum diapason iungunt, ita sex tonis continua proportione coaequantur.

Et quoniam paulo ante sex disposuimus tonos, quorum minimus erat numerus 262144, ad hunc uero ultimus in sexto collocabatur tono numerus 531441, quintum uero retinebant tounm 472392, disponantur hoc modo:

[1228] [PLLXIII:1228,1; text: Tonus primus, Tonus secundus, Tonus tertius, Tonus quartus, Tonus quintus, Tonus sextus, 262144, 294912, 331776, 373248, 419904, 472392, 531441, Sex toni, Quinque toni, 531411]

[BOEDIM3 03GF]

Nunc igitur de minoribus numeris, id est quinque tonis, loquamur. Si ergo diatessaron duobus tonis ac semitonio, bis uero diatessaron quinque consisteret tonis, cum ex 262144 diatessaron intenderem, cumque de 472392 aliud diatessaron remitterem, idem inter utramque intentionem remissionemue numerus inueniretur. Id autem fit hoc modo: a numero qui est 262144 besse diatessaron intendo, id est sesquitertium, qui fit in 349525 et triente. Rursus de 472392 numeris remitto sesquitertiam proportionem, quae sit in 354294, has igitur proportiones disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus A, secundus uero B, tertius C, quartus D.

[PLLXIII:1228,2; text: Quinque toni, Diatessaron intensum, Diatessaron remissum, A, 262144, B, besse, 349525 1/3, C, 354294, D, 472392, 4768 2/3, Besse] [BOEDIM3 03GF]

Quoniam igitur A terminus ab D termino quinque remotus est toni, quoniamque diatessaron in duobus tonis ac semitonio iungitur, ut Aristoxenus arbitratur, unumque diatessaron, inter A atque B, aliud uero inter C atque B positum est, B et C terminos non oportet esse diuersos sed unos atque eosdem, [1229] ut integre quinque toni ex duabus diatessaron consonantiis constare uideantur. Nunc uero quoniam est differentia 4768 et besse, arguitur diatessaron minime tonis duobus ac semitonio coniungi.

IV Diapason consonantiam a 6 tonis commate excedi, et qui sit minimus numerus commatis.

Sed hanc si quaerimus in integris numeris differentiam collocare, quoniam in ea parte quae est besse pars tertia si addatur, plenam efficit unitatem, quae pars tertia eiusdem besse dimidium est, si totius differentiae dimidium eidem adiecero, quod est 2384 et riens sit omnis summa 7153. Quae dudum commatis [1230] proportionem tenebat.

Comma enim est quo sex toni superant diapason consonantiam, quod in primis 7153 unitatibus continetur. Ut igitur differentiae dimidium proprium adiecimus, ut in 7153 excresceret, ita etiam cunctis A B C D terminis medietates proprias adiungamus, eadem erit in omnibus, quae supra proportio, fietque eadem inter quinque tonos ac bis diatessaron differentia quae est inter sex tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet 7153 unitates. Unde colligitur quinque tonos bis diatessaron, et sex tonos unum diapason tamen commate superare. Quod in primis 7153 unitatibus inuenitur. Id autem patefaciet haec subiecta descriptio:

[PLLXIII:1229-30; text: Quinque toni, diatessaron intensa, numerus cum sua medietate, 393216, A, 2621444, 131072, medietas A. 524288, B 349525 1/3, 174762 11/26, mediatas B, semis et sextans complent bessem et besse cum triente coniunctus reintegrat unitatem.

differentia BC cum sua medietate, comma quo sex toni superant diapason aut quod quinque toni superant disdiante ut hic. 7153, C, 4768 2/3, 2384 1/3, medietas differentiae B. C hic triens et sextans rediti etiam integrum unum faciunt. diatessaron remissa, 531441, 354294, 177147, medietas C 708588, 472392 D, 236196, medietas D. Sex toni.-- Excedent ergo sex toni diapason commate. Diapente ex Diatessaron et Tono, Numerus A cum sua medietate, Medietas, Numerus B cum sua medietate, 324288, 349525, 7476, 2384 1/3, Medietas differentiae, Numerus C cum sua medietate, Numerus D cum sua medietate, 47239, Sextussesquiocrauus cum sua medietate, 797161 1/2, 265720 1/2, Medietas sextus sesquioctauus] [BOEDIM3 04GF]

[1229] V Quemadmodum Philolaus tonum diuidat.

Philolaus uero Pythagoricus alio modo tonum diuidere tentauit; statuens scilicet primordium toni ab [1230] eo numero qui primus cubum a primo impari (quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit) efficeret. Nam cum ternarius numerus primus sit impar, tres tertio 9, atque id ter si duxeris, 27 necessario exsurgent, [1231] qui ad 24 numerum tono distat, eamdem ternarii differentiam seruans. Ternarius enim 24 summae octaua pars est. Quae eisdem addita primum a ternario cubum 20 ac 7 reddit. Ex hoc igitur Philolaus duas efficit partes: unam quae dimidio sit maior, eamque apotomen uocat; reliquam quae dimidio sit minor, eamque rursus diesim dicit, quam posteri semitonium minus appellauere Herum uero differentiam comma ac primum diesim in 13 unitatibus constare arbitratur, eo quod hoc inter 256 et 243 peruisa sit differentia. Quodque idem numerus, id est 13, ex nouenario ternario atque unitate consistat, quae unitas puncti obtineat locum.

Ternarius uero primae imparis lineae. Nouenarius primi imparis quadrati. Ex his igitur causis cum 13 diesim ponat, quod semitonium nuncupatur, reliquam 27 numeri partem quae ex 14 unitatibus continetur, apotome esse constituit. Sed quoniam inter 13 et 14 unitas differentiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam, totum uero tonum in 27 unitatibus locat, eo quod inter 216 ac 243 qui inter se distant tono 27 sit differentia.

[PLLXIII:1231; text: Toni diuisio secundum Philolaum. 1, 13, 14, 27, Diesis, Apotome] [BOEDIM3 05GF] VI Tonum ex duobus semitoniis ac commate constare.

Ex quibus facile apparet tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium uero ab apotome differt commate; nihil est aliud apotome nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma fit reliquum.

VII Demonstratio, tonum duobus semitoniis commate distare.

Idem uero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason [1232] quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis continetur, superantque sex toni diapason consonantiam uno commate, non est dubium quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora, de sex uero tonis tonus. Atque hic tonus haec duo semitonia quae relinquuntur uincit commate. Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur, aequabunt tonum; constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et commati, quod in 7153 primis unitatibus inuenitur, aequari.

VIII De minoribus semitonii interuallis.

Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus diffinitionibus includit. Diesis, inquit, est spatium quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma uero est spatium quo maior est sesquioctaua proportio duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis. Diaschisma uero dimidium dieseos, id est semitonii minoris. Ex quibus illud colligitur, quoniam tonus quidem diuiditur principaliter in semitonium minus atque apotomen. Diuiditur etiam in duo semitonia et comma, quo fit ut diuidatur in quatuor diaschismata et comma. Integrum uero dimidium toni quod est semitonium, constat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semitonium minus, et schismate, quod est dimidium commatis.

Quoniam cum totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate coniunctus est, si quis id integre diuidere uelit, faciet unum semitonium minus commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus diuiditur iu duo diachismata. Dimidium uero commatis unum schisma est.

Recte igitur dictum est integre dimidium tonum in duo diaschismata atque unum schisma posse partiri. Quo fit ut integrum semitonium a minore semitonio uno schismate differre uideatur, apotome autem a minore semitonio duobus schismatibus differt, differt enim commate; sed duo schismata unum perficiunt comma.

[PLLXIII:1231-32; text: Media toni pars, ex diesi et schismate, diaschisma medium dieseos, schisma, hemitonium minus diesis, comma, hemitonium maius apotome maior toni pars, hemitonium minus apotome maior toni pars, toni spatium] [BOEDIM3 05GF]

[1233] IX De toni partibus per consonantias sumendis.

Sed de his quidem hactenus. Nunc uero illud uidetur esse dicendum, quemadmodum per consonantias musicas imperata possimus spatia nunc extendere, nunc uero remittere. Id autem linealiter fiat, lineaeque quas describimus uocis accipiuntur loco. Sed sese iam ratio ipsa demonstret. Sit propositum toni spatium per consonantiam sumere, in acutum scilicet atque grauem. Sit sonus B, ab hoc intendo alium sonum qui diapente spatio ab eo quod est B distet ad eum qui est C Ad hoc remitto diatessaron consonantiam ad id quod est D, et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus differentiam facit, D B spatium tonus repertus est.

[PLLXIII:1233,1; text: Diapente intensa, Tonus in acuto, Diatessaron remissa, B, D, C] [BOEDIM3 06GF] Ad grauiorem uero partem ita modulabimur tonum. Ab eo quod est B diatessaron intendo ad F, et ab F diapente remitto ad K. Erit K B tonus.

Animaduertet igitur diligens lector ad D B quidem ad acutam partem effectum tonum, ad K B autem ad grauem.

[PLLXIII:1233,2; text: K, B, F, Tonus in grauium, Diatessaron intensa, Diapente remissa] [BOEDIM3 06GF] Sit propositum minorem toni partem per consonantiam sumere in acutam partem atque grauem. Minor uero toni pars est spatium quo duos tonos diatessaron consonantia transcendit. Sit enim sonus A, intendo ab A diatessaron ad B. Rursus intendo ab B diatessaron ad C, ab C remitto diapente ad D. Tonus est igitur B D. Rursus ab D intendo diatessaron ad E. Remitto iterum ad E diapente ad F. Tonus est igitur D F. Duo igitu unt toni B D, DF. Et erat B A integrum diatessaron. Erit igitur F A minor toni pars, quod semitonium nuncupatur.

[1234] [PLLXIII:1234,1; text: Diatessaron intensa. Tonus, A, B, C, D, E, F, Semitonium in acuso, Diapente, Diapente remissa] [BOEDIM3 07GF]

Ad grauiorem uero partem hoc modo: sit sonus A, intendo duos tonos per consonantiam ad C, diatessaron uero ad G remitto ad K; erit igitur K A minor semitonii pars, quod oportebat efficere.

[PLLXIII:1234,2; text: semitonium, duo toni intensi, K, A, G, diatessaron intensa] [BOEDIM3 07GF] Si ergo a tribus tonis diatessaron auferamus, apotome fit reliqua.

Sint enim tres toni A B, B C, C D; ab his auferatur A E diatessaron.

Erit igitur E C semitonium minus; apotome igitur est E D.

[PLLXIII:1234,3; text: Diatessaron, Semitonium minus, Apotome, A, B, C, E, D, Tonus] [BOEDIM3 07GF] Hanc igitur apotomen si sit commodum sic sumemus. Ac primum quidem ad acutum intendo tres tonos, ab A eos qui sunt ad B, et ab eo quod est B ad C diatessaron consonantiam remitto, fit C A apotome reliqua.

[PLLXIII:1234,4; text: Tres toni intensi, Apotome acuta, A, C, B, Diatessaron remissa.] [BOEDIM3 07GF] Quod si idem spatium ad grauem sonum uelimus efficere fit hoc modo: sit sonus A, intende semitonium [1235] minus, id quod est A D, remitto ad D tonum qui est D E. Erit igitur E A ea quam requirimus apotome. [PLLXIII:1235,1; text: apotome grauis, semitonium minus intensum, B, A, D, tonus remissus] [BOEDIM3 08GF]

Sit propositum in acutam partem comma sumere, fit sonus A; intendo apotomen A B, remitto semitonium minus B C, et quoniam semitonium apotome minus est commate, comma erit C A.

[PLLXIII:1235,2; text: Apotome intensa, Comma, A, C, B, Semitonium minus remissum] [BOEDIM3 08GF] Rursus ad grauem partem hoc modo intendo: ab A sono semitonium minus, id quod est A D, ad D uero remitto apotomen, id quod est D E. Erit igitur comma C A.

[PLLXIII:1235,3; text: comma grauis, semitonium minus intensa, B, A, D, apotome remissa] [BOEDIM3 08GF]

X Regula sumendi semitonii.

Oportet uero has omnes consonantias rite esse animo atque auribus notas; frustra enim haec ratione et scientia colliguntur; nisi fuerint usu atque exercitatione notissima. Ut uero id quod institutione musicae adorsi sumus non mox auribus, quod iam prouectorum in musica est sed ratione interim censeatur, unum dabimus exemplum inueniendi spatii, quod uidetur esse paulo difficilius, scilicet semitonii minoris, ut in utramque partem, acutam scilicet atque grauem, rato possit ordine reperiri. Sit diatessaron A B: oportet igitur circa A B consonam minus semitonium ad grauiorem partem acutioremque deducere.

Intendo igitur B C diatessaron. Remitto rursus diapente C D. Erit igitur tonus B D; diatessaron enim consonantia a diapente consonantia tono superatur, et C B spatium ab C D spatio B D spatio transcenditur. Rursus intendo diatessaron D E, remitto autem diapente E F. Tonus est igitur D F. Sed D B tonus erat. Semitonium igitur minus est A F, quod, substractis duobus touis F D, B D ab A B diatessaron [1236] spatio relinquitur. Rursus remitto diatessaron A G, intendo diapente G H.

Erit igitur A H tonus. Sed erat A F semitonium. Erit igitur F H apotome. Rursus remitto diatessaron A K, intendo diapente K L: tonus igitur est H L Erat autem tonus H A. Semitonium igitur minus est L B.

Sed erat tonus B D. Erit igitur I D apotome. Rursus intendo diatessaron F M. Semitonium igitur est B M. Remitto diatessaron L N; semitonium igitur est N A. Per consonantiam igitur sumpta sunt circa A B diatessaron, dua semitonia, B M quidem ad acutum; N A uero ad grauem partem; totumque M N minus est quam diapente. Constat enim ex quinque semitoniis, et apotome geminata ex duobus igitur tonis et tribus semitoniis minoribus; et quoniam duo semitonia unum tonum implere nequeunt sed relinquitur comma, totum M N spatium minus est spatio diapente consonantiae uno commate. Quod facillime diligens lector intelliget.

[PLLXIII:1236; text: Diatessaron remissa, Diatessaron intensa, Diapente remissa, Semitonium minus, Tonus, Apotome, Semitonium, Coma, G, K, N, A, F, H, D, L, B, M, E, C, Diapente intensa] [BOEDIM3 09GF]

Sed quoniam paululum de commatis ratione praediximus, non est diffugiendum et in quali proportione idem ipsum comma contineatur ostendere. Est enim comma quod ultimum comprehendere possit auditus, dicendumque est semitonium minus ac semitonium maius, quantis silligatim commatibus constare uideantur. Ipse quoque tonus quantis rursus commatibus coniungitur. Ac primum hinc conueniens sumatur initium.

XI Demonstratio, Archytae superparticularem in aequa diuidi non posse, eiusque reprehensio.

Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposito numero non potest. Id uero posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Archytas, nimium fluxa est. Haec uero est huiusmodi: Sit, inquit, superparticularis proportio A B. Sumo in eadem proportione minimos C E. Quoniam igitur sunt minimi in eadem [1237] proportione C E, et sunt superparticulares, E numerus C numerum parte una sua eiusque transcendit.

Sit autem haec D. Dico quoniam D non erit numerus sed unitas. Si enim est numerus D et pars eius est qui est E, metietur D numerus E numerum. Quocirca et E numerum metietur. Quo fit ut C quoque metiatur, utrumque igitur C et E numeros metietur D numerus, quod est impossibile. Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se inuicem sunt, et solam differentiam retinent unitatem; unitas igitur est D: igitur E numerus C numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidet medius numerus, qui eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit ut nec inter eos qui eamdem his proportionem tenent, medius possit numerus collocari, qui eamdem proportionem aequaliter scindat.

[PLLXIII:1237; text: Superparticularis proportio 6 ad 4, Minimiciusde proportio 3 ad 2, minima duser, A, C, D, E, B, 4, 2, 1, 3, 6] [BOEDIM3 09GF]

Et secundum Archytae quidem rationem idcirco in superparticulari nullus medius terminus cadit, qui aequaliter diuidat proportionem, quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate. Quasi uero non etiam in multiplici proportione minimi eamdem unitatis differentiam sortiantur. Cum plures uideamus esse multiplices praeter eos qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaliter eamdem proportionem possit aptari. Sed haec qui arithmeticos nostros diligenter inspexerit, facilius intelliget.

Addendum uero est id ita euenire, ut Archytas putat, in sola superparticulari proportione. Non autem uniuersaliter est dicendum.

Nunc autem ad sequentia conuertamur.

XII In qua numerorum proportione sit comma, et quoniam in ea quae maior sit quam 75 ad 74, minor quam 74 ad 73.

Primum igitur dico quoniam hi numeri qui comma continent maiorem inter se retinent proportionem quam 75 ad 74, minorem quam 74 ad 73. Id uero ita demonstrabitur: ac primo quidem illud reminiscendum est, quod sex toni diapason commate transcendunt. Sit igitur A quidem 262144, B autem diapason ad eum contineat consonantiam in duplici scilicet constituta 524288, C uero sex tonis ab A numero discedat et sit 531441. Quae omnia ex secundi uoluminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter B igitur [1238] atque C commatis proportio continetur. Aufero igitur numerum de numero C, et relinquit D in 7153 unitatibus collocatus. Quid numerus minor D est quam sit septuagesima tertia pars B numeri, maior uero est quam septuagesima quarta sit. Nam si eumdem D numerum, qui est in 7153, septuagies ter multiplicem fiet mihi E numerus in 522169 unitatibus constitutus. Si eum septuagies quater multiplicem, fit numerns F 529322. Quorum quidem E, qui per septuaginta tres auctus est, minor est B numero; F autem qui per 74, maior est B numero. Recte igitur dictum est D, eius quod est B, minorem quidem esse quam septuagesimam tertiam partem, maiorem uero quam septuagesimam quartam. Quodcirca et C numerus B numerum minore quidem parte eius quod est B eumdem B superat, quam septuagesima tertia, maiore uero quam septuagesima quarta. Eius igitur quod est C proportio ad id quod est B maior quidem est quam 75 ad 74, minor uero quam 74 ad 73. Nam in priore unitas septuagesima quarta est minoris, in posteriore uero eadem unitas septuagesima tertia. [PLLXIII:1238; text: Sextoni, Diapason, septuagies ter, septuagies quater, e minor b, s minor [rob], A, B, C, 262144, 524288, 531441, E, 522169, F, 529322, 7153, Differentia D] [BOEDIM3 09GF]

Idem aliter explicandum, illo prius praesumpto, quod si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur, minor inter eos qui post additionem fiunt proportio continebitur quam inter priores qui ante additionem illam quadam proportione distabant. Ut sex et quatuor si utrisque binarius, quae est differentia sua apponatur, fient 8 et 6 sed inter 6 et 4 sesquialtera, inter 8 et 6 sesquitertia proportio continetur, minor uero est proportio sesquitertia sesquialtera proportione; hoc igitur ita praedicto, disponantur superiores numeri qui proportionem commatis continebant, id est 531441, et sit A. Sit etiam B 524288; horum differentia sit C 7153; C igitur numerus maiorem numerum eo qui est A septuagies quinquies metiatur. Si igitur C numerum A septuagies quinquies multiplices, fiet mihi D qui est 536475. Igitur D numerus eum qui est A, numero eo qui est E antecedit, id est 5034. Rursus C numerus eum qui est B metiatur septuagies quater multipliceturque, fiet igitur numerus F 529322. Qui F eo qui est B [1239] maior est eodem E numero qui est 5034. Ergo D numerus eum qui est A transcendit E numero, B autem numerus ab eo qui est F uincitur eodem E numero. Si igitur A numero eumdem E apponamus, fiet D. Si uero B numero eumdem E apponamus, fiet F. Sed D numerus septuagies quinquies auctus est, per C scilicet multiplicatum. F autem septuagies quater multiplicato C creuit; obtinent igitur inter se proportionem D atque F quam habent 75 ad 74. Sed D atque F sunt A atque B uno eis addito E, maiorem igitur necessarie est proportionem contineri inter A atque B quam inter D atque F. Namque A atque B numerus, uno E addito, effecti sunt D atque F. Minor igitur proportio est inter D atque F quam inter A atque B. Sed inter D atque F eadem proportio est quae inter 75 et 74. Inter A igitur atque B maior proportio est quam inter 75 et 74. Ac A atque B comma continent. Maior igitur proportio est commatis quam 75 atque 74.

[PLLXIII:1239; text: A numerus maior, B numerus minor, maior quam 75 ad 74, 531226, Proportio commatis, 524288, Differentia, C, 7153, E, Septuagesies 5, Septuagesies 4, eadem proportio quae inter genie, 536475, 52972, F] [BOEDIM3 10GF]

Quoniam igitur ostendimus commatis proportionem maiorem esse quam eam quam 75 continent ad 74 comparati; nunc ostendendum est quemadmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium commatis continentes, quam 74 ad 73 comparati.

Id uero monstrabitur hoc modo: reminiscendum prius est quod secundo uolumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differentiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi qui relinquuntur maiorem obtinebunt proportionem his numeris qui erant ante differentiae diminutionem. Sint euim 8 et 6. Ab his propriam aufero differentiam, id est 2, fiunt 6 et 4, Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesquialtera proportio continetur. Maior uero est sesquialtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur iidem A atque B. Qui sunt superius descripti, quorum est differentia C Multiplico differentiam C numeri septuagies quater, sit mihi numerus, F, scilicet 529322. Qui A numero comparatus uincitur mumero G, scilicet 2119. Rursus idem [1240] C multiplicetur septuagies ter, efficiet numerum K, id est 522169. Qui comparatus B numero uincitur eodem G, scilicet 2119. Sublato igitur G de numeris A atque B, effecti sunt F atque K. Minorem igitur proportionem retinebit A atque B quam F atque K. Sed F atque K eam retinent proportionem quam 74 ad 73, hi enim multiplicato C effecti sunt. Minor est igitur proportio A atque B numerorum comma continentium quam 74 ad 73. Sed paulo ante monstratum est eamdem commatis proportionem maiorem esse quam 75 ad 74. Monstrati sunt igitur numeri qui comma continent, maiorem quidem inter se habere proportionem quam 75 ad 74, minorem uero quam 74 ad 75, quod oportebat ostendere.

[PLLXIII:1240; text: A numerus maior, proportio minor quam 74, B numerus minor, 531441, 5242883, C, 52119, 7153, G, 2119, septuagies, F, proportio 74 ad 74, E, septuagies ter, Differentia, 529322, 522169 Differentia C] [BOEDIM3 10GF]

XIII Quod semitonium minus maius quidem sit quam 20 ad 19, minus quam 19 1/2 ad 18 1/2.

Quod si ad semitonium minus talis speculatio conuertatur, eius quoque proportionem facillime reperiemus. Quae constat inter 256 et 243. Sit igitur 256 A, 243 B, horum differentia 13 C Dico quoniam A ad B minorem retinet proportionem quam 19 1/2 ad 18 1/2; metiatur enim C 19 semis, id quod est A fiunt 253 1/2 quod sit D, qui scilicet comparatus ad A, eodem A duobus semisque transcenditur. Sitque haec differentia F, scilicet et 1/2, rursus eadem C differentia B numerum metiatur octies decies semis, fient 249 quod sit E. Igitur E comparatus ad B eodem F transcenditur, id est duobus et semis. D igitur ab eo quod est A, et rursus E ab eo quod est B, eadem F differentia sunt minores.

Subtracto igitur F ab eo quod est A atque B, facti sunt D atque E.

Maiorem igitur proportionem tenent inter se D atque E, quam A atque B.

Sed D atque E eamdem retinent proportionem inter se quam 19 1/2 ad 18 1/2. A igitur ad B minorem retinet proportionem quam 19 1/2 ad 18 1/2, quod oportebat ostendere.

[1241] [PLLXIII:1241,1; text: A numerus maior, proportio maior quam 19 1/2 ad 18 1/2, ab minor, B numerus minor, 256, Doties nouies 1/2, Deties octies 1/2, Proportio semitonii minoris, 243, F, 2 1/2, Differentia, C, D, E, 253 1/2, Proportio 19 1/2 ad 18 1/2, 240 1/2] [BOEDIM3 11GF]

Videtur tamen eadem proportio 256 ad 243 maior esse ab ea quam continent 20 et 19. Sint enim A B C idem qui superius descripti sunt.

Metiatur igitur C differentia A terminum uigies, fient 260, qui sunt D, qui comparati ad id quod est A eumdem quaternario transcendunt, hic sit F. Rursus idem C metiatur B decies nouies, fient 247, hic sit E, qui comparati ad B eodem F transcendunt. D igitur numerus, A numerum, et E numerus numerum B, eodem F transcendunt. Adiecto igitur F his qui sunt A atque B, facti sunt D atque E. Maior igitur est proportio eorum qui sunt A atque B, quam eorum qui sunt D atque E. Sed D atque E uigies atque decies nouies multiplicatus, C numerum efficit. Maior igitur est proportio eorum qui sunt A atque B, qui scilicet semitonium continent, quam ea quae est 20 ad 19. Demonstratum igitur est semitonium minus maiorem quidem habere proportionem quam 20 ad 16, minorem uero quam 19 1/2 ad 18 1/2. Nunc idem minus semitonium commati comparemus quod est ultimum, auditui subiacens ultimaque proportio.

[PLLXIII:1241,2; text: A, Proportio maior quam 20 ad 19, B, 256, 243, F, 4, Differentia, Differentia 13, C, Vigies, decies nouies, 260, proportio 20 ad 19, 247] [BOEDIM3 11GF]

XIV Semitonium minus maius quidem esse tribus commatibus, minus uero quatuor.

Igitur demonstrandum proponimus semitonium [1242] minus, maius quidem esse commatibus tribus, minus uero quatuor, quod hinc facillime possis agnoscere. Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem contineant diapason, et eam quae dicitur sex tonorum. Sint enim A 262144. Intendantur igitur ab B quidem quinque toni continui, et sit B. 472392; ad C autem diapason consonantia referatur, et sit C 524288.

Ad D autem sex toni intendantur, sitque D 531441. His ita dispositis et constitutis, manifestum est inter C atque D comma constitui, eorumque differentiam esse 7153; id autem sit K, remittantur igitur duo toni ab eo quod est B, ad id quod est E, et sit E 373248. Rursus ab eo quod est E intendo diatessaron ad id quo est F 497664. Quoniam igitur inter E atque B duo sunt toni, inter E atque F diatessaron, inter B igitur atque F minus semitonium reperitur. Sublatis enim a diatessaron consonantia duobus tonis, fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi 256 et 243. Quos eosdem numeros si millies noningenties quadragies quaterque multiplices B atque F, numeros explicabis. Quos necessarie est eamdem proportionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est 1944 pariter multiplicati creuere. Item ab eo quod est F. intendo diatessaron, scilicet ad G, et sit G 663552. Rursus ab eodem G remitto ad P duos tonos, et fit P 524288. Quod P necessarie est, ut eumdem sonum quem C numerus exhibeat.

Ad aequalitatem namque eius tali ratione progressus est. Etenim ea quae est A C diapason consonantia, quae constat quinque tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab 6 tonis commate superatur. Ab eodem igitur A termino numerus P, quinque tonis ac semitoniis duobus recessit hoc modo. Ab eo quod est A usque ad id quod est B quinque nimirum colliguntur toni; ab eo autem quod est B usque ad id quod est F minus esse semitonium pernotatur, F uero atque P, idem rursus semitonium minus includunt. A igitur usque ad P quinque tonos ac duo semitonia minora produxit. Iure igitur P atque C eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter F atque C semitonium minus est, uideamus haec quae sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia 26624, et sit haec M. Igitur K commatis differentia est, M. autem semitonii minoris. Si igitur K numerum tertio auxerimus, fiet numerus 21459. Et sit hic L Si uero quater eumdem numerum K multiplicare uoluerimus, fient 28612, et sit hoc N. Igitur M maior quidem est ab L; idem autem M minor est ab N.

Sed N quater aucto commate succreuit; L autem tertio, M uero semitonii minoris obtinet differentiam. Iure igitur dictum est minus semitonium minus quidem esse quam quatuor commata, maius uero quam tria.

[1243] [PLLXIII:1243-44; text: Quinque toni, Diatessaron intensa, Duo toni remissae, semitonium minus, A, 262144, E, 373248, B, 472392, F, 497664, C, P, 524283, D, 531441, G, 663352, Differentia M, Differentia t, 7153, Tertoni intensa, Ter auctum, Quater auctum, 21459, L, 28612, N] [BOEDIM3 12GF]

[1243] XV Apotome maiorem esse quam 4 commata, minoem quam 5. Tonum maiorem quam 8, minorem quam 9.

Eadem hac ratione et semitonium maius quod apotomen dici supra retulimus, quot commatum sit possumus inuenire hoc modo: Sit A 262144.

Quinque uero ab eo distans tonis sit B 472392. Sex uero distans tonis ab eo quod est A, sit D, scilicet 531441, inter B igitur atque D tonus est; B uero ab eo quod est C distat per semitonium minus, et sit C 497664. Relinquitur ergo inter C atque D apotome proportio. Nam cum sit tonus B D, ex eo si auferas B C semitonium minus, C D relinquitur maius, quod apotomen esse supra retulimus, inter D igitur atque C est differentia 33777; haec autem sit E sed erat commatis differentia 7153, haec sit F. Si igitur F, id quod est comma, quinquies multiplicem, fient mihi 35765, et sit hoc G. Si uero idem F quater multiplicem, fit K numerus qui est 28612. G igitur ab eo quod est E maius est, K minus. Sed G quinquies auctum est comma. K uero quater, F autem apotomes differentia est. Iure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata, maiorem uero quam quatuor; ex hoc igitur comprobatur tonum maiorem quidem esse quam sunt octo commata, minorem uero quam nouem. Nam si minus semitonium, maius quidem est quam tria commata, minus uero quam quatuor, apotome autem maior quidem est quam quatuor commata, minor uero quam quinque iunctum semitonium minus semitonio maiori, quod est apotome, erit omne maius quidem 8 commatibus, minus uero quam 9; sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Tonus igitur maior quidem est 8 commatibus, minor uero 9.

[PLLXIII:1243; text: Quinque toni, Tonus, Apotome, 33777, B, Differentis, maius, minor, A, 262144, B, 472392, C, 497664, D, 531441, G, 335765, K, 28612, Sex toni, Semitonium, 7153 Coma] [BOEDIM3 13GF]

[1244] XVI Superius dictorum per numeros demonstratio.

Sed quanquam per hanc rationem demonstratum est quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quo minus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur. Sit igitur A quidem 262144, B autem quinque ab eo distans tonis 472392. C uero diapason ad id quod est A continens symphoniam, scilicet in numeris 524288; D autem ab eo quod est A, sex totos differens tonos 531451. D igitur ab eo quod est C distat commate, sex toni scilicet ab diapason consonantia. Id autem sit E 7153. D autem ab eo quod est B tono integerrimo distat, 6 toni scilicet quinque tonis, id autem sit F 590049. Si igitur E nouies auxero, fiet mihi H 64377.

Sin uero octies, fient 57224, id sit G. Sed H quidem F numero comparatus superat, G uero superatur, et est F toni differentia. H autem nouies multiplicatum comma, G uero octies. Demonstratus est igitur tonus minor quidem 900 esse commatibus, eisdem uero octo commatibus maior.

[PLLXIII:1244; text: Sex toni, Quinque toni, E, 5449, Tonus, A, 262144, B, 472392, C, 524288, D, 531441, H, 64377, 57224, Diapason, 7153, Nouies auctum, Octies auctum] [BOEDIM3 13GF]

Ita his prmissis licet maius semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subiectos numeros tali ratione probabitur. Sit A numerus 497664, ab eo uero semitonium minus distans sit B numerus, qui iam [1245] supra quoque descriptus est 524288. Apotome uero distat ab eo quod est A. Is numerus, qui colligitur unitatibus 531441, et sit hoc C Quoniam igitur A B minus semitonium, A C maius, differentia eius quod est B ab eo quod est C perquirenda est. Ea est 70153, id sit D. Sed hic numerus dudum comma monstrabat; inter maius igitur semitonium ac minus comma differentiam facit.

[PLLXIII:1245; text: semitonium minus. comma, D, 7153, A, 497664, B, 524288, C, 531441, apotome]

[BOEDIM3 13GF]

Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus solo commate esse maiorem. Sit A numerus 472392. Ab hoc intendatur tonus 531441, et sit hoc D ab eo uero quod est A intendatur semitonium minus, quod est B, ac sit B 497664. Item ab eo quod est B semitonium aliud intendatur minus, quod est C, et sit C 524288. Quoniam igitur A D tonus est, A C uero duo continent minora semitonia: uideamus [1246] quae sit differentia inter C atque D numeros constituta. Est autem E, scilicet unitatem 7153.

Demonstratum est igitur tonum duobus semitoniis minoribus commate esse maiorem, [PLLXIII:1246; text: Semitonium minus, Coma, E, 7153, A, 472392, B, 497664, C, 52488, D, 531441, Tonus intensus] [BOEDIM3 13GF]

Sed quoniam omnia iam quae probanda promisimus propria ratione monstrata sunt, nunc quod superest musicae institutioni, regularis monochordi facienda est partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in posterioris commentarii disputationem censuimus transferendam.

LIBER QUARTUS primum Vocum differentias in quantitate consistere.

[1245] Etsi omnia quae demonstranda erant superioris libri tractatione digessimus, non poenitet tamen rursus eadem breuiter memoriae recolligenda praestare cum quadam diuersitate tractatus, ut his rursus ad memoriam redeuntibus ad regulae diuisionem, quo tota tendit intentio, ueniamus. Si foret rerum omnium quies, nullus auditum sonus feriret. Id autem fieret, quoniam cessantibus cunctis motibus nullae inter se res pulsum cierent: ut igitur sit uox, pulsu est opus. Sed u sit pulsus, motus necesse est antecedat. Ut ergo sit uox, motum esse necesse est. Sed omnis motus habet in se tum uelocitatem, tum etiam tarditatem. Si igitur sit tardus in pellendo motus, grauior redditur sonus. Nam ut tarditas proxima stationis est, ita grauitas continua taciturnitati. Velox uero motus acutam uoculam praestat. Praeterea, quae grauis est, intensione decrescit ad medium. Quae uero aucta, remissione decrescit ad medium. Unde fit ut omnis sonus quasi ex quibusdam partibus compositus esse uideatur. Omnis autem partium coniunctio quadam proportione committitur. Sonorum igitur coniunctio proportionibus constituta est. Proportiones autem principaliter in numeris considerantur, proportio uero simplex numerorum uel in multiplicibus, uel in superparticularibus, uel in superpartientibus inuenitur. Secundum uero multiplices proportiones, uel superparticulares, consonae uel [1246] dissonae uoces exaudiuntur.

Consonae quidem sunt quae simul pulsae suauem permixtum inter se coniungunt sonum; dissonae uero quae simul pulsae non reddunt suauem neque permixtum sonum. His igitur ita praedictis, de proportionibus pauca dicamus. II Diuersae de interuallis speculationes.

Si interuallum multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatione interuallum, multiplex est. Sit multiplex interuallum B C, et B multiplex eius quod est C, et fiat ut est C ad B, ita B ad D. Quoniam igitur B multiplex est, eius quod est C metitur C terminus, id quod est B, uel bis, uel tertio, uel deinceps, et est ut C ad B, ita B ad D. Metitur igitur B terminus id quod est D. Quocirca quia C terminus id quod est B metitur, metietur etiam D. Multiplex est igitur D eius quod est C, et est C D interuallum, effectum ex composito bis copulatoque sibimet et per binarium multiplicato B C interuallo. In numeris quoque idem probatur. Sit enim B ad C duplum, ut binarius ad unitatem, et fiat ut C ad B, ita B ad D. Erit igitur D quaternarius.

Multiplex est autem B ad C, id est binarius ad unitatem. Multiplex est D ad B. id est quaternarius ad binarium. Multiplex est igitur D quaternarius ad C unitatem. Est autem quadruplus quaternarius unitatis, et binario multiplicata medietas quod est interuallum B C [1247] [PLLXIII:1247,1; text: Multiplex internaltum, 1, 2, 4, C, B, D, Multiplex] [BOEDIM4 01GF]

Si interuallum binario multiplicatum, multiplex effecerit, interuallum ipsum quoque multiplex erit. Sit interuallum B C, et fiat ut C ad B, ita ad D, et D sit ad C multiplex, Dico quia B eius quod est C multiplex est. Quoniam enim D eius quod est D multiplex est, metietur C id quod est D, metietur et B. Ostensum est uero quoniam si sint termini proportionaliter constituti, cum primus fuerit ultimo comparatus, si primus ultimum fuerit mensus, metietur et medium. C igitur metietur id quod est B. Multiplex est igitur B eius quod est C Id rursus ex numeris, sit C unitas, D uero ex duplicata proportione, B C sit quaternarius, et est multiplex eius quod est C Est enim quadruplus. Quoniam igitur quadruplus ex duplicata B C proportione generatur, B C proportio dimidium eius erit, igitur B C proportio dupla est. Sed duplum multiplex est: erit igitur B C proportio multiplex.

[PLLXIII:1247,2; text: Multiplex internaltum, 1, 2, 4, C, B, D, Multiplex] [BOEDIM4 01GF]

Superparticularis interualli medius numerus, neque unus, neque plures proportionaliter interuenient. Sit enim B C proportio superparticularis, et in eadem proportione minimi sint D F et G.

Quoniam D F et G minimi sunt in eadem proportione, sunt eiusdem proportionis primi. Quo circa eos unitas metietur. Auferatur igitur G ad D F et relinquatur D, hic est igitur utrorumque mensura communis: haec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter F D atque G incidet numerus, qui sit ab F D quidem minor, maior uero ab G. Sola enim interest unitas, quanti uero in superparticularibus proportionibus proportionaliter inter eiusdem proportionis minimos intercident, tot etiam inter caeteros eiusdem proportionis incident. Sed nullus inter F D atque G minimos eiusdem proportionis interuenire potest. Nullus igitur inter B atque C proportionaliter cadet, et in numeris sit quaelibet [1248] superparticularis proportio, ut sesquialtera; hi uero sunt 10 et 15, in eadem uero proportione minimi 2 et 3, aufero de 3 binarium; fit reliqua unitas, eadem utrosque metitur- Nullas erit igitur inter binarium ternariumque numerus, qui sit binario maior, minor uero ternario.