De geometria (page 2)

336 continet decies quater; qui 14, et ipsi quinquies ducti efficiunt 70; quae est latitudo agri.

CAPUT LIV. Rhombi cathetum quaerere.

Rhombi vero, cujus fient singula latera pedum 10, et diagonum 12, cathetum sic quaeras. Diagonum dimidium, id est 6, in se multiplica, fiunt 36. His subductis de multiplicatione unius lateris in se, id est de 100, reliqui, id est 64, sumas latus, id est 8, et tot pedum rhombi cathetus. Quo per diagonum, id est 12, multiplicato fient 95; et tot pedum erit area.

CAPUT LV. Quomodo trigonus, tetragonus, hexagonus, etc., aequiateri suas areas impleant.

Omnis trigonus aequilaterus unum latus in se

multiplicat, ipsum latus ad eam multiplicatione addit, horum dimidiam sumit, et sic aream suam implet.

Omnis autem tetragonus aequa latera habens unum latus in se multiplicat, ea semel multiplicatione aream suam implet.

Pentagonus, qui aequis continetur lateribus, ter multiplicationem unius lateris in se expostulat, et ex illius summa multiplicationis semel aream diducere et reliqui medietatem sumere.

Hexagonus quater lateris multiplicationem in se expostulat, et ex summa multiplicationis bis aream diducere et reliqui sumere medietatem.

Heptagonus quinquies, aream ter.

Octogonus septies, aream quater.

Ennagonus septies, aream quinquies. Et caeteri ad hanc consequentiam.

CAPUT LVI. Cujuscunque rotundi vel circuli diametrum invenire et embadum.

Cujuscunque rotundi vel circuli si vis diametrum invenire et embadum, sic quaeras: ex ipso ambitu

22 unitate sublata, reliqui, qui superfuerit, sumas tertiam; quae fiet diametrum.

Embadum si vis invenire, vel tota circuitio per integrum diametrum ducenda est, et tunc quarta sumenda; vel dimidium circuitus per diametrum integrum, et tunc medietas, vel quarta pars circuitus per diametrum, et tunc totum. Quod idem esset, si per dimidium circuitus diametri duceretur dimidium.

CAPUT LVII. In hemicyclo aream invenire.

In hemicyclo, cujus basis sit pedum 28, diametrum 18, aream sic quaeras: per diametrum ducas basim; fient pedes 392. His undecies ductis fiunt pedes 312. Hujus sumpta decima quarta parte fiet 398; et tot pedum est hujus hemicycli area.

CAPUT LVIII. Sphaerae aream colligere.

Sphaerae, cujus est pedum longitudo 4, latitudo 3

sic colligatur area: longitudine et latitudine simul junctis fient 7, dimidium horum 3, 5. His in se 12 et . Hi undecies fient 434. SS. Horum sumpta parte decima quarta fient pedes 9, unciae 7 et semis uncia, id est septunx, et semuncia. Sphaerae igitur haec erit area. Regula autem haec vera est in omni sphaera sive rotunda, sive oblonga.

CAPUT LIX. In trigoni orthogonio circuli inscripti et singula latera tangentis diametrum invenire.

In trigonio orthogonio circuli inscripti et singula latera tangentis, ex numeris catheti et basis simul junctis hypotenusae numerum si subduxeris, invenies diametrum. Sed si vis dignoscere quantum embadi partibus ipsius trigoni circulum extracedentibus relinquitur, embado totius trigoni prius per supradictas regulas invento vigesimam primam subtrahas; ipsamque undecies multiplicatam circuli areae tribuas. Quod vero reliquum fuerit, id est 140, pro embado dictarum partium, scilicet extracedentium, teneas, ut subjecta descriptio docet; videlicet

tolle vicesimam primam, et multiplicata undecies, fit area circuli. Multiplica decies, fiunt excessiones trigoni.

CAPUT LX. Regula ad constituendas pyramides in omnibus figuris a multis angulis procedentibus et aequi lateris.

In omnibus figuris a multis angulis procedentibus, et aequa latera habentibus ad pyramides constituendas haec sufficiat regula: dictarum cujuscunque ngurarum area inventa bis ducatur, eique summae lateris unius numerus jungatur, et haec permistio per numerum unitate tantummodo latus unum praecedentem multiplicetur, et ejus summae sexta pars sumatur, quae fiet pyramis superficiei ante duplicatae.

Sed ut exemplum de singulis demus, prius trigonium,

oxygonium, et aequilaterum sub oculis ponamus latera singula habentem denario numero designata, cujus embadum sit 55; quod bis ducatur, et fient, 110, quibus uno latere juncto, id est 101 fient

120. Hi, per numerum unitate latus unum praecedentem, id est undecies ducti, fient 1320. Hujus sexta sumpta, id ex 220 jam dicti oxygonii fiet pyramis.

CAPUT LXI. Invenire pyramidem in tetragono, cujus sint singula latera pedes 10 et embadum 100.

Tetragonum vero, cujus sint singula latera pedes 10, et embadum 100, pyramis sic quaeratur, ut in trigonio superius descripto, videlicet ut embadum ejus, quod est 100 bis ducatur: fiunt 200 eique summae latus unum jungatur, fient 210. Hi undecies propter supradictam causam ducti fient 2310. Hujus sexta, id est 385, fiet pyramis descripti tetragoni.

CAPUT LXII. In pentagono aequilatero denarii numeri pyramidem indagare.

In pentagono quoque, qui aequalibus continetur lateribus, et denario numero supernotatis eamdem regulam ad pyramidem constituendam indiscrepanter invenies. Hujus namque pentagonii area, id est: 145, bis in se ducta fient 290, et unius lateris numero augmentato repraesentat 300, et his undecies ductis fiunt 33. Post cujus sextam, id est: 550 area jam

dicta suae accumulatur pyramidi. Hanc igitur regulam nemo in caeteris, id est: hexagonis, vel heptagonis, vel octogonis, vel ennagonis, vel decagonis, vel in omnibus a multiangulo procedentibus, et aequa latera habentibus dubitet habere consequentiam, et non tantum denario innotatis, sed quolibet numero.

CAPUT LXIII. In omni circulo, duobus circumscripto tetragonis, scire, quantum ab extracedente vincatur, etc.

In omni circulo, qui duobus circumscribitur tetragonis, uno interius, altero exterius, si vis comprehendere, quantum ab extracedente vincatur, et subscriptum vincat, diametrum ejus duc in se. Quod cum facis, cathetum suprascripti tetragonii per basim multiplicatum reddis, et ea multiplicatione aream ejus imples. Ex illius vero summae integritate ad circuli aream inveniendam tres 14 subducas. Quibus subductis, quod reliquum fuerit, si per superius dictam regulam, et dimidio circuitus multiplicante dimidium diametri, esse circuli invenies aream, ab extracedente tetragono ipsum scias circulum

tribus 14 ejusdem superari. Ab eodem vero embado suprascripti tetragoni si sumpseris medietatem, et quatuor decimas quartas ejusdem quantitatis, cujus fuerint superiores ab integritate sumptae addideris, jam dicti circuli aream implebis. Quod cum facis, ipsam medietatem sumptam ab integro embado majoris tetragonii aream scias fuisse minoris, eam quatuor decimis quartis a circulo superari, dum eadem area eisdem quatuordecimis ad embadum supplendum augmentatur. Quod ut manifestius appareat in descriptione, circulus cum tetragonis ponatur. Quid partibus majoris tetragoni circulum extracedentibus relinquitur? 42. Quid partibus circuli extracedentibus minorem tetragonum relinquitur?

56

CAPUT LXIV. Montis jugera invenire.

Montis si quaerantur jugera, qui in verticis circuitu habeat pedes 300, ascensu 800, in uno per circuitum 1000, jungantur duae circuitiones, id est: 1300. Ex his media sumatur, id est 650. Hi per ascensum 800 ducantur, fient DXX tot erunt pedes totius, id est: XXVIII, DCCX supradictus numerus dividatur. Quo facto in monte jugera invenientur 18 remanentibus pedibus 1600.

CAPUT LXV. Quomodo quadrata, et latera trigoni, tetragoni, pentagoni, etc., nascantur.

Omnis trigonus, qui ducitur octies, accepto uno facit quadratum, cujus quadrati latus dempto uno et dicta parte secunda facit trigoni latus.

Omnis tetragonus ductus decies sexies facit quadratum, cujus quadrati latus dicta parte quarta facit tetragoni latus.

Omnis pentagonus ductus vigesies quater et accepto uno facit quadratum, cujus quadrati latus accepto uno et dicta parte sexta facit pentagoni latus.

Omnis hexagonus ductus trigesies bis acceptis quatuor facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis

duobus et dicta parte octava facit hexagoni latus.

Omnis heptagonus quadragies ductus acceptis 9 facit quadratum, cujus quadrati latus acceptis tribus et dicta parte decima facit heptagoni latus.

Omnis octogonus quadragies octies ductus acceptis

49 facit quadratum, cujus latus acceptis 7 et dicta parte decima nona facit undecagoni latus.

Omnis duodecagonus ductus octuagies acceptis 64 facit quadratum, cujus latus acceptis 8 dicta parte vigesima facit duodecagoni latus.

Vide consequentiam, ut horum ductio octenario semper numero accrescat, augmentationes a pentagono numero impari naturaliter. Trigonus namque octies, tetragonus decies sexies, pentagonus vigesies quater, hexagonus trigesies bis ducitur, ut est ab octo octies, a sedecim sedecies, et sic subsequenter. Inter quas denominationes octo semper inesse nemo

dubitet differentiam, et sic in caeteris. A pentagono autem incipientes augmentationes omnium multiplicationum impari naturaliter numero discrepare manifestum est. Pentagoni enim multiplicatio uno tantummodo, hexagoni 4 heptagoni 9 augmentatur, octogoni 16. Inter primos namque, id est: 5 et 4 primus impar numerus differentiae locum obtinet, id est: tres inter quatuor, et novem: secundus, id est: quinarius inter novem, et sedecim: tertius, id est: septimus.

CAPUT LXVI. In oxygonio cathetum et embadum invenire.

In oxygonio, cujus sit latus minus ped. 13, majus 15, basis vero 14, cathetum et embadum sic quaeras. Latus minus in se ductum sit 169, et basis

in se fiunt 196, utrumque in unum fiunt 365. Deinde hypotenusa in se fient 225. His deductis de 365 fit reliquum 140. Hujus pars dimidia erit 70. Cujus decima quarta id est: 5 erit praecisura minor, in qua cadet cathetus. Hi in se fient 25. His ductis de 169 fit reliquum 164. Hujus latus, id est: 12 erit cathetus. Quo per basis dimidium multiplicato invenitur embadum.

In omni quadrato aequilatero scito diagonum ipsum habere in sui longitudine latus unum et lateris quadrati aream duplicare si vis, diagonum quadrati minoris spacio latus majoris.

CAPUT LXVII. Oves in campo sic collocare, ut quaevis certum spatium occupet.

In campo, qui habet in longitudine pedes 200 in latitudine 100 si sic oves mittere (velis) ut unaquaeque habeat in longo pedes 5, in lato 4, sic facito: duc 5, vicenos, vel quintam partem de 100, fient 40; ac deinde 100 divide per 4 quarta pars centenarii 25 sunt. Sive ergo 40 vigesies quinquies, sive 25 quadragies duxeris, implebis 1000, qui est numerus collocatarum ovium.

CAPUT LXVIII. Scire, quot agripennos claudat campus fastigiosus.

Campus fastigiosus, qui habet in unoquoque latere perticas 100, in unaquaque fronte 50, in medio 60, si vis scire quot agripennos claudat, facito ita: Junge frontem 50 et medium 60, fient 110. Tunc medietatem, id est 55 per longitudinem, id est 100 multiplica: fient 5500. Hae sunt perticae totius campi. Ut autem agripennos invenias, divide 5500 per perticas unius agripenni, id est per 144, secundum

quosdam, qui dicunt agripennum in unoquoque latere 12 perticas habere, et invenies trigesies octies 144 in 5500, remanentibus perticis 28 sic scias esse agripennorum 38 numerum.

Si fuerit autem divisio per 72 (dicunt enim quidam apripennum in longo habere 12, in lato vero 6, sexies autem 12 sunt 72), erunt 72 agripenni, remanentibus similiter supradictis perticis. Hanc autem si probare vis regulam, taliter proba. Semotum ducas longilaterum, et dicas: quinquagies 100 erunt 5000. Deinde curvaturarum embada perpendere si vis, per cathetum utriusque curvaturae, id est, 5 et 5, si dictae regulae in orthogoniis non immemor fueris, embadum invenies unius curvaturae 250, alterius vero aequaliter, qui simul sunt 500. Ecce numerus perticarum fastigiosi campi 5500.

CAPUT LIX. In campo quadrangulo agripennos cognoscere.

In campo quadrangulo, qui habet in uno latere perticas 30, in altero 32, in fronte una 32, in altera 34, sic cognoscas quot agripenni claudi debeant. Duae hujus campi longitudines faciunt 62. Duc mediam de 62, fiunt 31. Duae quoque latitudines ejusdem campi junctae, faciunt 66. Duc etiam mediam de 66, fiunt 33. Has duas medietates invicem confer, fient 1023. Ecce numerus perticarum totius campi. Hunc divides per numerum unius agripenni, id est per 144, et invenies 7 esse agripennos in illo campo, remanentibus perticis 15.

CAPUT LXX. In campo triangulo agripennos invenire.

In campo triangulo, qui habet in uno latere perticas 30, in alio totidem, in fronte vero 18, quot agripenni concludi debeant, sic accipito. Junge simul duas longitudines, fient 60. Et duc mediam de 60, fient 30. Et quia in fronte 18 habet perticas, duc mediam de 18, fient 9. Duc novies 30, fient 270. In hoc igitur numero agripennus unus est et remanentibus

54 perticis. Scias autem nos ubique intendere, agripennum esse circumquaque 12 perticis.

CAPUT LXXI. In campo rotundo numerum agripennorum nosse.

In campo rotundo, qui habeat in gyro perticas 418, sic numerum agripennorum comprehendere potes. De 418, vigesima secunda parte sublata, id est 19, reliquorum diametrum, id est tertiam sumas, id est 133. Deinde hujus tertiae dimidiam, id est 66 S

per medietatem totius circuitus, id est 209 ducas, et totam indubitanter implebis aream 14898 et S perticis. Quibus per 144 partitis, erunt agripenni

96 S remanentibus perticis duabus et dimidia, sive agripenni 96 S 100, et nihil remanet.

CAPUT LXXII. In civitate quadrangula ponere domos certae longitudinis et latitudinis.

In civitate quadrangula, quae habet in uno latere pedes 1100, in altero 1000, et in fronte una pedes 600, in altera totidem, si vis ponere domos ita ut cujusque longitudo sit pedum 40, latitudo vero 30, sic facito. Junge duas hujus civitatis longitudines: junctae fient 2100. Similiter si fuerint duae latitudines junctae, fient 1200. Ergo duc mediam de 1200, fiunt 600. Rursus duc mediam de 2100, fiunt 1050. Et quia unaquaeque domus habet in longo pedes 40, et in lato pedes 30, duc quadragesimam partem de

1050, fiunt 26, remanentibus 10; atque iterum assume trigesimam de 600, fiunt 20. Viginti ergo vigesies sexies ducti fiunt 520. Tot domus capiendae sunt.

CAPUT LXXIII. In civitate triangula de eadem re.

In civitate triangula, quae habet in uno latere pedes 100, in altero 100, in fronte vero 90, si vis scire quot domus capiat, ita ut quaeque domus

habeat in longitudine pedes 20, in latitudine 10, ita facito. Duc mediam de lateribus junctis, id est de 200, fiunt 100. De fronte similiter, id est de 90, 45 fiunt. Et quia longitudo uniuscujusque domus habet pedes 20, et latitudo 10, duc vigesimam de 100, fiunt 5, et decimam de 40, fient 4. Duc igitur quinquies quatuor, fient 20; tot domus capiet hujusmodi civitas.

CAPUT LXXIV. In civitate rotunda domos certae longitudinis et latitudinis locare.

In civitate rotunda, cujus ambitus est 8008 pedum, domos locare si vis, quarum longitudo 30 sit pedum, latitudo vero 20, sic facias: vigesimam secundam partem, id est 364 auferas, reliquorum vero 7644 tertiam sumas, id est 2548; hos pro diametro habeto. Hujus igitur diametri medietas, id est 1274, si per medietatem ambitus, id est 4000 et 4 ducatur, impletur area tota pedibus quinquies millies

ICMXCVI qui per 600, id est per vigesies 30 divisi faciunt domos 8501, remanentibus 496 pedibus.

CAPUT LXXV. Basilicae pavimentum quot laterculi debeant supplere.

Basilicae, cujus longitudo pedum sit 240, latitudo 120, pavimentum quot laterculi supplere debeant,

sic accipe (laterculus autem in longitudine 23 habeat uncias, in latitudine 12). Longitudo per latitudinem multiplicetur, id est 120 per 240, fiunt 28800. Hos per duodecies duodecim, id est per 164 (tot enim uncias habet pes unus multiplicans) invenies uncias quater MMCXLVII. CC. Quas si diviseris per duodecies 23, id est per uncias unius laterculi, quae sunt 276, fient 15026, remanentibus 24 unciis. Tot igitur laterculi dictae basilicae pavimentum contegere possunt.

CAPUT LXXVI. In lacuna, canna, etc., viam certa latitudine ducere.

In lacuna una, vel canna, vel cavana [ Glossa vet., cavana, id est cellarium], quae in longitudine pedes habet 100, in latitudine 64, cuppas longas pedibus 7,

latas 4, si sic locare velis, ut pervium pedibus 4 latus in longum ducatur, sic facito. Vide quoties 7 in 100, et 4 in 64 habeantur: invenies quaterdecies

4 in 64. Sed ex his 4 ad pervium deputantur. Quia ergo in 60 quindecies 4 sunt, et in 100 quaterdecies 7, fiunt 210. Tot cuppas igitur in cavana dicta locare poteris.

CAPUT LXXVII. In circulo embadum invenire.

In circulo, cujus diametrum sit pedum 14, embadum sic quaeras. Duc diametrum in se, fiunt 196. Ducundecies, fiunt 2156, sume partem decimam quartam, fiunt 154; et tot pedum erit embadum.

CAPUT LXXVIII. Ex diametro circulum indagare.

Ex diametro circulum sic quaeras: diametrum, exempli gratia, 14 vigesies bis, fient 308, sumas partem septimam, fit 44; quod est circulus.

CAPUT LXXIX. In hemicyclo embadum invenire.

In hemicyclo, cujus sit basis pedum 10, linea in centrum 5, embadum sic quaeras: duc in se diametrum, fit 100. Hoc undecies multiplica, fit 1100. Hujus vigesimam octavam sume, erit in pedibus 39, duabus septimis remanentibus, id est 8; et haec est area. Idem esset, si basim per lineam quae ducitur

in centrum multiplicatam undecies duceres, ac exinde decimam quartam acciperes. Quod verum est in omni integre dimidiata sphaera.

In circulo, cujus sit area pedum 616, diametrum sic quaeras. Quater decies ducatur, fient area 8624. Hinc pars undecima fit 784. Hujus numeri latus fit 28; et hoc erit diametrum.

CAPUT LXXX. In orthogonio, cujus cathetus sit pari numero notatus, basim et hypotenusam invenire.

In orthogonio, cujus cathetus sit pari numero adnotatus, velut 8, sic basim et hypotenusam quaeras. Catheti sumpta pars dimidia, id est 4, in se multiplicentur, fient 16, et in his uno dempto remanet basis, cui duobus redditis fit hypotenusa.

CAPUT LXXXI. In monte strabo jugera invenire.

In monte strabo [ Glossa vet., qui in altero latere

praeceps, in altero extentam declivitatem habet] qui habet ad pedem in circuitu pedes 1400, in acumine 200, in altitudine dexterae partis 850, in laevae vero 750, sic quaeras jugera. Superioris circuitionis cum inferiore junctae sume dimidiam, quae fit in 800 pedibus. Has medietates invicem multiplica, et fiunt

640. In his vigesies bis reperies unius jugeri pedes

28800, remanentibus 6400.

CAPUT LXXXII. Columnam facere, circulum incrassare, altitudinem rerum invenire.

Ad columnam faciendam longitudinis, septimam in inferiori circuitu des, octavam superiori.

Circulum incrassare si vis, diametrum ejus cubices, ipsam cubicationem ejus undecies ducas, et ex ea summa vigesimam primam accipias, et haec erit sphaerae crassitudo.

Est etiam ratio alia altitudinem videndi, quae est hujusmodi. Orthogonium, cujus cathetus 6 vel trium pedum sit, basis 8 vel 4, hypotenusa 10 vel 5, erigas ita ut terrae basis adjaceat: cathetus adversus illam rem, cujus altitudo perpendi debet, erectus habeatur; hypotenusa vero a summo catheti ad terram,

in summum basis deducatur. Sic directo illuc, ubi basis et hypotenusa junguntur, oculum apponas ad terram prostratus. Deinde huc illucque tandiu detrahas, oculo tamen semper apposito, donec tibi summum catheti illius rei, cujus altitudinem quaeris, summitati adaequari videatur. Quo facto ponas signum, ubi oculum tenebat, et ex eo signo metire spatium usque ad pedem rei illius. Huic spatio per 4 partito quartam unam detrahas; caeteras 3 pro altitudine illius rei, de qua quaerebas, habeto. Haec altitudinem videndi certissima ratio est, si tamen area, per quam cathetus erectus detrahitur non montuosa, non vallosa, sed plana fuerit.

CAPUT LXXXIII. Putei amphoras nosse.

Puteus, cujus sit diametrum 7, altitudo 40 pedum, tot amphoras capiet quot processerint pedes ex hujusmodi diametri area, altitudineque in invicem multiplicata, si pede uno longa et alta fuerit amphora.

CAPUT LXXXIV. Cuppa quod pedum solidorum sit, quotque amphoras capiat, invenire.

Cuppa, cujus latitudo ima pedum sit 3, summa 2, media 5, altitudo vero 12, quot pedum sit solidorum, ac per hoc quot amphoras capiat, sic quaeras: latitudine media in se ducta, ac summa deinde excreta triplicata, diametrisque summo et imo in se singulatim ductis, omne in unum fit 88.

His undecies ductis ac summae exinde notae quarta decima sumpta fiunt 69 et duae quartae decimae, id est una septima. His per tertiam altitudinis, id est per quaternarium multiplicatis venit numerus amphorarum 276 et 8 quartae decimae, id est 4 septimae.

Si fuerit cuppa, cujus ima latitudo sit pedum 5, summa 3, altitudo 9, quot amphoras capiat sic quaeras: ima in se fit 25, summa quoque in se fit 9, utriusque in invicem fiunt 15. His tribus summis simul junctis fiunt 49. His undecies ductis fiunt 539. Horum pars decima quarta fit 38 S. Haec per altitudinis tertiam ducta fiunt 115 S. Tot erunt amphorae vel pedes solidi.

His tribus regulis, de puteo scilicet et de duabus cuppis diligenter inspectis, pene nullus erit puteus, vel cuppa, vel tonna aliqua, quin ejus possit indagari profunditas, nisi mira in eis fuerit diversitas.

CAPUT LXXXV. Ex adunatione omnium numerorum, secundum ordinem naturalem prolatorum, scire quanta profunditas crescat, etc.

Ex adunatione omnium numerorum secundum ordinem naturalem prolatorum si vis scire quanta profunditas crescat, haec tibi regula sufficiat, si tantum coadunatio illa ab unitate incipiat, et sic per regulas et per ordinem continuatim procedat. Si par numerus coacervabitur, per medium ultimi

sequens multiplicabitur, v. g., 1 2 3 4 5 6, vel scire quot sint, per senarii medietatem subsequens, id est septenarius multiplicetur, et fient 21; quam summam similiter reddet supradicta coadunatio. Si autem impar numerus numerorum aggregabitur, per majorem sui partem ultimus aggregatus multiplicabitur, ut est 1 2 3 4 5 6 7. Multiplica septenarium per maximam sui partem, id est per 4. Quater

7 fiunt 28, qui omnes supra scriptos terminos claudunt. Si solummodo par, ut est 2 4 6 8, ducatur medietas ultimi aggregati per illum, qui sequitur ipsam, et si impar, ut 1 3 5 7 9, major pars ultimi in se ducatur.

CAPUT LXXXVI. Circuli inauraturam invenire.

Circuli inauraturam sic quaeras: diametrum circuli in se ductum vigesies bis multiplica. Effectae summae septimam accipias, et haec circuli erit inauratura; quod idem esset, si per diametrum circulum multiplicares.

CAPUT LXXXVII. Columnae inaequalis pedes invenire

Si fuerit columna inaequalis, cujus ima latitudo pedum sit 13, summa 5, altitudo 30, ejus pedes sic quaeras. Ima latitudine in se multiplicata, ac summa in se, ac utraque invicem, hisque tribus summis simul compositis fiunt pedes 259. His undecies

ductis, ac exinde effectae summae quartadecima detracta venient 203 S., scilicet pedes arearum summae et mediae ac infimae. His deinde per tertiam altitudinis multiplicatis erunt solidi penes 2035.

CAPUT LXXXVIII. Hexagonum facere.

Si volueris hexagonum facere, cujus latus habeat pedes 10, facies 10 pedum, lineam et in extremitate ejus circinum figas, et circulum facias; et qualis est linea a medio centro circuli usque ad extremitatem ejusdem, similes sex per extremitates circuli ducas, et hexagonum habebis.

CAPUT LXXXIX. Intra quadratum aequilaterum octogonum designare.

Si volueris intra quadratum aequilaterum octogonum designare, diagonum medium sumas. Hic circinum spatiatum [ Glossa vet., extentum] in angulo quadrati infigas, et in utroque latere punctum, quousque circulus pervenerit, facias, ac sic per singulos angulos perque latera percurras. Deinde a nuncto in punctum angulis quadrati extraclausis semper lineam ducas, et octogonum habebis.

CAPUT XC. Structurae circa puteum positae pedes invenire.

Si datus fuerit puteus, cujus diametrum sit pedum

5, et circa eum fuerit structura alta pedum 20, lata pedum 2, ejus structurae pedes sic quaeras: structurae latitudinem ducas in se, fiunt 4. His adjicias putei diametrum, erunt 9. Hi in se fient 81. Ab his diametro putei ducto in se dempto remanent

56. His undecies ductis, et a summa, quae inde excreverit, quarta decima sumpta erunt pedes areae 44. Hi per altitudinem, id est vigesies ducti fiunt 880. Tot erunt pedes areae 44. Hi per altitudinem, id est vigesies ducti fiunt 880. Tot erunt pedes structurae.

CAPUT XCI. Prismatis pedes invenire in orthogonio.

Si data prisma fuerit orthogonii, cujus sit cathetus

19, basis 12, altitudo 20, ejus pedes sic quaeras: per cathetum et basim aream prius orthogonii reperias, quae erit 54. Hanc per altitudinem, id est 20 ducas, fient 1080; tot erunt pedes prismae.

Quam inaurare si vis, circuitum ipsius orthogonii, id est 36 per altitudinem, id est 20 ducas et fient 720; qui erunt pedes inauraturae.

CAPUT XCII. In omni tetragono diagonium invenire, etc.

In omni tetragono sive aequilatero, sive longilatero diagonium sic invenies: latitudinem et longitudinem sigillatim in se multiplices, summarum crescentium in unum latus quaeras. Hoc pro diagono habeto.

Trigoni orthogonii per cathetum sic invenis basim: cathetus ter ducatur, nona pars auferatur, reliqui dimidium sumatur, erit basis. Basi ablatum restituatur, erit hypotenusa. Vel ita: catheti dimidium sumatur, quod ter ducatur, remanet basis. Vel dimidium catheti sexies ducatur, nona tollatur, reliqui dimidium erit basis. Basi reddita nona erit hypotenusa.

CAPUT XCIII. Quot stadia in terris respondeant Zodiaci partibus, etc.

Erat Osthenes philosophus, idemque geometra subtilissimus, magnitudinem terreni orbis noscero

volens, tali hujus artis dicitur usus argumento. Nam a mensoribus regis Ptolomaei, qui totam Aegyptum tenebat, adjutus a Siene usque ad Meroen stadiorum numerum invenit. Dispositis namque per intervalla locorum a septentrione meridiem versus horoscopicis vasis simili dimensione et gnomonum aequa longitudine formatis totidem doctos gnomonicae supputationis homines, quot vasa fuerant, singulis quibusque in locis imposuit, atque una die omnes umbram meridiam temporis observare fecit, notare etiam unumquemque sui gnominis umbram, quantae fuisset longitudinis. Atque ita comperit, quod ultra 700 stadia ad unius longitudinis gnomonem umbra non respondit, atque hac tali probatione conclusit quod partes 360, quibus

omnis zodiaci circuli tractus dividitur, ad terras usque perveniant, et pars, quae ibi incomperta et inaestimabilis mensurae est, in terris non amplius quam septingentorum, aut paulo minus, stadiorum mensuram obtineat. Compertaque in terris unius partis, quae ad zodiacum pertinet, et magnitudinem hanc ter centis sexagies complicando, circulum mensuramque terrae incunctanter quot millibus stadiorum ambiretur absolvit. Nam 25000 stadiorum circuitum universi terreni orbis esse pronuntiavit. Quae summa, si in 360 partes aequaliter dividatur, liquebit, quod stadiorum unaquaeque portio in terris esse debeat, quae in coelesti circulo ab ullo nullam humanae conjecturae dimensionem admittit.

Optimum est ergo umbram horae sextae deprehendere,

et ab ea limitem inchoare, ut sint semper meridiano tempore ordinati, sequitur, ut orientis occidentisque linea huic normaliter conveniat. Scribamus primum circulum in terra loco plano, et in puncto ejus sciotherum ponemus, cujus umbra et intra circulum aliquando exeat, et aliquando intret. Certum est enim tam orientis quam occidentis umbras deprehendere. Attendemus igitur, quemadmodum a primo solis ortu umbra cohibeatur. Deinde cum ad circuli lineam pervenerit, notabimus eum

circumferentiae locum. Similiter exeuntem notabimus. Notatis ergo duabus circuli partibus intrantis umbrae et exeuntis loco rectam lineam a signo ad signum circumferentiae ducemus, et medium notabimus, per quem locum recta linea exire debet a puncto circuli; per quam lineam cardinem dirigemus, et ab ea normaliter in rectum decumanos emittemus, et ex quacunque ejus lineae parte normaliter invenerimus, decumanum recte constituamus.

CAPUT XCIV. Alia ratio meridianum describendi.

Est et alia ratio, qua tribus umbris comprehensis

meridianum describemus. In loco plano gnomonem constituemus a b, et umbras ejus tres enotabimus c b e. Has umbras normaliter comprehendemus, qua latitudine altera ab altera distent. Si autem meridiem constituamus, prima umbra erit longissima. Si post meridiem, novissima. Has deinde umbras proportione ad multiplicationem in tabula describemus, et sic in terram servabimus. Stat igitur gnomon a b planitie b. Tollamus maximam umbram in planitie, notemus signo d. Sic et terram signo e, ut sint in vasi proportione longitudinis sine b e d c e, numeramus hypotenusas ex c, in a, et ex d in a; nunc puncto a et intervallo e circulum scribimus.