De geometria

INCIPIT PROLOGUS IN GEOMETRIAM GERBERTI.

In quatuor matheseos ordine disciplinarum tertium post arithmeticae musicaeque tractatum geometrica speculatio naturaliter obtinet locum. Cujus videlicet ordinis ratio, quia in ipsis arithmeticae institutionis principiis a doctissimo et disertissimo liberalium artium tractatore Boetio satis luculenta datur, a nostris melius fatuitate, utpote nota, reticetur.

Haec vero disciplina, ut simplicibus loquar, a terrae mensura Graecum nomen accepit: γῆ enim, Graeca lingua, terra, μέτρον mensura dicitur.

Hujus inventores primi traduntur Aegyptii, qui propter Nili fluminis eluvionem, agrorum limites inundatione sui saepius confundentis, talis solertiam artis excogitavere, cujus exercitatione sui quisque

quantitatem agelli facilius a continenti posset secernere. Sed quamvis ad dimensionis terrae utilitatem primitus inventa vocabulumque inde sortita sit, a posterioribus tamen, rationem ejus diligentius investigantibus, ad alia quoque nonnulla, quae vel cognitu utilia, vel exercitio jocunda videbantur, speculatio ejus accommodata est. Cui etiam talem quidam diffinitionis terminum aptavere: Geometria est disciplina magnitudinis et formarum, quae secundum magnitudinem contemplantur. Potest quoque et ita, ni fallor, aliquo modo diffiniri: Geometria est magnitudinum rationabilium propositarum ratione vestigata probabilis dimensionis scientia.

Utilitas vero disciplinae hujus omnibus sapientiae

amatoribus quam maxima est. Nam et ad animi ingeniique vires exercitandas intuitumque exacuendum subtilissima, et ad plurima certa veraque ratione vestiganda, quae multis miranda et inopinabilia videntur, jocundissima, atque ad miram naturae vim, Creatoris omnia in numero et mensura et pondere disponentis potentiam et ineffabilem sapientiam contemplandam, admirandam, et laudandam, subtilium speculationum plenissima est. De cujus ratione et regulis aliqua pro ingenioli nostri facultatula undecunque collecturi, ut ordinatius ingredientis animum ad subtiliora deducamus, ab ipsius artis elementis, quem terminum dicunt, exordium sumamus.

Explicit Prologus

INCIPIT GEOMETRIA GERBERTI.

CAPUT PRIMUM. Quid sit corpus solidum? Quid linea, punctum, superficies? Quid pes solidus, constratus, etc.?

Artis hujus initia et quasi elementa videntur punctum, linea, superficies, atque soliditas. De quibus cum saepe Boetius aliique tam saecularis quam divinae tractatores litteraturae in plurimis scriptorum suorum locis satis superque disputent, tum beatus et eloquentissimus Ecclesiae doctor, Augustinus, in nonnullis libris suis, et praecipue in eo qui De quantitate animae inscribitur, copiose disserit: Ubi etiam tantis oculum corporearum rerum imaginationibus obtusum per talium artium exercitia ad spiritalia veraque utcunque contemplanda non modicum purgari et exacui ostendit. Sed prudentibus,

si qui hoc forte vel aspicere dignati fuerint, taediosum non sit, si a solido corpore, quod communi hominum sensui notius est, praepostero incipiens ordine simplicioribus, quid haec singula sint paucis tentabo monstrare.

Solidum corpus est quidquid tribus intervallis seu dimensionibus porrigitur, id est, quidquid longitudine, latitudine altitudineque distenditur, sicuti est quidquid visu tactuve comprehendi potest, ut haec praesens, in qua scribo, tabella. Hoc autem Graece stereon dicitur. Hujus autem termini seu super obducta planities superficiei apud nos nomen accepit, Graece autem epiphaniae. Quae ita intellectu capienda est, ut nihil sibi altitudinis, id est, crassitudinis usurpet, sed tantum longitudine latitudineque contenta

se dilatat. Nam si his altitudinem adjicis, jam non superficies, sed corporis pars, atque ideo solidum corpus erit.

Superficiei vero extremitas sive terminus linea,

seu Graece gramma est. Quam ita mente percipias oportet, ut latitudinis expers solius longitudinis se rigore producat, ne latitudine addita jam non linea, sed superficies sit. Lineae autem principium et extremitatem punctum determinat, quod ita se intelligibili ratione coarctat, ut lineae tantummodo finis existens nullam in eo partis aut alicujus omnino magnitudinis quantitatem obtineat. Itaque ut singula juxta praedictam rationem diffiniam: Punctum est parvissimum et indivisibile signum. Quod Graece simion dicitur. Hoc vice unitatis, quae est numerorum omnium principium, nec tamen ipsa numerus, omnium origo est mensurarum; ipsum tamen nullius mensurae aut magnitudinis capax. Linea est longitudo sine latitudine, haecque solum in longitudine

sui sectionem admittit. Superficies est latitudo sine altitudine. Haec et superficies in rerum natura subsistere nequeunt praeter corpora, mente tamen intelliguntur incorporalia, et quasi praeter corpora esse suum habentia. Soliditas vero supra diffinita in solidis manens corporibus, sensibus etiam comprehendi valet, eaque omnifariis et in longitudine ac latitudine, nec non etiam et altitudine sectionibus subjacet. Atque haec interim simplicioribus de praefatis rebus ratiuncula data sufficiet. Doctiores siquidem de talibus sufficientius alias instructos diutius in his detineri non oportet.

Itaque per praedictas tres solidi corporis dimensiones quaecunque rationabiliter metienda proponuntur, geometricali theoremate ducatus rationis mensurantur.

Aut enim longitudo, aut latitudo, aut certe crassitudo, quae consueto nomine altitudo a geometricis vocatur, metiendo indagatur. Longitudo, ut in lineis aliquam figurae agrive aream includentibus,

ut in itinerum spatiis, ut in arborum aedificiorumque sublimitatibus, ut in fluminum, curtium aliarumve rerum lineari in directum proposita usque ad certum terminum mensuratione, quae videlicet linearis mensura vocatur. Latitudo vero, ut in areae ipsius vel planitiei, quae linearum certis includitur terminis, quantitate constrata vel plana dicitur mensura, et Graece epipeda dicitur. Altitudo autem ut crassitudine vel spissitudine quarumdam certae mensurae structurarum; seu capacitate diffinitae quantitatis vasorum: quae mensura solida vocatur. Atque hinc est, quod mensuras quasdam utpote pedes nunc lineares, nunc constratos, nunc vero solidos vocitare solemus.

Linearis pes, per quem lineas vel longitudinem

aliquam metimur nihil interim de altitudine et latitudine curantes, et est talis.--· Constratus pes sive planus, per quem superficies sive planities, seu area lineis circumsepta mensurata, et est in longitudine et latitudine aequalis et quadratus, sed altitudine carens ita . Solidus autem est longitudine, latitudine, altitudine aequaliter distans et quadratus, per quem solida metiuntur corpora, formam videlicet cubi seu tesserae retinens, qui in planitiei quidem aequalitate non potest aperte figurari, sed vel mente intelligi, vel cera, vel ligno, aliave ejusmodi materia facile valet formari, quamvis Calcidius Timeum Platonis exponens solidum in plano corpus figuratum utrumque descripserit.

Aliae etiam, de quibus paulo post dicemus, mensurae

trifaria, ut de pede jam dictum est, distinguentur ratione. Aut enim et ipsae lineares, aut constratae, aut solidae intelliguntur. Sciendum autem magnopere est quod per lineares mensuras constratae investigandae sunt. Si enim lincares in se vel inter se multiplicentur, constratae nascentur. Et si constratas itidem per lineares multiplices, solidas invenies.

Quod ut facile clarescat, exempli causa linea vice pedis linearis in longum ducatur, eaque in quatuor lineares palmos hoc modo secetur Hic ergo linearis pes si latitudine ejusdem quantitatis addita in quadrum aequaliter describatur, constratus hujusmodi informatur:

Si ergo quatuor lineares palmos longitudinis per totidem, qui in latitudine notantur, hoc est, quatuor per quaternos multiplices, in constrati nimirum pedis planitie, sedecim palmos constratos hoc modo invenies:

Quod si item eumdem pedem solidum efficiens parem longitudini latitudinique ei altitudinem superimponis, hicque per quatuor lineares super adjectae altitudinis palmos sedecim planitiei constratos multiplices, in solido nimirum pede, sexaginta quatuor solidos palmos reperies, quod a quolibet poterit facilius intelligi quam in palmo describi. Sic itaque

linearis pes lineares palmos quatuor, constratus sedecim constratos, solitus sexaginta quatuor solidos palmos recipit, eademque in caeteris mensuris ratio multiplicationis juxta cujusque quantitatem observetur.

CAPUT II. De vocabulis et quantitate mensurarum ab antiquis inventarum.

Mensurarum autem vocabula ab antiquis inventa, et in usu posterorum hactenus reservata, ferme haec sunt: digitus, uncia, palmus, sextaque; quae et dodrans, pes, laterculus, cubitus, gradus, passus, pertica; quae et decempeda, actus minimus, clima, porca, actus quadratus; qui et agripennus, seu aripennus, jugerum, seu juger, vel jugus, centuria, stadium, milliarium, leuca. Quorum quantitas singulorum

primum juxta lineares mensuras videatur, ut postmodum ad constratas solidasque commodius traducatur.

Digitus est minima qua in agris metiendis antiqui utebantur mensura, continens hordei quatuor grana, in longitudinem scilicet continuatim disposita. Non autem quorumcunque hominum digitos, qui utique multum dispares sunt, passim accipias oportet, sed spatium quod latitudo digiti alicujus mediocris illius temporis hominum transversim occupabat, pro longitudine certa geometricalis digiti uniformiter teneas. Idemque de palmo, pede, cubito, et caeteris ejusmodi faciendum est.

Uncia, juxta antiquiores tres, digitos recipit. Sed

quia cujuslibet rei duodecima pars uncia dicitur, posteriores unum tantum digitum et tertiam digiti partem unciae deputavere, ut pedis, qui sedecim digitis constat, pars duodecima possit existere. Nam as et triens 16 sunt.

Palmus autem, quarta pars pedis, quatuor digitos recipit, uncias autem tres. Dictus autem palmus a palma, id est, a manu extensa, quae quatuor digitis constat.

Sexta, quae et dodrans, habet digitos duodecim, uncias novem, palmos tres. Dictus autem dodrans, quod ab integro pede dempto quadrante constet.

Pes continet digitos sedecim, uncias duodecim, palmos quatuor, sextam unam, tertiam ejus; cujus mensura in quibuslibet metiendis usitatior est.

Laterculus non in sola longitudine, ut superiores, accipi potest, sed ei latitudo etiam est, ut constratus fiat, habetque in latitudine pedem unum, in longitudine quoque pedem unum et deuncem ejus, in lato uncias duodecim, in longo viginti tres; hicque in tota area sua habet uncias constratas 276. Dictus autem laterculus diminutive a latere, id est tegula, quia hujus mensurae ad tegenda seu consternenda aedificia fieri solebat.

Cubitus recipit pedem unum et semissem, sextas duas, palmos sex, uncias 18, digitos 24. Hic etiam in quibusdam locis pro statura hominum recipitur.

Gradus recipit cubitos 2, pedes 3, sextas 4, palmos 12, uncias 36, digitos 48. Dictus, quod gradientes

homines saepius tantum spatii alternatim metiantur.

Passus continet gradum unum et cubitos 3 et ( Eadem Glossa, trientem) pedes quinque, sextas 6 et , palmos 20, uncias 60, digitos

80. Hujus in itinerum spatiis maximus usus est metiendis. Dictus passus a patendo videtur, pro eo quod patentibus intercapedine quinque pedum cruribus figuratur: unde et passi crines dicuntur.

Pertica, quae et decempeda, continet passus 2, gradus

3 et trientem, cubitos 6 et bissem, pedes 10, sextas 13 et , palmos 40, uncias 120, digitos 160. Dicta pertica quasi portica a portando scilicet. Manu namque mensoris ad agros dimetiendos virga mensuralis

portatur.

Actus minimus in quantitate tantum superficiei agrorum consideratur, habetque in lato pedes 4, in longo 140. Qui invicem ducti, id est, quater 140, in tota agri superficie constratos pedes 560 ostendunt. Ductus autem ab agendo rurali opere videtur.

Clima, eodem modo agri quantitatem designans, habet et in longo et in lato pedes 60. Qui invicem ducti 1600 pedes constratos complent.

Porta, nihilhominus agri mensuram indicans, in longitudine 80, in latitudine 36 pedes habet. Qui invicem ducti 2400 indicant constratos.

Actus quadratus, qui et agripennus seu aripennus dicitur, quo agri modum discriminamus, per singula quatuor latera perticas 12, id est, pedes 120 recipit.

Qui in se ducti 144 perticas constratas, pedesque ejusmodi constratos 14400 in agripenno demonstrant.

Jugerum seu juger, seu jugus, quod junctis duobus aripennis confit, indeque ab jungendo nomen accipit, quantitatem itidem agri . . . niens, habet in longitudine perticas 24, id est pedes 240; in latitudine perticas 12, id est 120 pedes. Qua latitudine per longitudinem ducta in superficie jugeri perticas constratas 288, pedes vero 28800 invenies. Hujus quartam partem tabulam appellant, continentem perticas constratas 72.

Centuria est ager 200 continens jugera, dicta, quod apud antiquiores centenis tantum jugeribus

computabatur. Hae tamen, quae agrorum quantitatem designant, mensurae, magis in quantitate areae planitieque lineis circumscripta, quam ipsarum, quibus circumscribitur, linearum longitudine, considerandae sunt. Cujus enim longitudinis lineae aream includant, nihil interest, si tamen ipsa propriam quantitatem area non amittat, ut in jugero. Utrum enim in longo

24 perticas, in lato vero 12, ut supra dictum est, habeat, an in longo 18, in lato 16; an in longo 32, in lato vero 9; an alio atque alio modo longitudo latitudoque permutentur, si tamen mutua multiplicatione

288 constratas perticas efficere possunt, jugerum nihilominus implebunt. Idemque in agripenno et caeteris agrorum mensuris sentiendum est.

Stadium autem, quod magis in itinerum dimensionibus usuale est, continet passus 125, gradus 208 et trientem, cubitos 416 et , pedes 625, sextas

933 et trientem, palmos 2500, uncias 7500, digitos

1000. Dictum autem stadium dicitur a stando, seu quod juvenes currentes emenso hoc spatio ad metam starent; seu quod Hercules primus hoc spatium uno anhelitu transcursum stando signaverat.

Milliarium habet stadia 8, passus mille (unde et nomen accepit), gradus 1600, 61 , cubitos 3300, 33 , pedes 5000, sextas 6600, 66 , palmos 20000, uncias 60000, digitos 80000. Hoc permissu priscae legis iter Sabbati fuit.

Leuca recipit milliarium unum et dimidium, stadia

12, passus mille quingentos, gradus 2500, cubitos 5000, pedes 7500, sextas 10000, palmos 30000, uncias 90000, digitos 120000. Dicta leuca a levando, id est, relevando post tantum iter corpore. Unde et apud Teutonicos Rasta a requiescendo appellatur.

CAPUT III. De descriptione quantitatis earumdem mensurarum trifaria.

Sed quia haec de linearibus, id est solam longitudinem designantibus mensuris utcunque dicta sunt, nunc quoque earumdem quantitatem, si constratae aut solidae fiant, per passus, pedes et digitos in subjecta, si placet, paginula quam brevissime subnotemus, eas videlicet intermittentes quas, quantitates

tantum superficiei agrorum, demonstrare praediximus.

Leuca habet lineares passus 1500, constratos his

M. I. CC. L, solidos ter MMM, et ter CMM, et LXX, es

MM, et Ves II.

Milliarium habet lineares passus mille, constrato MI, solidos MM, millia MM millia.

Pertica habet lineares passus duos, constratos quatuor, solidos octo.

Passus habet lineares pedes quinque, constratos 25, solidos 125.

Gradus habet lineares pedes 3, constratos 9, solidos 27.

Cubitus habet linearem pedem I, unum S., constratos duos, unum trientem, solidos tres,.

L Pes habet lineares digitos 16, constratos 256, solidos

4096.

Sexta habet lineares digitos 12, constratos 144, solidos 1728.

Palmus habet lineares digitos 4, constratos 16, solidos 64.

Uncia habet linearem digitum unum, constratos unum et solidos duos, .

Digitus habet linearia hordei grana 4, constrata 16, solida 64.

Et hactenus de mensuris, quae a prioribus nobis relicta sunt, satis et non superflue, ut reor, dictum est.

Quod si prioribus in mensurando partibus indiget, diligens quisque unamquamque mensurarum praedictarum, ut necesse fuerit, seu per minutias usitatas sive per intellectuales multimodis habere poterit.

CAPUT IV. De planis figuris.

Nunc vero de figuris, quae praefatis linearibus includuntur mensuris, speculandum est. Figura, quae Graece schema vocatur, est spatium certis terminis inclusum. Hujus species duae sunt. Aut enim planae aut solidae sunt. Sed de solidis in posterioribus; nunc de planis videamus.

Planae dicuntur figurae, quae profunditate, id est,

altitudine carentes, in longitudine tantum latitudine que considerantur. Hae vero si rationabiliter proponuntur, aut rectis lineis, quae Graece euthyae, determinantur, et angulatae sunt, appellanturque euthygrammae; aut curvis seu circumferentibus lineis, quas Graeci cyclicas sive cycloides sive capellas vocant, includuntur, et rotundae sive oblongae sunt, et campylogrammae nominantur: vel certe utrisque, id est rectis et curvatis, componuntur, et partim angulatae, partim lunatae seu rotundae sunt, quod genus micton a Graecis dicitur. Quae singulae, prout commodum et utile videbitur, in consequentibus apertius describentur. Spatium autem sive planities planarum figurarum lineis circumscripta, embadum a Graecis appellatur, quod a nostris

interpretatum area nuncupatur, ad cujus videlicet et areae quantitatem investigandam variae, pro diversitate figurarum et theorematum, regulae passim dispersae feruntur, ex quibus aliquas, quas nostri attingere potuit diligentia, quae utiliores videbantur, aliquantisper ordinatius digestas aggredi tentabimus, si prius pauca de angulorum speciebus, et alia quaedam ingredientibus necessaria probaverimus.

Itaque planae figurae quas rectis lineis determinari angulatasque esse diximus, trinis necessario planorum angulorum formantur speciebus. Est autem planus angulus duarum linearum in planitie e diverso ductarum ad unum punctum coadunatio. Sive aliter: Angulus est spatium quod sub duabus lineis continetur se invicem tangentibus. Qui nimirum, trimodis speciebus discretus, aut rectus est, aut hebes, aut acutus.

Rectus, qui et normalis dicitur, hoc modo fit, si rectam lineam jacentem altera stans recta contingat, et ex utraque sui parte aequos angulos ita facit:

Hic autem, quasi viae virtutis medium tenens, sibique ipsi semper et uniformiter aequalis, nec se plus aequo dilatat, nec minus justo coarctat.

Hebes autem, qui et plus normali vel obtusus dicitur angulus, qui, quasi pleonasiae more, semel rectum excedens, incerta indefinitaque quantitate, donec in lineam deficiat, dilatari et expandi potest. Fit autem si jacenti lineae altera ab ea inclinata jungatur ita:

Acutus est, qui, neomesiam imitans, et infra rectum subsistens, identidem quantitate indefinita usque in lineam directam coarctari valet. Fit vero si jacentem lineam rectam altera ad eam inclinis tangat, ita:

Et hi quidem anguli, ex rectis scilicet facti, euthygrammi Graece, rectilinei possunt Latine appellari. Possunt tamen eaedem tres angulorum species aliquomodo ex rectis et circumferentibus lineis, item

ex circumferentibus solis figurari. Ex rectis namque et circumferentibus lineis recti anguli figurantur, si circulus aequaliter a puncto circumductus rectam lineam per ipsum punctum in duo aequa secat ita:

Hebetes autem, qui et obtusi anguli, si major dimidio circuli pars hoc modo formetur;

Acuti vero fiunt, si minor medietate circuli pars scribitur:

Ex solis autem circumferentibus lineis, si eas, id est, tres angulorum species, velis figurare, duos aequales circulos ita sibi invicem innexos circumducito, ut uterque circumductione sua secet alterius punctum; sicque et in media, ni fallor, area, et in singulis partibus altrinsecus positis rectos omnes ad sui modum angulos pernotabis ita:

Quod si duos alios connexueris, ita ut uterque suo ambitu punctum includat in medio embado duos hebetes, in quatuor altrinsecus vero positis acutos nihilominus angulos formabis ita:

Sin autem ita bini sibi nectantur, ut punctum alterutrius

ab altero immune omnino relinquatur, in media nimirum areola acuti in extremis utrinque hebetis anguli species figurantur, ut cernis.

Ut autem omnes angulorum species in una pariter inspiciantur, talis circulorum componitur connexio:

Sciendum quoque est quod acuti anguli interiores, hebetes vero exteriores ad comparationem scilicet

recti anguli solent appellari. Rectus quippe angulus ab hebete, utpote exteriore, latioreque includitur; sed ipse rursus acutum, ut videlicet amplior, interiorem includit; quod in subjecta formula rectilinea, ubi omnes angulorum species ad unum eo adunatae sunt punctum, describitur hoc modo.

Intuendum etiam est quod rectae lineae jacenti si recta una, quae perpendicularis dicitur, erecta superstet, ubi jacentem tangit, ex utraque sui parte

rectum angulum efficiet hoc modo:

Si vero ad alterutram partem linea superstans inclinetur, in illa, ad quam inclinetur, parte interiorem, id est, acutum angulum efficit, in altera vero exteriorem, id est hebetem, ita tamen ut hi duo anguli, interior scilicet et exterior duobus rectis sint aequales, hoc modo:

Quantum enim interior a recto minus habet, tantum exterior rectum supervadit. Quod si rectae jacenti lineae duae adversis partibus inclinatae ita superstent, ut et illam et se invicem ad unum punctum tangant, tres nimirum interiores angulos formant, ita tamen, ut hi tres anguli duobus rectis aequales sint. Nam tantumdem spatii quantum duo recti occupant, hoc modo:

Si duae rectae sese invicem altera per alteram ductae secent, aut quatuor rectos efficiunt angulos, aut duos exteriores, totidemque interiores ex adverso sibi invicem aequos reddunt, qui tamen quatuor rectis angulis sunt aequales, hoc modo:

Duae rectae lineae aequali a se invicem spatio inductione

sua distantes et in infinitum ductae, nunquam invicem concurrentes paralellae, id est aeque distantes dicuntur, ita:

Quod si recta linea ab una ad aliam ducta fuerit, aut rectos angulos quatuor, ubi tangit eas, efficiet, aut totidem rectis aequos, binos scilicet interiores, binosque exteriores sibi ex opposito invicem aequales taliter:

Possent quidem et alia nonnulla de lineis et angulis

inveniri et dici. Sed haec ingredientibus sufficere putavi.

CAPUT V. His tribus anguli speciebus omnis coagulata consistit figura.

In omnibus ergo, ut dictum est, planis figuris, quae quidem angulatae sunt, unam vel duas, vel certe omnes has angulorum species necessario invenis; unam, ut omnes angulos rectos habeant aut hebetes omnes, vel omnes acutos; duas, ut alios angulos rectos habeant, alios acutos, aut alios hebetes, alios acutos, aut alios rectos, alios hebetes; omnes, ut et rectus, et hebes et acutus, quod tamen rarius evenit, ut in una aliqua inveniatur figura.

Quod totum posterius in earum satis formationibus clarebit. Nunc jam de triangulo, qui in planis figuris naturaliter primus occurrit, sequens ratio quae videbuntur aggredi tentabit.

CAPUT VI. De principalitate trianguli.

Triangulus, ut in arithmeticis satis a Boetio declaratum est, ideo planarum principium existit figurarum, quia tria primum rectae lineae superficiem seu latitudinem aliquam possunt includere. Duae quippe rectae nihil possunt spatii circumdare, atque

ille ideo, quia tribus lineis distensus figuras angulatas planasque primus efficit, jure in eisdem figuris principatus locum obtinebit. Qui et ideo principium et quasi elementum exstat in angulatis figuris, quod unaquaeque earum ex eo componatur, et in eumdem resolvatur. Si enim ipsius trianguli sive tetragoni vel pentagoni, hexagonive ceu caeterorum sequentium multiangulorum superficiem, id est aream mediam puncto designaveris, et ab eodem puncto ad angulos rectas lineas deduxeris, unumquemque eorum ex tot compositum et in tot triangulos divisum pernotabis, quot ipse constat ex angulis. Nam eodem modo ipse triangulus in tres alios triangulos; tetragonus in 4; pentagonus in 5; aliique sequentes juxta numerum angulorum suorum in triangulos dividuntur. Ubi subtiliter id etiam

evenit ut, quia in triangulos cujusque eorum divisio fit, per triangulorum quoque regulas uniuscujusque eorum a diligentibus embadum inveniri possit. Quare satis cuipiam potest declarari omnium planarum figurarum triangulum principium esse.

CAPUT VII. De speciebus trianguli.

Est autem triangulus, qui et trigonus sive tripleurus dicitur, plane figura tribus rectis lineis sive lateribus et totidem angulis terminata. Hujus species tres sunt, orthogonius scilicet, et ampligonius, atque oxygonius.

Orthigonius est triangulus unum rectum angulum habens et duos acutos, taliter:

A recto autem angulo, quem habet, nomen possidet. Orthon quippe Graece rectum: gone angulum sonat. Inde Orthogonius quasi rectiangulus dicitur.

Ampligonius est triangulus unum hebetem et duos acutos habens angulos, ita:

Qui et ipse ab hebete angulo suo identidem accepit vocabulum.

Oxygonius autem est triangulus omnibus acutis angulis determinatus, ita:

Unde ab acuto, quia oxya sonat, appellatus est. Hic vero et unius speciei angulos et aequa latera potest habere: quod in prioribus omnino est impossibile,

ut et quivis facile intelligere, et in figuris eorum oculis valet approbare.

Habent etiam iidem trigoni quaedam alia quoque tria ad discretionem sui vocabula. Alius enim eorum isopleurus, alius isoceles, alius scalenos dicitur.

Isopleurus est qui omnibus aequalibus continetur lateribus. Isos quippe aequalis; pleuros latus dicitur.

Isoceles, qui duo habet latera aequalia, qui etiam quasi cruribus insistit; tertium inaequale, unde et isoceles, quasi aequicrurius dicitur.

Scalenos, qui omnia latera inaequalia invicem continet; dictusque scalenos quasi gradatus, eo quod velut gradibus, de uno in aliud transfertur latus. Sed isoplevrus, id est aequilaterus solus dictus potest esse trigonus oxygonius; isoceles vero atque scaleni et orthogonii et ampligonii, ipsique item oxygonii poterunt fieri. Singuli quippe eorum et duobus lateribus aequalibus, tertio inaequali, et omnibus inaequalibus solent formari.

CAPUT VIII. De natura triangulorum.

Illud quoque in his triangulis speculare, quod juxta supradictam superius angulorum quantitatem in omni trigono ampligonio exterior, id est hebes angulus major est utrisque interioribus, id est acutis

in ipso scilicet ampligonio trigono ex adverso constitutis, ipsique duo non solum exteriore sed etiam recto angulo minores probantur, ut in hoc:

In omni quoque triangulo duo anguli quoquomodo sumpti duobus rectis angulis minores sunt.

In omni etiam triangulo minus latus majorem angulum, majus vero minorem efficit.

Si in quolibet trianguli latere a finibus lateris duae rectae lineae introrsum inclinatae angulum faciant, ipsae quidem caeteris trianguli lateribus minores sunt; angulum vero majorem efficiunt ita:

In omni orthogonio triangulo, solus rectus angulus duobus reliquis interioribus, id est acutis, probatur aequalis. In oxygonio autem tres interiores, id est acuti singuli duobus rectis angulis aequi sunt, et omnino in omnibus triangulis idem evenit, ut tres eorum anguli duobus rectis angulis aequi sint. Nam in ampligonio quantum exterior, id est hebes angulus rectum superat, tantum duo interiores, id est

acuti superantur a recto. Et in orthogonio unus rectus est, et interiores, id est acuti, qui item, ut dictum est, unum rectum angulum complent.

In oxygonio quoque duo acuti unum rectum superant, sed duobus tantum minores sunt, quantum tertius supplere poterit angulus. Et juxta hanc rationem, ni fallor, erit intelligendum quod in categoriarum Aristotelis Commentariis a Boetio dictum est: Multi saepe movere soliti sunt scrupulum: scimus triangulum tres interiores angulos duobus rectis angulis habere aequos.

His interim de natura triangulorum expeditis, qualiter quisque angulus, utrum rectus an hebes aut acutus sit, discerni queat breviter dicamus, ut certius requirenti utrum triangulus quisque orthogonius,

an ampligonius sive oxygonius sit, probare valeamus.

CAPUT IX. Quomodo tres angulorum species discerni valeant?

Si de aliquo angulo, utrum rectus an hebes acutusve sit, dubitaveris, hujusmodi experimento uti poteris. Ab angulo, de quo dubitas, in utraque linea, quae in eo conveniunt, aequalem mensuram cujusvis longitudinis sumptam punctis utrinque notato, et ab uno ad aliud punctum rectam lineam ducens, eamque in duo aequa dividens, medietatem ejus puncto signabis. A quo videlicet puncto si ipsa eademque mensura, qua medietatem lineae esse invenisti, angulus ille, de quo quaesieras, distabit,

rectus erit. Si longius distans ab ea mensura attingi nequiverit, acutus; si autem propior a praefata transgreditur mensura, obtusus, id est hebes esse dignoscitur. Verbi gratia, sit angulus, de quo dubitas, a:

a quo in utraque linea aequali mensura distet b et c. Medietas lineae a b ad c ductae fit d. Si ergo a d puncto b et c et a aequali mensura distent, rectus angulus a erit. Si minor ad a fuerit, quam ad b et c, hebes.

Si autem major, acutus angulus a esse non dubitatur.

Vel aliter, juxta Pythagorae inventum. Ab angulo, de quo dubitas, in una ejus linea tres aequales longitudinis mensuras, utpote pedes, in altera ejus longitudinis quatuor dimetiens, ubi utrinque fuerint terminatae, punctis signato, et ab uno horum puncto ad alterum lineam rectam deducito. Et si haec linea quinque aequaliter pedes habuerit, angulus ille, de quo dubitas, rectus erit; si plus quam quinque, hebes; si autem minus, acutus apparebit. Exempli causa, sit ipse angulus e

ab hoc in una linea tres mensuras quasi pedes usque ad g metior, ab eodem in altera linea usque ad f duo. Si ergo in hac linea inter f et g, quinque ejusdem longitudinis mensuras invenio, a angulum rectissimum natura cogente minime dubito; si autem plus quam quinque, hebetem; si minus, inter acutos eumdem putari debere certissimum teneo, ut in subjecta formula patet. Lineae vero rectae, quibus trigoni seu tetragoni, et aliae quaedam planae figurae determinantur, his ferme vocabulis designantur.

CAPUT X. Le appellationibus linearum in figuris.

Linea quae in una parte figurae directe et non oblique jacet, basis nomen accepit, eo quod super ipsam figura fundata sit. Quae vero in summo quasi in culmine figurae similiter directim ducitur, coraustus appellatur, atque jusum [deorsum] a summo directim more perpendiculi pendens, ubi basi coraustove conjungitur, rectum angulum efficit, catheti sive perpendicularis vocabulum suscipit. Illa autem quae, oblique jusum sive susum deducta, hebetis vel acuti anguli effectrix videtur, hypotenusa, id est obliqua sive podismus nominatur.

Ex harum autem linearum mensura, maximeque catheti et basis seu corausti, quae scilicet longitudinem

latitudinemque figurae determinant, constratam embadi mensuram, ut superius commemoravimus, vestigare debemus. Sed quamvis ampligonius propter angulum majorem a quibusdam praeponatur, oxygonius vero propter isopleuron, qui et angulorum et laterum aequalitate gaudet, principalior putatur. Nos tamen orthogonium cum reliquis suis tum propter recti anguli principatum, tum quod ratio ejus apertior certiorque sit, et ab eo ampligonius oxygoniusque regulas accipere videantur, merito his anteponendum aestimamus.

CAPUT XI. De Pythagoricis orthogoniis.

Inter omnes diversorum laterum triangulos orthogonius ille quodammodo speciale privilegium et meritum

habere videtur, qui ab inventore Pythagora Pythagoricus appellatur; quod quare videatur, in consequentibus manifestatur. Hic autem talibus laterum proportionibus continetur, ut basis ad cathetum sesquitertia, hypotenusa ad basim sesquiquarta, itemque ad cathetum superbipartiens tertias sit. Habet quippe cathetus pedes, aliasve minores vel majores mensuras in eisdem proportionibus, ut subscripti.

CAPUT XII. Quomodo minutiae addantur figuris.

Quod autem interdum quaedam vel omnia latera hujusmodi orthogoniorum minutiis admistis solent propani (neque enim sagacem geometren minutiandi

solertiam decet ignorare), horum etiam re erit exempla subnotare:

In his itaque aliisque orthogoniis in eisdem laterum proportionibus constitutis, videlicet et Pythagoricis,

hoc modo invenire per cathetum alia latera poteris.

Cathetus ter ducatur; nona pars inde auferatur; residui dimidium pro basi habeatur. Si eamdem, quam abstulisti, nonam inventae basi adjungis, hypotenusam habebis, ut in eo, quem primum posui, cathetus, utpote 3 ter ductus efficit novem; ablata nona, id est unitate reliquum ejus rei, id est dimidia basim, quae quaternario titulatur, efficit. Cui basi si nona superius dempta, id est unitas reddatur, hypotenusa 5 unitatibus inscripta completur. Idemque in caeteris sequentibus sive de integris seu minutiatis numeris compactis invenitur, ut in his 4, quae in catheto sunt, quatuor per 3 ducti 12 faciunt. Horum nona parte, id est unitate ablata et triente

residui, id est 10, et bisse medietas basim in 5 et triente demonstrant. Quae itidem nona ad basim juncta podismum in 6 et bisse constare manifestat.

Vel aliter idem invenias. Catheti dimidio triplicato, nonaque parte inde ablata, basim habeto. Eidem triplicationi nona sua addatur, et hypotenusa creatur, ut in eo, qui habeat senarium in catheto, dimidia ejus, id est 3 in se ter ducta 9 creat. Unde ablata nona 8 erit basis. Nona vero ad ipsos novem addita fiet 10 hypotenusa.

Similiter in eo cui et quadrantem in catheto posui, dimidia hujus, id est 2. et S. et ter ducti 7, et S. et et numerum faciunt. Hujus nona id est et dempta 7 basim relinquit. Addita autem

8 et hypotenusae tribuit.

Vet aliter. Catheti dimidium sexies ducatur, nona inde pars auferatur, reliquum dimidium pro basi habeatur. Basi inventae eadem nona addatur, et hypotenusa creatur, ut in eo qui 9 in catheto habeat. Medietas ejus, scilicet 4 et semis, sexies ducta 27 efficit. Hinc nona parte id est 3 ablata reliqui 24, scilicet dimidia, id est 12, basis erit. Cui 3 id est nona superiore, junctis in 15, podismum constituit.

Nihilominus in eo, cui sex et ponitur in catheto, dimidia, quae est 3 (quadrans) sexies multiplicata,

19 facit. Inde nona parte, quae est 2 z. S. et S. abblata remanent 16 et quinque Quorum dimidium, id est 8, et sextulaque basim complet. Cui nona praefata superaddita podismum, id est 10, et S. quinque φ facit cum summa dubietate seposita.

Est etiam alia regula multo diligentiori speculatione dignissima, quae in his Pythagoricis orthogoniis prorsus verissima, et in aliis omnibus orthogoniis vel omnino vera vel veritati proxima est.

Hac quippe in omni ferme orthogonio trigono per duo quaevis latera tertii poterit indagari quantitas naturae constitutione certissima hoc modo:

Ut ergo hypotenusa inveniatur, catheti numerus in se, ut tegragonus fiat, ducatur, eique basis numerus in se similiter ductus conjungatur. Hujus simul summae ex duobus scilicet tetragonis confectae latus tetragonale quaesitum et inventum hypotenusae numerus esse sciatur.

Tetragonus autem, ut ex arithmeticis notissimum est, dicitur numerus ex alio in se ducto procreatus, ut 4, qui ex binario; ut 9, qui ex ternario; ut 16, qui ex 4 in se ducto procreatur. Duo enim bis quatuor, et tres ter novem, et quater quatuor 16 creant. Numerus autem qui ita tetragonum in se ductus efficit, ejusdem effecti a se tetragoni latus tetragonale vocatur.

Ut autem basis quantitas pernoscatur, ex numero hypotenusae ducto in se, catheti numerus item in se ductus auferatur, et residui numeri latus tetragonale basi, ut naturaliter insita quantitas tribuatur.

Ad catheti vero mensuram vestigandam ex hypotenusae numero item in se ducto, numerum basis in se ductum adime, et latus reliqui tetragonale pro

catheto tene. Quae singula ut clarescant exemplis ex superioribus orthogoniis minimum sumo, et per cathetum ejus ac basim hoc modo hypotenusam invenio. Cathetus, id est 3, in se ductus 9, tetragonum facit. Item basis, id est 4, in se ducta in 16, tetragonum surgit. Qui duo tetragonii 9, et 16 conjuncti 25, rursus tetragonum compaginabunt. Cujus latus tetragonale, quod est 5 (quinquies enim quinque 25 numerum complet), hypotenusae.

Per cathetum autem et hypotenusam hoc modo basim invenies. Ex numero hypotenusae, id est 25, cathetum in se ductum 9 aufero, et reliqui, id est 16, latus tetragonale, quod est 4, basi ascribo. Ad cathetum vero reperiendum ex eodem 25, hypotenusae numero in se ducto basim in se ductam, id est

16 detraho, et reliqui novenarii latus, id est 3, dabo catheto.

Item, ut et in majori exemplum dem, sumo eum qui in catheto 12, et in basi 16 tenet, numerosque ex utrisque in se ductis confectos, scilicet 144 et 256, conjungo, et ex utrisque confecti 400 numeri latus tetragonale, id est 20, do hypotenusae. Ex quibus iterum 400, si cathetum in se ductum, id est 144, abstraho, reliqui 256 numeri latus, id est 16, basi tribuo. Quod si eisdem 400, basis in se ducta, id est 256, adimatur, 12 qui residui, id est 144, illius numeri latus est, perpendiculari, id est catheto donatur.

Et ne in minutiatis quoque orthogoniis exemplum dare subterfugiam, eum accipio, cui superius 6 et

in catheto posueram, ipsumque cathetum regulariter, quod abacistae facillimum est, in se duco, et 40 S. tetragonum invenio. Item basi, quae est 64,

M et tertia. 8 in se ducta fit tetragonus 71.

et duae et tertia unius. Hi duo tetragoni simul juncti faciunt tetragonum 101 et duas siliquas et tertiam unius siliquae continentem. Cujus latus tetragonale inventum, quod est 10 S. E et C. (nam hoc in se multiplicatum eumdem restituit) hypotenusae ostendit quantitatem. Ex eodem autem hypotenusae numero in se ducto, id est duabus siliquis et tertia parte siliquae, si cathetum in se, id est 40, S. dempseris, reliqui,

id est 71 duarum siliquarum et trientis siliquae latus erit basis, id est 8 Ex eodem hypotenusae numero basis in se ducta dempta si fuerit, remanentis, id est 408, et latus tetragonale, quod est 6, cathetum restituit. Atque haec regula in caeteris quoque orthogoniis probare volentem nunquam fallit, si lineares laterum mensuras invenire libuerit.

Ad constratam vero embadi, id est areae quantitatem in his Pythagoricis orthogoniis inveniendam hujusmodi habe regulam; trium laterum quantitates, videlicet catheti, basis et hypotenusae in unum colligantur; medietas hinc sumatur, et ab hac basis auferatur; qui remanet, per cathetum multiplicetur, et summa inde nata duplicetur; duplicata per quartam

sui partem multiplicetur, nataeque inde summae latus tetragonale pro embado habeatur. Verbi gratia: minimi in superioribus orthogoniis trium laterum numeros, id est 3, 4, 5 conjungo, fient mihi 12; horum medietas 6 erit. Inde sublata 4, basi, 2 residui per cathetum, id est 3, ducti 6 faciunt; qui multiplicati

12 redduntur. Hi per quartam sui partem, id est per 3 ducti, 36 efficiunt. Horum si latus tetragonale, quod est 6, accipio, areae orthogoniique hanc summam habeo.

In primo quoque, quem cum minutiis posui, eodem modo, si laterum sumas, id est 4, 5, 6 copulo, 16 conficio. Media, id est 8, inde sumpta, basique, id est 5 inde ablata, residuis, id est 2 per cathetum, id est 4, ductis, 10 habeto.

His duplicatis, 20 i. facio, quibus per 4 sui, id est 5 ductis fient 113, Hujus tetragonale latus, quod est 10 , si sumpsero, embadi totius planitiem impleo, et ita in caeteris.

Multum vero simplicior faciliorque et expeditior erit regula embadi inveniendi in omnibus orthogoniis una in omnibus prorsus triangulis universalibus, ut scilicet per dimidium basis cathetus multiplicetur, et quod inde creverit, pro embado habeatur. Quod idem erit, si conversim per dimidium catheti multiplicetur basis integra, et inde natum embadum dicatur; vel si tota basis per totam perpendicularem ducatur, et nati inde numeri medietas areae tribuatur. Cum enim per cathetum basis, vel per longitudinem latitudo ducitur, quadrati areae quantitas invenitur.

Quem cum transversim ab angulo ad anangulum medium divido, duos nimirum triangulos sibi invicem aequos efficio, quia in utroque eorum medietatem areae tetragoni invenio.

Sed huic ut exempla quoque regulae subjiciam, ex superioribus orthogoniis ille mihi proponatur, cujus cathetus 15, basis 20 pedibus annotatur. Multiplico itaque per cathetum basim hoc modo: 15, 20, fient

300. Horum dimidia, id est 150, totius areae pedum constratorum indicat numerum.

Eodem modo in illo cum minutiis misto, cujus cathetus pedes 6 , basis 8 possidet, basis per cathetum regularem ducta efficit constratos pedes

53 9 siliquam. Horum medietas, quae est ped. 26 G. 9 2, et medietas siliquae, totius quantitatem indicat areae. Eodemque modo in caeteris.

Quod si minores quoque pede mensuras utpote palmos, uncias, digitos in praedictis embadis, quot sint, velis scire, respicito in superioribus, quantas ex his singulis pedis constrati capiat mensuras. Recipit quippe pes constratus, ut dictum est, palmos quater quaternos, id est 16, uncias vero duodecies duodenas, id est 144, digitos decies sexies sedenos, id est 256. Per hos singulos numeros priorum aream orthogoniorum multiplicato, et in priori quidem area, quae 150 pedes constratos habet, invenies palmos constratos 2400, uncias 21600, digitos autem constratos 38400.

In sequentibus vero, cujus area constratos pedes

26 5. et medium ejus continet, reperies palmos 427, et duas siliquas; uncias vero 3850 quinque , digitos 6863, quinque , et duas siliquas contineri. Et eodem in caeteris modo.

Quod si etiam ager hujusmodi orthogonii schema tenens proponitur, utpote cujus cathetus 60, basis 80, hypotenusa 100 perticis metiatur, et, quot jugera vel quot agripennos contineat, inquiratur; primo, per cathetum, id est 60, basim, quae est 80, multiplico: fient 4800. Horum medietatem, id est 2400 pro constratis totius agri perticis habeo. Post autem, quoties in hoc numero constratae perticae unius jugeri 288, vel agrippenni unius, id est 144

cohibeantur, inquiro. Sunt vero in 2400 octies 288, et insuper tertia eorum pars: 144 vero in eodem numero sedecies habentur et bisse eorum; igitur in proposito agro orthogonio triangulo 8 jugera, et tertiam partem jugeri, agrippennos autem 16, et duas tertias agrippenni unius contineri non dubium est.

Sed quoniam de invenienda in his orthogoniis embadi quantitate satis dictum est, aliam regulam adhuc, qua per hypotenusae et embadi numeros cathetum et basim reperiunt, subjici putamus, quae est hujusmodi:

Numero hypotenusae in se ducto quatuor embadorum numerositas adjiciatur, et hujus simul summae latus tetragonale sumatur, idque basis et catheti numerum simul complecti non dubitetur. Ut vero utrique

eorum, basi scilicet et catheto, suus distincte numerus reddatur, ex numero hypotenusae in se ducto

4 embada subtraho, et residui adhuc numeri latus tetragonale sumo; idque superius invento numero, qui basim et cathetum confuse continebat, adjungo, et horum simul medietatem majori ex his, utpote basi, propriam tribuo. Ipsum vero latus tetragonale si ab eodem numero, qui basim simul et cathetum continet, aufero, et residui dimidium sumpsero, minus ex his latus, utpote cathetum reperio. Vel aliter: ex numero, qui basim cathetumque pariter continet, inventam basim aufero, et remanet cathetus vel cathetum repertum adimo, et reliqua erit basis.

Quae omnia ut apertis certificentur exemplis, in

quibuslibet superiorum probentur orthogoniis. Sumo itaque eum, cujus hypotenusa 10, embadum 24 pedes possidet. Ducta in se hypotenusa sic progreditur. Huic quatuor embada juncta 196 consurgunt. Cujus numeri latus, quod est 14, basis simul et catheti numerum concludit. Quae ut cernere valeam ex numero hypothenusae in se ductae, id est 100, embada quatuor, id est 96, aufero, et remanentis quaternarii latus tetragonale communi utrorumque numero, id est 14, adjungens, 16 habeo. Cujus medietatem, quae est 8, basi assigno. Si vero ex communi utrorumque numero, id est 14, ipsum latus, qui binarius, adimo, remanent duodecim. Cujus dimidium, id est

6 repraesentant cathetum. Quod idem erit, si inventam basim, id est 8, a communi utrorumque numero,

qui est 14, aufero, vel si inventum cathetum, id est 6, ab eodem communi numero, qui est 14, aufero.

Item illum assumo, cujus podismus 6. embadum 10, continet. Podismus, id est 6 in se ductus

44. creat. Cui embada 4, id est 42 adjungo 87. S. conficio. Cujus latus tetragonale, quod est 9, catheti simul et basis quantitates comprehendit. Qui ut segregentur ex numero podismi in se, id est 44, embada 4, id est 42 subduco, et remanent 8, Cujus latus tetragonale quod est 1 si a communi utrorumque numero, qui est 6 , adimatur, residui, id est 8, dimidium, scilicet quaternarius, cathetum determinat. Idem vero latus, quod est 1 ad eumdem

communem numerum, qui est 9 adjunctum,

10 conficit. Cujus medietas, quae 5 et est, basim haud dubie reddit. Et hae quidem interim sufficiant regulae, quas de Pythagoricis ad praesens potuimus invenire.

Formantur vero et alii ex ipsis Pythagoricis quos supra diximus, tripleuri, si eam quantitatem, quam supra basis habuerat, cathetus accipiat, et, quam cathetus possederat, basis alternatim quantitatem sibi assumat, ut in subscriptis. Sed in eorum regulis orthogoniorum diutius non arbitror immorandum. Nam universae regulae quae in superioribus Pythagoricis sive ad laterum quantitatem alternatim dignoscendam, sive ad mensuram areae inveniendam traditae sunt, et exemplis dilucidatae sunt, in his nihilominus

eamdem consequentiam probantur retinere tantum , quantum si in quibusdam illarum ad cathetum specialiter videtur pertinere; hic basi, et quod ibi basi, hic catheto quis meminit attribuere. Quod ob cavendam prolixitatem ne jam videar replicare, diligentiae et probationi lectoris malui relinquere.

CAPUT XIII. De Geometria trigoniorum praedictorum.

Sed nequaquam silentio puto transeundum quod interim, dum haec scriptitarem, ipsa mihi natura

obtulit speculandum. Quemcunque superiorum orthogoniorum ad alium comparare volueris juxta quod Plato in Cosmopaeia Timaei de planis figuris proponit, Boetiusque in arithmeticis de tetragonis tantum per exemplum ostendit, unam inter eos geometricam medietatem, quae utrumque una proportione conjungat, te invenire miraberis.

Primam quippe ex praescriptis Orthogoniis aream

6 implet; quem si ad secundum, qui 24 continet, comparaveris, unum solum inter eos numerum, id est 12, qui utrosque una, id est dupla proportione continet, reperire poteris.

Item inter secundum et tertium, id est, 24 et 54, medius numerus 36 invenitur, qui ad utrumque sesquialtera habitudine comparatur. Inter tertium

et quartum, id est 54 et 96, medium 72 numerum sesquitertia utrosque proportione continuantem adinvenis; et quoscunque quibuslibet intermissis sibi invicem conferes, idem sine errore pernosces. Nam si item primum ad quintum, id est 6 ad 150 conferas, in medio nihilominus 30, qui quincupla utrosque collatione continuet, investiges. Item si secundum et sextum, id est 24 et 216 compares, 72 medium tripla utrosque proportione coadunantem recognosces.

Nec si integros ad minutiatos, et minutiatos item ad minutiatos ad se invicem orthogonios conferre cupias, aliquem te scrupulum offendere metuas. Nam si item primum, id est 6 ad eum qui 10 embado continet conferas, in medio 8, qui sesquitertia ad

utrosque habitudine se copulet, mox aspicias. Item si eumdem, qui 10 ad sequentem, qui 18 concludit, velis comparare, medius 14 numerus geometricae medietatis proprietates inter eos probatur obtinere; 14 namque numerus 10 in se continet et ejus quinque sextas decimas, et item 18 . eodem modo 14 in se continet et ejus 5 sextas decimas; quae proportio super quinque partiens sextas decimas appellatur. Itaque ne diutius immorer, quaecunque talium orthogoniorum alii conferas, unum inter eos, ut dictum est, numerum, qui omnes geometricae medietatis proprietates custodiat, intitubanter invenire poteris. Sed hic numerus, geometricam scilicet proportionalitatem efficiens, hoc modo erit inveniendus:

Cathetus prioris orthogonii per basim multiplicetur sequentis, sive, quod idem erit, basis prioris per cathetum ducatur sequentis, et nati inde numeri medietas sumatur, et pro medietate geometrica inter ipsos orthogonios habeatur, ut inter 6 et 24. Cathetus prioris, qui est 3, per basim sequentis, quae

24 statuatur. Vel aliter

Ipsa Orthogoniorum embada inter se multiplicentur, natique inde numeri latus tetragonale pro geometrica inter eos collocetur medietate, ut in supradictis, qui 28 , et 57 in embadis suis continent, embada inter se ducta in 1606 φ surgunt. Horum

latus tetragonale 4 et S. invenitur, geometricaeque medietatis proprietates inter ipsos orthogonios conservare dignoscitur.

Illud quoque in his volo consideres quod ipsa eademque proportione per geometricam medietatem, de qua dixi, orthogonii ipsi continuantur, qua videlicet latera eorum univoca, id est cathetus catheto, basis basi, podismus podismo sibi invicem conferuntur. Nam si latera ad se invicem dupla sunt, dupla nihilominus orthogonii ipsi collatione per intervenientem copulantur medietatem; si sesqualtera, sesqualtera, et in caeteris similiter. Sed de his hactenus.

Nunc et de reliquis orthogoniis videamus.

Sunt item alii orthogonii non iisdem laterum proportionibus, quibus superiores, conjugati, sed ad ipsorum tamen similitudinem tali in lateribus numero insigniti, ut cathetus itemque basis in se singilatim ducti tales duos tetragonos efficiant, qui item conjunctione sui tertium tetragonum componant. Cujus videlicet tetragonale latus, juxta regulam superius prolatam, podismi quantitatem faciant, ut subjecti sunt, una sibi invicem laterum proportione germani.

Hi sunt omnes tali proportione laterum connexi, ut cathetus et basis in se ducti duos tetragonos faciant, qui duo conjuncti tertium efficiant, cujus latus tetragonale constituat hypotenusam. Porro isti

sequentes, quisque ab alio diversa laterum proportione connexus item ut praedicti cathetus in se, basis in se, et hi duo tetragoni conjuncti, talem tertium faciunt, cujus latus est hypotenusa.

CAPUT XIV. Quas utilitates ars geometrica spondeat?

Geometricales tractanti diversitates praemonstrandum est quas ipsius artis tractatus spondeat utilitates, quatenus lectoris ingenium, insinuationis trifidae ratione incitatum, promptius ad legendum, studiosius sequentis operis perscrutetur tractatum. Est enim hujus disciplinae scrupulosa descriptio, sed totius dimensionis indagatione indagationumque commoditate copiosa descriptio. Quam tamen quamvis arduum sit consequi, potis erit qui in ea infatigabili sudaverit studio. Quae ut facilius, ut dictum

est, a studiosis consequamur, cuique theoremati sua figura subjungatur.

CAPUT XV. Nomina mensurarum quibus geometrae utuntur.

Mensuram appellationes, quibus utimur, sunt hae: digitus, uncia, palmus, sexta, quae et dodrans appellatur, pes, laterculus, cubitus, gradus, passus, decempeda, quae et pertica appellatur quasi portica a portando, clima, actus, qui et aripennus dicitur, jugerum, centuria, stadium, milliarium.

Digitus est minima pars agrestium mensurarum.

Uncia, secundum quosdam, digitos habet tres;

secundum quosdam, quod verius est, digitum unum et tertiam digiti.

Palmus habet digitos quatuor, uncias tres.

Sexta digitos duodecim, uncias novem, palmos tres.

Pes digitos 16, uncias 12, palmos 4, sextam unam et tertiam ejus.

Laterculus pedem unum in latitudine, uncias 23 in longitudine.

Cubitus sesquipedem, sextas 2, palmos 6, uncias 18, digitos 24.

Gradus habet pedes 2; passus 5; pertica 9; clima 60.

Actus in latitudine 110, in longitudine 120.

Jugerum, quod fit junctis duobus actibus, in longitudine

240, in latitudine 220.

Centuria 200.

Stadium pedes 625, passus 125.

Milliarium passus 1000, stadia 8.

CAPUT XVI. Ad altitudinem cum astrolabio metiendum.

Si fuerit altitudo in aequalitate, tali poterit mensurari inspectione. Sumatur ab altimetra astrolabium, et in medietate quadrati in postica ejus planitie exarati constituatur mediclinium, ut hac scilicet positione stet mediclinium alterius partis astrolabii in numero graduum dierum 45, et tandiu ab eo ante et retro aestimando pergatur, donec per utrumque ipsius mediclinii foramen altitudinis summitas inspiciatur.

Qua inspecta, loco in quo stetit mensor nota imprimatur, et huic impressioni statura mensoris adjungatur. Post haec locus ipse diligenter notetur, et ab eo usque ad radicem altitudinis tota planities caute mensuretur; et quot pedum ipsa planities fuerit, tot sine dubio altitudo erit. Si vero non in medietate

quadrati mediclinium steterit, sed in primo, aut in secundo, aut in tertio, aut in aliquo quadrati gradu, 12 gradibus collatis, qualis fuerit collatio inter illos aliquos quadrati gradus et 12, talis erit inter planitiem et altitudinem mensurandam, statura mensoris adjuncta.

CAPUT XVII. Ad altitudinem inaccessibilem cum horoscopo metiendam.

Ad altitudinem inaccessibilem ob fluvii vel vallis impeditionem sit altitudo quaelibet, ut est a b, sitque fluvii vel vallis impeditio, ut est b c. Sume horoscopum stans in ripa c, et per utrumque foramen mediclinii summitatem a diligenter inspice. Considera numerum graduum in mensura quadrati, qui

verbi causa notatur quaternario numero, per quem summa totius quadrati scilicet 144 dividatur, et quarta pars reperta, videlicet 36 conscribatur. Post haec de c ad d certa spatii quantitas metiatur, quae exempli 40 pedum praeponatur. Iterum sume horoscopum stans in fine d, et per utrumque foramen, ut prius summitatem a inspice. Perpende iterum numerum graduum in quadrato, qui signatur in ternario numero, per quem denuo summa totius quadrati dividatur, et pars tertia, quae est 48, juxta quartam, quae est 36, conscribatur, et minor numerus de majore, id est 36 de 48 tollatur, et quod remanet, id est 12 cum latere quadrati, quod est 12, comparetur, et numerus remanens et latus quadrati aequalis pronuntietur, et sicut ultimum remanens 12,

quadrati lateri 12 aequale habetur, sic spatium d c spatio a b aequale affirmetur, et quota pars ternarius, qui est ultimus numerus graduum in 12, judicatur, eadem pars a b spatium in d b spatio sine dubio dicatur. Est igitur 40 a b, sicut est 40 c d, et est 160 totum b d, et est 120 b c.

CAPUT XVIII. Item de eodem

Si quid eminens inaccessibile fuerit aestimandum cum horoscopo, stet altimensor in metiendi eminentis artifinio, suspiciatque per utrumque mediclinii foramen, quosque intueatur altitudinis mensurandae cacumen. Quo inspecto, gradus quadrati numerentur, qui exempli manifestatione 3 computentur, qui in 12 quadrati latere quater continetur. Hoc peracto tandiu ante et retro pergatur, donec jam visum cacumen altitudinis metiendae iterum videatur. Quo viso numerus graduum quadrati denuo inspiciatur,

et verbi gratia 2 habeantur, qui in 12, id est quadrati latere sexies contineri non dubitantur, et intervallum stationum mensoris 12 pedum notabile habeatur. His peractis minus continens ternarii, id est quaterna rius de majori continenti, id est senario semel tollatur, et binarius, qui remanet, in mente habeatur, et ipsum intervallum stationum mensoris duplum inaccessibilis alti dicatur. Et ut, quod dicimus, in omnibus notum habeatur, universalis regula in nullo vacillans ponatur. Subtractione continentium numerorum facta, si unus remanserit, intervallum stationum mensoris alto aequale erit; si duo, duplum; si tria, triplum, et sic in sequentibus:

Tali pictura fit declaratio pura.

CAPUT XIX. Ad altitudinem cum horoscopo metiendam.

Si vis cum horoscopo quamlibet planitiem metiri,

dirige intuitum per utrumque foramen mediclinii, donec terminetur intuitus in metiendae quantitatis limite. Post haec in quoto gradu quadrati mediclinium stet, inspiciatur, et ipse numerus graduum superior cum 12 conferatur, et qualis computatio fuerit graduum ad 12, talis comparatio staturae metientis ad totam planitiem. Verbi gratia: sit statura mensoris a b, planities b c, numerus graduum 3, qui ad 12 comparatus quarta pars ejus dubietate sublata invenitur. Igitur a b, quae est statura metientis, sic b c, id est planitiei quarta pars invenitur, sicut ternarius in 12 pars quarta computatur.

CAPUT XX. Ad metiendum cum horoscopo puteum.

Primo perpendatur diligenter a geometra quatenus circulatio putei perpendiculo perpensa aequalis habeatur. Deinde cujus quantitudinis sit ejus diametrum inquiratur. Invento diametro, stans mensor super putei labrum despiciat per mediclinium astrolabii lateris oppositi terminum. Quo viso, numerus graduum, in quo mediclinium steterit in quadrato, cum 12 comparetur. Et quo modo se habuerit numerus graduum in quadrato ad 12, sic se habebit diametrum ad profunditatem putei et ad staturam mensoris.

Sint autem gradus, exempli causa, 4 et diametrum

4 pedum. Sicut ergo 4; est ter in 12; sic diametrum est in profunditate putei et statura mensoris. Qua statura ablata, quod remanserit, habe profunditatem putei. Subjiciamus ergo figuram putei certis litteris insignitam. Sit ergo 4 pedum a c, hoc est diametrum; sit putei altitudo a b, sit ejus diametrum a c; sit statura geometrae c d 4 pedum. Eia constituamus 4 pedum a c, id est diametrum, et dirigamus intuitum per mediclinium de a d ad b. Post haec gradus, qui, exempli causa, sunt 4 cum 12, tripla proportione conferamus, et a c, qui et ipsi 4 sunt ad d e, in eadem comparatione ponamus. Est

igitur 4 pedum a c, 12 pedum d e, 4 pedum a c, quae est statura metientis. Quibus 4 sublatis, id est d c de d e, remanent c e octo pedum, quod est altitudo putei.

CAPUT XXI. Ad altitudinem arboris, columnae, vel turris per umbram cum astrolabio inveniendam.

Si vis alicujus arboris aut columnae vel turris, vel cujusquam talium in plano duntaxat loco stantis altitudinem per umbram ipsius invenire, suspenso astrolabio, solisque radio per utraque foramina halhidadae directim immisso, vide in qua parte lateris

quadrati, quod in 12 divisum est, directa ipsius halhidadae stet linea, et quamcunque proportionem numerus partium supra alhidada apparentium ad 12 id est ad totum latus quadrati habuerit, eamdem procul dubio proportionem altitudo, quam invenire voluisti, ad umbram in planitie a se factam habebit. v. g., si duae partes supra apparent, ad quas 12 sescuplam habeat proportionem, sescupla quoque ad altitudinem umbra; si tres appareant, quadrupla; si 4, tripla; si 5, duplex superbipartiens quintas; si 6, dupla; si 7, super quinque partiens septimas; si 8, sesquialtera; si 9, sesquitertia; si 10, sesquiquinta; si 11, sesquiundecima; si omnes, aequa erit altitudo et umbra. Et omnino cujuscunque proportionis triangulum alhidada in quadrato ipso

effecerit, ejusdem proportionis triangulum umbra cujuslibet erecti corporis in planitie stantis formabit. In quo videlicet triangulo ipsa inumbrata planities basis est, erecta altitudo cathetus, radius

solis umbram transversim limitans hypotenusae vicem dignoscitur habere.

CAPUT XXII. Item de eadem re.

Si vis invenire qualis comparatio sit alicujus umbrae cum aliquo corpore in quacunque diei hora, sumatur astrolapsus, et, radio solis per mediclinii foramina exeunte, aspiciatur in quadrato in quo gradu mediclinium stet; et, qualis collatio illius gradus cum 12, talis umbrae cum corpore; hoc tantum proviso quod, quando mediclinium stet in dextro latere climatis, major est umbra quam corpus; quando vero in sinistro, majus est corpus quam umbra.

CAPUT XXIII. Ad altitudinem cum speculo vel pelvi metiendam

Posito in speculo centro, vel in media scutella plena aqua, constituatur in plano arvo, et tandiu a geometra huc illucque trahatur, donec per medium centrum unius supra dictorum cacumen rei metiendae aspiciatur. Cacumine invento, spatium, quod continetur inter pedes mensurantis et centrum speculi, vel medium vasis limphae pleni, diligenter mensuretur, et post haec non minus caute staturae metientis comparetur; et, ut fuerit illud spatium metientis staturae, sic erit linea a medio centro speculi usque ad altitudinis radicem rei metiendae. Exempli causa, addatur plana figura:

CAPUT XXIV. Ad aestimandam cujusque rei altitudinem sole lucente.

Quaecunque res posita fuerit sub divo, umbram emittit, sed non sibi semper aequalem. Quapropter umbrae ipsius quotam partem volueris, eligas. Deinde virgulam coaequalem huic parti in terra statuas, et umbram exinde cadentem seu per pedes, seu per palmos, seu per uncias dividas. Si major inventa fuerit umbra quam virgula, quantum umbra virgulam superat, tantum a singulis, quarum mensuram virgula habet, subtrahas. Si autem minor est umbra, quantum virga superat, tantum praedictis

partibus adjicias. Quidquid autem in umbra vel augmentatione creverit, vel subtractione remanserit, pro mensura illius rei habeto.

Componitur etiam aliud instrumentum ad altitudinem sine difficultate inveniendam, quod hac de causa a sapiente ( Glossula: Pythagora) inventum putatur, quia visum humi adjungere difficile mensori, inconveniens spectatori putabatur, sumitque quantitatem suae magnitudinis a magnitudine staturae metientis.

Constituamus arundinem tali magnitudine, ut duplari proportione proportionetur mensoris longitudini; cujus medio altera arundo orthogonaliter conjungatur,

quae, staturae mensoris longitudini aequalis, ei cui conjungitur, subdupla habeatur. Hoc ergo instrumentum sic compositum tandiu ducatur a mensore per planum, donec per summitates istarum virgarum rei metiendae conspiciatur summum. Quo inspecto tanta altitudo dicatur, quantum spatium a loco in quo mensor stat ad radicem altitudinis, adjuncta statura, mensuratur. V. g. sit statura mensoris a, b, arundo sibi dupla c, d, altera arundo istius medio orthogonaliter juncta a, e, altitudo metienda f, g, spatium a mensore ad radicem altitudinis b, g. Hoc tamen nullo modo mensor obliviscatur, quin huic dimensioni omnique perpendiculo aequipendium appendatur, quod geometricaliter institutum ad mensuram paratur. Exempli causa, subdatur plana

figura.

CAPUT XXV. Ad planitiem virga vel arundine quaerendam.

Stabiliatur arundo visui aequiparata metientis in termino epiphaniae, cui jungatur altera cujuslibet quantitatis orthogonali ratione, quae scilicet sursum jusumque tandiu a planimetra ducatur, donec per utriusque arundinis summitates oppositus limes planitiei cernatur. Quo inspecto, ipsa conjunctio arundinum diligenter notetur, et superior pars fixae arundinis a conjunctione alterius cum tota sui quantitate comparetur, et eadem comparatio pendentis virgae planique incunctanter dicatur, quae superioris partis a conjunctione cum tota quantitate fixae arundinis superius dicebatur. Et ut clarius reddatur quod litterali inflexione computamus, picturam apertius

obscura monstrantem visui legentium supponamus.

Sit arundo stans visui metientis aequiparata a, c; sit planities metienda c d; virga orthogonaliter pendens b e; sit igitur a b, medium a c; et erit b e, medium c d.

CAPUT XXVI. Figura ad altitudinem mensurandam.

Si quis superioris figurae retro positae vim, qua planitiem mensuravimus, subtiliter inspexerit, istius quoque figurae vis, qua altitudines metimur, eum prorsus latere non poterit. Parum enim haec distat a superiori figura, excepto quod superior in planitie, haec operatur in altitudine mensuranda. Sit altitudo mensuranda a b; statura metientis c d; arundo,

cum qua altitudo metiatur, statura longior, e f; linea orthogonaliter ducta a visu metientis per arundinem usque ad altitudinem g b. His peractis d g ad g f comparantur, et eadem comparatio d b ad b a pronuntietur, quae d g ad g f pronuntiabatur.

V. g. d g ad g f dupla ponatur, et non minus; d h ad h a dupla indubitanter dicatur. Quod si h h, h a mensurabiliter comparatur, quae d c staturae metientis aequalis habetur, tota altitudo a b, mensurata non dubitatur. Sed quia potest evenire quod c b sit interdum non meabile, h a non es omnino nobis notum, quamvis sit proportionale, qua de causa planities b c retro erit metienda,

et similiter superiori alia componenda erit figura.

CAPUT XXVII. Figura ad metiendam planitiem.

Metiatur planities b i, sitque statura metientis i k; sit arundo aequalis superiori l m; sit linea orthogonaliter

ducta a, visu metientis tendens ad altum per arundinem k n. Post haec k n, n l in quadrupla proportione conferatur, et similiter totum k h, h a, quadruplum indubitanter dicatur. Et quia jam superius d h, h a, duplum discebatur, modo autem k h, h a, quadruplum pronuntiatur, sublato d h, de toto k h, remanet k d, quod est mensurabile duplum ad h a. Quod si a d, h a, k i, statura metientis, quae est aequalis n m, et d c, et g e, et h b, mensurabiliter apponatur totum b a, quod est altitudo mensuratum nullo modo dubietur.

CAPUT XXVIII. Ad metiendam planitiem per arundinem.

Stans mensor in metiendae planitiei extremitato componat sibi arundinem minorem suae longitudinis prolixitate; quae scilicet tandiu diversis locis planitiei directa figatur, donec per summitatem ipsius

arundinis altera extremitas planitiei ex opposito cernatur. Quo facto, a summitate arundinis orthogonalis linea usque ad mensoris staturam dirigatur, et locus ipsius staturae, in quo linea terminabitur, diligenter signetur, et ipsa pars staturae ab ipsa nota usque ad visum cum linea orthogonaliter ducta conferatur. Et qualis comparatio ipsius partis staturae cum tota linea orthogonaliter ducta habebitur, eadem comparatio totius staturae ad planitiem totam pronuntiabitur.

V. g., sit statura metientis a b, planities metienda b c, canna, cum qua mensurabitur, d e, linea orthogonaliter ducta d f. Quota pars fuerit a f in f d, tota pars erit a b in b c. Sit a f quarta pars in f d, et eodem modo a b quarta pars in b c.

CAPUT XXIX. Ad mensurandum puteum.

Ut in superiori figura putei dictum est, primo a geometra diligenter perpendatur quatenus circumductio putei circularis habeatur deinde cujus quantitatis sit diametrum inquiratur. Quo invento, stans

mensor super summitatem putei supponat pedibus suis cujuslibet longitudinis scorpionem , et tandiu ante et retro pedetentim ducat, donec per summitatem ipsius scorpionis alterius putei profunditatem cernat. Quo facto pars ipsa scorpionis, quae puteo superjacet, a pedibus mensoris impressa nota caute notetur, quae staturae non minus diligenter comparetur; et quota comparatio ipsius partis fuerit ad metientis staturam, eadem comparatio erit diametri cum statura mensoris ad totam summam putei. V. g. sit profunditas putei a b, diametrum ejusdem putei a c, statura

mensoris a f, arundo, quae staturae comparatur, et

per quam putei profunditas investigatur, a e, altera pars putei c d; fit a f, quadruplum ad e a; igitur b f quadruplum est ad a c.

Sumas mensuram putei, si vis auferre staturam.

CAPUT XXX. Ad altitudinem metiendam cum orthogonio.

Componatur a geometra orthogonium basi cathetoque ejusdem numeri compositum, hypotenusae vero proportio praetermittatur, quae ad altum vestigandum in hoc orthogonio prorsus inutilis judicatur. Compositum autem tandiu per planum a mensore trahatur, donec oculo humi apposito per catheti summitatem summitas altitudinis investigandae cernatur. Qua visa, a loco cui visus inhaeserat, planities ad radicem usque metiatur; et quanta fuerit, tanta altitudo dicatur. Quod ut apertius intelligatur, orthogonium cum altitudine metienda figuraliter visui supponatur.

CAPUT XXXI. Orthogonium Pythagoricum ad metiendam altitudinem.

Est etiam aliud aestimandae altitudinis orthogonium, quod ab inventore denominative nuncupatur Pythagoricum, naturalibus catheti, basis, hypotenusae compaginatum, catheto ternario insignito, basi insignita quaternario, hypotenusa praenotata quinario. Quod si volueris cathetum quaternario insignire, et basim ternario, idem tibi eveniet per contrarium, scilicet ut basis catheto sexquitertio proportionetur, hypotenusa basi sesquiquarto comparetur. De quo cuncta fiunt quaecunque dicta sunt in praecedenti figura, scilicet tandiu trahatur donec per catheti summitatem summitas rei cernatur, hoc solo excepto

quod in hac demensa quantitate planitiei quarta pars est auferenda, hac videlicet ratione quod basis jacens cathetum erectum superat cum suaquarta parte. Quod ut melius animadvertatur, et aliud orthogonium subterius depingatur:

CAPUT XXXII. Ad rem inaccessibilem nobis altioribus metiendum.

Ad rem inaccessibilem nobis altioribus ut, metiatur, quamvis laboriose, hoc modo faciamus figuram. Sit rei metiendae quantitas a b, et quot cubitorum, vel ulnarum, vel pedum, vel digitorum, vel etiam unciarum, vel cujuslibet alterius mensurae sit nobis propositum scire. Re orthogonaliter constituta, sit spatium immeabile inter nos et rem, ut est g b. Erigatur nobis orthogonium d g, et sit linea sursum ducta de g ad d, sicut primo dictum est de a b, ducatur plane linea de d ad z, sicut plana jacet linea de g ad d, et sit notum quanta sit linea g d, et linea d z. Nos enim eas facimus. Erigamus orthogonaliter lineam de z sursum ad u, et ponamus

oculum in linea z u orthogonaliter erecta, ut exeat visus noster per d ad b; et locus lineae istius ubi stetit oculus, notetur puncto ipso u, et metiamur z et u quanta sit. Et post hoc ponamus iterum oculum in linea z u, ita ut valeamus videre per d a; et locus in quo visus steterit, notetur puncto b; et videamus ubi haec linea tangens terram conjungitur lineae g b, et sit punctum e, ita ut linea g e sit recta. Et post haec notemus quantum sit inter z et h; et quota pars est z h ad z d et z d, ad d g, tanta est d g ad g e, et notae sunt lineae h z et z d, quia nos eas fecimus. Et igitur notum est quanta est linea g e; et quanta est linea u z ad z d, tanta est linea d g ad lineam g b, et lineae u z et z d et d g nobis sunt notae; notum erit igitur linea quarta g b. Et quia dudum

sapuimus lineam g e, et sapimus inde lineam g b, possumus sapere quanta est linea b e; et quanta est linea d g ad lineam g e, tanta est linea n b ad lineam b e, et lineae d g et g h et b e notae sunt. Igitur a b linea nota est, et haec est quam quaerebamus. Et ut brevius, quod superius diffuse dictum est, comprehendatur, compendium, quo philosophia gaudet, ponatur. Qualis comparatio fuerit z u ad h u, talis erit g d ad b a, et sit z u duplum ad h u, erit g d duplum ad b a.

CAPUT XXXIII. Ad metiendum planum quolibet modo propositum.

Si fuerit nobis propositum quolibet modo metiri planum, sumamus unius cubiti in longitudine lignum, cui alia tria in dimensione aequalia tali conjunctione innectantur, ut conjuncta quadrati diffinitionem suscipere videantur, quod quatuor angulis est orthogonale; cujus unius lateris summitatibus duo semipedalia ligna erecta infigantur, quae in summitatibus

perforata per utrumque foramen visum metientis admittere videantur. Post haec extremitati oppositi lateris mediclinium horoscopo sic copuletur, ut dum per oppositum sibi latus certis dimensionibus distinctum trahitur, formam orthogonii Pythagorici imitetur, vel imitari videatur. V. g., sit quadrati figura a b c d; duo semipedalia ligna in summitatibus unius lateris posita e f; mediclinium in alterius oppositi summitate locatum per oppositum sibi larus discurrens d g in hunc modum:

Composita quadrati figura hac ratione ponatur jacens in metiendae planitiei extremitate, et tandiu a metiente ex altera parte erigatur, donec per feramina e f opposita extremitas plani cernatur, et in hoc loco, quo visus steterit, nota ponatur. Post haec

per mediclinium ex adverso constitutum visus mensoris dirigatur, donec jam notata extremitas videatur. Quo facto locus, quo g steterit, notetur, et c g ad g b comparetur; et qualis comparatio c g ad g b fuerit, eadem comparatio a b ad totam planitiem erit. V. g., tota planities a h dicatur, et c g (id est a summitate superioris quadrati usque ad inferiorem partem mediclinii) g b, (hoc est a mediclinio ad inferiorem angulum ejusdem lateris) aequalis constituatur. Igitur a b, id est latitudo, b h ), id est a quadrato usque ad limitem planitiei aequalis esse non dubitetur. Sic et in caeteris proportionibus c g ad g b consideretur.

CAPUT XXXIV. Ad putei vel fossae altitudinem metiendam.

Putei aut cujuslibet fossae altitudinem sic probabis.

Accipe lignum directum et pone super buccam putei, et cujus umbram videbis in e f, id est profunditate putei, et lignum quatuor cubitos . . plus habeat, et exeat subtus pedes ejus alia hasta directa similis sibi, et est profunditas putei a e, et hasta directa a d, et alia hasta a c b jacens super buccam putei truncat d e super angulos directos, et intuere in aqua putei umbram a c de d usque ad f et invenies a c toties est a c b vel e f in a e d, ut puta si a c habeat palmum, et d a tres, tribus vicibus est a c in d a, sicut est a c b tribus vicibus in d a c. Abstrahe a d, remanet a e.

CAPUT XXXV. Ad altitudinem montis inveniendam.

Cum quaeris altitudinem alicujus montis, pone

hastam ante te in plano pro monte longiorem quam tu: et est hasta a b, et tu c d. Postea contemplare hac illac te movens recto oculorum visu per a usque videas f. Tunc considera quanta sit g c ad g a, tanta est c b ad b f ut puta. Si g c, dupla est ad g a, dupla est c h ad h f; et quantalibet g c ad g a, tanta est procul dubio c h ad h f; et quanta est a g ad g c, tanta est f h ad h c; et h f est mons, et quanta est d b ad h g tanta est d i ad f i. Quod si fluvius habeatur vel aliud obstaculum inter c h, et non possis pertingere ad montis radicem, ut praedictam invenias mensuram, accipe a g b, id est hastam, et ambula retro 30 cubitos aut quantumlibet et iterum contemplare recto visu de m per n usque ad d f, quod est summitas montis, et postea vide, quanta sit m c ad c n tanta est m h ad h f. Abstrahe de m h c h, et vide quod remanet, tanta est altitudo montis; ut puta, si invenisti c h duplum ad h f, et post m h quadruplum ad h f; tolle c h de m h, id est duo de quatuor, remanent duo, quod est m c, dices: quia m c duplum est h f, dona 30, vel 20 cubitos, ad m c et 15, vel 10 ad h f, et sic c h triplum est ad h f et m h, septuplum ad h f. Abstrahe c h de m h, id est 3, de 7 remanent 4, quadruplum est m c ad h f, sic in aliis.

CAPUT XXXVI. De eodem.

Si quaeris sine mutatione hastae, sic facies. Est mons a b; accipe hastam duorum cubitorum longiorem te, et pone ante te in plano. Postea considera ipsam hastam, quae est c d e, et mitte visum tuum recte de f per d usque a, dividens ipsam hastam super unum cubitum et vide quantum sit f e ad e d, tantum est f g ad g a. Ambula retro,

quousque videas de h per c usque ad a, ubi est summitas montis, et vidi quantum sit h e ad e c, tantum est h g ad g a. Invenisti forsitam antea f g, quadruplum g a, et h g decuplum ad g a. Minue f g de h g, id est 4 de 10, remanent 6. Sic est h f sescuplum ad g a vel g a sescuplum ad f h.

CAPUT XXXVII. Ad inveniendam per speculum altitudinem turrium, etc.

Si per speculum aut per concham plenam aquae quaeris scire altitudinem turrium vel montium, accipe speculum, et pone prope montem in plano, et tu tantum te ipsum et speculum positum in terra moveas huc et illuc, quousque videas a in b, id est summitatem montis in medio speculo, et vide quomodo sint, et quanta inter se invicem d c, et c b, sic sunt invicem b e, et e a. Et si sit obstaculum, quod non possis probare, hic ambula retro cum ipso speculo, et pone in terra, et videas movendo te a in z, et quantam proportionem habent invicem p r, et r z

eamdem habent, z e, et e a invicem. Minue inde b e, remanent b z.

CAPUT XXXVIII. Ad inveniendam latitudinem fluvii vel campi, etc.

Si quaeris scire latitudinem fluvii vel alicujus campi vel curtis aut cujuslibet rei, accipe lignum, quod pertingat usque ad oculos tuos, secundum alios minus uno cubito, et pone in ripa fluvii, et sta prope eum, et est lignum, ut subtus vides, quasi a b, et pone aliud lignum super ipsum prius erectum, sicut est c d. Postea contemplatio recto oculorum visu per a d usque videas e, id est ripam ex altera parte; nam b e est fluvius, et a e directus visus. Postea considera quantum sit a c ad c d, vel econtra quantum est d c ad a c, tantum est a c b ad b e ut puta, si d c

duplum est a c duplum est b e ad d c a si triplum, triplum, etc.

CAPUT XXXIX. Ad idem alius modus.

Si quaeris aliter scire, pone hastam minorem te quasi ad pectus, et pone in ripa fluvii, et accipe aliud lignum pertingens usque ad oculos, sicut est c d, et ambula retro quantum placet, et pone ipsum fustem, et tu tantum te hac et illac move, quousque de c per a, usque e videas, id est ad alteram ripam fluminis. De hinc minue a b de c d, remanet f c. Vide, quomodo sint a f ad f c, sic sunt b e ad b a, si triplum est a f ad f c, triplum est b e ad b a.

CAPUT XL. Ad altum cum sagittis et filo mensurandum.

Cum geometricis figuris intenti philosophorum jam fatigabundi inventionibus inhaeremus, ne omnino fatigati deficiamus militaribus exercitiis animum relevemus. Sicut enim corpus quotidianis sumptibus fastidiens inusitato recreatur cibo, sic mens philosophicis onerata austeritatibus conjecturali poetarum relevatur figmento. Quapropter ut animum nostrum reficiamus, militare inventum post multa supponamus.

Si cujuslibet rei altitudinem investigare volueris, hoc modo jaculari ingenio investigare poteris. Sume arcum cum sagitta et filo, et una fili summitate sagittae postremitati inhaerente, altera in manu remanente. Sagitta arcu emissa altitudinis mensurandae

cacumen percutiat. Post haec alterius fili summitas eodem modo sagittae vel aliqui jaculo illigetur, et horum utrum vis projectum altitudinis radicem, ut prius cacumen feriat. Quo facto utrumque filum retrahas, et quot pedum vel cubitorum sit, utrumque diligenter mensuratum inspicias. Deinde cujusque fili quisque numerus in se ductus multiplicetur, et quanta utriusque multiplicationis summa fuerit, perpendatur, ac minor summa de majori subtrahatur, et tunc ejus numeri, qui de majori summa remanserit, tetragonale latus diligenter inquiratur. Hoc vero diligenter inquisito et sapienter invento, tot pedum vel cubitorum ambiguitate semota altitudo, de qua inquiritur, pronuntietur quot pedum vel cubitorum

tetragoni illius latus unum habet. Et ut, quae diximus, apertius cognoscantur, altitudo et filo cum notis figuraliter subjiciantur. Sit altitudo, quae investigatur, a b; sit prioris fili, quod altitudinis summitatem tetigit, quantitas quinario numero terminata, a c; sit alterius fili, quod altitudinis radicem percussit, longitudo quaternario numero diffinita c b. Post haec vero prioris fili numerus in se multiplicatus in 25 concrescat; quatuor vero posterioris fili numerus in se ductus in 16 consurgat. Deinde minor numero de 25 sublato, erit remanens 9, cujus tetragonale latus 3 invenitur, quia 3 in se ductus in

9 cumulatur; trium igitur pedum erit altitudo a b.

Sed quia potest accidere, quod remanentis tetragonale latus interdum in integris numerus nequit

inveniri, subtilitas minutiarum debet necessario adhiberi, de quibus quia longum est disserere, praetermittatur, et figura cum numeris et notis supponatur.

CAPUT XLI. Ad inveniendam in ampligonio ejecturam, quanta sit, etc.

Ampligonio tribus lineis datis, majore scilicet

hypotenusa 18 pedum, basi 8, hypotenusa vero minore 10, ejecturam, super qua perpendicularis cadit, sic quaeras. Ex summa majoris hypotenusae multiplicatione aggregata duarum minorum linearum, basis scilicet minorisque hypotenusae, in se multiplicationem subtrahas. Exinde summae, quae superabundaverit, adjecto uno medietatem sumas, in qua quoties fuerit numerus basis, tot unitates ejecturae distribuas. Cathetum vero sic investiges. Ex multiplicatione minoris hypotenusae ejecturam in se multiplicatam distrahens, reliqui, qui superfuerit, latus sumas; qui numerus erit perpendicularis. Hujus autem ampligonii invenire si vis embadum, duc per cathetum, id est perpendicularem

basim horum. Deinde qui ex hac multiplicatione excreverint, sume mediam, quae absque dubio ampligonii fiet embadum.

CAPUT XLII. Quomodo in trigono orthogonio cathetus et basis quaerantur.

In trigono orthogonio, cujus podismus pedum est 25, embadum 150, cathetus et basis sic quaerantur. Hypotenusae numerus in se multiplicetur. Ad hanc, quae hinc excreverit, summam, 4 embada, quae faciunt

600 adjiciantur: quae conjunctio 1225 repraesentat.

Hujus summae erit latus 35. Deinde ut interstitium duarum rectarum inveniatur, catheti scilicet et basis, ducto hypotenusae numero in se fient 625. Hinc embadis 4 sublatis, 25 remanent. Hujus latus erit 5. Quo ad latus superioris numeri nimirum 225 juncto, fient 40. Hujus pars media basim trigoni constituet. Ex hac vero sublato numero quinario

videlicet, qui superiori, id est 35, ad basim constituendam fuerat aggregatus, aderit cathetus.

CAPUT XLIII. Ad inveniendam basis et catheti disjunctionem in trigono.

Si datum fuerit trigonum, cujus cathetus et basis simul juncti sint pedum 23, embadum 60, hypotenusa

17, basis et catheti sic quaeratur disjunctio. Hypotenusae numerus in se ducatur, qui consurget in 289. Hinc sublatis 4 embadis, id est 240 et reliqui, qui superabundaverit, id est 49, latere sumpto, atque basis et catheti summae, 23 juncto fient pedes

30. Hujus sumpta medietas erit basis ejusdem trigoni.

Hac vero de 23, id est basis simul et catheti de numero sublata relinquitur octonarius, quo constituitur cathetus. In hac vero figura catheti inventi dimidia multiplicata, et ex ea summa uno dempto invenitur basis, quae duobus sumptis fit hypotenusa.

CAPUT XLIV. In trigono oxygonio, cujus in lateribus numeri quantitate dissimiles sint, invenire perpendicularem, etc.

Dato trigonio oxygonio, cujus lateribus numeri quantitate dissimiles sint distributi, minori scilicet hypotenusae 13, basi 14, majori vero hypotenusae 15, ejusdem oxygonii si perpendicularem invenire desideras, et praescissuras dignoscere singulas, numero minoris hypotenusae in se ductae, id est 13, et basis,

id est 14, utriusque multiplicationis summam aggreges, quae fiunt 395. Ex hac vero majoris hypotenusae numerum in se ductum diducas, id est 225, reliqui vero, qui superfuerint, id est 140, sumpta dimidia parte, id est 70, et hac ad basim, id est 14 partita, quinquies 14, in eisdem 70 reperies; quae denominatio numerus fiet praescissurae minoris.

Item de multiplicatione minoris hypotenusae in se ad inveniendum perpendicularem minorem praescissuram ductam in se subtrahas. Qua detracta latus superabundantis numerus erit perpendicularis.

CAPUT XLV. Per datum quemlibet trigoni orthogonii cathetum basim invenire.

Per datum quemlibet trigoni orthogonii cathetum sic invenies basim. Cathetus ter ducatur, nona pars auferatur, reliqui dimidium sumatur, et erit basis. Basi ablatum restituatur, erit hypotenusa. Vel ita: dimidium sumatur, quod ter ducatur, de ea summa tollatur nona, remanet basis. Vel dimidium catheti sexies ducatur, nona tollatur, reliqui dimidium erit basis; basi reddita nona erit hypotenusa.

CAPUT XLVI. Trigoni orthogonii embadum invenire.

Si quaeratur trigoni orthogonii embadum, trium linearum, id est catheti, et basis atque hypotenusae numeri in unum redigantur, ut puta 6, 8, 10. Nam hi juncti 24 reddunt. Medietas hinc sumatur. Ex his basis seducatur, id est 8; quod remanet, scilicet quatuor per cathetum, id est 6 multiplicetur; illud quoque duplicetur, et fient 48. Quibus per quartam sui multiplicatis, illius summae latus habeatur pro embado.

In ampligoniis autem vel oxygoniis jam dicta regula habet consequentiam, nec etiam in orthogoniis, nisi in illis, quos sesquitertia, vel sesquiquarta regit proportio. In aliis autem vel orthogoniis sufficiat regula universalis, scilicet per cathetum basim ducere, ejus medium pro embado tenere. Nam per cathetum basim ducere nihil aliud est, nisi aream quadrati vel antelongioris implere, quam, dum ab angulo in angulum dividis, trigonum reddis.

CAPUT XLVII. Per cathetum basim invenire.

Per cathetum basim invenire si vis, cathetum ipsum ducas in se, id est 5, qui fiunt 25. Ex his uno dempto reliqui 24 dimidium sumas, id est 12, quod erit basis. Huic vero adjicias unum superius demptum, et invenies hypotenusam.

Embadi autem pedes invenire cupiens, basim per cathetum, id est 12 per 5 ducas, fient 60. Hujus sumpta dimidia id est 30, erit embadum.

CAPUT XLVIII. Trapizotici embadum invenire.

Trapizeticus est basis pedum 40, cathetus 30, coraustus 25. Embadum dignoscere si vis, per cathetum multiplica coraustum, id est trigesies 25 fiunt 750. Tunc, quod reliquum est basis, ducas per cathetum, id est trigesies 15 sunt 450 medium 225, junge superioribus, sunt 975. Ecce invenitur embadum.

CAPUT XLIX. Trigoni isoplevri, cujus sunt singula latera 30, embadi pedes comprehendere.

Trigoni isoplevri, cujus sunt singula latera 30, embadi pedes comprehendere si vis, prius cathetum sic invenias. Latus unum in se duc, fient 900; item alterius lateris mediam in se, fient 225. Hos detrahas de 900, remanebunt 675. Quibus si addideris unum, fient 676. Hujus latus est 26. Ecce cathetum quo per basis dimidiam multiplicato, id est 15 per 26, pedes invenies embadi 390.

In omni igitur orthogonio cathetum et basim efficere hypotenusam contingit; hypotenusam vero et cathetum basim; hypotenusam iterum et basim cathetum. Catheto namque in se multiplicato id est 5, qui fient 25, et basi, id est 12, qui 144 accumulant, et utrisque simul in unum junctis fiunt 169, et

ex hac latus sumptum erit hypotenusa. Ex hypotenusa autem in se multiplicata, id est 13, qui fiunt 169, si deduxeris cathetum in se, id est 25 reliqui, id est 144, sumas latus, id est 12, erit basis. Hypotenusam vero si multiplicaveris in se, et exinde summulae accretae basim inde subduxeris, id est 144 reliqui, id est 25, latus catheti fiet numerus. Cathetum et basim in eisdem orthogoniis contingit efficere embadum taliter. Catheto, id est 5, per basim, id est 12 multiplicato, fient 60; hujus vero dimidium, id est 30, erit embadum. Quod idem fieret, si per catheti dimidiam basis, vel per basis dimidium cathetus multiplicaretur.

CAPUT L. Trigoni isoscelis cathetum invenire vel embadum.

Trigoni isocelis , cujus singula latera sunt pedum 25, basis vero 14, si cathetus quaeratur, vel embadum. Uno latere in se ducto, id est 25, fient 625. His si subduxeris dimidium basis in se 49, reliqui, id est 576 sumas latus, id est 24, et tot pedum erit cathetus. Quo per basis dimidium multiplicato, invenies embadi numerum 169.

CAPUT LI. Trigoni scaleni cathetum invenire.

Trigoni scaleni, cujus minus latus sit pedum 15, basis 25, majus latus 20, cathetum inveniendi haec erit regula: minore latere in se multiplicato, id est,

15 fient 225, basi vero, id est 25, erunt 625. His utrimque summulis in unum junctis fient 850. Quibus si subduxeris majus latus in se, id est 400; ex reliquo, qui superfuerit, id est 450, sume dimidium, id est 225, eodem numero denominatam accipias

partem, quo superscribitur basis, id est 25, nonam vero 25 dicti numeri invenies, et tot pedum erit minor praecisura, qua in se multiplicata fient 81. Quos si subduxeris de minoris lateris in se multiplicatione, id est de 225, reliqui, qui superfuerit, id est 144, latus fiet catheti numerus.

CAPUT LII. In quadrato diagonum invenire.

In quadrato diagonum invenire si vis, ut in orthogoniis jam diximus, latus unum, cui superest 4, in se ducas, et fient 16. Altero vero in se ducto, id est 3, 9. Quibus in unum junctis fient 25. Cujus vero si sumpseris latus, effecisti diagonum. Per quod embadum invenire si vis, duc in se, fient 25. Hujus sumpta medietas fit embadum. Sed quod propius est veritati, et in omni contingit quadrato, per latitudinem longitudo est multiplicanda, et qui inde excreverit fiunt pedes areae.

CAPUT LIII. Numerum arborum in agro invenire

Ager, cujus longitudo est pedum 120, latitudo 70, in quo arbores dispositae sunt inter pedes 5; quarum numerus, si quaeratur, utriusque partis, quanta est, sumenda est, longitudinis scilicet 24, latitudinis

14. Quibus invicem multiplicatis, fient 336. Ecce numerus arborum.

Est et alia inveniendi regula, ut per longitudinem latitudo multiplicetur, et fient 8400, quibus per

quinquies quinque, id est 25, partitis fient 336, et tot erunt arbores. Sub scientia vero longitudine cum numero arborum comprehensa latitudo sic quaeratur, 120 qui numerus est longitudinis, partiatur per 5, et erunt 24, quos numerus arborum