L'argument de Zénon et saint Thomas
Achille et la tortue : comment saint Thomas résout les paradoxes du mouvement et de l'infini.
Argumentum Zenonis
Les paradoxes de Zénon
Les paradoxes de Zénon d'Élée (vers 490-430 av. J.-C.) constituent l'un des défis les plus célèbres adressés à la notion de mouvement. Disciple de Parménide, Zénon cherche à démontrer par l'absurde que le mouvement est impossible. Le paradoxe d'Achille et la tortue illustre cette ambition : Achille ne pourra jamais rattraper une tortue qui a pris de l'avance, car il doit d'abord parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de la moitié, et ainsi à l'infini. Le coureur devrait donc traverser un nombre infini d'intervalles avant d'atteindre sa cible.
La réponse d'Aristote
Aristote apporte la résolution décisive en distinguant l'infini en puissance et l'infini en acte. Le continu, qu'il s'agisse d'une ligne, d'un mouvement ou d'un temps, est un tout divisible à l'infini en puissance, mais il n'est pas composé de points actuellement séparés. Les divisions que Zénon invoque n'existent pas comme des parties réelles : elles ne sont que des possibilités de découpage. L'erreur logique de Zénon consiste précisément à traiter ces divisions potentielles comme des parties actuellement existantes, confondant ainsi ce qui pourrait être divisé avec ce qui est effectivement divisé.
L'apport de saint Thomas
Saint Thomas d'Aquin complète et affine la solution d'Aristote par un argument remarquable : si l'on divise la distance en une infinité de segments de plus en plus petits, le temps nécessaire pour parcourir chacun de ces segments se divise lui aussi en intervalles proportionnellement décroissants. La somme de tous ces intervalles de temps demeure finie, de sorte qu'Achille rattrape bel et bien la tortue en un temps déterminé. Cette intuition anticipe un résultat majeur des mathématiques modernes : la convergence des séries infinies, selon laquelle une somme infinie de termes décroissants peut avoir une valeur finie. Ce que les philosophes grecs et médiévaux ont résolu par la métaphysique, les mathématiciens l'ont formalisé par le calcul.
Zénon confond l'infini en puissance (divisibilité) et l'infini en acte (parties réelles), Aristote et saint Thomas résolvent le paradoxe
Testez-vous : 7 questions
1. Quelle thèse Zénon d’Élée cherche-t-il à défendre par ses paradoxes ?
- l’infini existe en acte
- le mouvement est réel
- le temps est une illusion
- l’être est immobile
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Réponse : l’être est immobile
Zénon d’Élée, disciple de Parménide, formule ses paradoxes (Achille et la tortue, la flèche) pour montrer que le mouvement est contradictoire et donc impossible, confirmant la thèse parménidienne de l’immobilité absolue de l’être.
2. Quel est le paradoxe d’Achille et la tortue ?
- Infinité d’intervalles
- La tortue disparaît
- Le mouvement est circulaire
- Achille plus lent que tortue
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Réponse : Infinité d’intervalles
Le paradoxe de Zénon montre qu’Achille, pour rattraper la tortue, doit parcourir une infinité d’intervalles de plus en plus petits. Zénon en conclut que le mouvement est impossible. Saint Thomas résout ce paradoxe en distinguant l’infini en puissance (divisible indéfiniment) de l’infini en acte.
3. Comment Aristote résout-il le paradoxe de Zénon ?
- Infini potentiel, non actuel
- La distance est indivisible
- Le mouvement est illusoire
- L’espace est fait d’atomes
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Réponse : Infini potentiel, non actuel
Zénon prétendait que le mouvement est impossible car il faudrait parcourir une infinité de points. Aristote résout le paradoxe en distinguant l’infini en puissance (la divisibilité du continu) de l’infini en acte (des parties réellement séparées). Le continu est divisible à l’infini en puissance, mais les points ne sont pas des parties actuelles.
4. Qu’est-ce que le continu selon Aristote ?
- Divisible mais sans points
- Somme infinie de segments
- Apparence sans réalité
- Fait de points indivisibles
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Réponse : Divisible mais sans points
Le continu selon Aristote est un tout divisible à l’infini mais non composé de points indivisibles. Deux parties d’un continu sont unies par une limite commune. Cette doctrine fonde la physique aristotélicienne du mouvement.
5. Quel complément saint Thomas apporte-t-il à la solution d’Aristote ?
- Diviser temps et distance
- Le temps est indivisible
- Pas d’infini en puissance
- Seul Dieu résout cela
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Réponse : Diviser temps et distance
Saint Thomas complète Aristote en montrant que si la distance se divise en une infinité de segments, le temps correspondant se divise aussi en une infinité d’intervalles proportionnels. La somme de ces intervalles reste finie, et le mouvement s’accomplit en un temps fini.
6. Quelle erreur logique Zénon commet-il selon Aristote et saint Thomas ?
- mêler vitesse et distance
- confondre puissance et acte
- nier l’existence du temps
- oublier que la tortue avance
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Réponse : confondre puissance et acte
Zénon traite les divisions potentielles d’un continu comme des parties actuellement existantes. Or, selon Aristote, un continu n’est divisible qu’en puissance, pas en acte. On ne traverse pas un nombre infini de parties actuelles.
7. En quoi la résolution aristotélico-thomiste anticipe-t-elle un concept mathématique moderne ?
- théorie des ensembles
- calcul différentiel
- géométrie non euclidienne
- convergence des séries
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Réponse : convergence des séries
La résolution thomiste du paradoxe de Zénon anticipe le concept mathématique de convergence des séries infinies : une somme infinie de termes décroissants peut avoir une valeur finie, comme Achille rattrape bien la tortue.
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Dans ce chapitre : L'infini
- L'infini
- L'infini en acte et en puissance
- L'infini divin
- L'argument de Zénon et saint Thomas