La règle de trois et les problèmes commerciaux
Si 3 mètres coûtent 12 sous, combien pour 7 ?
Regula Aurea
La reine des calculs
La « règle de trois » est la reine des méthodes de calcul pratique. Elle permet de résoudre tout problème de proportion simple : si 5 aunes de drap coûtent 30 deniers, combien coûtent 8 aunes ? On pose trois nombres connus et l'on cherche le quatrième par le rapport de proportionnalité. Les marchands l'appellent « règle d'or » (regula aurea) tant elle leur était précieuse pour le change des monnaies, le calcul des prix et la répartition des bénéfices dans les sociétés commerciales.
Fibonacci et les écoles d'abaque
Fibonacci expose en détail cette méthode dans le Liber Abaci, publié en 1202, ouvrage qui révolutionna le commerce européen en montrant comment les chiffres indo-arabes et les techniques de calcul arabes résolvaient efficacement les problèmes de proportions et de changes. Les « écoles d'abaque » (scuole d'abaco), écoles pratiques italiennes des XIIIe-XVe siècles, enseignaient ces méthodes aux fils de marchands. Malgré leur nom évoquant l'ancien instrument, elles formaient au calcul écrit indo-arabe.
Les problèmes commerciaux
Les problèmes commerciaux formaient le cœur de cet enseignement. Le calcul de mélange, appelé « alligatio », permettait de déterminer le prix moyen pondéré d'un assemblage de denrées de qualités différentes : exercice fondamental dans le négoce des épices, des vins et des métaux précieux. La conversion monétaire relevait aussi de la règle de trois, car de multiples monnaies coexistaient au Moyen Âge : sous tournois, sous parisis, deniers, florins. Enfin, la répartition proportionnelle des bénéfices dans les sociétés de commerce exigeait de diviser le profit au prorata de l'investissement de chaque associé, application directe de la proportionnalité qui faisait la fortune des compagnies marchandes.
Les problèmes commerciaux (mélanges de denrées, changes, intérêts, partages) formaient le coeur de l'enseignement pratique des écoles d'abaque.
Testez-vous : 8 questions
1. Comment appelle-t-on la méthode qui permet de trouver un quatrième nombre à partir de trois nombres en proportion ?
- La règle de cinq
- La racine carrée
- La règle de trois
- La division longue
Voir la réponse
Réponse : La règle de trois
La règle de trois permet de trouver un quatrième nombre proportionnel. C’était l’outil de calcul essentiel des marchands médiévaux.
2. Si 3 livres de poivre coûtent 12 deniers, combien coûtent 7 livres au même prix ?
- 21 deniers
- 36 deniers
- 28 deniers
- 24 deniers
Voir la réponse
Réponse : 28 deniers
C’est un problème de règle de trois : si 3 livres coûtent 12 deniers, alors 1 livre coûte 4 deniers, et 7 livres coûtent 7 × 4 = 28 deniers. Ce type de calcul marchand était fondamental dans l’enseignement arithmétique médiéval.
3. Quel surnom élogieux nos marchands donnaient-ils à la règle de trois ?
- La règle parfaite
- La règle d’or
- La règle royale
- La règle sacrée
Voir la réponse
Réponse : La règle d’or
Les marchands médiévaux surnommaient la règle de trois « la règle d’or » (regula aurea) en raison de son utilité universelle dans le commerce. Elle permet de résoudre tout problème de proportionnalité : connaissant trois termes, on trouve le quatrième.
4. Un marchand change 5 sous tournois contre 8 sous parisis. Combien de sous parisis obtiendra-t-il pour 15 sous tournois ?
- 24 sous parisis
- 30 sous parisis
- 18 sous parisis
- 20 sous parisis
Voir la réponse
Réponse : 24 sous parisis
C’est une règle de trois : si 5 sous tournois valent 8 sous parisis, alors 15 sous tournois (soit 3 × 5) valent 3 × 8 = 24 sous parisis. Ce type de conversion monétaire était courant au Moyen Âge, où coexistaient de nombreuses monnaies.
5. Dans quel ouvrage Fibonacci expose-t-il en détail la règle de trois et les problèmes marchands ?
- Le Liber Abaci
- Le Didascalicon
- Le De Computo
- Les Éléments
Voir la réponse
Réponse : Le Liber Abaci
Fibonacci expose en détail la règle de trois et les problèmes marchands dans le Liber Abaci (1202). Ce traité révolutionna le commerce européen en montrant comment les chiffres indo-arabes et les méthodes de calcul arabes résolvaient efficacement les problèmes de proportions et de changes.
6. Comment appelle-t-on les écoles italiennes du XIIIe siècle où l’on enseignait le calcul pratique aux futurs marchands ?
- Les studia
- Les écoles d’abaque
- Les écoles palatines
- Les universités
Voir la réponse
Réponse : Les écoles d’abaque
Les « écoles d’abaque » (scuole d’abaco) étaient des écoles pratiques italiennes du XIIIe-XVe siècle où les fils de marchands apprenaient l’arithmétique commerciale : règle de trois, changes monétaires, calcul des intérêts. Malgré leur nom, elles enseignaient le calcul écrit indo-arabe.
7. Un marchand mélange 6 livres d’épice à 10 deniers la livre et 4 livres à 15 deniers la livre. Quel est le prix moyen par livre du mélange ?
- 13 deniers
- 12 deniers
- 10 deniers
- 11 deniers
Voir la réponse
Réponse : 12 deniers
Prix moyen pondéré : (6 × 10 + 4 × 15) ÷ (6 + 4) = (60 + 60) ÷ 10 = 120 ÷ 10 = 12 deniers la livre. Ce type de calcul de mélange (« alligatio ») était fondamental dans le commerce médiéval des épices, vins et métaux précieux.
8. Trois marchands investissent 200, 300 et 500 deniers et gagnent 100. Quelle part revient à celui qui a investi 300 ?
- 50 deniers
- 33 deniers
- 25 deniers
- 30 deniers
Voir la réponse
Réponse : 30 deniers
C’est un problème de répartition proportionnelle. L’investissement total est 200+300+500 = 1 000. Celui qui a investi 300 détient 300/1 000 = 3/10 du capital. Sa part du bénéfice : 3/10 × 100 = 30 deniers. Ce type de calcul de société commerciale était essentiel au Moyen Âge.
Faites cette leçon dans Apôtre : les questions en mode interactif, votre progression, des rappels pour ne rien oublier. Gratuit, sans publicité. Commencer la leçon ›
Dans ce chapitre : Arithmétique pratique médiévale
- Gerbert d'Aurillac et l'abaque
- Fibonacci et le Liber Abaci (1202)
- La règle de trois et les problèmes commerciaux
- Les chiffres indo-arabes et leur diffusion