Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 5)

Ou d’une autre manière. Joignons EK. Ë£t puisque HE est égal à EK, que la droite EZ est commune, et que la base ΖΗ est égale à la base ZK, l’angle HEZ est égal à l’angle KEZ (8. 1) . Mais l’angle HEZ est égal à l’angle ΖΕΘ ; donc l’angle ΖΕΘ est égal à l’angle ΚΕΖ, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc du point Ζ, on ne peut pas mener à la circonférence une autre droite qui soit égale à HZ ; donc on n’en peut mener qu’une seule. Donc, etc.

PROPOSITION VIII.

Si hors d’un cercle on prend un point quelconque, si de ce point on mène à ce cercle des droites, si une d’elles est menée par le centre, et les autres comme on voudra ; parmi les droites menées à la circonférence concave, la plus grande est celle qui passe par le centre, et parmi les‘ autres celle qui est plus près de celle qui passe par le centre est toujours plus grande que celle qui s’en éloigne davantage ; mais parmi les droites menées à la circonférence convexe, la plus petite est celle qui est entre le point pris hors du cercle et le diamètre, et parmi les : autres celle qui est plus près de la plus petite est toujours plus petite que celle qui s’en éloigne davantage ; et du point pris hors du cercle, on ne peut mener à la circonférence de l’un et l’autre côté de la plus petite, que deux droites égales.

Soit le cercle ABΓ, et hors du cercle ΑΒΓ, prenons un point quelconque 3 ; de ce point menons à ce cercle les droites na, ΔΕ, ΔΖ, ΔΓ, et que ΔΑ passe par le centre ; je dis que de toutes les droites menées à la circonférence concave ABZΓ, la plus grande est la droite ΔΑ, menée par le centre, et que la droite qui est plus près de celle qui passe par le centre sera toujours plus grande que celle qui s’en éloigne davantage ; ° la droite ΔῈ plus grande que az, et la droite ΔΖ plus grande que ÛΓ ; mais parmi les droites menées à la circonférence convexe ÛKH, la droite ÛôH placée entre le point Δ et le dia- mètre AH est la plus petite, et la droite placée plus près de la plus petite ΔΗ est toujours plus petite que celle qui s’en éloigne davantage ; la droite δκ plus petite que δλ, et la droite δλ plus petite que la droite δθ.

Prenons le centre du cercle ΑΒΓ (1. 3) , qu’il soit le pointM ; et joignons ME, MZ, ΜΓ᾽, ΜΚ, MA, ΜΘ.

Puisque la droite ΑΜμ est égale à la droite EM, ajoutons la droite commune ΜΔ ; la droite ΑΔ sera égale aux droites EM, MΔ. Mais les droites EM, MΔ sont plus grandes que la droite ΕΔ (20. 1) ; donc la droite ΑΔ est plus grande que la droite ΕΔ. De plus, puisque la droite EM est égale à la droite ZM, ajoutons la droite commune ΜΔ, les droites ΕΜ, ΜΔ seront égales aux droites ZM, Ma ; mais l’angle EMA est plus grand que l’angle ΖΜΔ ; donc la base EX est plus grande que la base ΖΔ (24. 1) . Nous démontrerons semblablement que la droite ΖΔ est plus grande que la droite ΓΔ ; donc la droite ΔΑ est la plus grande, la droite ΔῈ plus grande que ΔΖ, et la droite 3z plus grande que a1.

De plus, puisque les droites MK, ΚΔ sont plus grandes que la droite M3 (20- 1) , et que la droite MH est égale à la droite MK, la droite restante ΚΔ est plus grande que la droite restante HA ; donc la droite ΔΗ est plus petite que la droite nrx ; donc elle est la plus petite. Et puisque sur un des côtés Mz. du triangle ΜΛΔ on a construit intérieurement deux droites, les droites ΜΚ, Ka sont plus petites que les droites mA, ΔΔ (21. 1) ; mais MK est égal à MA ; donc la droite restante ΔΚ est plus petite que la droite restante ñ1. Nous démontrerons semblablement que la droite àÛx est plus petite que la droite ΔΘ ; donc la droite ΔΗ est la plus petite, et la droite δκ est plus petite que la droite δλ, et la droite ΔΛ plus petite que la droité nw.

Je dis aussi que du point Δ, on ne peut mener au cercle que deux droites égales, de l’un et l’autre côté de la plus petite ΔΗ. Construisons sur la droite Mn, et au point M de cette droite, un angle ôMB égal à l’angle ΚΜΔ (23. 1) , et joignons ΔΒ. Puisque la droite MK est égale à MB, et que la droite Ma est com- mune, les deux droites ΚΜ, MÛ sont égales aux deux droites BM, MA, cha- cune à chacune ; mais l’angle ΚΜΔ est égal à l’angle ΒΜΔ ; donc la base ΔΚ est égale à la base nB (4. 1) . Je dis qu’on ne saurait mener du point Δ au cer- cle ΛΒΓ une autre droite égale à nrx. Quʼelle soit menée, s’il est possible, et qu’elle soit ûN. Puisque δκ est égal à δν, et ÛX égal à ΔβΒ, la droite ÛB est égale à ÛN ; donc une droite plus près de la plus petite ÛôH est égale à une droite qui s’en éloigne davantage, ce qui a été démontré impossible.

Ou autrement. Joignons MN. Puisque la droite ΚΜ est égale à MN, que la droite MA est commune et que la base AK est égale à la base AN, l’angle KMA est égal à l’angle NMa (8. 1) . Mais l’angle KMA est égal à l’angle BMa ; donc l’angle BMA est égal à l’angle NMA, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc il est impossible de mener du point A au cerele ABr, de l’un et l’autre côté de la plus petite AH, plus de deux droites égales. Donc, etc.

PROPOSITION IX.

Si dans un cercle, lon prend un point quelconque, et si plus de deux droites menées de ce ‘point à la circonférence sont égales entrelles, le point qu’on aura pris sera le centre du cercle.

Soit le cercle ÜŒΒΓ, et le point intérieur Δ, et que plus de deux droites ΔΑ, ΔΒι ΔΡ menées du point Δ à la circonférence soient égales entre elles, je dis que le point ñ est le centre du cercle ABT. Joignons les droites AB, BΓ, coupons ; les en deux parties égales aux points Ε, Ζ (I0. 1) , et ayant joint les droitesE4, ΖΔ, prolongeons-les vers les points K, H, Δ, Θ.

Puisque ΑΕ est égal à EB, et que la droite ΕΔ est commune, les deux droites AÆE, ΒΕΔ sont égales aux deux droites BEB, EBA ; mais la base ΔΑ est égale à la base ΔΒ ; donc l’angle AXBÛ est égal à l’angle BEÛ (3. 1) ; donc chacun des angles ΑΕΔ, ΒΕΔ est droit ; donc la droite HkK coupe la droite ΑΒ en deux parties égales et à angles droits. Mais lorsque, dans un cercle, une droite coupe une autre droite en deux parties égales et à angles droits, le centre du cercle est dans la sécante (cor. 1. 3) ; donc le centre du cercle ABΓ est dans Hk. Par la même raison, le centre du cercle ΑΒΓ est dans n. Mais les droites ΗΚ, ΘΛ n’ont d’autre point commun que le point Δ ; donc le point Δ est le centre du cercle ABΓ. Donc, etc.

AUTREMENT.

Dans le cercle ΑΒΓ soit pris un point quelconque δ, et que plus de deux droites égales tombent du point δ dans le cercle ABΓ, les droites ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ; je dis que le point Δ est le centre du cercle ABT.

Qu’il ne le soit point, mais s’il est possible, que ce soit le point E ; ayant joint ΔΕ, prolongeons cette droite vers les points Z, H ; la droite ZH sera le diamètre du cercle ΑΒγ. Puisque l’on a pris dans le diamètre ΖΗ du cercle ΑΒγ un point Δ, qui n’est pas le centre de ce cercle, la droite ûH sera la plus grande, la droite ÛΓ plus grande que la droite ôB, et la droite δΔΒ plus grande que la droite ñA (7. 3) - Mais elle lui est égale, ce qui est impossible ; donc le point Ε n’est pas le centre du cercle ΑΒΓ. Nous démontrerons semblablement qu‘aucun autre point, excepté Δ, ne peut l’être ; donc le point Δ est le centre du cercle ΑBΓ.

PROPOSITION X.

Un cercle ne coupe pas un cercle en plus de deux points.

Car si cela est possible, que le cercle ABΓ coupe le cercle ΔEZz en plus de deux points, aux points B, H, Z, Θ ; joignons les droites ΒΘ, BH ; coupons-les en deux parties égales aux points k, t, et par les points K, Λ, ayant conduit les droites ΚΓ, ΛΜ perpendiculaires à BB, BH, prolongeons -les vers les points Α, E. Puisque dans le cercle ABΓ, la droite ΑΓ coupe la droite BΘ en deux parties égales et à angles droits, le centre du cercle ΑΒΓ est dans la droite AΓ (cor. 1. 3) . De plus, puisque dans le même cercle ΑΒΓ la droite ΝΞ coupe la droite ΒΗ en deux parties égales et à angles droits, le centre du cercle ΑΒΓ est dans la droite NZ. Mais on a démontré qu’il est dans la droite ΑΓ, εἱ les deux droites ΑΓ, NZ ne se rencontrent qu’au point o ; donc le point o est le centre du cercle ΑΒΓ. Nous démontrerons semblablement que le point o est le centre du cercle xrzz ; donc le même point o est le centre des deux cercles ΑΒΓ, ΔΕΖ, qui se coupent mutuellement, ce qui est impossible (5. 3) . Donc ; etc.

AUTREMENT.

Car que le cercle ABΓ coupe encore le cercle ΔEΖ en plus de deux points, aux points B, H, Z ; prenons le centre K du cercle ABΓ, et joignons ΚΒ, KH, KZ.

Puisque dans le cercle ΔEΖ, on a pris un point K, et que plus de deux droites égales κβ, KZ, KH tombent du point & dans 18 cercle ΔΕΖ, le point K est le centre du cercle ΔEΖ (9. 3) - Mais le point est le centre du cercle ÛPT ; donc le même point K est le centre de deux cercles qui se coupent ; ce qui est impossible (5. 3) .

PROPOSITION XI.

Si deux cercles se touchent intérieurement, et si on prend leurs centres, la droite qui joint leurs centres étant prolongée tombera au contact de ces cercles.

Que les deux cercles ABΓ, ΑΔE se touchent intérieurement au point A ; prenons le centre Z du cercle ΑΒΓ, et le centre H du cercle ΑΔE ; je dis que la droite menée du point H au point Ζ, étant prolongée, tombera en Α.

Que cela ne soit point, mais s’il est possible, qu’elle tombe comme ΖΗΘ ; et joignons 4Z, AH.

Puisque les droites AH, HZ sont plus grandes que ΖΑ (20. 1) , c’est-à-dire que ΖΘ, retranchons la droite commune 7H ; la droite restante ΑΗ sera plus grande que la droite restante ΗΘ. Mais AH est égal à ΔΗ ; donc ΗΔ est plus grand que oH, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Donc la droite menée du point z au point H ne tombera pas hors du contact en Α ; donc elle tombera dans le contact en Α. Donc, etc.

AUTREMENT.

Mais qu’elle tombe comme T, prolongeons Hc directement vers le point, et joignons AH, ΗΖ.

Puisque les droites AH, HZ sont plus grandes que 4z, et que z est égal à7T, c’est-à-dire à ΖΘ, retranchons la droite commune ΖΗ ; la droite restante ΑΗ͂ sera plus grande que la droite restante ΗΘ, c’est-à-dire, Hn plus grand que H®, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Si le centre du grand cercle était hors du petit cercle, nous démontrerons semblablement qu’il s’en suivrait une absurdité.

PROPOSITION XII.

Si deux cercles se touchent extérieurement, la droite qui joint leurs centres passera par le contact.

Que les deux cercles ΑΒΓ, ΛΔΕ se touchent extérieurement au point Α ; prenons le centre Ζ du cercle ΑΒΓ, et le centre Η du cercle ΑΔΕ; je dis que la droite menée du point Z au point H passera par le contact en Α.

Car que cela ne soit point, mais, s’il est possible , quelle tombe comme ΖΓΔΗ, et joignons ZA, iH. δ

Puisque le point z est le centre du cercle ÛΑΒΓ, la droite ΖΑ est égale à 7T. De plus, puisque le point m est le centre du cercle Αδὲ, la droite Αἢ est égale à ΗΔ, Mais on a démontré que ΖΑ est égal à la droite zû ; donc las droites Z4 AK sont égales aux droites ΖΓ, ΔΗ ; donc la droite entière ZH est plus grande que les droites ΖΑ, ΑΗ. Mais au contraire, elle est plus petite (20. 1) , ce qui est impossible. Donc la droite menée du point Z au point H ne peut pas ne pas passer par le contact en ; donc elle y passe. Donc, etc.

PROPOSITION XIII.

Un cercle ne touche point un cercle en plus d’un point, soit qu’il le touche intérieurement, ou extérieurement.

Car si cela est possible, que le cercle ABΔΓ touche d’abord intérieurement le cercle ΕΒΖΔ en plus d’un point, aux points B, Δ.

Prenons le centre H du cercle ABΔΓ, et le centre Θ du cercle EBZΔ. La droite menée du point H au point Θ passera par les points B, Δ (r1. 3) . Qu’elle tombe comme BHΘΔ. Puisque le point H est le centre du cercle çBar, la droite ΒΗ est égale à ΗΔ ; donc BH est plus grand que os ; donc ΒΘ est beaucoup plus grand queé os De plus, puisque le point Θ est le centre du cercle ΕΒΖΔ, la droite ΒΘ est égale à on. Mais on a démontré qu’elle est beaucoup

plus grande, ce qui est impossible ; donc un cercle ne touche pas intérieurement un cercle en plus d’un point.

Je dis aussi qu’il ne le touche pas extérieurement en plus d’un point. Car, s’il est possible, que le cercle AΓK touche extérieurement le cercle ΑΒΔΓ en. plus d’un point, aux points Α. , Γ ; joignons ΑΓ.

Puisque dans la circonférence des cercles ΑΒΔΡ, ATX, on : a pris deux points. quelconques 4, Γ ; . la droite qui joindra ces deux points tombera dans lʼun et l’autre cercle (2. 3) . Mais elle tombe dans le cercle aBar, et hors du cercle αγκ (déf. 3. 3) , ce qui est absurde ; donc un cercle ne touche pas extérieurement un cercle en plus d’un point. Mais on a démontré qu’il ne le touche pas intérieurement en plus d’un point. Donc etc.

PROPOSITION XIV.

Dans un cercle les droites égales sont également éloignées du centre, et les droites également éloignées du centre β8οπϊ égales entrelles.

Soit le cercle ÛBaΓ, et que dans ce cercle les droites : AB, ΓΔ soient égales ; je dis que les droites ΑΒ, ΓΔ sont également éloignées du centre.

Prenons le centre du cercle ΑΒΔΓ, qu’il soit le point E, du point E menons les droites EZ, EH perpendiculaires aux droites aB, ΓΔ, et joignons XE, TE. Puisque/la droite EZ menée par le centre, coupe à angles droits la droite ΑΒ, non menée par le centre, elle la coupe en deux parties égales (3. 3) . Donc Αἴ est égal à BZz ; donc ΑΒ est double de ΑΖ. Par la même raison Γ est double de ΤῊ ; mais ΑΒ est égal à ΓΔ ; donc az est égal a ΓH. Et puisque ΑΕ est égal àET, le quarré de ΑΒ est égal au quarré de ΕΓ. Mais les quarrés des droites ΑΖ, 7E sont égaux au quarré de ΑΕ (47- 1) , car lʼangle en Z est droit ; et les quarrés des droites EH, , ΗΓ sont égaux au quarré de ET, , car l’angle enH est droit ; donc les quarrés des droites AZ, ZE sont égaux aux quarrés des droites TH ! , HE ; mais le quarré de ΑΖ est égal au quarré de ΓH, car 4z est égal à ΓH ; donc le quarré restant de ZE est égal au quarré restant de EH ; donc ZzE est égal à EH. Mais dans un cercle les droites sont dites également éloignées du centre, lorsque les perpendiculaires menées du centre sur ces droites sont égales (déf. j. ä) ; donc les droites ΑΒ, ΓΔ sont également éloignées du centre.

Mais que les droites AB, Γ— soient également éloignées du centre, c’est-à-dire, que ZE soit égal à EH ; je dis que AB est égal à ΓΔ.

Les mêmes constructions étant faites, nous démontrerons semblablement que AB est double de 4z, et Γ ; double de Γη. Ετ puisque ΑΒ est égal à TE, le quarré de ΑῈ est égal au quarré de ΓΕ. Mais les quarrés des droites EZ, ZA sont égaux au quarré de ÆE (47. 1) , et ies quarrés des droites EH, HΓ égaux au quarré de zE ; donc les quarrés des droites 8Ζ, ZA sont égaux aux quarrés des droites EH, ἫΓ ; mais le quarré de EZ est égal an quarré de EH, car EZ est égal à ΒΗ ; donc le quarré restant de ΑΖ est égal au quarré restant de ΓΗ͂ donc 4z est égal à ΓB ; mais AB est double de la droite z, et çn double de à°€° ; donc ΑΒ est égal à

PROPOSITION XV.

Dans un cercle le diamètre est la plus grande de toutes les droites, et parmi es autres, celle qui est plus près du centre est plus grande que celle qui en est plus éloignée.

Soit le cercle AΒΓΔ ; que ΑΔ en soit le diamètre, et B le centre, et que ΒΓ soit plus près du centre que ZH ; je dis que la droite ΑΔ est la plus grande, et que ΒΓ est plus grand que ZH.

Menons du centre E les droites EΘ, EK perpendiculaires aux droites ΒΓ, ZH. Et puisque ΒΓ est plus près du centre que ΖΗ, ι la droite ΕΚ est plus grande que ΕΘ (déf. 5. 3) . Faisons la droite EÛ égale à EΘ, par le point Λ menons la droite ΛΜ perpendiculaire à ΕΚ, prolongeons-la vers N, et joignons EM, EN, EZ, EH. Puisque EΘ est égal à EA, la droite ΒΓ est égale à MN (14. 3) . De plus, puisque AE est égal à EM, et ΕΔ égal à EN, la droite ΑΔ est égale aux droites ME, EN. Mais les droites ME, EN sont plus grandes que MN ; donc as est plus grand que MN. Mais MN est égal à BΓ ; donc ΑΔ est plus grand que BΓ. Et puisque les deux droites MBE, EN sont égales aux deux droites ZE, EH, et que l’angle MEN est plus grand que l’angle ΖΕΗ͂, la base MN est plus grande que la base ZH (24- 1) Mais on a démontré que MN est égal à BΓ ; donc ΒΓ est plus grand que ZH. Donc le diamètre ΑΔ est la plus grande de toutes les droites, et BΓ est plus grand que ZH. Donc, etc.

PROPOSITION XVI.

Une perpendiculaire au diamètre d’un cercle et menée de l’une de ses extrémités, tombe hors de ce cercle ; dans l’espace compris entre cette perpendiculaire et la circonférence, on ne peut pas mener une autre droite ; et l’angle du demi-cercle est plus grand, et l’angle restant est plus petit qu’aucun angle rectiligne aigu. Soit le cercle ΑΒΓ ayant pour centre le point Δ, et pour diamètre la droite AB ; je dis que la perpendiculaire menée du point Α à la droite AB, tombe hors du cercle.

Car que cela ne soit point, mais s’il est possible, qu’elle tombe en-dedans comme TA, et joignons T.

Puisque ΔΑ est égal à ΔΓ, l’angle ΔΑΓ est égal à lʼangle ΑΓΔ (5. 1) ; mais l’angle ΔΑΓ est droit ; donc l’angle AΓΔ ; est droit aussi ; donc les angles ΔΑΓ, ΑΓΔ du triangle ΑΓΔ sont égaux à deux angles droits, ce qui est impossible (17 : 1) ; donc la perpendiculaire menée du point Α au diamètre ΑB, ne tombe point dans le cercle. Nous démontrerons semblablement quʼelle ne tombe point dans la circonférence ; donc elle tombe en-dehors comme AE.

Je dis encore qu’aucune droite ne peut tomber dans l’espace qui est entre la droite AE et la circonférence ΓΘA. Car si cela est possible, qu’elle tombe comme ΖΑ, et du point à menons nH perpendiculaire à ΖΑ.

Puisque l’angle ΑΗΔ est droit, et que l’angle ΔΑΗ est plus petit qu’un droit, la droite ΑΔ est plus grande que nH. Mais as est égal à ΔΘ ; donc ΔΘ est plus grand que ΔΗ, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Donc une droite ne peut pas tomber dans l’espace quiʼ est entre la droite Æ et la circonférence.

Je dis enfin, que l’angle du demi-cercle compris par la droite ΒΑ et la circonférence ΓΘΑ est plus grand que tout angle rectiligne aigu, et que l’angle restant compris par la circonférence ΓΘΑ et la droite ΑΒ est plus petit que tout angle rectiligne aigu.

Car s’il y a un angle rectiligne plus grand que l’angle compris par la droite BA et par la circonférence ΓΘΑ, et un angle plus petit que l’angle compris par la circonférence ΓΘΑ͂ et la droite ΑΒ, dans l’espace compris entre la circonférence ΓθA et la droite AE, il y aura une droite qui fera un angle plus grand que l’angle compris par la droite BA et la circonférence ΓθA, et un angle plus petit que l’angle compris par la circonférence ΓθA et la droite AE. Mais il n’y en a point ; donc il n’y a point d’angle aigu, compris par des droites, plus grand que l’angle compris par la droite BA et la circonférence ΓθA, ni d’angle plus petit que l’angle compris par la circonférence ΓθA et la droite AE. Ce qu’il fallait démontrer.

COROLLAIRE.

De là il est évident que la droite perpendiculaire au diamètre, et menée d’une de ses extrémités, touche la circonférence, et que cette droite ne la touche qu’en un seul point. Puisqu’il a été démontré que la droite qui rencontre un cercle en deux points entre dans ce cercle (2. 3) .

PROPOSITION XVII.

Dʼun point donné, mener une ligne droite qui touche un cercle donné.

Soit A le point donné, et BΓΔ le cercle donné ; il faut mener du point A une ligne droite qui touche le cercle BΓΔ.

Prenons le centre Ε de ce cercle, joignons çB, du centre E et de l’intervalle EA, décrivons le cercle ΑΖΗ (dém. 3) ; par le point Δ menons ΔΖ perpendiculaire à AE, et joignons EZ, ΑΒ ; je dis que la droite ΑΒ, menée du point A, touche le cercle BΓΔ.

Car puisque le point B est le centre des cercles BΓΔ , AZH, la droite AE est égale à EZ, et EΔ égal à EB ; donc les deux droites ΑΒ, EB sont égales aux deux droites ZE, EΔ ; mais ces droites comprènent un angle commun en E ; donc la base ΔΖ est égale à la base ΑΒ, le triangle ΕΔΖ égal au triangle EB4, et les angles restants égaux aux angles restants (j 1) ; donc l’angle ΕΔΖ est égal à l’angle EBA. Mais l’angle ΕΔΖ est droit ; donc l’angle ΕΒΑ est droit aussi. Mais la droite EB est menée par le centre, et la perpendiculaire au diamètre du cercle, et menée de l’une des extrémités du diamètre touche le cercle (16. 3) ; donc la droite ΑΒ touche le cercle ΒΓΑ.

Donc la ligne droite ΑΒ, menée par le point donné A, touche le cercle BΓΔ. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XVIII.

Si une droite touche un cercle, et si du centre on mène une droite au point de contact, cette droite sera perpendiculaire à la tangente.

Que la droite 2 touche le cercle ABΓ au point Γ ; prenons le centre Ζ du cercle ABΓ, et du point Z au point Γ menons zr ; je dis que la droite Zr est perpendiculaire à ΔΕ.

Car si elle ne l’est pas, du point Z menons ΖΗ perpéndiculaire à ΔῈ (12. 1) .

Puisque l’angle ΖΗΓ est droit, l’angle ZyH est aigu (17- 1) ; mais un plus grand côté soutend un plus grand angle (10. 1) ; donc ΖΓ est plus grand que ZH. Mais zΓ est égal à ΖΒ ; donc la droite ΖΒ est plus grande que la droite 7H, la plus petite que la plus grande, ce qui est impossible ; donc ZH n’est pas une perpendiculaire à ΔE. Nous démontrerons semblablement qu’il n’y en a point d’autre, excepté ZΓ ; donc ΖΓ est perpendiculaire à ΔΕ. Donc, etc.

PROPOSITION XIX.

Si une droite touche un cercle, et si du point de contact on mène une ligne droite perpendiculaire à la tangente, le centre du cercle sera dans la droite qui aura été menée.

Car qu’une droite ΔΕ touche le cercle ΑΒΓ au point Γ, et du point Γ menons ΓΑ perpendiculaire à ΔΕ ; je dis que le centre du cercle est dans ΑΓ.

Car que cela ne soit point, mais s’il est possible, que le centre soit z, et joignons ΓΖ. Puisque la droite ΔE touche le cercle ΑΒΓ, et que ΖΓ a été mené du centre au point de contact, la droite zr est perpendiculaire à ΔῈ (18. 3) ; donc l’angle ZTE est droit. Mais l’angle AΓEB est droit aussi ; donc l’angle ZTE est égal à l’angle ATE, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc le point Ζ m’est pas le centre du cercle ΑΒΓγ. Nous démontrerons semblablement qu’aucun autre point ne peut l’être, à moins qu’il ne soit dans Αγ. Donc, etc.

PROPOSITION XX.

Dans un cercle, l’angle au centre est double de l’angle à la circonférence, quand ces angles ont pour base le même arc.

Soit le cercle AΒΓ, que l’angle ΒΕΓ soit au centre de ce cercle, que l’angle ΒΑΓ soit à la circonférence, et que ces angles ayent pour base le même arc zT ; je dis que l’angle ΒΕΓ est double de l’angle BAT. Joignons la droite AE, et prolongeons-la vers Z.

Puisque ΒΑ est égal à EB, l’angle EAB est égal à l’angle EB4 (5. 1) ; donc les angles EAB, EBA sont doubles de l’angle EAB. Mais l’angle BEZ est égal aux angles EAB, EBA (32. 1) ; donc l’angle BEZ est double de l’angle E/B. L’angle BEZ est double de l’angle ΖΑΓ par la même raison ; donc l’angle entier ΒΕΓ est double de Vangle entier BAT.

Que l’angle ΒΑΓ change de position, et qu’il soit un autre angle BAT ; ayant joint la droite ΔΕ, prolongeons-la vers H. Nous démontrerons semblablement que l’angle ΗμΓ est double de l’angle HAT ; mais l’angle HEB est double de l’angle ΗΔΒ ; donc l’angle restant BEΓ est double de l’angle restant B°Γ. Donc, etc.

PROPOSITION XXI.

Dans un cercle, les angles placés dans le même segment sont égaux entr’eux.

Soit le cercle ABΓ, et que les angles BAA, BEA soient dans le même segment BAES ; je dis que les angles ΒΑΔ, ΒΕΔ sont égaux entr’eux.

Car prenons le centre du cercle ΑΒΓΔ (1. 3) , qu’il soit Z, et joignons BZ, Za.

Puisque l’angle ΒΖΔ est au centre, que l’angle BAÛ, est à la circonférence, et que ces deux angles ont pour base le même ard ΒΓΔ, l’angle ΒΖΔ est double de l’angle ΒΑΔ (10. 3) . L’angle ΒΖΔ est double de l’angle ΒΕΔ, par la même raison ; donc l’angle ΒΑΔ est égal à l’angle ΒΕΔ (not. 7) . Donc, etc.

PROPOSITION XXII.

Les angles opposés des quadrilatères inscrits dans des cercles sont égaux à deux droits.

Soit le cercle ABΓΔ, et que le quadrilatère ÂBΓ5 lui soit inscrit ; je dis que les angles opposés de ce quadrilatère sont égaux à deux droits.