Les Éléments (trad. Peyrard, 1804)

EUCLIDIS

ELEMENTORUM

LIBER PRIMUS.

Separateur-10-Vaguelettes1

LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS DʼEUCLIDE.

DÉFINITIONS.

Le point est ce qui nʼa pas de parties.

Une ligne est une longueur sans largeur.

Les extrémités d’une ligne sont des points.

La ligne droite est celle qui est également placée aux points qui sont en elle.

Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.

Les extrémités d’une surface sont des lignes.

La surface plane est celle qui est également placée aux droites qui sont en elle.

Un angle plan est lʼinclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même direction.

Lorsque les lignes, qui comprènent ledit angle, sont des droites, lʼangle se nomme rectiligne.

Lorsquʼune droite tombant sur une droite fait deux angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit ; et la droite placée au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée,

Lʼangle obtus est celui qui est plus grand quʼun droit.

Lʼangle aigu est celui qui est plus petit quʼun droit.

On appèle limite ce qui est l’extrémité de quelque chose.

Une figure est ce qui est compris par une seule ou par plusieurs limites.

Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne quʼon nomme circonférence, toutes les droites, menées à la circonférence dʼun des points placés dans cette figure, étant égales entre elles.

Ce point se nomme le centre du cercle.

Le diamétre du cercle est une droite menée par le centre, et terminée de part et dʼautre par la circonférence du cercle : en deux parties égales. le diamètre partage le cercle

Un demi-cercle est la figure comprise par le diamétre, et la portion de la circonférence, soutendue par le diamètre.

Un segment de cercle est la figure comprise par une droite et par la circonférence du cercle ; le demi-cercle étant plus grand ou plus petit que le segment.

Les figures rectilignes sont celles qui sont terminées par des droites.

Les figures trilatères sont terminées par trois droites.

Les quadrilatères, par quatre.

Les multilatères, par plus de quatre.

Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.

Le triangle isocéle, celle qui a seulement deux côtés égaux.

Le triangle scaléne, celle qui a ses trois cótés inégaux.

De plus, parmi les figures trilatéres, le triangle rectangle est celle qui a un angle droit.

Le triangle obtusangle, celle qui a un angle obtus.

Le triangle acutangle, celle qui a ses trois angles aigus.

Parmi les figures quadrilatères, le quarré est celle qui est équilatérale et rectangulaire.

Le rectangle, celle qui est rectangulaire, et non équilatérale.

Le rhombe, celle qui est équilatérale, et non rectangulaire.

Le rhomboide, celle qui a ses côtés et ses angles opposés égaux entre eux, et qui nʼest ni équilatérale ni rectangulaire.

Les autres quadrilatères, ceux-là exceptés, se nomment trapèzes.

Les parallèles sont des droites, qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à lʼinfini de part et ni de lʼautre, dʼautre, ne se rencontrent ni dʼun côté ni de lʼautre.

DEMANDES.

Conduire une droite d’un point quelconque à un point quelconque.

Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.

Dʼun point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Tous les angles droits sont égaux entre eux.

Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à lʼinfini, Se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Deux droites ne renferment. point un espace.

NOTIONS COMMUNES.

Les grandeurs égales à une même grandeur, sont égales entre elles.

Si à des grandeurs égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux.

Si de grandeurs égales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux.

Si à des grandeurs inégales, on ajoute des grandeurs égales, les touts seront inégaux

Si de grandeurs inégales, on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux.

Les grandeurs, qui sont doubles d’une même grandeur, sont égales entre elles.

Les grandeurs, qui sont les moitiés d’une même grandeur, sont égales entre elles.

Les grandeurs, qui s’adaptent entre elles, sont égales entre elles.

Le tout est plus grand que la partie.

PROPOSITION PREMIÈRE.

Sur une droite donnée et finie, construire un triangle équilatéral.

Exposition. Soit AB une droite donnée et finie.

Détenmination. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral.

Construction. Du centre 4 et de lʼintervalle AB, décrivons la circonférence BrA (dem. 5) ; etde plus, du centre 8 et de l’intervalle BA, décrivons la circonférence ATE ; et du point Tr, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites rA, TB (dem. 1 }.

Démonstration. Car, puisque le point A est le centre du cercle Br4, la droite AT est égale à la droite 48 (déf. 15) ; de plus, puisque le point 8 est le centre du cercle ATE, la droite Br est égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite rA était égale a la droite AB ; donc chacune des droites rA, TB est égale à la droite AB ; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (not. 1) ; donc la droite rA est égale à la droite 1B ; donc les trois droites TA, AB, Br sont égales entre elles.

Conclusion. Donc le triangle ABr (def. 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION II.

À un point donné, placer une droite égale à une droite donnée.

Soit À le point donné, et Br la droite donnée ; il faut au point 4 placer une droite égale à la droite donnée Br.

Menons. du point 4 au point B la droite AB (dem. 1) ; sur cette droite construisons le triangle équilatéral AAB { prop. r) ; menons les droites AE, BZ dans la direction de AA, AB ; du centre B et de l’intervalle Br, décrivons le cercle rH6 (dem. 3) ; et de plus, du centre 4 et de l’intervalle AH, décrivons le cercle HKA.

Puisque le point B est le centre du cercle rH®, Br est égal à BH (déf. 15) ; de plus, puisque le point 4 est le centre du cercle HK4, la droite AA est égale à la droite AH ; mais AA est égal à AB ; donc le reste AA est égal au reste BH (not. 3) . Mais on a démontré que Br est égal à BH ; donc chacune des droites AA, Br est égale à BH. Mais les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (not. 1. ) ; donc AA est égal à Br.

Donc, au point donné 4, on a placé une droite AA égale à la droite donnée Br. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION III.

Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.

Soient 4B, Tr les deux droites inégales données, que 48 soit la plus grande ; il faut de la plus grande 4B retrancher une droite égale à la plus petite Tr.

Au point A plaçons une droite AA égale à r (prop. 2) , et du centre 4 et de lʼintervalle AA, décrivons le cercle AEZ (dem. 3) .

Puisque le point A est le centre du cercle AEZ, AE est égal à AA ; mais T est égal à AA ; donc chacune des droites AE, Tr, est égale à la droite 44 ; donc la droite AE est égale à la droite r.

Donc les deux droites inégales AB, Tr, étant données, on a retranché de la plus grande 4B une droite AE égale à la plus petite r. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION IV.

Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si les angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs bases égales, ils seront égaux, et les angles restans, soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun.

Soient les deux triangles AΒΓ, ΔEZ ; que ces deux triangles aient les deux côtés AB, AT égaux aux deux côtés AE, 4z, chacun à chacun, le côté 4B égal au côté AE, et le côté Ar au côté Az, et quʼils aient aussi lʼangle BAT égal à lʼangle EAZ ; Je dis que la base Br est égale à la base EZ, que le triangle ABT sera égal au triangle 4EZ, et que les angles restans, soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun ; l’angle ΑΒΓ égal à l’angle ΔΕΖ, et l’angle AΒΓ égal à l’angle ΔZE.

Car le triangle AΒΓ étant appliqué sur le triangle ΔEZ, le point A étant posé sur le point A, et la droite AB sur la droite 4E, le point B s’appliquera sur le point E, parce que AB est égal : à AE ; mais AB étant appliqué sur AE, la droite Ar $ ʼappliquera sur AZ, parce que lʼangle BAT est égal à l’angle Eaz ; donc le point Tr s’appliquera sur le point Z, parce que AT est égal à AZ ; mais le point B s’applique sur le point E ; donc la base Br s’appliquera sur la base EZ ; car si le point B s’appliquant sur le point E, et le point r sur le point Z, la base Br ne s’ap- pliquait pas sur la base EZ, deux droites comprendraient un espace, ce qui est impossible (dem. 6) ; donc la base Br s’appliquera sur la base EZ, et lui sera égale ; donc le triangle entier ABΓ s’appliquera sur le triangle entier ΔEZ, et lui sera égal ; et les angles restans s’appliqueront sur les angles restans, et leur seront égaux, l’angle ABΓ à l’angle ΔEZ, et l’angle AΓB à lʼangle ΔZE.

Donc, si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si les angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs bases égales, ils seront égaux, et les angles restans, soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION V.

Dans les triangles isoscèles, les angles sur la base sont égaux entre eux, et les côtés égaux étant prolongés, les angles sous la base seront aussi égaux entre eux. Soit le triangle isoscèle ABΓ, ayant le côté AB égal au côté AΓ ; menons les droites BΔ, ΓE, dans la direction de AB, AΓ (dem. 2) ; Je dis que lʼangle ABΓ est égal à lʼangle AΓB, et que lʼangle ΓBA est aussi égal à l’angle BΓE.

Car prenons dans BA un point quelconque 7, et de la droite AE, plus grande que 4Z, retranchons une droite AH égale à la plus petite AZ, et joignons les droites ZT, HB.

Puisque AZ est égal à AH, et AB à AT, les deux droites ZA, AT sont égales aux deux droites HA, AB, chacune à chacune ; mais elles comprennent un angle commun ZAH ; donc (4) la base Zr est égale à la base HB, le triangle AZTr sera égal au triangle AHB, et les angles restans, soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun ; l’angle ATZ à l’angle ABH, et l’angle 4zr à l’angle AHB. Et puisque la droite entière AZ est égale à la droite entière AH, et que 4B est égal à AT, la restante BZ sera égale à la restante rH (not. 5) . Mais on a démontré que Zr est égal à HB ; donc les deux droites Bz, Zr sont égales aux droites TH, HB, chacune à chacune ; mais l’angle BZr est égal à l’angle rHB, et la droite Br est leur base commune ; donc le triangle BZT sera égal au triangle rHB, et les angies restans, Soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun ; donc l’angle ZBr est égal à l’angle HrB, et l’angle BrZ égal à l’angle r8H. Mais on a démontré que l’angle entier ABH est égal à l’angle entier Arz, et l’angle TBH est égal à l’angle 8rz ; donc l’angle restant ABr est égal à l’angle restant ATB (not. 3) , et ces angles sont sur la base ; mais on a démontré aussi que l’angle zBr est égal à lʼangle HΓB, et ces angles sont sous la base ; donc, etc.

PROPOSITION VI.

Si deux angles d’un triangle sont égaux entre eux, les côtés opposés à ces angles égaux, seront aussi égaux entre eux.

Soit le triangle ABΓ, ayant l’angle ABΓ égal à l’angle AΓB ; je dis que le côté AB est égal au côté AΓ.

Car si le côté AB n’est pas égal au côté AΓ, l’un d’eux sera plus grand que l’autre. Soit AB le plus grand ; retranchons du plus grand côté AB la droite ΔB égale au plus petit AΓ (3) , et joignons ΔΓ.

PuisqueΔB est égal à AΓ, et que BΓ est commun, les deux côtés ΔB, BΓ sont égaux aux deux côtés AΓ, ΓB, chacun à chacun ; mais lʼangle ΔBΓ est égal à lʼangle AΓB ; donc la base ΔΓ est égale à la base AB, et le triangle ΔBΓ sera égal au triangle AΓB, le plus petit au plus grand, ce qui est absurde ; donc les droites AB, AT ne sont pas inégales ; donc AB est égal à AΓ. Donc, etc.

PROPOSITION VII.

Sur une même droite, et à deux points différents placés du même côté, on ne peut pas construire deux droites égales à deux autres droites, chacune à chacune, et ayant les mêmes extrémités que ces deux autres.

Car, si cela est possible, sur une même droite A, B, et à deux points différents Γ et Δ, placés du même côté, construisons les deux droites AΔ, ΔB égales à deux autres droites AΓ, ΓB, chacune à chacune, et ayant les mêmes extrémités A, B ; de manière que la droite TA soit égale à la droite AA, et ait la même extrémité 4 que celle-ci, et que la-droite ΓB soit égale à la droite ΔB, et ait la même extrémité B que celle-ci ; joignons ra, (et prolongeons BΓ, BΔ vers les points E, Z. )

Puisque ΑΓ est égal à ΑΔ, l’angle ΑΓΔ est égal à l’angle 4ΔΓ (5) ; donc l’angle ΑΔΓ est plus grand que l’angle ΔΓE ; donc l’angle ΓΔZ est beaucoup plus grand que l’angle ΔΓE. De plus, puisque ΓB est égal à ΔB, l’angle ΓΔZ est égal à l’angle ΓΔE ; mais on a démontré qu’il est beaucoup plus grand, ce qui est impossible, Donc, etc.

PROPOSITION VIII.

Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et s’ils ont la base égale à la base, les angles compris par les côtés égaux seront égaux. Soient les deux triangles ABΓ, ΔEZ, ayant les deux côtés AB, AΓ égaux aux deux côtés AE, AZ, chacun à chacun, le côté AB égal au côté AE, et le côté Ar égal au côté 4z ; qu’ils aient de plus la base Br égale à la base EzZ ; je dis que l’angle Bar est égal à l’angle EAZ.

Car le triangle 4Br étant appliqué sur le triangle AEz, le point B étant placé sur le point E, et la droite Br sur la droite Ez, le point r s’appliquera sur le point z, parce que Br est égal à Ez ; la droite Br s’appliquant sur la droite Ez, les droites BA, TA s’appliqueront sur les droites EA, AZ ; car si la base Br s’appliquant sur la base EZ, les côtés BA, AT ne s’appliquaient pas sur les côtés AE, AZ, et prenalent une autre position, comme EH, HZ, On pourrait construire sur une même droite, et à deux points différens placés du même côté, deux droites égales à deux autres droites, chacune à chacune, et ayant les mêmes extrémités que ces deux autres ; mais elles ne peuvent pas être construites (7) ; donc la base Br sʼappliquant sur la base Ez, les côtés BA, AT ne peuvent pas ne point s’appliquer sur les côtés EA, AZ ; donc ils sʼappliqueront les uns sur les autres ; donc l’angle BAT s’applique sur l’angle EΔZ ; donc il lui est égal. Donc, etc.

PROPOSITION IX.

Partager un angle rectiligne donné en deux parties égales.

Soit BAT un angle rectiligne donné ; il faut le partager en deux parties égales.

Prenons dans la droite AB un point quelconque 4, retranchons de la droite Ar une droite AE égale, à la droite A4, joignons AE, sur la droite AE, construisons le triangle équilatéral AEZ (1) , et joignons AZ ; je dis que l’angle BΑΓ est partagé en deux parties égales par la droite AZ.

Puisque ΑΔ est égal à AE, et que la droite AZ est commune, les deux droites AA, AZ, seront égales aux deux droites EA, AZ, chacune à chacune ; mais la base AZ est ‘égale à la base Ez ; donc l’angle A4Z est égal à lʼangle E4z (8) .

Donc lʼangle rectiligne donné BAT est partagé en deux parties égales par la droite AZ ; ce quʼil fallait faire.

PROPOSITION XI.

À une droite donnée, et à un point donné dans cette droite, mener une ligne droite à angles droits,

Soit AB une droite donnée, et Γ le point donné dans cette droite ; il faut du point Γ mener à la droite AB une ligne droite à angles droits.

PROPOSITION X.

Partager une droite donnée et finie en deux parties égales. Soit donnée une droite finie AB ; il faut partager la droite finie AB en deux parties égales.

Construisons sur cette droite un triangle équilatéral ABT (1) , et partageons l’angle AΓB en deux parties égales par la droite ΓΔ (9) ; je dis que la droite AB est partagée en deux parties égales au point Δ.

Car puisque la droite AΓ est égale à la droite ΓB, et que la droite ΓΔ est commune, les deux droites AΓ, ΓΔ sont égales aux deux droites BΓ, ΓΔ, chacune à chacune ; mais l’angle AΓΔ est égal à lʼangle BΓΔ ; donc la base ΑΔ et égale à la base BΔ (4) .

Donc la droite donnée et finie AB est partagée en deux parties égales au point Δ ; ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XI.

À une droite donnée, et à un point donné dans cette droite, mener une ligne droite à angles droits,

Soit AB une droite donnée, et Γ le point donné dans cette droite ; il faut du point Γ mener à la droite AB une ligne droite à angles droits. Prenons dans la ligne droite AT un point quelconque 4, faisons TE égal à rA (3) , construisons sur AE le triangle équilatéral ZAE, et joignons zr ; je dis que la droite TZ est menée à angles droits à la droite AB du point r donné dans cette droite.

Car puisque la droite rA est égale à la droite TE, et que la droite TZ est commune, les deux droites AT, rzZ sont égales aux deux droites Er, TZ, chacune à chacune ; mis la base 47 est égale à la base ZE ; donc l’angle arz est égal à lʼangle Erz (8) ; mais ces deux angles sont de suite, et lorsqu’une droite placée sur une droite fait les angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit (déf. 10) ; ; donc chacun des angles ArZ, ZTE est droit.

Donc la ligne droite ZΓ a été menée à angles droits à la droite donnée AB du point Γ donné dans cette droite.

PROPOSITION XII.

A une droite indéfinie et donnée, et d’un point donné qui n’est pas dans cette droite, mener une ligne droite perpendiculaire.

Soit AB une droite indéfinie et donnée, et T un point donné qui n’ést pas dans cette droite ; il faut à cette droite indéfinie et donnée AB, mener du point donné r qui n’est pas dans cette droite, une ligne droite perpendiculaire.

Prenons de l’autre côté de la droite 4B un point quelconque 4, et du centrer et d’un intervalle rA, décrivons le cercle EZH (dem. 3) , partageons la droite EH en deux parties égales au point Θ (10) , et joignons TH, TΘ, TE ; je dis qu’à la droite indéfinie et donnée 48, et du point donné T qui n’est pas dans cette droite, on a mené une perpendiculaire ΓΘ. Car puisque la droite HΘ est égale à la droite @E, et que la droite er est

commune, les deux droites ΘΓ, ΘH sont égales aux deux droites EΘ, ΘΓ, chacune à chacune ; mais la base ΓH est égale à la base ΓE (déf. 15) ; donc lʼangle ΓΘH est égal à l’angle EΘΓ (8) ; mais ces deux angles sont de suite, et lorsquʼune droite placée sur une droite fait les angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit, et la droite placée au dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.

On a donc mené ΓΘ perpendiculaire à la droite indéfinie AB, du point donné Γ placé hors de cette droite. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XIII.

Si une droite placée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits, ou deux angles égaux à deux droits.

Qu’une droite AB placée sur une droite ra fasse les angles TBA, ABA ; je dis que les angles TBA, ABA sont ou deux droits, ou égaux à deux droits. Car si l’angle ΓBA est égal à lʼangle ABΔ, ces deux angles sont droits (déf. 10) . Si non, du point B conduisons BE à angles droits à ΓA (11) ; les deux angles ΓBE, EBA seront droits ; et puisque l’angle ΓBE est égal aux deux angles TBA, ABE, si l’on ajoute l’angle commun EBA, les angles TBE, EBA seront égaux aux trois angles TBA, ABE, EBA. De plus, puisque l’angle ABA est égal aux deux angles ABE, EBA, si l’on ajoute l’angle commun ABr, les angles ABA, ABT seront égaux aux trois angles ABE, EBA, ABT. Mais on a démontré que les angles TBE, EBA leur sont égaux ; et les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles ; donc les angles TBE, EBA sont égaux aux angles ABA, ABr ; mais les

angles TBE, EBA sout deux angles droits ; donc les angles ABA, ABT sont égaux à deux droits. Donc, etc.

PROPOSITION XIV.

Si à une droite, et à un point de cette droite, deux droites, non placées du même côté font les angles de suite égaux à deux droits, ces deux droites seront dans la même direction.

Qu’à une droite 48, et à un point B de cette droite, les deux droites Br, BA, non placées du même côté, fassent les angles de suite ABT, ABA égaux à deux droits ; je dis que BA est dans la direction de rs.