La géométrie de la sphère
Grands cercles, méridiens, parallèles.
Geometria Sphaerae
Le plus parfait des solides
La sphère est le plus parfait des solides : tous ses points sont également distants du centre, comme les créatures sont également tournées vers Dieu.
Euclide et Archimède
Euclide démontre au livre XII que les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes de leurs diamètres. Archimède, le plus grand géomètre de l'Antiquité après Euclide, découvrit que la surface de la sphère est exactement quatre fois l'aire de son grand cercle, et que son volume est les deux tiers de celui du cylindre qui la contient, résultat qu'il chérit au point de demander qu'on gravât sur sa tombe un cylindre enserrant une sphère.
La sphère du monde
La sphère est au coeur de l'astronomie : la Terre est une sphère au centre du monde, entourée des sphères célestes portant les planètes et les étoiles fixes.
Sacrobosco, dans son De Sphaera (vers 1230), enseigne cette cosmologie sphérique à tous les étudiants des universités.
Testez-vous : 9 questions
1. Quelle propriété caractérise la sphère : tous ses points sont à égale distance de quel point ?
- D’une arête
- Du centre
- D’une face
- D’un sommet
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Réponse : Du centre
La sphère est caractérisée par le fait que tous ses points sont à égale distance du centre. Cette distance constante est le rayon. La sphère est la seule surface fermée qui possède cette propriété de symétrie parfaite. C’est pourquoi les philosophes antiques et médiévaux la considéraient comme la forme la plus parfaite, image de la complétude divine.
2. Comment appelle-t-on le plus grand cercle tracé sur une sphère, passant par son centre ?
- Le grand cercle
- L’équateur seul
- Le petit cercle
- Le méridien seul
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Réponse : Le grand cercle
Le grand cercle est le plus grand cercle traçable sur une sphère, passant par son centre. Il définit la plus courte distance entre deux points.
3. Quel savant grec découvrit que la surface de la sphère vaut quatre fois l’aire de son grand cercle ?
- Thalès
- Euclide
- Pythagore
- Archimède
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Réponse : Archimède
Archimède (v. 287-212 av. J.-C.) découvrit que la surface d’une sphère vaut exactement quatre fois l’aire de son grand cercle (S = 4 pi r au carré). Il démontra aussi que cette surface est égale à celle du cylindre qui la contient (sans les bases). Ces résultats, parmi les plus beaux de la géométrie antique, témoignent du génie d’Archimède.
4. Selon Archimède, le volume de la sphère est quelle fraction du cylindre qui la contient exactement ?
- Un tiers
- Les trois quarts
- La moitié
- Les deux tiers
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Réponse : Les deux tiers
Archimède démontra que le volume de la sphère est exactement les deux tiers (2/3) du volume du cylindre qui la contient (même diamètre et même hauteur). Il considérait ce résultat comme sa plus belle découverte et demanda qu’on gravât sur sa tombe la figure d’une sphère inscrite dans un cylindre. Cicéron retrouva cette tombe à Syracuse en 75 av. J.-C.
5. Quel auteur, dans son De Sphaera (vers 1230), enseigna la cosmologie sphérique aux universités ?
- Roger Bacon
- Sacrobosco
- Albert le Grand
- Grosseteste
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Réponse : Sacrobosco
Jean de Sacrobosco (Johannes de Sacrobosco, v. 1195-1256) composa vers 1230 le De Sphaera Mundi (Sur la sphère du monde), qui devint le manuel de cosmologie le plus utilisé dans les universités médiévales. Il y enseigne la sphéricité de la Terre, la structure des sphères célestes et les bases de l’astronomie. Ce petit traité, clair et accessible, resta en usage jusqu’au XVIIe siècle.
6. Selon notre cosmologie enseignée par Sacrobosco, quelle forme a la Terre ?
- Un disque plat
- Une sphère
- Un cube
- Un cylindre
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Réponse : Une sphère
Sacrobosco enseignait que la Terre est une sphère, conformément à la cosmologie médiévale héritée d’Aristote et de Ptolémée.
7. Euclide démontre au livre XII que les volumes de deux sphères sont entre eux comme quelles puissances de leurs diamètres ?
- Les carrés
- Les simples rapports
- Les cubes
- Les quatrièmes
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Réponse : Les cubes
Euclide démontre au livre XII des Éléments que les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes de leurs diamètres. Si une sphère a un diamètre double d’une autre, son volume est 8 fois (2 au cube) plus grand. Ce résultat, démontré par la méthode d’exhaustion, est fondamental pour la géométrie dans l’espace.
8. Quel symbole Archimède demanda-t-il que l’on gravât sur sa tombe pour commémorer sa plus belle découverte ?
- Cube et pyramide
- Triangle et cercle
- Cylindre et sphère
- Un pentagramme
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Réponse : Cylindre et sphère
Archimède demanda que l’on gravât sur sa tombe un cylindre contenant une sphère inscrite. Il avait en effet démontré que le rapport du volume de la sphère à celui du cylindre circonscrit est toujours de 2/3, un résultat qu’il considérait comme sa plus belle découverte. Cicéron retrouva cette tombe négligée à Syracuse en 75 av. J.-C.
9. La sphère était considérée au Moyen Âge comme la forme la plus parfaite.
- Vrai
- Faux
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Réponse : Vrai
La sphère était effectivement considérée au Moyen Âge comme la forme la plus parfaite. Héritée de Platon (Timée) et d’Aristote (De Caelo), cette conviction repose sur le fait que la sphère est parfaitement symétrique, identique en tout point de sa surface, et qu’elle contient le plus grand volume pour une surface donnée. Les théologiens y voyaient l’image de la perfection divine.
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Dans ce chapitre : Les solides de Platon
- Les cinq solides parfaits
- Symétrie et beauté
- Les cinq solides platoniciens
- Le calcul des volumes
- La géométrie de la sphère