Le calcul des volumes
Cube, cylindre, sphère : mesurer l'espace.
De Mensura Solidorum
Pavés, prismes et pyramides
Après les surfaces, le géomètre s'élève aux volumes : la mesure de l'espace à trois dimensions. Le volume du parallélépipède rectangle (le « pavé ») se calcule en multipliant longueur, largeur et hauteur. Ainsi un cube de côté 3 a un volume de 3 × 3 × 3, soit vingt-sept unités cubiques ; le mot « cube » désigne d'ailleurs cette opération d'élévation à la puissance trois. Le volume du prisme est l'aire de la base multipliée par la hauteur. Le volume de la pyramide est le tiers du prisme de même base et même hauteur, résultat qu'Euclide démontre au livre XII des Éléments par la méthode d'exhaustion héritée d'Eudoxe de Cnide. Cette méthode, ancêtre du calcul intégral, consiste à encadrer une grandeur par des figures inscrites et circonscrites de plus en plus proches, prouvant l'égalité par l'absurde.
Cylindre, cône et sphère
Le volume du cylindre et celui du cône font intervenir le nombre pi. Le cône est au cylindre ce que la pyramide est au prisme : son volume est exactement un tiers de celui du cylindre de même base et même hauteur. Euclide démontre cette relation au livre XII par la même méthode d'exhaustion. Les géomètres grecs maîtrisaient aussi le volume de la sphère : Archimède démontra qu'il est exactement les deux tiers du volume du cylindre qui la contient, soit 4/3 pi r au cube. Il considérait ce résultat comme sa plus belle découverte et demanda qu'on gravât sur sa tombe un cylindre contenant une sphère.
Une portée pratique
Ces calculs avaient une portée pratique immense : les bâtisseurs devaient estimer la quantité de pierre nécessaire, les tonneliers mesurer la capacité des fûts, et les architectes des cathédrales calculer le poids des voûtes pour dimensionner les contreforts.
Ces calculs avaient une portée pratique immense : les bâtisseurs devaient estimer la quantité de pierre nécessaire, les tonneliers mesurer la capacité des fûts, et les architectes des cathédrales calculer le poids des voûtes pour dimensionner les contreforts.
Testez-vous : 9 questions
1. Comment calcule-t-on le volume d’un parallélépipède rectangle (un pavé) ?
- Base × hauteur ÷ trois
- Longueur × largeur
- Côté élevé au cube
- Aire de base × hauteur
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Réponse : Aire de base × hauteur
Le volume d’un parallélépipède rectangle (pavé droit) se calcule en multipliant sa longueur par sa largeur par sa hauteur (V = L × l × h). Cette formule, extension de l’aire du rectangle à la troisième dimension, est fondamentale pour le calcul des volumes. Les bâtisseurs médiévaux l’utilisaient pour estimer les quantités de pierre nécessaires aux murs et aux piliers.
2. Le volume d’une pyramide est quelle fraction du volume du prisme de même base et même hauteur ?
- Un tiers
- Les deux tiers
- Un quart
- La moitié
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Réponse : Un tiers
Le volume d’une pyramide est exactement un tiers du volume du prisme de même base et même hauteur. Euclide démontre ce résultat dans le livre XII des Éléments. Ce rapport de 1/3 était essentiel pour les bâtisseurs qui devaient calculer les volumes de pierre pour les flèches et toitures pyramidales.
3. Quel solide a pour volume l’aire de sa base multipliée par sa hauteur ?
- La sphère
- Le cône
- La pyramide
- Le prisme
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Réponse : Le prisme
Le prisme est un solide dont le volume se calcule en multipliant l’aire de sa base par sa hauteur. Cette formule s’applique à tout prisme. Les bâtisseurs médiévaux l’utilisaient pour estimer les volumes de pierre nécessaires aux piliers et aux murs.
4. Dans quel livre des Éléments Euclide démontre-t-il les rapports de volumes des solides, notamment celui de la pyramide ?
- Le livre XI
- Le livre XII
- Le livre IV
- Le livre IX
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Réponse : Le livre XII
Le livre XII des Éléments d’Euclide traite des rapports de volumes des solides, en utilisant la méthode d’exhaustion (ancêtre du calcul intégral). C’est dans ce livre qu’Euclide démontre que le volume d’une pyramide est un tiers de celui du prisme de même base et hauteur, et que les volumes de sphères sont entre eux comme les cubes de leurs diamètres.
5. Quelle méthode, héritée d’Eudoxe, Euclide utilise-t-il au livre XII pour comparer les volumes ?
- La réduction
- L’exhaustion
- L’induction
- La synthèse
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Réponse : L’exhaustion
La méthode d’exhaustion, héritée d’Eudoxe de Cnide (IVe siècle av. J.-C.), est l’ancêtre du calcul intégral. Elle consiste à encadrer une grandeur (aire, volume) par des figures inscrites et circonscrites de plus en plus proches, prouvant l’égalité par l’absurde. Euclide l’utilise au livre XII pour démontrer les rapports de volumes des cônes, cylindres et sphères.
6. Le volume du cône est quelle fraction du volume du cylindre de même base et même hauteur ?
- Un cinquième
- Un quart
- La moitié
- Un tiers
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Réponse : Un tiers
Le volume du cône est exactement un tiers du volume du cylindre de même base et même hauteur. Cette relation est analogue à celle entre la pyramide et le prisme. Euclide la démontre au livre XII des Éléments par la méthode d’exhaustion. Le cône peut être vu comme une pyramide à base circulaire.
7. Un cube de côté 3 a un volume de combien d’unités cubiques ?
- Dix-huit
- Neuf
- Douze
- Vingt-sept
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Réponse : Vingt-sept
Un cube de côté 3 a un volume de 3 × 3 × 3 = 27 unités cubiques. Le volume du cube se calcule en élevant la longueur du côté au cube (d’où le nom de cette opération). Cette formule simple était connue des bâtisseurs médiévaux qui devaient estimer les volumes de pierre pour leurs constructions.
8. Pour quels artisans le calcul des volumes était-il essentiel afin d’estimer les quantités de pierre nécessaires aux voûtes ?
- Les tanneurs
- Les bâtisseurs
- Les orfèvres
- Les enlumineurs
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Réponse : Les bâtisseurs
Le calcul des volumes était essentiel pour les bâtisseurs de cathédrales : il leur permettait d’estimer les quantités de pierre, de mortier et de bois nécessaires à la construction des voûtes, des piliers et des murs. Sans cette maîtrise géométrique, il aurait été impossible de planifier les chantiers et de commander les matériaux en quantité suffisante.
9. Le volume d’une sphère était inconnu des géomètres grecs.
- Vrai
- Faux
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Réponse : Faux
Le volume de la sphère était connu des géomètres grecs. Archimède (IIIe siècle av. J.-C.) démontra que le volume d’une sphère est exactement les deux tiers du volume du cylindre qui la contient (V = 4/3 pi r au cube). Il considérait ce résultat comme sa plus belle découverte et demanda qu’on gravât sur sa tombe un cylindre contenant une sphère.
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