Nombres amicaux et nombres figurés

Réponse : 220 et 284

Deux nombres sont amicaux quand la somme des diviseurs propres de l’un donne l’autre, et vice versa. La paire 220 et 284 est la plus célèbre : les diviseurs de 220 somment à 284, et ceux de 284 somment à 220. Cette paire était connue des pythagoriciens et symbolisait l’amitié.

Réponse : 15

Le cinquième nombre triangulaire est 15 (= 1+2+3+4+5). Les nombres triangulaires se forment en empilant des rangées croissantes de points en triangle : 1, 3, 6, 10, 15, 21… La formule générale est n(n+1)/2. Le Tetraktys pythagoricien (10) est le 4e nombre triangulaire.

Réponse : 36

Les nombres carrés sont les produits d’un entier par lui-même : 1, 4, 9, 16, 25, 36… Le sixième nombre carré est 6² = 36. Les pythagoriciens les représentaient par des points disposés en carré, d’où leur nom de « nombres figurés ».

Réponse : 1+3+5+7

Boèce enseigne que tout carré est la somme de nombres impairs consécutifs à partir de 1. Pour 16 = 4² : 1+3+5+7 = 16. Cette propriété remarquable (démontrée géométriquement par les « gnomons » pythagoriciens) illustre le lien profond entre nombres impairs et nombres carrés.

Réponse : n(n+1)/2

Le n-ième nombre triangulaire est donné par la formule n(n+1)/2. Par exemple, le 5e triangulaire est 5×6/2 = 15. Cette formule, attribuée à Gauss mais connue dès l’Antiquité, donne la somme des n premiers entiers : 1+2+3+…+n.

Réponse : Pythagore

Pythagore de Samos (VIe siècle av. J.-C.) est le fondateur de l’école pythagoricienne, à l’origine de la théorie des nombres figurés (triangulaires, carrés…) et des nombres amicaux (comme 220 et 284). Sa devise « Tout est nombre » influença profondément la pensée médiévale.

Réponse : 10 + 15

Boèce enseigne que la somme de deux nombres triangulaires consécutifs donne un carré. Le 4e triangulaire est 10 (1+2+3+4) et le 5e est 15 (1+2+3+4+5). Leur somme : 10 + 15 = 25 = 5². Cette propriété illustre l’harmonie cachée entre les familles de nombres figurés.

Réponse : 1184 et 1210

La deuxième paire de nombres amicaux connue est 1 184 et 1 210. Elle fut découverte grâce à la formule de Thabit ibn Qurra (IXe siècle), mathématicien de Bagdad qui généralisa la recherche de nombres amicaux au-delà de la paire classique 220/284.