Pairs, impairs et la classification pythagoricienne

Réponse : Pairs et impairs

La première division que Boèce opère parmi les nombres entiers est entre pairs et impairs. Les pairs sont divisibles par 2, les impairs ne le sont pas. Cette distinction fondamentale, héritée de Nicomaque de Gérase, structure ensuite toute sa classification en sous-catégories.

Réponse : 16

Un nombre « pairement pair » peut être divisé par 2 de façon répétée jusqu’à atteindre 1. Ce sont les puissances de 2 : 2, 4, 8, 16, 32… Ici, 16 = 2⁴ se divise successivement : 16→8→4→2→1. Boèce distingue cette catégorie dans sa classification héritée de Nicomaque.

Réponse : 7

Un nombre premier n’est divisible que par 1 et par lui-même. Le nombre 7 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 7. Les nombres premiers sont les « atomes » de l’arithmétique : tout nombre entier se décompose en un produit de nombres premiers de manière unique.

Réponse : Pariter impar

Le terme latin « pariter impar » (pairement impair) désigne chez Boèce un nombre pair dont la moitié est impaire, comme 6 (= 2 × 3) ou 10 (= 2 × 5). Cette catégorie intermédiaire complète la classification tripartite de Boèce : pairement pair, impair, et pairement impair.

Réponse : Composé (compositus)

Boèce appelle « composé » (compositus) un nombre impair qui est le produit de deux facteurs impairs plus petits, comme 15 = 3 × 5. Par opposition, un nombre impair qui n’a pas de tels facteurs (comme 7 ou 11) est dit « incomposé » ou premier.

Réponse : Impariter par

Le terme latin « impariter par » (impairement pair) désigne chez Boèce un nombre pair qu’on ne peut pas diviser par 2 jusqu’à l’unité. Le 12 est impairement pair : 12 ÷ 2 = 6, 6 ÷ 2 = 3, et 3 est impair (on s’arrête avant l’unité).

Réponse : Table des contraires

Aristote nomme « table des contraires » (sustoichia) la liste de dix paires d’opposés pythagoriciens (Métaphysique, I, 5) : limité/illimité, impair/pair, un/multiple, droit/gauche, masculin/féminin, repos/mouvement, rectiligne/courbe, lumière/ténèbres, bon/mauvais, carré/oblong.

Réponse : Ératosthène

Ératosthène de Cyrène (IIIe siècle av. J.-C.) proposa un procédé systématique pour isoler les nombres premiers, appelé le « crible d’Ératosthène ». On élimine successivement les multiples de 2, puis de 3, de 5, etc. Les nombres restants sont premiers.