Les nombres parfaits, abondants et déficients

Réponse : 6

6 est le plus petit nombre parfait : 1+2+3 = 6. Saint Augustin y voyait la perfection de la Création achevée en six jours.

Réponse : 28

Le deuxième nombre parfait est 28. Ses diviseurs propres sont 1, 2, 4, 7 et 14, et leur somme donne exactement 28. Les quatre premiers nombres parfaits (6, 28, 496, 8128) étaient connus dès l’Antiquité. Euclide donna une formule pour les trouver dans ses Éléments.

Réponse : 12

Un nombre est abondant quand la somme de ses diviseurs propres dépasse le nombre. Pour 12 : ses diviseurs propres sont 1+2+3+4+6 = 16, qui dépasse 12. Boèce associait les nombres abondants à l’excès moral, par opposition aux nombres parfaits (comme 6).

Réponse : Diminutus

Boèce qualifie de « diminutus » (diminué, déficient) un nombre dont la somme des diviseurs propres est inférieure au nombre lui-même. Par exemple, 8 est déficient car 1+2+4 = 7 < 8. Ces nombres, par opposition aux parfaits, symbolisent le manque et l’incomplétude.

Réponse : 496

Le troisième nombre parfait est 496. Ses diviseurs propres sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 et 248, dont la somme est 496. Euclide montra que les nombres parfaits pairs sont de la forme 2^(n-1) × (2^n - 1) quand 2^n - 1 est premier. Ici, 496 = 16 × 31.

Réponse : Nombres de Mersenne

Les nombres premiers de la forme 2^p - 1 s’appellent nombres de Mersenne, du nom du père Marin Mersenne (XVIIe siècle) qui les étudia systématiquement. Euclide montra que si 2^p - 1 est premier, alors 2^(p-1) × (2^p - 1) est un nombre parfait. Exemple : 2^2 - 1 = 3 (premier), et 2 × 3 = 6 (parfait).

Réponse : 6 est parfait en soi

Saint Augustin affirme que Dieu a créé le monde en 6 jours parce que 6 est parfait en soi (1+2+3 = 6). Le nombre 6 n’est pas parfait parce que Dieu l’a choisi ; c’est Dieu qui l’a choisi parce qu’il était déjà intrinsèquement parfait. La perfection du nombre précède l’acte créateur.

Réponse : Aristote

Aristote, dans l’Éthique à Nicomaque, définit la vertu comme un juste milieu (mesotès) entre deux excès. Boèce reprend cette idée pour qualifier les nombres parfaits : comme 6, dont les diviseurs (1+2+3) égalent exactement le nombre, sans excès ni défaut.

Réponse : Faux

Faux. Le nombre 12 n’est pas un nombre parfait, mais un nombre abondant. Ses diviseurs propres (1+2+3+4+6 = 16) dépassent 12. Les nombres parfaits sont rares : 6, 28, 496, 8128… Le 12 symbolise la plénitude (3×4) mais n’est pas parfait au sens arithmétique.

Réponse : six

Le nombre six est le premier nombre parfait car il est égal à la somme de ses diviseurs propres : 1 + 2 + 3 = 6. Saint Augustin voit dans cette perfection arithmétique la raison pour laquelle Dieu a choisi de créer le monde en exactement six jours.