Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 10)

PROPOSITION VI.

Si deux triangles ont un angle égal à un angle, et si les côtés autour des angles égaux sont proportionnels, ces deux triangles seront équiangles, et les angles soutendus par des côtés homologues seront égaux. Soient les deux triangles ABr, AEZ, ayant l’angle BAT égal à l’angle E47, et les côtés autour des angles égaux proportionnels, de manière que BA soit à AT comme Ea est à AZ ; je dis que les triangles ABT, AEZ sont équiangles, et que l’angle ABr est égal à l’angle AEZ, et l’angle ATB égal à lʼangle AZE.

Sur la droite AZ, et aux points A, Z de cette droite, construisons lʼangle ZAH égal à l’un ou à l’autre des angles BAT, Eaz, et l’angle AZH égal à l’angle AITB (25. 1).

L’angle restant en B sera égal à l’angle restant en H (32. 1) ; donc les triangles ABT, AHZ Sont équiangles ; donc BA est à AT comme HA est à az (4. 6). Mais on suppose que BA est à AT comme EA est à AZ ; donc EA est à AZ comme HA est à AZ (11. 5) ; donc EA est égal à AH (9. 5) ; mais AZ est commun ; donc les deux droites EA, AZ sont égales aux deux droites HA, AZ ; mais l’angle EAZ est égal à l’angle Haz ; donc la base Ez est égale à la base ZH (4. 1) ; donc le triangle AEZ est égal au triangle AHZ, et les autres angles seront égaux aux autres angles, savoir, ceux qui sont soutendus par des côtés égaux ; donc l’angle AZH est égal à l’angle 4ZE, et l’angle AHZ égal à l’angle AEZ. Mais lʼangle AZH est égal à l’angle ATB ; donc l’angle ATB est égal à AZE. Mais l’angle BAT est supposé égal à l’angle Eaz ; donc lʼangle restant en B est égal à l’angle restant en E (32. 1) ; donc les triangles ABT, AEZ sont équiangles. Donc, etc.

PROPOSITION VII.

Si deux triangles ont un angle égal à un angle, si les côtés autour des autres angles sont proportionnels, et si l’un et l’autre des angles restants sont en même temps ou plus petits ou non plus petits qu’un droit, les triangles seront équiangles, et les angles compris par les côtés proportionnels seront égaux.

Soient les deux triangles ABT, AEZ, ayant un angle égal à un angle, savoir, lʼangle BAT égal à l’angle EAz, et les côtés autour des autres angles ABT, AE proportionnels entrʼeux, de manière que AB soit à BT comme AE est à EZ, et que chacun des autres angles en Γ, Z soit d’abord plus petit qu’un angle droit ; je dis que les triangles ART, AEZ sont équiangles, que l’angle ABr est égal à lʼangle AEZ, et l’angle restant en r égal à l’angle restant en z.

Car si lʼangle ABr n’est pas égal à l’angle AEz, l’un des deux sera plus grand. Que lʼangle ABr soit le plus grand ; et construisons sur la droite 4B et au point B de cette droite, l’angle ABH égal à lʼangle AEZ (23. 1).

Et puisque l’angle A est égal à l’angle 4, et l’angle 4BH égal à l’angle 4Ez lʼangle restant AHB est égal à lʼangle restant AZE (32. 1) ; donc les triangles ABH, AEZ sont équiangles ; donc AB est à BH Comme AE est à EZ (4. 6). Mais AE est supposé être à EZ comme AB est à Br (11. 5) ; donc AB est a Br comme AB est à BH ; donc la droite AB a la même raison avec chacune des droites Br, BH ; donc BT est égal à BH ; donc l’angle en r est égal à l’angle BHT (5. 1). Mais lʼangle en r est supposé plus petit qu’un droit ; donc l’angle BHT est plus petit qu’un droit ; donc l’angle de suite AHB est plus grand qu’un droit (13. 1). Mais on a démontré qu’il est égal à l’angle z ; donc l’angle Z est plus grand qu’un droit. Mais on a supposé qu’il était plus petit qu’un droit, ce qui est absurde ; donc les angles ABr, AEZ ne sont pas inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l’angle en A est égal à l’angle en A ; donc l’angle restant en T est égal à lʼangle restant en Z ; donc les triangles ABT, AEZ sont équiangles.

Mais que chacun des angles Tr, Z ne soit pas plus petit qu’un droit ; je dis encore que les triangles ABT, AEZ sont équiangles,

Ayant fait la même construction, nous démontrerons semblablement que ëf est égal à BH ; donc l’angle en r est égal à l’angle BH. Mais lʼangle Tr n’est pas plus petit qu’un droit ; donc l’angle BHr n’est pas plus petit qu’un droit. Donc deux angles du triangle BHT ne sont pas plus petits que deux droits, ce qui est impossible (17. 1), donc les angles ABr, AEZ ne sont pas encore inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l’angle en A est égal à l’angle en 4 ; donc l’angle restant en Tr est égal à l’angle restant en Z (32. 1) ; donc les triangles ABT, 4AEZ sont équiangles. Donc, etc.

|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | καὶ τῷ ΑΔΙ τρργῶνῷ οὁμόιον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρἷ- γῶνονἽ" ἐκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΔ-. ΑΔΓ τρεγώνων Ομμοιὺν ἐστιν ὁλῷ τῷ ΑΒΤ τριγώνῳ".

| style="width:50%; vertical-align:top;" | gulo. Similiter utique ostendemus et ipsi AAT triangulo simile esse ABI triangulum ; utrum- que igitur ipsorum ABA, AAT iriangulorum simile est toti ABT triangulo.

|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Λέγω δὴ. ὁτι καὶ ἀλλῆλοις ἐστὶν ὁμοια τὰ, ΑΒΔ ; ΑΔΙ τργῶϊα.

| style="width:50%; vertical-align:top;" | Dico etiam et inter se csse similia ABA, AAT triangula.

|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Ἐπεὶ γάρ ὀρθή ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὄρθὴ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ εἐστιν. ἀλλὰ μήν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΛΔ τῇ πσρὸς τῷ Γεδειχθη ἰσης καὶ λοιπὴ ἀρὰ Ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΑΙ ἐστιν (ση" ἰἱσογῶνιον ἀρῶ εστί τὸ ΑΒΔ τρἔγωνον τῷ ΑΔΙ τρίγῶώνῳ. Ἐστιν ἀρὰ ὡς ἡ ΒΔ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου5 ὑποτείγουσα τὴν ὑπτὸ ΒΛΑΔ. πσρὸς τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΙ τριγώνου. ὑποτει- γουσαν τὴν πρός ΤΩΤ γωνίανθ. ἴσην τή υὑπο ΒΑΔ, ουτῶς αυὐτῇ ἃ ΑΔ τοῦυ ΑΒΔ τριγῶώνου. . υποτεῖ- γουσα τήὴν πρὸς τῷ Β γῶνιειν. πρὸς τὴν ΔΙ υπό- τείνουσαν τὴν ὑπὸ ΔΑΤ τοῦ ΑΔΙ τρηγώνου. ἐσὴν Τῇ πρὸς τῷ Β" καὶ ἐτί ἢ ΒΑ υποότειγουσα τῆὴν ὀρθήν τὴν ὑπὸ ΑΔΒ. πρὸς τὴν ΑΓ ὑποτείγουσαν τὴν ὀρθήν τῆν ὑπὸ ΑΔΙ7" ὁμοιον ἀρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΙ τρίγωνῳ. Ἐὰν ἄρα ἐν ὀρθογωνίῳ 9 καὶ τὰ εξζῆς,

| style="width:50%; vertical-align:top;" | Quoniam cnim rectus BAA recto AAT est equalis, sed quidem et ipse BAA ipsi ad T ostensus est swqualis, ct reliquus igitur ad B reliquo AAT est equalis ; tequiangulum. igitur est ABA triangulum ipsi AAT triangulo. Est igiur ut BA ipsius ABA trianguli, subtendens ipsum BAA, ad AA ipsis AAT trianguli, subtendentem ipsum ad P angulum, qualem ipsi BAA, ita cadem AA ipsius ABA trianguli, subteudens ipsum ad B anguinm, ad Ar sub- tendentem AAT angulum ipsius AAT trianguli, aequalem ipsi ad B, et etiam BA subtendens rectum AAB, ad AFP subtendentem rectum AAT ; simile igitur est. ABA triangulum ipsi AAT triangulo. $i igitur in reclangulo, etc.

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PROPOSITION VIII.

Si dans un triangle rectangle on mène une perpendiculaire de l’angle droit sur la base, les triangles adjacents à la perpendiculaire sont semblables au triangle entier et semblables entr’eux.

Soit le triangle rectangle ABrT, ayant l’angle droit BAT ; du point A menons sur la base Br la perpendiculaire Aa ; je dis que les triangles ABA, AAr sont semblables au triangle entier ABT et semblables entr’eux. Car puisque l’angle BAT est égal à l’angle 44B, étant droits l’un et l’autre, et que lʼangle en B est commun aux deux triangles ABT, ABA, l’angle restant ATB est égal à l’angle restant B4AA (52. 1) ; donc les deux triangles ABT, ABA sont équiangles. Donc le côté Br qui soutend lʼangle droit du triangle ABr, est au côté BA qui soutend l’angle droit du triangle AB4, comme le côté AB qui sou- tend lʼangle en r du triangle ABT, est au côté BA qui soutend un angle égal à l’angle r, c’est-a-dire l’angle B4A du triangle ABA, et comme le côté AT est au côté aä4 qui soutend lʼangle B, commun aux deux triangles ; donc les triangles ABT, ABA sont équiangles, et ils ont les côtés autour des angles égaux proportionnels (4. 6) ; donc le triangle ABrT est serublible au triangle ABA (déf. 1. 6). Nous démontrerons semblablement que le triangle AΔΓ est semblable au triangle AΒΓ ; donc chacun des triangles AΒΔ, AΔΓ est semblable au triangle entier AΒΓ.

Je dis aussi que les triangles AΒΔ, AΔΓ sont semblables entr’eux.

Car puisque l’angle droit ΒΔA est égal à l’angle droit AΔΓ, et qu’on a démontré que l’angle BAA est égal à l’angle en r, l’angle restant en B est égal à l’angle restant AAT (32. 1) ; donc les deux triangles ABA, AAT sont équiangles. Donc le côté BA du triangle ABA, qui soutend l’angle BAA, est au côté AA du triangle Aar, qui soutend l’angle T, égal à l’angle BAA, comme le côté A4 du triangle 4B4, qui soutend l’angle en B, est au côté AT, qui soutend lʼangle AAT du triangle AAT, égal à l’angle en B ; et comme le côté BA, qui soutend l’angle droit A4B, est au côté AT qui soutend l’angle droit Aar (4. 6) ; donc le triangle ABa est semblable au triangle AAr (déf. 1. 6). Donc, etc.

COROLLAIRE.

De là, il est évident que, dans un triangle rectangle, la perpendiculaire menée de lʼangle droit sur la base, est moyenne proportionnelle entre les segments de la base, et que chaque côté de l’angle droit est moyen proportionnel entre la base et le segment contigu.

PROPOSITION IX.

Dʼune droite donnée retrancher la partie demandée.

Soit AB la droite donnée ; il faut de la droite AB retrancher La partie de- mandée.

Soit demandé le tiers ; du point A menons une droite quelconque AT qui fasse un angle quelconque avec la droite AB ; prenons dans ΑΓ un point quelconque Δ, et faisons les droites ΔE, EΓ égales à AΔ (3. 1) ; joignons EΓ, et par le point Δ menons ΔZ parallèle à ΓB (31. 1).

Puisqu’on a mené ZΔ parallèle à un des côtés ΒΓ du triangle AΒΓ, la droite ΓΔ est à ΔA comme BZ est à ZA (2. 6). Mais ΓΔ est double de ΔA ; donc BZ est double de ZA ; donc BA est triple de AZ.

On a donc retranché de la droite donnée AB la troisième partie demandée AZ, Ce quʼil fallait faire.

PROPOSITION X.

Partager une droite donnée, qui n’est point partagée de la même manière quʼune droite donnée est partagée. Soit AB la droite donnée qui n’est point partagée, et AΓ une droite partagée aux points Δ, Σ ; que ces droites soient placées de manière qu’elles comprènent un angle quelconque ; joignons Br, et par les points A, E, menons les droites AZ, EH parallèles à Br (31. 1) , et par le point A menons 46k parallèle à AB.

Les figures ZΘ, ΘB seront des parallélogrammes ; donc A6 est égal à ZH, et OK égal à HB (34. 1). Et puisquʼon a mené la droite ΘE parallèle à un des côtés kr du triangle Akr, la droite TE est à EA comme ΚΘ est à Θ4 (2. 6). Mais Ko est égal à BH, et ΘA est égal à Hz ; donc IE est à EA comme BH est à Hz. De plus, puisquʼon a mené la droite ZA parallèle à un des côtés EH du triangle AHE, la droite EA est à AA comme HZ est à ZA. Mais on a démontré que TE est à Ea comme BH est à HZ ; donc TE est à EA comme BH est à HZ, et EA est à AA comme HZ est à ZA.

Donc la droite donnée 4B, qui n’est pas partagée, a été partagée de la même manière que la droite donnée Ar. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XI.

Deux droites étant données, trouver une troisième proportionnelle.

Soient AB, Ar les deux droites données ; posons-les de manière qu’elles comprènent un angle quelconque ; il faut trouver une troisième proportionnelle aux droites AB, ΑΓ. Prolongeons les droites AB, AT vers les points A, E ; faisons BA égal à AT ; joignons Br, et par le point A menons AE parallèle à Br (31. 1).

Puisque la droite Br est parallèle à un des côtés AE du triangle AAE, la droite AB est à BA comme AT est à TE (2. 6). Mais BA est égal à AΓ ; donc AB est à AT comme AΓ est à ΓE.

Donc les deux droites AB, AT étant données, on a trouvé une troisième proportionnelle ΓE. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XII.

Trois droites étant données, trouver une quatrième proportionnelle.

Soient A, B, Tr les trois droites données ; il faut trouver une quatrième proportionnelle aux droites A, B, Γ.

Soient les deux droites AE, AZ, comprenant un angle quelconque Eaz ; faisons la droite AH égale à A, la droite HE égale à 8, et la droite 4Θ égale à T ; et ayant joint HΘ, par le point E menons EZ parallèle à He.

Puisque la droite HΘ est parallèle à un des côtés EZ du triangle 4EZ, la droite AH est à HE comme AΘ est à Θz (2. 6). Mais AH est égal à A, la droite HE égale à B, et la droite 4© égale à r ; donc A est à B comme Tr est à ΘZ. Donc trois droites A, B, Γ étant données, on a trouvé une quatrième proportionnelle 6z. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XIII.

Deux droites étant données, trouver une moyenne proportionnelle.

Soient AB, Br les deux droites données ; il faut trouver une moyenne proportionnelle entre AB, BΓ.

Plaçons ces droites dans la même direction, et sur la droite AT décrivons le demi-cercle ΑΔΓ ; du point B menons BA perpendiculaire à AT, et joignons AA ; AT (11. 1).

Puisque l’angle AAT est dans un demi-cercle, cet angle est droit (51. 3). Et puisque dans le triangle rectangle AAT on a mené de l’angle droit la droite ΔB perpendiculaire à la base, la droite AB est moyenne proportionnelle entre les segments AB, Br de la base (cor. 8. 6).

Donc les deux droites AB, BT étant données, on a trouvé une moyenne proportionnelle ΒΔ. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XIV.

Deux parallélogrammes étant égaux et équiangles, les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels ; et les parallélogrammes équiangles dont les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels, sont égaux entr’eux.

Soient AB, Br deux parallélogrammes égaux et équiangles, ayant deux angles égaux en B, plaçons BE dans la direction de 4B, la droite BH sera dans la direction de ZB (14. 1) ; je dis que les côtés des parallélogrammes 48, Br autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels c’est-à-dire que AB est à BE comme HB est à BZ.

Achevons le parallélogramme ZE.

Puisque le parallélogramme AB est égal au parallélogramme Br, et que Z£ est un autre parallélogramme, AB est à ZE comme Br est à ZE (7. 5). Mas AB est à ZE comme AB est à BE (1. 6) ; et BT est à ZE comme HB est à F ; donc AB est à BE comme HB est à BZ (11. 5) ; donc les côtés des parallélogrammes AB, BIT autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels.

Mais que les côtés adjacents aux angles égaux soient réciproquement proportionnels, c’est-à-dire que AB soit à BE comme HB est à BZ ; Je dis que le parallélogramme AB est égal au parallélogramme Br.

Puisque AB est à BE comme HB est à BZ, que AB est à BE comme le parallélogramme AB est au parallélogramme ZE (1. 6) , et que HB est à Bz comme le parallélogramme Br est au parallélogramme ZE, AB est à ZE comme Br est à ZE (11. 5) ; donc le parallélogramme 48 est égal au parallélogramme BT (9. 5) . Donc, etc.

|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Αλλα δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγὧνων, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΤΑ ’πρἓς τῆν ΑΔ οὕτως ἡ ἙΑ πρὄς τὴν ΑΒ’ λέγω ὁτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρέγωνον τῷ ΑΔῈ τριγώνῳ.

| style="width:50%; vertical-align:top;" | Sed utique reciproca sint latera igsorum ABD, AAE triangulorum, et sit ut A ad AA ita EA ad AB ; dico wquale esse ABT triangulum Ipsi AAE triangulo.

|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡς ἅ ΤΑ ’πρὃς τὴν ΑΔ οὕτως ἡ ἙἘΑ ΄πρ. ὄς τὴν ΑΒ, ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΤΑ πρὸς τὴν ΑΔ οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρήγωνον, ὡς δὲ ἡ ἙΑ πρὸς τὴν ΑΒ οὕτως τὸ ἘΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον" ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ οὕτως τὸ ἘΑΔ τρίγωνον πρὸς Τὸ ΒΑΔʼ ἑκώτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΑΔῈ πρὺς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ἘΑΔ τρίγώνῳ. Ἰὼν αρὰ ΙΤῶν5 καὶ τὰ εξ’η ς.

| style="width:50%; vertical-align:top;" | Junctá enim rursus BA, quoniam est ut lʼA ad A4 ita EA ad AB, sed ut A quidem ad AA ita ABI triangulum ad BAA irnangulum, ut EA vero ad AB ita EAA triangulum ad BAA trian- gulum ; ut igilur ABT triangulum ad BAA ita EAA triangulum ad BAA ; utrumque igitur ip- sorum ABI, AAE ad BAA eamdem habct ra- tionem ; zxquale igitur est ABT iriangulum ipsi EAA triangulo. Æqualium igitur, etc.

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PROPOSITION XV.

Si deux triangles égaux ont un angle égal à un angle, les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels ; et si deux triangles ont un angle égal à un angle, et si les côtés autour de ces angles égaux sont réciproquement proportionnels, ces deux triangles sont égaux. Soient les triangles égaux ABT, AAE, ayant un angle égal à un angle, lʼangle BAT égal à l’angle AAE ; je dis que les côtés des triangles ABT, AAE, qui sont autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels, c’est-à-dire que ra est à AA comme EA est à AB.

Plaçons ces triangles de manière que rA soit dans la direction de AΔ ; la droite EA sera dans la direction de AB (14. 1). Joignons BA.

Puisque le triangle ABr est égal au triangle AAE, et que ABA est un autre triangle, le triangle TAB est au triangle BAA comme le triangle AAE est au triangle BAA (7. 5) . Mais le triangle rAB est au triangle BÂA comme rA est à AA (1. 6), et le triangle EAA est au triangle BAA comme FA est à 4B ; donc rA est à 44 comme EA est à AB (11. BR) ; donc les côtés des triangles ABT, AAE, qui sont autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels. Mais que les côtés des triangles ABΓ, AΔE soient réciproquement proportionnels, c’est-à-dire que ΓA soit à AΔ comme EA est à AB ; Je dis que le triangle ABΓ est égal au triangle AΔE.

Joignons encore BΔ. Puisque ΓA est à AΔ comme EA est à AB, que ΓA est à AΔ comme le triangle ABΓ est au triangle BAΔ (1. 6) , et que EA est à AB comme le triangle EAΔ est au triangle BAΔ, le triangle ABΓ est au triangle BAΔ comme le triangle EAΔ est au triangle BAΔ (11. 5) ; donc chacun des triangles ABΓ, AΔE a la même raison avec le triangle BAΔ ; donc le triangle ABΓ est égal au triangle EAΔ (9. 5) . Donc, etc.

PROPOSITION XVI.

Si quatre droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les deux extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes ; et si le rectangle compris sous les extrêmes et égal au rectangle compris sous les moyennes, ces quatre droites sont proportionnelles.

Soient AB, TA, E, Z quatre droites proportionnelles, de manière que 48 soit à rA comme E est à Z ; je dis que le rectangle compris sous AB, Z est égal au rectangle compris sous TA, E.

Des points A, r, et sur les droites AB, TA, menons les perpendiculaires 4H, ΤΘ (11. 1) ; faisons AH égal à Z, et rΘ égal à E ; et achevons les parallélogrammes BH, AO.

Puisque AB est à TA comme E est à Z, et que E est égal à r®, et Z égal à AH, AB est à TA comme ΓΘ est à AH (7. 5) ; donc les côtés des parallélogrammes BH, 40, placés autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels, Mais lorsque les côtés des parallélogrammes équiangles, placés

autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels, ces parallélogrammes sont égaux (14. 6) ; donc le parallélogramme BH est égal au parallélogramme 40. Mais le parallélogramme BH est sous AB, Z, car AH est égal à Z ; et le parallélogramme 46 est sous TA, E, car rΘ est égal à E ; donc le rectangle compris sous AB, Z est égal au rectangle compris sous rA, E.

Mais que le rectangle compris sous AB, Z soit égal au rectangle compris sous les droites rA, E ; je dis que ces quatre droites sont proportionnelles, c’est-. a-dire que AB est à TA comme E est à Z.

Faisons la même construction. Puisque le rectangle sous AB, Z est égal au rectangle sous rA, E, que le rectangle BH est sous AB, Z, car AH est égal à Z, et que le rectangle AG est sous rA, E, car TΘ est égal à E ; donc BH est égal à AΘ ; et ils sont équiangles. Mais les côtés des parallélogrammes égaux et équiangles, placés autour des angles sont égaux, sont réciproquement proportionnels (14. 6) ; donc AB est à TA comme rΘ est à AH ; mais TΘ est égal à E, et AH à Z ; donc AB est à TA comme E est à Z. Donc, etc.

PROPOSITION XVII.

Si trois droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les extrêmes est égal au quarré de la moyenne ; et si le rectangle compris sous les extrêmes est égal au quarré de la moyenne, ces trois droites seront proportionnelles.

Soient A, B, T trois droites proportionnelles, de manière que A soit à B comme B est à T ; je dis que le rectangle compris sous A, T est égal au quarré de B,

Faisons Δ égal à B.

Puisque A est à B comme B est à T, et que B égal à A, A est à B comme Δ est à r. Mais si quatre droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes (16. 6) ; donc le rectangle sous A, T est égal au rectangle sous B, 4. Mais le rectangle Sous B, À est égal au quarré de B, car B est égal à 4 ; donc le rectangle Compris sous A, T est égal au quarré de B.

Mais que le rectangle sous 4, T soit égal au quarré de B ; je dis que A est à B comme B est à I.

Faisons la même construction. Puisque le rectangle sous A, T est égal au quarré de B, et que le quarré de B est le rectangle sous B, A, car B est égal à A, le rectangle sous A, T est égal au rectangle sous les droites B, A. Mais si le rectangle compris sous les extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes, les quatre droites sont proportionnelles (16. 6) ; donc 4 est à B Comme Δ est à Γ. Mais B est égal à A ; donc A est à B comme B est à Γ. Donc, etc.

PROPOSITION XVIII.

Sur une droite donnée, décrire une figure rectiligne semblable à une figure rectiligne, et semblablement placée.

Soit AB la droite donnée, et TE la figure rectiligne donnée ; il faut sur la droite 4B décrire une figure rectiligne semblable à la figure rectiligne TE, et semblablement placée.

Joignons az, et sur la droite AB et aux points A, B de cette droite, faisons lʼangle HAB égal à l’angle en r, et l’angle ABH égal à l’angle raz (25. 1) ; l’angle restant TZA sera égal à l’angle restant AHB (32. 1) ; donc les triangles Zr4, HAB sont équiangles ; donc ZA. est à HB comme ZT est à HA, et comme ΓΔ est à AB (4. 6). De plus, construisons sur la droite BH, et aux points B, H de cette droite, l’angle BHΘ égal à l’angle AZE, et l’angle HB® égal à lʼangle ZAE ; l’angle restant en E sera égal à l’angle restant en Θ ; donc les triangles ZAE, HΒΘ sont équiangles ; donc AZ est à HB comme ZE est à HΘ, et comme EA est à ΘB (4. 6). Mais on a démontré que ZA est à HB comme ZT est à HA, et comme TA est à AB ; donc Zr est à AH comme TA est à AB, comme ZE est à HΘ, et comme EA est à ΘB (11. 5). Mais lʼangle TZA est égal à lʼangle AHB, et l’angle AZE égal à lʼangle 8HΘ ; donc lʼangle entier TZE est égal à l’angle entier AHΘ. Par la même raison, l’angle TAE est égal à l’angle AB, l’angle en r égal à l’angle en 4, et l’angle en E égal à l’angle en Θ ; donc les figures 46, TE sont équiangles, et elles ont les côtés autour des angles égaux proportionnels entr’eux ; donc les deux figures 4Θ, TE sont semblables (déf. 1. 6). Donc, sur la droite donnée 4B, on a décrit la figure rectiligne 46 semblable à la figure rectiligne donnée TE, et semblablement placée. Ce quʼil fallait faire,