Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 9)

PROPOSITION XVII.

Si des grandeurs étant composées sont proportionnelles, ces grandeurs étant divisées seront encore proportionnelles.

Que les grandeurs composées 4B, BE, TA, AZ soient proportionnelles, c’est-à-dire que AB soit à BE comme TA est à AZ ; je dis que ces grandeurs étant divisées seront encore proportionnelles, c’est-à-dire que AE sera à EB comme TZ est à ZA.

Prenons des équimultiples quelconques H©, ΘK, AM, MN des grandeurs 4F, EB, TZ, ZA, et d’autres équimultiples quelconques KE, Ni de EB et de ZA.

Puisque H© est le même multiple de AE que ex l’est de EB, H© est le même multiple de AE que HK l’est de AB (1. 5). Mais ΗΘ est le même multiple de AE que AM l’est de rZ ; donc Hk est le même multiple de 4B que AM lʼest de rz. De plus, puisque AM est le même multiple de rz que MN lʼest de ZA, AM est le même multiple de rz que AN l’est de ra. Mais AM est le même multiple de rz que HK l’est de AB ; donc HK est le même multiple de 4B que AN lʼest de rA ; donc HK, AN sont des équimultiples de AB et de ra. De plus, puisque ΘKk est le même multiple de EB que MN l’est de ZA, et que KΞ cst le même multiple de EB que Nn lest de ZA, la grandeur composée ΘΞ est le même multiple de EB que Mn l’est de zA (2. 5) . Et puisque AB est à BE comme TA est à AZ ; que HK, AN sont des équimultiples quelconques de AB et de ra, et que ΘΞ et MIt sont d’autres équimultiples quelconques de EB et de Z4 ; si HK surpasse Θ, AN passe MΠ ; si HK est égal à Θ, AN est égal à MI, et si HK est plus petit que Θ7, AN est plus petit que Mn (déf. 6. 5) . Que HK surpasse Θ ; ayant retranché la pare commune Θk, HΘ surpassera encore K=. Mais si Hk surpasse ΘΞ, AN surpassera MΠ. Donc AN surpasse MI1 ; retranchons la partie commune MN ; la grandeur AM surpassera NΠ. Donc, si HΘΘ surpasse KE, AM surpassera NΠ. Nous démontrerons semblablement que si H® est égal à KE, AM sera égal à NΠ, et que si HΘ est plus petit que KE, AM sera plus petit que NI. Mais HΘ, AM sont des équimultiples quelconques de AE et de TZ, et KE et Nn d’autres équimultiples quelconques de EB et de ZA ; donc AE est à EB comme rz est à ZA (déf. 6. 5). Donc, etc.

PROPOSITION XVIII.

Si des grandeurs étant divisées sont proportionnelles, ces grandeurs état composées seront encore proportionnelles.

Que les grandeurs AE, EB, IZ, ZA, étant divisées, soient proportionnelles, c’est-à-dire que AE soit à EB comme IZ est à ZA ; je dis que ces grandeurs étant composées seront encore proportionnelles, c’est-à-dire que AB sera à Æ comme TA est à ZA.

Car, si AB n’est pas à BE comme TA est à ZA, AB sera à BE comme TA est à une grandeur plus petite que AZ ou à une grandeur plus grande.

Que AB soit premièrement à BE comme IA est à une grandeur plus pelle que ZA, savoir à AH. Puisque AB est à BE comme TA est à AH, ces grandeurs étant composées seront proportionnelles ; donc ces grandeurs étant divisées seront encore proportionnelles (17. 5). Donc AE est à EB comme TH est à HA. Mais on a supposé que AE est à EB comme IZ est à ZA ; donc TH est à HA comme IZ est à ZA (11. 5). Mais la première rH est plus grande que la troisième rz ; donc la seconde HA est plus grande que la quatrième za (14. 5). Mais elle est plus petite, ce qui est impossible ; donc AB n’est pas à BE comme TA est à une grandeur plus petite que ZA. Nous démontrerons semblablement que 4B n’est pas à BE comme TA est à une grandeur plus grande que ZA ; donc AB est à BE, comme TA est a ZA. Donc, etc.

PROPOSITION XIX.

Si une grandeur entière est à une autre grandeur entière comme la grandeur retranchée de la première est à la grandeur retranchée de la seconde, la grandeur restante sera à la grandeur restante comme la première grandeur entière est à la seconde grandeur entière.

Que la grandeur entière AB soit à la grandeur entière TA comme la grandeur retranchée AE est à la grandeur retranchée rz ; je dis que la grandeur restante EB sera à la grandeur restante ZA comme la grandeur entière AB est à la grandeur entière TA.

Car puisque la grandeur entière AB est à la grandeur entière TA comme 4E est à IZ, par permutation, BA est à AE comme Ar est à TZ (16. 5). Et puisque les grandeurs composées sont proportionnelles, les grandeurs divisées seront encore proportionnelles (17. 5) ; donc BE est à EA comme AZ est à Zr ; donc, par permutation, BE est à AZ comme EA est à Zr. Mais, par supposition, AE est à rZ comme la grandeur entière 4B est à la grandeur entière ra ; donc la grandeur restante EB sera à la grandeur restante AZ comme la grandeur entière 48 est à la grandeur entière FA (rr. 5). Donc, etc.

COROLLAIRE.

Puisque AB est à TA comme 4E est à TZ, par permutation (6. b) , AB est à AE Comme TA est à IZ ; donc ces grandeurs étant composées sont proportionnelles. Mais on a démontré que AB est à EB comme AT est à ZA ; ce qui est par conversion. De là il est évident que si des grandeurs composées sont proportionnelles, elles seront encore proportionnelles par conversion. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XX.

Si l’on a trois grandeurs et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières, ces grandeurs, étant prises deux à deux, et en même raison ; si, par égalité, la première est plus grande que la troisième, la quatrième sera plus grande que la sixième ; si la première est égale à la troisième, la quatrième sera égale à la sixième ; et si la première est plus petite que la troisième, la quatrième sera plus petite que la sixième. Soient A, B, T trois grandeurs, et A, E, Z d’autres grandeurs égales en nombre aux premières, ces grandeurs étant prises deux à deux, et en même raison, c’est-à-dire que A soit à B comme A est à E, et que B soit à T comme E est az ; que, par égalité, A soit plus grand que r ; je dis que A sera aussi plus grand que Z ; que si A est égal à Tr, A sera égal à Z, et que si A est plus petit que T, A sera plus petit que Z.

Puisque la grandeur 4 est plus grande que la grandeur Tr, et que B est une autre grandeur quelconque, la plus grande grandeur aura avec celle-ci une plus grande raison que la plus petite (8. 5) ; donc 4 a avec B une raison plus grande que r avec B. Mais A est à B comme A est à E, et, par inversion, T est à B comme Z est à E ; donc A a avec E une plus grande raison que Z avec E. Mais, parmi les grandeurs qui ont une raison avec une même grandeur, celle-là est la plus grande qui a une plus grande raison (10. 5) ; donc 4 est plus grand que Z. Nous démontrerons semblablement que si A est égal a r, A sera égal à Z, et que si A est plus petit que r, A sera plus petit que z. Donc, etc.

PROPOSITION XXI.

Si l’on a trois grandeurs, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières, ces grandeurs étant prises deux à deux, et en même raison, si leur proportion est troublée, et si par égalité la première est plus grande que la troisième, la quatrième sera plus grande que la sixième ; et si la première est égale à la troisième, la quatrième sera égale à la sixième ; et si la première est plus petite que la troisième, la quatrième sera plus petite que la sixième.

Soient les trois grandeurs A, B, Tr, et d’autres grandeurs A, E, Z2 égales aux premières, ces grandeurs étant prises deux à deux, et en même raison ; que leur raison soit troublée, c’est-à-dire que A soit à B comme, E est à Z, que B soit à T Comme A est à E, et que par égalité A soit plus grand que r je dis que A sera plus grand que Z ; que si A est égal à r, A sera égal à 7, et que si A est plus petit que Tr, A sera plus petit que z.

Puisque À est plus grand que Tr, et que B est une autre grandeur, A aura avec B une plus grande raison que r avec B (8. 5). Mais A est à B comme E est à Z, et par inversion, T est à B comme E est à A ; donc E a avec Z une plus grande raison que E avec A. Mais la grandeur avec laquelle une même grandeur a une raison plus grande est la plus petite (10, 5) ; donc Z est plus petit que À ; donc A est plus grand que z. Nous démontrerons semblablement que si A est égal à T, A sera égal à Z, et que si A est plus petit que T, À sera plus petit que Z. Donc, etc.

PROPOSITION XXII.

Si l’on a tant de grandeurs que l’on voudra, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières, et si ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison, elles auront la même raison par égalité.

Soient A, B, Γ tant de grandeurs que l’on voudra, et A, E, Z d’autres grandeurs égales en nombre aux premières ; que ces grandeurs, prises deux à deux, aient la même raison, c’est-à-dire que A soit à B comme Δ est à E, et que B soit à T comme E est à Z ; je dis que ces grandeurs auront là même raison par égalité, c’est-à-dire que A sera à T comme A est à z.

Prenons des équimultiples quelconques 4, © de A et de A ; prenons d’autres équimultiples quelconques K, À de 8 et de E, et enfin d’autres équimultiples quelconques M, N de r et de z. 2e Puisque A est à B comme 4 est à E, que l’on a pris des équimultiples quelconques H, Θ de A et de A, et d’autres équimultiples quelconques K, À dep et de E ; H est à K comme Θ est à À (4. 5). Par la même raison, K est à M comme A est à N. Donc, puisque l’on a trois grandeurs H, K, M, et d’autres grandeurs Θ, A, N égales en nombre aux premières, et que ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison ; si, par égalité, H surpasse M, 0 surpasse N ; Si H est égal à M, Θ est égal à N, et si H est plus petit que M, Θ est plus petit que N (20. 5). Mais H, Θ sont des équimultiples quelconques de 4 et de A, et M, N dʼautres équimultiples quelconques de r et de z ; donc A est à T comme A est à Z (déf. 6 5). Donc, etc.

PROPOSITION XXIII.

Si lʼon a trois grandeurs, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières ; si ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison, et si leur proportion est troublée, ces grandeurs auront la même raison par égalité.

Soient les trois grandeurs A, B, T, et d’autres grandeurs 4, E, Z égales en nombre aux premières ; que ces grandeurs, prises deux à deux, aient la même raison, et que leur proportion soit troublée, c’est-à-dire que A soit à B comme E est à Z, et que B soit à Tr comme A est à E ; je dis que À est à T comme A est à Z.

Prenons des équimultiples quelconques H, Θ, K des grandeurs 4, B, 4, et d’autres équimultiples quelconques A, M, N des grandeurs T, E, Z. Puisque H, Θ sont des équimultiples de 4 et de B, et que les parties ont la même raison que leurs équimultiples (15. 5) ; A est à B comme H est à ae. Par la même raison, E est à Z comme M est à N ; mais À est à B comme E est à Z ; donc H est à Θ comme M est à N (11. b) . Et puisque B est à Tr comme A est à E, B est à A par permutation, comme T est à E. Et puisque Θ, K sont des équimultiples de B et de A, et que les parties ont la même raison que leurs équimultiples, B est à A comme Θ est à K, Mais B est à A comme r est à E ; donc Θ est a k comme r est à E. De plus, puisque A, M sont des équimultiples de r et de E, Tr est à E comme A est à M. Mais Tr est à E comme Θ est à K ; donc Θ est à K comme A est à M, et par permutation, Θ est à A comme K est à M. Mais on a démontré que H est à Θ comme M est à N ; donc, puisque l’on a trois grandeurs H, Θ, A, et d’autres grandeurs K, M, N égales en nombre aux premières ; que ces grandeurs, prises deux à deux, ont la même raison, et que leur proportion est troublée ; si, par égalité, H surpasse A, K surpasse N ; si H est égal à A, K est Cgal à N ; et si H est plus petit que A, K est plus petit que N Qi. 5) . Mais H, K sont des équimultiples de A et de A, et A, N des équimultiples de r et de Z ; donc 4 est à T comme 4 est à Z (déf. 6. 5). Donc, etc.

PROPOSITION XXIV.

Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la quatrième, et si la cinquième a avec la seconde la même raison que la sixième avec la quatrième, la somme de la première et de la cinquième aura la même raison avec la seconde que la somme de la troisième et de la sixième avec la quatrième. Que la première 4B ait avec la seconde r la même raison que la troisième AE a avec la quatrième Z, et que la cinquième BH ait avec la seconde r la même raison que. la sixième EΘ avec la quatrième Z ; je dis que la somme de la première et de la cinquième AH aura avec la seconde Tr la même raison que la somme de la troisième et de la sixième 4Θ a avec la quatrième z.

Puisque BH est à Tr comme E@ est à Z, par inversion, I est à BH comme Z est à E9 (cor. 4. 5). Mais AB est à T comme AE est a Z, et T est à BH comme Z est à EΘ ; donc, par égalité, AB est à BH comme AE est à EΘ (22. 5) ; donc, puisque ces grandeurs étant divisées sont proportionnelles, ces grandeurs étant composées seront proportionnelles (18. 5) ; donc AH est à BH comme 40 est à @E. Mais BH est à T comme EΘ@ est à Z ; donc, par égalité, AH est à r comme 46 est à Z (22. 5). Donc, etc.

PROPOSITION XXV.

Si quatre grandeurs sont proportionnelles, la plus grande et la plus petite sont plus grandes que les deux autres.

Que les quatre grandeurs AB, TA, E, Z soient proportionnelles, c’est-à-dire que AB soit à TA comme E est à Z ; que AB soit la plus grande, et z la plus petite ; Je dis que les grandeurs AB, Z sont plus grandes que les grandeurs TA, E.

Faisons AH égal à E, et ro égal à z.

Puisque 4B est à TA comme E est à Z, et que AH est égal à E, et r© égal à Z, AB est à TA comme AH est à ©, et puisque la grandeur entière 4B est à la grandeur entière rA comme la grandeur retranchée 4H est à la grandeur retranchée rΘ, la grandeur restante HB sera à la grandeur restante ΘA comme la grandeur entière 4B est à la grandeur entière ra (19. 5) . Mais AB est plus grand que rA ; donc HB est plus grand que Θ4. Mais AH est égal à E, etro à Z ; donc les grandeurs AH, Z sont égales aux grandeurs rΘ, E. Mais si on ajoute des grandeurs égales à des grandeurs inégales, les grandeurs entières sont inégales ; donc, puisque les grandeurs HB, Θ4 sont inégales, et que HB est la plus grande, si lʼon ajoute à HB les grandeurs AH, Z, et à ΘA les grandeurs T6, E, les grandeurs A3, Z seront plus grandes que les grandeurs ra, E. Donc, etc.

fin du cinquième livre

EUCLIDIS

ELEMENTORUM

LIBER SEXTUS.

LIVRE SIXIEME

DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.

DÉFINITIONS.

Les figures rectilignes semblables sont celles qui ont les angles égaux chacun à chacun, et dont les côtés autour des angles égaux sont proportionnels.

Les figures sont réciproques, lorsque les antécédents et les conséquents des raisons se trouvent dans lʼune et lʼautre

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison, lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit.

La hauteur d’une figure est la perpendiculaire menée du sommet sur la base.

PROPOSITION PREMIÈRE.

Les triangles et les parallélogrammes qui ont la même hauteur sont entr’eux comme leurs bases,

Soient les triangles ABΓ, AΓΔ, et les parallélogrammes EΓ, ΓZ, ayant la même hauteur, savoir, la perpendiculaire menée du point A sur BA ; je dis que la base BΓ est à la base ΓΔ comme le triangle ABΓ est au triangle AΓΔ, et comme le parallélogramme EΓ est au parallélogramme ΓZ.

Prolongeons la droite BΔ de part et d’autre vers les points Θ, Λ ; prenons tant de droites qu’on voudra BH, H6, égales chacune à la base Br, et tant de droites quʼon voudra AK, KA, égales chacune à la base rA ; joignons AH, ΑΘ, AK, AA.

Puisque les droites TB, BH, HΘ sont égales entr’elles, les triangles ΑΘH, AHB, ABT sont égaux entr’eux (38. 1) ; donc le triangle 4er est le même multiple du triangle ABr que la base er l’est de la base Br. Par la même raison, le triangle AAT est le même multiple du triangle ArA que la base TA l’est de la base ra. Donc si la base Θr est égale à la base rA, le triangle A€T est égal au triangle AAT ; si la base Θr surpasse la base ra, le triangle AT surpasse Île triangle AAT (58. 1) ; et si la base er est plus petite que la base ra, le triangle 4er est plus petit que le triangle AAT. Ayant donc quatre grandeurs, les deux bases BΓ, ΓA ; : et les deux triangles ABT, ATA, on a pris des équimultiples quelconques de la base BΓ, et du triangle ABΓ, savoir, la base er et le triangle 407 ; on a pris aussi d’autres équimultiples quelconques de la base TA et du triangle ATA, savoir, la base ΓA et le triangle AAT ; et l’on a démontré que si la base er surpasse la base ΓA, le triangle AΘΓ surpasse le triangle AAT ; que si la base Or est égale à la base ra, le triangle AOT est égal au triangle AAT, et que si la base er est plus petite que la base ra, le triangle AOT est plus petit que le triangle AAr ; donc la base Br est à la base rA comme le triangle ABT est au triangle ArA (déf. 6. 5).

Puisque le parallélogramme Er est double du triangle ABr, que le parallélogramme Zr est double aussi du triangle ATA (prop. 41. 1), et que les parties ont entr’elles la même raison que leurs équimultiples (prop. 15 5), le triangle ABΓ est au triangle AΓΔ comme le parallélogramme EΓ est au parallélogramme ZΓ. Puisqu’on a démontré que la base BΓ est à la base ΓΔ comme le triangle ABΓ est au triangle AΓΔ, et puisque le triangle ABΓ est au triangle AΓΔ comme le parallélogramme EΓ est au parallélogramme ZΓ, la base BΓ est à la base ΓΔ comme le parallélogramme EΓ est au parallélogramme ZΓ (11. 5). Donc, etc.

PROPOSITION II.

Si l’on mène une droite parallèle à un des côtés d’un triangle, cette droite coupera proportionnellement les côtés de ce triangle ; et si les côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, la droite qui joindra les sections sera parallèle au côté restant du triangle. Menons AE parallèle à un des côtés Br du triangle ABr ; je dis que Ba est à AA comme TE est à EA.

Joignons BE, TA.

Le triangle BAE sera égal au triangle TAE (37. 1), parce qu’ils ont la même base AE, et quʼils sont compris entre les mêmes parallèles AE, Br. Mais AAE est un autre triangle ; et des grandeurs égales ont la même raison avec une même grandeur (7. 5) ; donc le triangle BAE est au triangle AAE comme le triangle TAE est au triangle AAE. Mais le triangle BAE est au triangle AAE comme BA est à A4 ; car ces deux triangles, qui ont la même hauteur, savoir, la perpendiculaire menée du point E sur la droite AB, sont entrʼeux comme leurs bases (1. 6). Par la même raison le triangle TAE est au triangle AAE comme TE est à FA ; donc BA est à AA comme TE est à EA (11. 5). Mais que les côtés AB, AT du triangle ABrT soient coupés proportionnellement aux points A, E, c’est-à-dire que BA soit à AA comme TE est à EA, et joignons AE ; je dis que AE est parallèle à r.

Faisons la même construction. Puisque BA est à AA comme TE est à FA, que BA est à AA comme le triangle BAE est au triangle AAE (1. 6), et que TE ést à EA comme le triangle TAE est au triangle AAE, le triangle BAE est au triangle AAE comme le triangle TAE est au triangle AAE (11. 5). Donc chacun des triangles BAE, TAE a la même raison avec le triangle 4A4F. Donc le triangle BAE est égal au triangle TAE (9. 5) ; et ils sont sur la même base AE. Mais les triangles égaux et construits sur la même base sont entre les mêmes parallèles (39. 1). Donc AE est parallèle à Br. Donc, etc.

PROPOSITION III.

Si un angle d’un triangle est partagé en deux parties égales, et si la droite qui partage cet angle coupe la base, les segments de la base auront la même raison que les côtés restants de ce triangle ; et si les segments de la base ont la même raison que les autres côtés du triangle, la droite menée du sommet à la section, partagera l’angle de ce triangle en deux parties égales.

Soit le triangle ABΓ, que lʼangle BAT soit partagé en deux parties égales par la droite AA ; je dis que BA est à AT comme BA est à AT.

Par le point Γ menons TE parallèle à AA (31. 1), et que BA prolongé rencontre ΓE au point E. Puisque la droite AT tombe sur les parallèles AA, Er, l’angle ATE est égal à lʼangle rAA (29. 1). Mais lʼangle TAA est supposé égal à l’angle RAA ; donc l’angle BAA est égal à l’angle ATE. De plus, puisque la droite BAE tombe sur les parallèles AA, ET, lʼangle extérieur BAA est égal à l’angle intérieur AET (29. 1). Mais on a démontré que lʼangle ATE est égal à lʼangle BAA ; donc l’angle ATE est égal à l’angle AEr ; donc le côté AE sera égal au côté ar (6. 1). Et puisquʼon a méné la droite AA parallèle à un des côtés Er du triangle BTE, la droite BA est à ar comme BA est à AE (2. 6). Mais AE est égal à Ar ; donc BA est à AT comme BA est à AT (7. 5).

Mais que BA soit à AT comme BA est à AT ; joignons AA ; je dis que lʼangle BAT est partagé en deux parties égales par la droite 44.

Faisons la même construction. Puisque BA est à AT comme BA est à AT, et que BA est à AT comme BA est à AE (2. 6), car la droite AA est parallèle à un des côtés EΓ du triangle ΒΓE, la droite BA est à AΓ comme BA est à AE ; donc AΓ est égal à AE (9. 5) ; donc l’angle AEΓ est égal à l’angle AΓE (5. 1). Mais l’angle AEΓ est égal à l’angle extérieur BAΔ (29. 1), et l’angle AΓE égal à l’angle alterne ΓAΔ ; donc l’angle BAΔ est égal à l’angle ΓAΔ ; donc l’angle BAT est partagé en deux parties égales par la droite AΔ. Donc, etc.

PROPOSITION IV.

Dans les triangles équiangles, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels ; et les côtés qui soutendent les angles égaux, sont homologues. Soient les triangles équiangles ABT, ATE, ayant l’angle BAT égal à l’angle TAE, l’angle ATB égal à l’angle AEr, et l’angle ABr égal à l’angle ATE ; je dis que dans les triangles ABr, ATE, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels, et que les côtés qui soutendent les angles égaux sont homologues.

Plaçons la droite Br dans la direction de re. Et puisque les angles ABT, ATB sont plus petits que deux droits (17. 1), et que l’angle ArB est égal à l’angle AET, les angles ABT, AET sont plus petits que deux droits ; donc les droites BA, EA, étant prolongées, se rencontreront (not. com. 11) ; qu’elles soient prolongées, et quʼelles se rencontrent en Z.

Et puisque lʼangle ATE est égal à l’angle ABT, la droite EZ est parallèle à la droite ra (28. 1) . De plus, puisque l’angle 4TB est égal à l’angle AFr, la droite AT est parallèle à ZE ; donc la figure ZΑΓΔ est un parallélogramme ; donc ZA est égal à AT, et AT égal à ZA (34. 1). Et puisquʼun des côtés AT du triangle ZBE, est parallèle au côté ZE, BA est à AZ comme Br est à TE (2. 6). Mais AZ est égal à rA ; donc BA est à TA comme ET est àTE (7. 5), et, par permutation (16. 5}, AB est à Br comme ar est à TE (16. 5). De plus, puisque rA est parallèle à Bz, Br est à TE comme ZA est à AE. Mais ZA est égal à Ar ; donc Br est à TE comme Ar est À EA, et, par permutation, BT est à TA comme TE est à EA. Ft puisquʼon a démontré que AB est à BT comme AT est à TE, et que BT est à TA comme TE est à FA, BA Sera à AT Comme TA est à AE (22, 5). Donc, etc.

PROPOSITION V.

Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels, ils seront équiangles, et ils auront les angles soutendus par les côtés homologues égaux entr’eux.

Soient deux triangles ABT, AEZ, ayant les côtés proportionnels, que 48B soit à BT comme 4E est à EZ, que BT soit à TA comme EZ est à ZA, et que BA soit à AT comme EA est à AZ ; je dis que les triangles ABT, AEZ sont équiangles, et que les angles soutendus par les côtés homologues seront égaux, l’angle ABT égal à langle 4Ez, l’angle BrA égal à l’angle EzA, et enfin l’angle BAT égal à l’angle EAZ, Construisons sur EZ et aux points E, Z l’angle ZEH égal à lʼangle AΒΓ et lʼangle EZH égal à lʼangle BrA (23. 1) ; l’angle restant A sera égal à l’angle restant H (32. 1).

Les triangles ABr, EHZ seront équiangles ; donc dans les triangles ABT, Exz, les côtés autour des angles égaux sont proportionnels, et les côtés qui soutendent les angles égaux sont homologues (4. 6) ; donc AB est à Br comme HE est à EZ. Mais AB est supposé être à Br comme AE est à EZ ; donc AE est à EZ comme HE est à EZ (11. 5) ; donc chacune des droites &E, HE a la même raison avec Ez ; donc AE est égal à HE (9. 5). La droite AZ est égale à HZ, par la même raison. Donc, puisque ΔE est égal à EH, et que la droite EZ est commune, les deux droites AE, EZ sont égales aux deux droites HE, EZ ; mais la base ZA est égale à la base ZH ; donc l’angle AEZ est égal à l’angle Hez (8. 1) ; donc le triangle AEZ est égal au triangle HEZ, et les autres angles que soutendent des côtés égaux sont égaux ; donc lʼangle AZE est égal à l’angle HZE, et l’angle EAZ égal à l’angle EHZ, Et puisque ZEA est égal à l’angle ZEH, et que lʼangle HEZ est égal à lʼangle ABT, l’augle ABr est égal à lʼangle AEz. Par la même raison, l’angle ATB est égal à l’angle AZE, et lʼangle en A égal à l’angle en Δ ; donc les triangles ABT, AEZ sont équiangles. Donc, etc.