Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 12)
Donc la droite AB a été coupée au point E en moyenne et extrême raison, et AE est son plus grand segment. Ce qu’il fallait faire.
AUTREMENT.
Soit AB la droite donnée ; il faut couper AB en moyenne et extrême raison.
Coupons AB au point T, de manière que le rectangle sous AB, Br soit égal au quarré de AT (11. 2).
Puisque que le rectangle sous 4B, Br est égal au quarré de rA, AB est à AT comme AΓ est à ΓB (17. 6) ; donc la droite AB a été coupée en moyenne et extrême raison au point Γ (déf. 5. 6). Ce qu’il fallait faire.
PROPOSITION XXXI.
Dans les triangles rectangles. la figure construite sur le côté qui soutend lʼangle droit, est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés qui comprènent lʼangle droit.
Soit le triangle rectangle AΒΓ, ayant l’angle droit BAΓ ; je dis que la figure construite sur ΒΓ est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés BA, AΓ.
Menons la perpendiculaire ΑΔ. Puisque dans le triangle rectangle ABT, on a mené de lʼangle droit A sur la base Br la perpendiculaire A4, les triangles ABA, AAT, autour de la perpendiculaire, sont semblables au triangle entier ABr, et semblables entr’eux (8. 6). Et puisque le triangle ABr est semblable au triangle ABA, TB est à BA comme AB est à BA. Mais lorsque trois droites sont proportionnelles, la première est à la troisième comme la figure construite sur la première est à la figure semblable, et semblablement construite sur la seconde (2. cor. 20. 6) ; donc TB est à BA comme la figure construite sur ΓB est à la figure semblable, et semblablement Construite sur BA. Par la même raison, BΓ est à TA comme la figure construite sur BΓ est à la figure construite sur TA ; donc BΓ est à BA, AT comme la figure Br est aux figures semblables, et semblablement décrites sur BA, AT (24. 5). Mais la droite Br est égale aux droites BA, ar ; donc la figure construite sur BT est égale aux figures semblables, et semblablement décrites sur BA, AΓ. Donc etc.
AUTREMENT.
Puisque les figures semblables sont entr’elles en raison double des côtés homologues (23. 6), la figure construite sur Br a avec la figure construite sur BA une raison double de celle que rB a avec BA. Mais le quarré de a avec le quarré de BA une raison double de celle que TB a avec B4 (1. cor. 20. 6) ; donc la figure construite sur TB est à celle qui est construite sur BA comme le quarré de rB est au quarré de BA (11. 5). Par la même raison, la figure construite sur Br est à la figure construite sur TA comme le quarré de Br est au quarré de rA ; donc la figure construite sur Br est aux figures construites sur BA, AT comme le quarré de Br est aux quarrés des droites BA, AT (24. 5). Mais le quarré de Br est égal aux quarrés des droites BA, Ar (47. 1) ; donc la figure construite sur Br est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les droites BA, Ar. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXII.
Si deux triangles, ayant deux côtés proportionnels à deux côtés, se touchent par un angle, de manière que leurs côtés homologues soient parallèles, les côtés restants des triangles seront dans la même direction.
Soient les deux triangles ABT, ATE, ayant les deux côtés BA, AT proportionnels aux deux côtés rA, 4E, de manière que AB soit à AΓ comme ΔΓ est à AE ; et que AB soit parallèle à Ar, et AT parallèle à AE ; je dis que ET est dans la direction de re.
Puisque AB est parallèle à AT, et que AT tombe sur ces deux droites, les angles alternes BAT, ATA sont égaux entr’eux (29. 1.). Par la même raison, lʼangle rAE est égal à l’angle ArA ; donc l’angle BAr est égal à l’angle rAE. Et puisque les deux triangles ABT, ATE ont un angle en A égal à un angle en A, et que les côtés qui comprènent ces angles égaux sont proportionnels, c’est-à-dire que BA est à AT comme TA est à AE, les triangles ABr, ATE sont équiangles (6. 6) ; donc lʼangle ABr est égal à l’angle ArE. Mais on a démontré que lʼangle ArA est égal à l’angle BAr ; donc lʼangle entier ArE est égal aux deux angles ABT, BAT. Ajoutons l’angle commun ATB ; les angles ATE, ArB seront égaux aux angles BAT, ABT, ArB. Mais les angles BAT, ABT, ATB sont égaux à deux angles droits (32. 5) ; donc les angles ATE, ATB sont égaux à deux angles droits. Donc avec une droite quelconque AT, et au point r de cette droite, les deux droites ΒΓ, ΓΕ, placées de différents côtés, font les angles de suite ATE, ATB égaux à deux angles droits ; donc la droite Br est dans la direction de TE (14. 1). Donc, etc.
PROPOSITION XXXIII.
Dans les cercles égaux, les angles ont la même raison que les arcs qu’ils comprènent, soit que les angles soient placés aux centres ou bien aux circonférences ; il en est de même des secteurs qui sont construits aux centres.
Soient les cercles égaux ABr, AEZ ; que les angles BHr, EΘZ soient placés à leurs centres H, ©, et que les angles BAT, EAZ soient placés à leurs circonférences ; je dis que l’arc BT est à l’arc EZ comme l’angle BHr est à l’angle Ee ? , comme lʼangle BAT est à l’angle EAZ, et comme le secteur HBr est au secteur ΘEZ.
Faisons tant d’arcs de suite TK, KA, quʼon voudra égaux chacun à lʼarc 8r, et tant dʼarcs qu’on voudra ZM, MN, égaux chacun à lʼarc EZ, et joignons HK, HA, ΘM, ON. ‘
Puisque les arcs BT, TK, KA sont égaux entr’eux, les angles BHT, THk, KHA sont aussi égaux entr’eux (27. 3) ; donc l’angle BHA est le même multiple de Bar, que lʼarc BA l’est de lʼarc Br. Par la même raison, lʼangle FEΘN est le même multiple de Eez, que l’arc EN l’est de lʼarc eZ. Donc si lʼarc BA est égal à Parc EN, l’angle BHA est égal à l’angle EON (27. 3) ; si lʼarc BA est plus grand que l’angle EN, l’angle BHA est plus grand que l’angle EGN ; et si l’arc BA est plus petit que lʼarc EN, lʼangle BHA est plus petit que lʼangle EON, Ayant donc quatre grandeurs, deux arcs Br, EZ, et deux angles BHT, EHZ, on a pris des équimultiples de lʼarc Br et de l’angle BHT, savoir, lʼarc BA et l’angle BHA ; on a pris aussi des équimuliples de Parc Ez et de lʼangle EΘZ, savoir, lʼarc EN et l’angle EON ; et l’on a démontré que si l’arc BA surpasse lʼarc EN, l’angle BHA surpasse l’angle FON ; que si l’arc BA est égal à V’arc EN, lʼangle BHA est égal à l’angle EON ; que l’arc BA est plus petit que lʼarc EN, lʼangle BHA est plus petit que l’angle EON ; donc lʼarc Br est à l’arc EZ comme lʼangle BHT est à l’angle EΘZ (déf. 6. 5). Mais lʼangle BET est à l’angle EΘZ comme l’angle BAT est à l’angle Eaz (15. 5), car ils sont doubles les uns des autres (20. 3) ; donc l’arc Br est à l’arc EZ comme l’angle BHT est à l’angle EΘz, et comme lʼangle BAT est à lʼangle Ea7.
Donc, dans des cercles égaux, les angles sont proportionnels aux arcs, soit que ces angles soient placés aux centres ou bien aux circonférences. Ce qu’il fallait démontrer.
Je dis de plus que l’arc Br est à l’arc EZz comme le secteur HBT est au secteur ΘEZz.
Joignons Br, TK, et ayant pris sur les arcs Br, IK, les points Æ, O, joignons BX, ÆT, [O, OK.
Puisque les deux droites BH, HT sont égales aux deux droites TH, HK, et qu’elles comprènent des angles égaux, la base Br est égale à la base TK ; donc le triangle BHT est égal au triangle HrKk (4. 1). Mais lʼarc Br est égal à Farc rK ; donc le reste de la circonférence du cercle entier est égal au reste de la circonférence du cercle entier (ax. 3) ; donc l’angle BET est égal à lʼangle roKk (27. 5) ; donc le segment BEr est semblable au Segment TOK (déf. 11. 3), et ces deux segments sont sur les droites égales Er, TK. Mais les segments de cercles semblables placés sur des droites égales, sont égaux entr’eux (24. 3) ; donc le segment Br est égal au segment rok. Mais le triangle BHr est égal au triangle rHk ; donc le secteur entier HΒΓ est égal au secteur entier THK (ax. 2). Par la même raison, le secteur HKA est égal à l’un et l’autre des secteurs HKr, HrB ; donc les trois secteurs HBT, Hik, HKA sont égaux entrʼeux. Les secteurs ΘEZ, ΘZM, ΘMN sont égaux enlreux, par la même raison ; donc le secteur HBA est le même multiple du secteur HET qué l’arc BA l’est de l’arc Br. Par la même raison, le secteur ΘEN est le même multiple du secteur 6Ez que l’arc EN l’est de lʼarc Ez. Donc si lʼarc 84 est égl à l’arc EN, le secteur HBA est égal au secteur ΘEN ; si l’arc BA surpasse lʼarc EN, le secteur HBA surpasse le secteur ΘEN, et si l’arc BA est plus petit que l’arc EN, le secteur HBA est plus petit que le secteur ΘEN. Ayant donc quatre grandeurs, les deux arcs Br, EZ, et les deux secteurs HBr, ΘEz, on a pris des équimultiples de l’arc Br et du secteur HBT, savoir, l’arc BA et le secteur HBA ; j on a pris aussi des équimultiples de l’arc Ez et du secteur ΘEZ, savoir, l’arc EN et le secteur ΘEN. Et on a démontré que si l’arc BA surpasse l’arc EN, le secteur HBA surpasse le secteur ΘEN, que si lʼarc BA est égal à l’arc EN, le secteur HBA est égal au secteur ΘEN, et que si l’arc BA est plus petit que l’arc EN, le secteur HBA est plus petit que le secteur ΘEN ; donc lʼarc 87 est à l’arc EZ comme le secteur HBT est au secteur GEz (déf. 6. 5).
COROLLAIRE.
Il est évident que le secteur est au secteur comme l’angle est à l’angle (11. 5).
fin du sixième livre.
EUCLIDIS
ELEMENTORUM
LIBER SEPTIMUS.
Separateur-10-Vaguelettes1
LIVRE SEPTIÈME
DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
DÉFINITIONS.
L’unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une.
Un nombre est un assemblage composé d’unités.
Un nombre est une partie d’un nombre, le plus petit du plus grand, lorsque le plus petit mesure le plus grand.
Un nombre est parties d’un nombre, quand il ne le mesure pas.
Un nombre est multiple d’un nombre, le plus grand du plus petit, quand il est mesuré par le plus petit.
Le nombre pair est celui qui peut se partager en deux parties égales.
Le nombre impair est celui qui ne peut pas se partager en deux parties égales, ou bien celui qui diffère d’une unité du nombre pair.
Le nombre pairement pair est celui qui est mesuré par un nombre pair multiplié par un nombre pair.
Le nombre pairement impair est celui qui est mesuré par un nombre pair multiplié par un nombre impair.
Le nombre impairement pair est celui qui est mésuré par un nombre impair, multiplié par un nombre pair.
Le nombre impairement impair est celui qui est mesuré par un nombre impair multiplié par un nombre impair.
Le nombre premier est celui qui est mesuré par l’unité seule.
Les nombres premiers entr'eux sont ceux qui ont lʼunité seule pour commune mesure.
Le nombre composé est celui qui est mesuré par quelque nombre.
Les nombres composés entrʼeux sont ceux qui ont quelque nombre pour commune mesure.
Un nombre est dit multiplier un nombre, lorsque le multiplié est ajouté autant de fois quʼil y a dʼunités dans celui qui le multiplie, et quʼun nombre est produit.
Lorsque deux nombres se multipliant font un nombre, celui qui est produit se nomme plan ; et les nombres qui se multiplient, se nomment les côtés de ce produit.
Lorsque trois nombres se multipliant entr’eux font un nombre, celui qui est produit est appelé solide ; et les nombres qui se multiplient, se nomment les côtés du produit.
Le nombre quarré est celui qui est également égal, ou celui qui est contenu sous deux nombres égaux.
Le nombre cube est celui qui est également égal également, ou bien celui qui est contenu sous trois nombres égaux.
Des nombres sont proportionnels, lorsque le premier est le même multiple du second que le troisième lʼest du quatrième, ou lorsque le premier est la même partie ou les mêmes parties du second que le troisième lʼest du quatrième.
Les nombres plans et solides semblables sont ceux qui ont leurs côtés proportionnels.
Le nombre parfait est celui qui est égal à ses parties.
PROPOSITION PREMIÈRE.
Deux nombres inégaux étant proposés, le plus petit étant toujours retranché du plus grand, si le reste ne mesure celui qui est avant lui que lorsque lʼon a pris lʼunité, les nombres proposés seront premiers entrʼeux.
Soient les deux nombres inégaux AB, TA ; que le plus petit étant toujours retranché du plus grand, le nombre restant ne mesure celui qui est avant lui que lorsque l’on a pris lʼunité ; je dis que les nombres 4B, rA sont Premiers entr’eux, cʼest-à-dire que lʼunité seule les mesure.
Car si les nombres AB, TA ne sont pas premiers entrʼeux, quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit E ; que TA mesurant AB laisse ZA plus petit que lui-méme ; que ZzA mesurant ar laisse HT plus petit que lui-même ; et quʼenfin Hr mesurant ZA laisse lʼunité eA.
Puisque E mesure TA, et que T^ mesure ZB, le nombre E mesure ZP. Mais il mesure AB tout entier ; donc il mesurera le reste Az. Mais AZ mesure AH ; donc E mesurera AH. Mais il mesure TA tout entier ; donc il mesurer le reste TH. Mais TH mesure Ze ; donc E mesurera Ze. Mais il mesure ZA tout entier ; donc un nombre mesurera lʼunité restante A6, ce qui est impossible (déf. 5. 7) . Donc, aucun nombre ne mesurera les nombres ΑΒ, Τὰ, Donc les nombres AB, TA sont premiers entrʼeux. Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION II.
Deux nombres non premiers entrʼeux étant donnés, trouver leur plus grande commune mesure. Soient donnés les deux nombres ΑΒ, ΓΔ non premiers entrʼeux, et que ΓΔ soit le plus petit ; il faut trouver la plus grande commune mesure des nombres AB, ΓΔ.
Si ΓΔ mesure AB, le nombre ΓΔ sera une commune mesure des nombres ΓΔ, AB, parce que ΓΔ se mesure lui-même ; et il est évident quʼil en sera la plus grande, car aucun nombre plus grand que ΓΔ ne peut mesurer ΓΔ.
Mais si ΓΔ ne mesure pas AB, et si on retranche toujours le plus petit des nombres AB, ΓΔ du plus grand, il restera quelque nombre qui mesurera celui qui est avant lui. On nʼaura pas lʼunité pour reste ; car si cela était, les nombres AB, ΓΔ seraient premiers entrʼeux, ce qui nʼest pas supposé ; il restera donc quelque nombre qui mesurera celui qui est avant lui. Que TA mesurant AB laisse EA plus petit que lui-même ; que EA mesurant 41 laisse Zr plus petit que lui-même ; et enfin que rZz mesure EA. Puisque r mesure AE, et que AE mesure AZ, le nombre TZ mesurera AZ. Mais il se mesure lui-même ; donc il mesurera TA tout entier. Maïs TA mesure BE ; donc F2 mesure BE. Mais il mesure EA ; donc il mesurera BA tout entier. Mais 1 mesure TA ; donc TZ mesure AB et TA ; donc TZ est une commune mesure des nombres AB, rA. Je dis qu’il en est la plus grande. Car si rZ n’est pas la plus grande commune mesure des nombres AB, rA, quelque nombre plus grand que TZ mesurera les nombres AB, TA. Qu’un nombre plus grand les mesure, et que ce soit H. Puisque H mesure ra, et que rA mesure 8E, le nombre H mesurera BE Mais il mesure BA tout entier ; donc il mesurera le reste AE. Mais. AE mesure AZ ; donc H mesure AZ. Mais il mesure Ar tout entier ; donc il mesurera le reste TZ, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc quelque nombre plus grand que rz ne mesurera pas les nombres AB, TA ; donc rz est] la plus grande commune mesure des nombres AB, ra. Ce qu’il fallait démontrer.
COROLLAIRE.
Il suit évidemment de là, que si un nombre en mesure deux autres, il mesure aussi leur plus grande commune mesure.
|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Δ μέγιστον κοιν μετρον εστιν ὁ E* ὁ Z αρα τὸν Ἐ μέτρει ! 5 ὁ μειζων τὸν ἐλασσονα, οἴπτερ ἐστὶν ἀδύνωτον" οὐκ ἄρα τοὺς Α- Β. Τ ἀριθμός τις μετρήσει με ; ζων ὧν τὸυ ἘΟῈ ἀρὰ Των Α, Β, Γ μέγιστον ἐστιν κοιγὸν μέτρον.
| style="width:50%; vertical-align:top;" | metitur ; et ipsorum A, I igitur maximam communem mensuram metitur. Ipsorum autem 5, A maxima communis mensura est E ; ipse Z igitur ipsum E metitur, major minorem, quod est impossibile ; non igitur ipsos A, B, T numerus aliquis mctietur major existens ipso E ; ipse E igitur ipsorum A, B, Iʼ maxima est communis mensura.
|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | Τριῶν αρα αριθμῶν δοθεντων μὴ πρωτων προς ἀλλήλους, εὕρηται τὸ μέγιστον κομΜὸν μέτρον. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.
| style="width:50%; vertical-align:top;" | Tribus igitur numeris datis non primis inter se, inventa est maxima communis "mensura. Quod oportebat facere.
|}
PROPOSITION III.
Trois nombres non premiers entrʼeux étant donnés, trouver leur plus grande commune mesure.
Soient donnés les trois nombres A, B, T non premiers entrʼeux ; il faut trouver leur plus grande commune mesure.
Prenons la plus grande commune mesure Δ des deux nombres A, B ; le nombre A mesure, ou ne mesure pas le nombre r. Premièrement, quʼil le mesure ; mais il mesure aussi les nombres 4, B ; donc il mesure les nombres 4, B, Γ ; donc Δ est une commune mesure des nombres A, B, T. Je dis quʼil en est la plus grande. Car si A n’est pas la plus grande commune mesure des nombres A, B, T, un nombre plus grand que A mesurera les nombres A, 5, r. Quʼun nombre plus grand les mesure, et que ce soit E. Puisque E mesure les nombres A, B, Tr, il mesurera les nombres A, B, et par conséquent leur plus grande commune mesure (cor. 2. 7). Mais A est la plus grande commune mesure des nombres A, B ; donc E mesure Δ, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc un nombre plus grand que Δ ne mesurera pas les nombres 4, B, T ; donc A est la plus grande commune mesure des nombres A, B, r.
Que À ne mesure pas Tr ; je dis premièrement que les nombres A, Tr ne sont pas premiers entrʼeux. Car puisque les nombres A, B, T ne sont pas premiers entrʼeux, quelque nombre les mesurera, et celui qui mesure les nombres A, B, T, mesurera les nombres A, B, et mesurera aussi leur plus grande commune mesure A (cor. 2. 7). Mais il mesure aussi T ; donc quelque nombre mesurera les nombres Δ, T ; donc Δ, T ne sont pas premiers entr’eux. Prenons leur plus grande commune mesure E. Puisque E mesure Δ, et que Δ mesure les nombres A, B, le nombre E mesure A et B. Mais il mesure r ; donc E mesure les nombres A, B, L ; donc E est une commune mesure des nombres A, B, r. Je dis quʼil en est la plus grande. Car si E nʼest pas la plus grande commune mesure des nombres A, B, r, un nombre plus grand que E mesurera les nombres A, B, T. Quʼil les mesure, et que ce soit z. Puisque Z mesure les nombres A, 8, r, il mesure A et B, et il mesurera par conséquent leur plus grande commune mesure. Mais A est la plus grande commune mesure des nombres 4, 8 ; donc Z mesure A. Mais il mesure aussi r ; donc z mesure 4 etr ; donc il mesure la plus grande commune mesure des nombres A, r. Mais E est la plus grande commune mesure des nombres Γ, Δ ; donc Z mesure E, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc un nombre plus grand que E ne mesurera pas les nombres A, B, Γ ; donc E est la plus grande commune mesure des nombres A, B, Γ.
Donc, trois nombres non premiers entrʼeux étant donnés, on a trouvé leur plus grande commune mesure. Ce qu’il fallait faire.
COROLLAIRE.
Il suit évidemment de là que si un nombre en mesure trois autres, il mesurera aussi leur plus grande commune mesure.
Plusieurs nombres étant donnés, on trouvera de la même manière leur plus grande commune mesure.
PROPOSITION IV.
Tout nombre est ou une partie ou plusieurs parties de tout autre nombre, le plus petit du plus grand.
Soient deux nombres A, BΓ, et que BΓ soit le plus petit ; je dis que BΓ est ou une partie ou plusieurs parties de A. Car les nombres A, BΓ sont premiers entrʼeux, ou non ; qu’ils soient dʼabord premiers entrʼeux ; ayant divisé le nombre Br en ses unités, chacune dé unités de Br sera quelque partie de A (déf. 1 et 2. 7) ; donc Br sera plusieurs parties de A.
Que les nombres A, Br ne soient pas premiers entrʼeux ; le nombre BΓ mesure A ou ne le mesure pas. Si Br mesure A, le nombre Br est um partie de A. Sʼil ne le mesure pas, prenons la plus grande commune mesure A des nombres A, BT (2. 7), et partageons BT en parties BE, EZ, ZT égales à Δ. Puisque ^4 mesure A, le nombre ^ est une partie de 4. Mais Δ est égal à chacune des parties BE, EZ, Zr ; donc chacune des parties BE, EZ, ZT est une partie de 4 ; donc 8r est plusieurs parties de 4. Donc, etc.
PROPOSITION V.
Si un nombre est une partie dʼun nombre, et si un autre nombre est la même partie dʼun autre nombre, leur somme sera aussi la même partie de leur somme, qu’un seul l’est d’un seul.
Que le nombre A soit une partie du nombre Br, et quʼun autre nombre à soit la même partie d’un autre nombre EZ, que A l’est de Br ; je dis que la somme de A et de Δ est la même partie de la somme de ΒΓ et de Ez, que A l’est de ΒΓ,
Car puisque A est la méme partie de Br, que A lʼest de zz, il y aur dans Br autant de nombres égaux à. A, quil y a dans Ez de nombres égaux 1 A. Partageons BT en nombres BH, HΓ égaux à A, et EZ en nombres EO, Z égaux à A, la quantité des nombres 5H, HT sera égale à la quantité des nombres Eo, ez. Mais BH est égal à A, et Zo égal à Δ ; donc la somme de BH et de Εθ est égal e à la somme de A et de Δ. Par la même raison, HΓ est égal à A, et ΞΘ égal à Δ ; donc la somme de HΓ et de ez est égale à la somme de A et de 4j il y a donc dans ΒΓ autant de nombres égaux à A, quʼil y a dans ΒΓ, EZ de nombres égaux aux nombres A, A ; donc Br est le même multiple de 4, que la somme de Br et de EZ lʼest de la somme de 4 et de A ; donc A est la même partie de Br que la somme de A et. de ^, lʼest de la somme de Br et de Ez. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION VI.
Si un nombre est plusieurs parties d’un nombre, et si un autre nombre est les mêmes parties d’un autre nombre, leur somme sera les mêmes parties de leur somme, qu’un seul l’est d’un seul.
Que le nombre AB soit plusieurs parties du nombre r, et qu’un autre nombre AE soit les mêmes parties d’un autre nombre z, que 48 l’est de r ; je dis que la somme de AB et de AE est les mêmes parties de la somme de Γ et de Z que AB lʼest de Γ. Puisque AB est les mêmes parties de r que AE l’est de z, il y a dans 4 autant de parties de r, quʼil y a dans AE de parties de z. Partageons AB en parties de T, et que ces parties soient AH, HB ; partageons aussi AE en parties de Z, et que ces parties soient ΔΘ, ΘΕ.
Le nombre des parties AH, HB sera égal au nombre des parties ΑΘ, ΘE, Et puisque AH est la même partie de Tr, que A0 l’est de Z, AK est la même partie de Tr, que la somme de AH et de 40 l’est de la somme de r et de z (5. 7). Par la même raison, HB est la même partie de Tr, que Θ l’est de z ; donc HE est la même partie de Tr, que la somme de HB et de ΘE l’est de la somme der et de Z ; donc la somme de AB et de AE est les mêmes parties de la somme de r et de Z, que 48 l’est de r. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION VII.
Si un nombre est la même partie d’un nombre, que le nombre retranché lʼest du nombre retranché, le nombre restant sera la même partie du nombre restant, que le tout lʼest du tout.
Que le nombre AB soit la même partie du nombre ra, que le nombre retranché AE l’est du nombre retranché TZ ; je dis que le nombre restant EB est la même partie du nombre restant ZA, que le nombre entier AB lʼest du nombre entier TA.
Que EB soit la même partie de rH, que AE lʼest de Tz. Puisque AE est la même partie de TZ, que EB lʼest de rH ; le nombre AE est la même partie de TZ, que AB l’est de HZ (5. 7) ; mais on a supposé que AE est la même partie de TZ, que AB l’est de ra ; donc AB est la même partie de Hz, que AB l’est de ra ; donc 4B est la même partie de HZ et de TA ; donc HZ est égal à ra. Retranchons la partie commune TZ ; la partie restante Hr sera égale à la partie restante ZA. Mais ÂE est la même partie de rz, que 1 l’est de Hr, et Hr est égal a ZA ; donc AE est la même partie de rz, que EB l’est de ZA. Mais AE est la même partie de TZ, que 48 l’est de ra ; donc EB est la même partie de ZA, que 4B l’est de ra ; donc le nombre restant EB est la même partie du nombre restant ZA, que le nombre entier AB l’est du nombre entier ΓΔ, Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION VIII.
Si un nombre est les mêmes parties d’un nombre, que le nombre retranche l’est du nombre retranché, le nombre restant sera aussi les mêmes parties du nombre restant, que le tout l’est du tout.
Que le nombre 4B soit les mêmes parties du nombre ra, que le nombre retranché AE l’est du nombre retranché rz ; je dis que le nombre restant EB est les mêmes parties du nombre restant ZA, que le tout AB l’est du tout ra.
Faisons H@ égal à AB ; le nombre H© sera les mêmes parties de TA, que AE l’est de rz. Divisons H© en parties de TA, et que ces parties soient HK, Ko ; divisons AE en parties de TZ, et que ces parties soient AA, AE ; le nombre des parties HK, K© sera égal au nombre des parties AA, AE. Et puisque HK est la même partie de ra, que AA l’est de rZ, et que rA est plus grand que TZ, HK est plus grand que AA. Faisons HM égal à AA ; HK sera la même partie de TA, que EM l’est de : rz ; donc le reste MK est la même partie du reste ZA, que le tout HK l’est du tout ra De plus, puisque Kk® est la même partie de TA, que AE l’est de TZ, et que rA est plus grand que rz, ke est plus grand que 4E. Faisons KN égal à AE ; K© sera la même partie de TA, que KN lʼest de rz ; done le reste Ne est la même partie du reste 74, que le tout Ko l’est du tout ra. Mais on a démontré que le reste MK est la même partie du reste ZA, que le tout KH l’est du tout AT ; donc la somme de MK et de N@, est les mêmes parties de Az, que le tout @x l’est du tout ar. Mais la somme de Mk et de N@ est égale à EB, et @H égal à BA ; donc le reste EB est les mêmes parties du reste ZA, que le tout Al l’est du tout ra. Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION IX.
Si un nombre est une partie dʼun nombre, et si un autre nombre est la même partie d’un autre nombre, le premier est, par permutation, la même partie ou les mêmes parties du troisième, que le second l’est du quatrième.
Que le nombre 4 soit une partie du nombre Br, et quʼun autre nombre 4 soit la même partie d’un autre nombre EzZ, que 4 l’est de 8r, et que A soit plus petit que A ; je dis que, par permutation, A est la même partie ou les mêmes parties de A, que Br l’est de Ez.
Puisque À est la même partie de Br, que 4 lest de Ez, il y a dans BT autant de nombres égaux à A, quʼil y a dans EZ de nombres égaux à A. Partageons BT en parties égales à A, et que ces parties soient BH, HΓ : partageons aussi EZ en parties égales à A, et que ces parties soient ΕΘ, ΘΖ ; le nombre des parties BH, HT sera égal au nombre des parties ΕΘ, ΘΖ.
Puisque les nombres BH, HT sont égaux entrʼeux, que les nombres Fo, 6z sont aussi égaux entr eux, et que la quantité des nombres BH, HT est égale à la quantité des nombres ΕΘ, ΘΖ, le nombre BH est la même partie ou les mêmes parties de E@, que HT l’est de ©z ; donc BH est la même partie ou les mêmes parties de E@, que la somme Br l’est de la somme Ez (5 et 6. 7). Mais BH est égal à A, et E@ égal à A ; donc A est la même partie ou les mêmes parties de A, que Br l’est de Ez. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION X.
Si un nombre est les mêmes parties d’un nombre, qu’un autre l’est d’un autre, le premier sera aussi, par permutation, les mêmes parties ou la même partie du troisième, que le : second l’est du quatrième.
Que le nombre AB soit les mêmes parties du nombre r, qu’un autre nombre AE l’est d’un autre nombre z, et que 48 soit plus petit que 4E ; je dis que, par Permutation, AB est les mêmes parties ou la même partie de AE, que r l’est de z.
Puisque 4B est les mêmes parties de Tr, que 4E lʼest de z, il y a dans 4B autant de parties de r, qu’il y a dans AE de parties de z. Divisons 4B en parties de Tr, et que ces parties soient AH, HB ; divisons aussi AE en parties de z, et que ces parties soient AΘ, ΘE ; le nombre des parties AH, HB sera égal au nombre des parties AΘ, ΘE. Et puisque AH est la même partie de r, que 46 l’est de Z ; par permutation, AH est la même partie ou les mêmes parties de 4e, que Tr l’est de Z (9. 7). Par la même raison, HB est la même partie ou les mêmes parties de ΘE, que T l’est de Z ; donc AH est la même partie ou les mêmes parties de 46, que HB l’est de @E (5 et 6. 7) ; donc AH est la même partie ou les mêmes parties de 46, que AB l’est de AE ; mais on a démontré que AH est la même partie ou les mêmes parties de 48, que r l’est de 1 ; donc AB est les mêmes parties ou la même partie de 4E, que Tr l’est de z. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XI.
Si le tout est au tout comme le nombre retranché est au nombre retranché, le nombre restant sera aussi au nombre restant comme le tout est au tout.
Que le tout AB soit au tout rA comme le nombre retranché AE est au nombre retranché rz ; je dis que le nombre restant EB est au nombre restant ZA comme le tout AB est au tout TA.
Car, puisque AB est à TA comme AE est à TZ, AB est la même partie ou les mêmes parties de rA que AE l’est de rz ; donc le reste EB est la même partie ou les mêmes parties du reste ZA que 4B l’est de ra (7 et 8. 7) ; donc Ee est à ZA comme AB. est à TA (déf. 20. 7). Ce qu’il fallait démontrer.