Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 13)

PROPOSITION XII.

Si tant de nombres qu’on voudra sont proportionnels, un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents.

Soient A, B, Γ, Δ tant de nombres proportionnels qu’on voudra ; que A soit à B comme T est à A ; je dis que A est à B comme la somme des nombres 4, 1 est à la somme des nombres B, A.

Car, puisque A est à B comme T est à A, A est la même partie ou les mêmes parties de B, que T l’est de A (déf. 20. 7) ; donc A est la même partie ou les mêmes parties de B que r l’est de 4 ; donc la somme des nombres A, r est la même partie ou les mêmes parties de la somme des nombres B, 4, que À l’est de B (5 et 6. 7) ; donc A est à B comme la somme des nombres A, Test à la somme des nombres B, A (déf. 20. 7). Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XIII.

Si quatre nombres sont proportionnels ; ils seront encore proportionnels par permutation.

Soient A, B, Γ, Δ quatre nombres proportionnels, et que 4 soit à B comme Γ est à A ; je dis qu’ils seront encore proportionnels, par permutation, cʼest-à-dire que A est à Γ comme B est à Δ.

Car, puisque A est à B comme T est à A ; A est la même partie ou Îles mêmes parties de B, que r l’est de A (déf. 20. 7) ; donc, par permutation, A est la même ou les mêmes parties de r, que B l’est de 4 (9 et 10. 7) ; donc 4 est à T comme B est à À (déf, 20. 7} Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XIV.

Si l’on a tant de nombres qu’on voudra, et d’autres nombres égaux en quantité aux premiers, et si ces nombres étant pris deux à deux sont en même raison, ils seront aussi en même raison par égalité.

Soient A, B, T tant de nombres qu’on voudra, et d’autres nombres 4, FE; Z égaux en quantité à ceux-ci, que ces nombres soient pris deux à deux et en même raison, c’est-à-dire que A soit à B comme A est à E, et quel soit à T comme E est à Z; je dis que, par égalité, A est à r comme Δ est a Z.

Car, puisque A est à B comme 4 est à E, par permutation, A est à A comme B est à E (15. 7). De plus, puisque B est à r comme E est à Z; par permutation, B est à E comme I est à Z. Mais B est à E comme A est à A ; donc A est à A comme T est à Z ; donc, par permutation, A est à T comme Δ est à Z. Ce qu’il fallait démontrer.

|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | τὸν EΖ. Ἰση δὲ ἡ ΒΗ μονὰς τῇ Α μονάδι, ὃ ϑὲ ἘΚ ἀριθμὸς τῷ Δ ἀριθμῷ" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν οὕτως ὃ ΒΓ -πρὸς τὸν ἘΖ᾽ ἰσάκις ἀρα ἡ Α μονὰς τὸν Δ ἀρεθμονὴ μετρεῖ καὶ ὁ ΒΓ τὸν Ἐ7. Οσερ ἔδει δεῖξαι.

| style="width:50%; vertical-align:top;" | unitas ad EK numerum ila BT ad EZ. Æqualis autem BH unitas ipsi A unitati, ipse vcro EK numerus Ipsi A numero ; cst igilur ut Á unitas ad A numerum ita BTʼ ad EZ ; æqualiter 1gitur A unitas ipsum. 4 numerum metitur ac EIʼipsum EZ. Quod oportebat ostendere.

|}

PROPOSITION XV.

Si lʼunité mesure un nombre autant de fois quʼun autre nombre mesure un autre nombre ; par permutation, lʼunité mesurera autant de fois le troisième nombre que le second mesure le quatrième.

Que lʼunité A mesure un nombre 2r autant de fois quʼun autre nombre A mesure un autre nombre EZ ; je dis que, par permutation, lʼunité A mesure le nombre A autant de fois que ΒΓ mesure EZ. Puisque l’unité A mesure le nombre Br autant de fois que A mesure EL il y aura dans Br autant d’unités, qu’il y a dans Ez de nombres égaux à 4. Partageons Br en ses unités BH, H®, @T, et partageons EZ en nombres égaux à A, et que ces nombres soient EK, KA, AZ ; la quantité des unités BH, H©, @T sera égale à la quantité des nombres EKk, KA, AZ. Puisque les unités BH, H©, @r sont égales entr’elles, que Îles nombres EK, KA, AZ sont égaux entrʼeux, et que la quantité des unités BH, H®, @T est égale à la quantité des nombres EK, KA, AZ, l’unité BH sera au nombre EK comme lʼunité H® est au nombre KA, et comme lʼunité @r est au nombre AZ. Donc un antécédent sera à son conséquent comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (12. 7) ; donc lʼunité BH est au nombre Ek comme Br est a EZ. Mais lʼunité EH est égale à lʼunité A, et le nombre EK au nombre 4 ; donc lʼunité A est au nombre A comme Br est à Ez ; donc lʼunité A mesure le nombre A autant de fois que Br mesure EZ (déf. 20. 7). Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XVI.

Si deux nombres se multipliant l’un et l’autre en produisent d’autres ; les nombres produits seront égaux entrʼeux.

Soient les deux nombres A, B ; que A multipliant B produise r, et que B multipliant 4 produise A ; je dis que r est égal à 4. Car, puisque A multipliant B a produit r ; B mesure r par les unités qui sont en A (déf. 15. 7). Mais lʼunité E mesure le nombre A par les unités quʼil con. tient ; donc lʼunité E mesure le nombre A autant de fois que 8 mesure r ; donc, par permutation, lʼunité E mesure le nombre 8 autant de fois que A mesurer (15. 7). De plus, puisque 8 multipliant 4 a produit ^, A mesure A par les unités qui sont en B. Mais lʼunité E mesure le nombre B par les unités quʼil contient ; donc lʼunité E mesure le nombre B autant de fois que A mesure 4. Mais lʼunité E mesure le nombre B autant de fois que A mesure r ; donc à mesure également T et A ; donc r est égal à 4. Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XVII.

Si un nombre multipliant deux nombres en produit d’autres ; les nombres produits auront la même raison que les nombres multipliés.

Que le nombre A multipliant les nombres B, r produise les nombres 4, E ; je dis que B est à T comme A est à E.

Car, puisque A multipliant B a produit A ; B mesure A par les unités qui Sont en A (déf. 15. 7). Mais l’unité z mesure le nombre A par les unités quʼil contient ; donc l’unité Z mesure le nombre A autant de fois que B mesure A ; donc l’unité Z est au nombre A comme B est à A. Par la même raison, l’unité Z est au nombre A comme T est à E ; donc B est à A comme Tr est à E ; donc, par permutation, B est à T comme 4 est à E (13. 7). Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XVIII.

Si deux nombres multipliant un autre nombre en produisent d’autres ; les nombres produits auront la même raison que les multiplicateurs.

Que les deux nombres 4, B multipliant un nombre T produisent 4, E ; je dis que A est à B comme Δ est à E. Puisque 4 multipliant T produit Δ, r multipliant 4 produit A (16. 7). Par la même raison r multipliant 8 produit E ; donc r multipliant les deux nombres A, B produit les nombres Δ, E ; donc A est à B, comme A est à E (17. 7). Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XIX.

Si quatre nombres sont proportionnels, le nombre produit parle premier et par le quatrième sera égal au nombre produit par le second et par le troisième ; et si le nombre produit par le premier et par le quatrième est égal au nombre produit par le second et par le troisième, les quatre nombres seront proportionnels.

Soient les quatre nombres proportionnels 4, B, T, A ; que 4 soit à B comme T est à A ; que À multipliant À produise E, et que B multipliant r produise z ; je dis que E est égal à z.

Que À multipliant r produise H. Puisque 4 multipliant Tr produit H, et que A multipliant A produit E, le nombre A multipliant les deux nombres T, À produit H, E ; donc r est à A comme H est à E (17. 7). Mais Tr est à A comme 4 est à B ; donc A est à B comme H est à E. De plus, puisque 4 multipliant r produit E, et que B multipliant r produit z ; les deux nombres 4, 8 multipliant un nombre T produisent H, Z (18. 7). Donc A est à B comme H est à z. Mais A est à l

comme H est à E ; donc H est E comme H est Z ; donc H a la même raison avec chacun des nombres E, Z ; donc E est égal à Z. De plus, que E soit égal à Z ; je dis que A est à B comme Γ est à Δ.

Faisons la même construction. Puisque À multipliant les nombres Γ, Δ produit H, E, le nombre Γ est à Δ comme H est à E. Mais E est égal à Z ; donc H est à E comme H est à Z. Mais H est à E comme Γ est à Δ (18. 7) ; donc Γ est à Δ comme H est à Z. Mais H est à Z comme A est à B ; donc A est à B comme Γ est à Δ. Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XX.

Si trois nombres sont proportionnels, le produit des extrêmes est égal au quarré du moyen ; et si le produit des extrêmes est égal au quarré du moyen, les trois nombres seront proportionnels.

Soient A, B, Γ trois nombres proportionnels ; que A soit à B comme B est à Γ ; Je dis que le produit des nombres A, r est égal au quarré de B. Que A soit égal à B ; À sera à B comme A est à Γ ; donc le produit des nombres A, Γ est égal au produit des nombres B, A (19. 7). Mais le produit des nombres B, A est égal au quarré de B ; parce que B est égal à à ; donc le produit des nombres A, Γ est égal au quarré de B.

Mais que le produit des nombres A, Γ soit égal au quarré de B ; je dis que À est à B comme B est à Γ.

PROPOSITION XXI.

Les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit.

Que ra, Ez soient les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec À, B ; Je dis que TA mesure A autant de fois que EZ mesure B.

Le nombre rA n’est pas plusieurs parties de A ; car, que cela soit, s’il est possible ; EZ sera les mêmes parties de B que rA l’est de A (déf. 20. 7). Il y aura donc dans TA autant de parties de 4 qu’il y dans EzZ de parties de 8. Partageons TA en parties de A, et que ces parties soient TH, HA ; et Ez en parties de B, et que ces parties soient EΘ, Θz. Le nombre des parties ΓH, ΗΔ sera égal au nombre des parties EΘ, ΘZ ; et puisque les parties ΓH, ΗΔ sont égales entr’elles, que les parties EΘ, ΘZ sont aussi égales entr’elles, et que le nombre des parties TH, HA est égal au nombre des parties EΘ, Θz ; la partie TH est à la partie Eo comme HA est à ΘZ ; donc un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme de tous les antécédents est à la somme de tous les conséquents (12. 7) ; donc TH est à EΘ comme TrA est à EZ ; donc les nombres TH, E© sont en même raison que les nombres rA, EZ qui sont plus petits que ces derniers, ce qui est impossible ; car on a supposé que rA, EZ sont les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux ; donc TA n’est pas plusieurs parties de 4. Donc il en est une partie ; mais EZ est la même partie de B que ra lʼest de A ; donc rA mesure A autant de fois que EZ mesure 8. Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XXII.

Si l’on a trois nombres et autant d’autres nombres, si ces nombres pris deux à deux sont en même raison, et si leur proportion est troublée, ces nombres seront en même raison par égalité.

Soient A, B, T trois nombres, et autant d’autres nombres A, E, Z ; que ces nombres pris deux à deux soient en même raison, et que leur proportion soit troublée ; c’est-à-dire que A soit à B comme E est à Z, et que B soit à Tr comme A est à aE ; Je dis que par égalité A est à Tr comme A est à Z.

Car puisque A est à B comme E est à Z, le produit des nombres 4, 7 est égal au produit des nombres B, E (19. 7). De plus, puisque B est à r comme A est à E ; le produit des nombres r, A est égal au produit des nombres B, E. Mais on a démontré que le produit des nombres A, Z est égal au produit des nombre B, E ; donc le produit des nombres A, Z est égal au produit des nombres Γ, Δ ; donc A est à Γ comme Δ est à Z (19. 7). Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XXIII.

Les nombres premiers entrʼeux sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux.

Que A, B soient des nombres premiers entʼeux ; je dis que les nombres 4, 1 sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux.

Car sʼils ne le sont pas, il y aura des nombres plus petits que 4, B qu auront la même raison avec A, B. Que ce soient T, A. Puisque les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux mesurent également ceux qui ont la même raison (21. 7), le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent ; le nombre r mesurera le nombre 4 autant de fois que A mesurera B. Quʼil y ait dans E autant d’unités que r mesure de fois A ; le nombre A mesurera B par les unités qui sont en E. Mais T mesure A par les unités qui sont en E ; donc le nombre E mesure A par les unités qui sont en r. Par la même raison, E mesure B par les unités qui sont en A ; donc E mesure les nombres 4, B qui sont premiers entr’eux, ce qui est impossible ; donc il n’y a point de nombres plus petits que A, B qui ayent la même raison avec les nombres A, B ; donc les nombres A, B sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXIV.

Les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux, sont premiers entr’eux.

Que A, B soient les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux ; je dis que les nombres A, B sont premiers entr’eux.

Car si les nombres A, B ne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soitr. Quʼil y ait dans : autant d’unités que Tr mesure de fois A, et qu’il y ait dans E autant d’unités que r mesure de fois B.

Puisque r mesure A par les unités qui sont dans A, le nombre r multipliant A produira 4. Par la même raison, r multipliant E produit B ; donc le nombre r multipliant les deux nombres A, E produira A, B ; donc 4 est à E comme A est à B (17. 7) ; donc les nombres A, E ont la même raison que les nombres 4, 8, qui sont plus petits quʼeux, ce qui est impossible ; donc quelque nombre ne

mesurera pas les nombres Δ, B ; donc 4, B sont premiers entr’eux. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXV.

Si deux nombres sont premiers entr’eux, le nombre qui mesure l’un d’eux sera premier avec l’autre.

Que les deux nombres A, B soient premiers entr’eux ; et que quelque nombre T mesure A ; je dis que B, I sont premiers enlr’eux.

Car que B, r ne soient pas premiers entr’eux, quelque nombre les mesurera ; que quelque nombre les mesure, et que ce soit A. Puisque À mesurer, et que Γ mesure A, le nombre Δ mesurera A. Mais il mesure B ; donc A mesure A, B qu sont premiers entr’eux, ce qui est impossible (déf. 12. 7) ; donc quelque nombre ne mesurera pas A, B ; donc T, B sont premiers entrʼeux. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXVI.

Si deux nombres sont premiers avec quelque nombre, le produit de ces deux nombres sera un nombre premier avec ce nombre.

Que les deux nombres A, B soient deux nombres premiers avec quelque nombre Γ, et que A multipliant B fasse Δ ; je dis que Γ, Δ sont premiers entrʼeux :

Car si Γ, Δ ne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre mesurera Γ, Δ. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit E. Puisque Γ, Δ sont premiers entr’eux, et qu’un nombre E mesure r, les nombres E, A seront premiers entr’eux (25. 7). Quʼil y ait dans Z autant dʼunités que E mesure de fois 4 ; le nombre Zz mesurera A par les unités qui sont dans E ; donc E multipliant z produira 4. Mais A multipliant B produit À ; donc le produit de E par Z est égal au produit de A par B. Mais lorsque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, les quatre nombres sont proportionnels (19. 7) ; donc E est à À comme B est az. Mais les nombres A, E sont premiers entr’eux ; et les nombres premiers entr’eux sont les plus petits de ceux qui out la même raison avec eux (253. 7), et les nombres qui sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux, mesurent également ceux qui ont la même raison (21. 7), le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent ; donc E mesure B ; mais il mesurer ; donc E mesure les nombres B, T qui sont premiers entr’eux, ce qui est impossible. Donc quelque nombre ne mesurera pas r, A ; donc T, A sont premiers entr’eux. Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XXVII.

Si deux nombres sont premiers entrʼeux, le quarré de l’un d’eux est premier avec l’autre.

Que les deux nombres 4, B soient premiers entr’eux, et que A multiplié par lui-même produise r ; je dis que T, B sont premiers entr’eux.

Que Δ soit égal à A. Puisque A, B sont premiers entr’eux, et que A est égal à A, les nombres A, B sont premiers entr’eux ; donc chacun des nombres 4, 4 est premier avec B ; donc le produit de À par A sera premier avec B (26. 7). Mais le produit de 4 par 4 est r ; donc les nombres r, B sont premiers entr’eux. Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XXVIII.

Si deux nombres sont premiers avec deux autres, l’un et l’autre avec l’un et l’autre, leurs produits seront premiers entr’eux.

Que les deux nombres 4, B soient premiers avec les deux nombres r, 4, l’un et l’autre avec l’un et l’autre ; que A multipliant B produise E, et que r multipliant A produise z ; je dis que les nombres E, Z sont premiers entr’eux.

Puisque chacun des nombres A, B est premier avecr, le produit de A par B sera premier avec T (26. 7). Mais le produit de 4 par B est E ; donc les nombres E, T sont premiers entr’eux. Par la même raison E, A sont premiers. entrʼeux ; donc chacun des nombres r, A est premier avec E ; donc le produit de Γ par Δ sera premier avec E (26, 7). Mais le produit de r par 4 est z ; donc les nombres E, 2 sont premiers entrʼeux. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXIX.

Si deux nombres sont premiers entr’eux, et si ces nombres étant multipliés par eux-mêmes font des nombres, les produits de ces nombres seront premiers entr’eux ; et si les nombres proposés multipliant les produits font d’autres nombres, ces derniers seront aussi premiers entr’eux, et il en sera toujours ainsi pour les derniers nombres qui auront été produits.

Que les deux nombres 4, B soient premiers entr’eux, que A étant multiplié par lui-même fasse r, que A multipliant r fasse E, que B étant multiplié par lui-même fasse À, que B multipliant à fasse z ; je dis que r, E et A, Z sont premiers entrʼeux : Puisque les nombres A, B sont premiers entr’eux, et que A étant multiplié par lui-même fait r, les nombres r, B sont premiers enu”eux (27. 7) ; et puisque T, B sont premiers entr’eux, et que B multiplié par lui-même fait 4, les nombres r, A sont premiers entrʼeux. De plus, puisque A, B sont premiers entrʼeux, et que B multiplié par lui-même a fait À, les nombres A, A sont premiers entrʼeux. Mais les deux nombres 4, r sont premiers avec les deux nombres B, 4, l’un et l’autre avec l’un et l’autre ; donc le produit de A par r est premier avec le produit de B par A (28. 7). Mais le produit de A par T est E, et le produit de B par 4 est z. Donc les nombres E, z sont premiers entrʼeux. Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XXX.

Si deux nombres sont premiers entrʼeux, leur somme sera un nombre premier avec chacun d’eux ; et si leur somme est un nombre premier avec chacun d’eux, les deux nombres proposés seront premiers entr’eux. Ajoutons les deux nombres premiers entr’eux AB, Br ; Je dis que leur somme AT est un nombre premier avec chacun des nombres 48, Br.

Car si les nombres rA, 4Bne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre mesurera TA, AB. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit A. Puisque A mesure TA, AB, il mesurera le reste Br ; mais il mesure BA ; donc A mesure AB, Er qu sont deux nombres premiers entr’eux, ce qui est impossible ; donc quelque nombre ne mesurera pas les nombres rA, AB ; donc TA, AB sont premiers ent’eux. Par la même raison AT, TB sont premiers entr’eux ; donc le nombre rA est premier avec chacun des nombres AB, Br.

De plus, que ΓA, AB soient premiers entr’eux ; je dis que AB, Br sont premiers entrʼeux.

Car si AB, BT ne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit A. Puisque A mesure chacun des nombres 4B, Br, il mesurera leur somme rA. Mais il mesure 4B ; donc A mesure TA, AB, qui sont premiers entr’eux, ce qui est impossible ; donc quelque nombre ne mesurera pas les nombres 48, Br ; donc AB, Br sont premiers entr’eux. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXXI.

Tout nombre premier est premier avec tout nombre qu’il ne mesure pas.

Soit le nombre premier A, et que A ne mesure pas B ; je dis que B, A sont premiers entrʼeux.

Car si B, À ne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre les mesurera. Que quelque sombre les mesure, et que ce soit r. Puisque r mesure B, et que A ne mesure pas B, le nombre T n’est pas le même nombre que 4. Et puisque t mesure B, A, il mesure A qui est un nombre premier, quoique T ne soit pas le même que A, ce qui est impossible ; donc quelque nombre ne mesurera pas B, A ; donc A, B sont premiers entrʼeux. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXXII.

Si deux nombres se multipliant l’un l’autre font un nombre, et si quelque nombre premier mesure leur produit, il mesurera un des nombres proposés.

Car que les deux nombres A, B se multipliant l’un l’autre fassent r, et que quelque nombre premier A mesurer ; je dis que A mesure un des nombres A, B.

Qu’il ne mesure pas A ; puisque A est un nombre premier, les nombres 4, 4 seront premiers entr’eux (31. 7). Quʼil y ait autant d’unités dans E que A mesure de fois Γ. Puisque Δ mesure Γ par les unités qui sont en E, le nombre Δ multipliant E fera Γ. Mais A multipliant B fait Γ ; donc le produit de Δ par E est égal au produit de A par B ; donc Δ est à A comme B est à E (19.7). Mais Δ, A sont des nombres premiers, et les nombres premiers sont les plus petits (25.7), et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont avec eux la même raison, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21.7) ; donc Δ mesure B. Nous démontrerons de la même manière que si Δ ne mesure pas B, il mesurera A ; donc Δ mesure un des nombres A, B. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXXIII.

Tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier.

Que A soit un nombre composé ; je dis que A est mesuré par quelque nombre Puisque A est un nombre composé, quelque nombre le mesurera (déf. 13. 7). Que quelque nombre le mesure, et que ce soit B. Si B est un nombre premier, on aura ce qui est proposé ; et si B est un nombre composé, quelque nombre le mesurera. Que quelque nombre le mesure, et que ce soit T. Puisque T mesure B, et que B mesure A, le nombre r mesurera A ; et si T est un nombre premier, on aura Ce qui est proposé. Sir est composé, quelque nombre le mesurera ; d’après une telle considération, il restera quelque nombre premier qui mesurera le nombre qui est avant lui, et le nombre 4. Car s’il ne restait pas de nombre premier, il y aurait une infinité de nombres qui mesureraient A, et qui seraient plus petits les uns que les autres, ce qui ne peut pas arriver dans les nombres (déf. 2. 7). Il restera donc quelque nombre premier qui mesurera le précédent, et le nombre 4. Donc, etc.

PROPOSITION XXXIV.

Tout nombre est premier, ou il est mesuré par quelque nombre premier.

Soit le nombre A ; je dis que A est un nombre premier, ou qu’il est mesuré par quelque nombre premier.

Si A est un nombre premier, on aura ce qui est proposé ; s’il est composé, quelque nombre premier le mesurera (33. 7). Donc, etc.

PROPOSITION XXXV.

Tant de nombres qu’on voudra étant donnés, trouver les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux.

Soient A, B, T tant de nombres donnés qu’on voudra ; il faut trouver les plus petits de ceux qui ont la même raison avec A, B, T.

Les nombres A, B, T sont ou premiers entr’eux, ou ne le sont pas. Sʼil sont premiers entr’eux, ils seront les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux (23. 7).

Sʼils ne le sont pas, prenons la plus grande commune mesure A des nombres 4, B, I (5. 7), et quʼil y ait dans chacun des nombres E, Z, H autant d’unités que 4 mesure de fois chacun des nombres 4, B, r. Chacun des nombres E, Z, H mesurera chacun des nombres 4, B, r par les unités qui sont dans A ; donc les nombres E, 1, H mesurent également les nombres 4, 8, r ; donc les nombres E, Z, H sont en même raison que les nombres 4, B, T (18. 7). Je dis de plus qu’ils sont les plus petits. Car si E, Z, H ne sont pas les plus petits de ceux qui ont avec A, B, T la même raison, il y aura quelques nombres plus petits que E, Z, H qui auront la même raison avec 4, B, T ; que ce soient 6, K, A ; le nombre @ mesurera A autant de fois que chacun des nombres K, À mesure chacun des nombres B, r (21. 7). Quʼil y ait dans M autant dʼunités que Θ mesure de fois A ; chacun des nombres K, A mesurera chacun des nombres B, T par les unités qui sont en M. Et puisque Θ mesure â par les unités qui sont en M, le nombre M mesurera A par les unités qui sont En Θ. Par la même raison, M mesurera chacun des nombres B, r par les unités qui sont dans chacun des nombres K, A ; donc M mesure A, B, r. Mais Θ mesure A par les unités qui sont en M ; donc Θ multipliant M fait A. Par la même raison, E multipliant 4 fait A ; donc le produit de E par 4 est égal au produit de e par M ; donc E est à Θ comme M est à A (19. 7). Mais E est plus grand que Θ ; donc M est plus grand que À, et M mesure A, B, T, Ce qui est impossible ; car On a supposé que A est la plus grande commune mesure des nombres 4A, B, T ; donc il n’y a pas de nombres plus petits que E, Z, H qui ayent la même raison que A, B, r ; donc E, Z, H sont les plus petits nombres qui ayent la même raison avec A, B, r. Ce qu’il fallait démontrer.