Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 23)
PROPOSITION CIV.
Une droite commensurable en longueur avec un apotome est elle-même un apotome, et du même ordre que lui.
Soit l’apotome AB, et que ΓΔ soit commensurable en longueur avec AB ; je dis que ΓΔ est un apotome, et que cet apotome est du même ordre que AB.
Car puisque AB est un apotome, que BE lui conviène ; les droites AE, EB seront des rationelles commensurables en puissance seulement (74. 10) . Faisons en sorte que la raison de BE à ΔZ soit la même que celle de AB à ΓΔ. Un antécédent est donc à un conséquent comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (12. 5) ; la droite entière AE est donc à la droite entière ΓZ comme AB est à ΓΔ. Mais AB est commensurable en longueur avec ΓΔ ; la droite AE est donc commensurable avec ΓZ, et la droite BE avec ΔZ (10. 10) . Mais les droites AE, EB sont des rationelles commensurables en puissance seulement ; les droites ΓZ, ZΔ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement (10. 10) ; la droite ΓΔ est donc un apotome (74. 10) . Je dis que cet apotome est du même ordre que AB. Car puisque AE est à ΓΖ comme BE est à ZΔ, par permutation AE sera à EB comme IZ est à ZΔ. Mais la puissance de AE surpasse la puissance de EB du quarré d’une droite commensurable, ou incommensurable avec AE. Si donc la puissance de AE surpasse la puissance de EB du quarré d’une droite commensurable avec AE, la puissance de ΓZ surpassera la puissance de ZΔ du quarré d’une droite commensurable avec ΓZ. Si AE est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, la droite ΓZ sera commensurable avec elle. Si EB est commensurable avec la rationelle exposée, la droite ΔZ le sera aussi ; et si aucune des droites AE, EB n’est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, aucune des droites ΓΖ, ZΔ ne sera commensurable en longueur avec elle ; et si la puissance de AE surpasse la puissance de EB du quarré d’une droite incommensurable avec AE, la puissance de TZ surpassera la puissance de ZΔ du quarré d’une droite incommensurable avec ΓΖ. Si la droite ΑΕ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, la droite ΓZ sera commensurable avec elle ; si BE est commensurable avec la rationelle exposée, ΖΔ le sera aussi ; et si aucune des droites AE, EB n’est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, aucune des droites ΓZ, ZΔ ne sera commensurable avec elle ; la droite ΓΔ est donc une apotome, et cet apotome est du même ordre que AB (déf. trois. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CV.
Une droite commensurable avec un apotome d’une médiale est un apotome d’une médiale, et cet apotome est du même ordre que lui.
Que AB soit un apotome d’une médiale, et que ΓΔ soit commensurable en longueur avec AB ; je dis que ΓΔ est un apotome d’une médiale, et que cet apotome est du même ordre que A.
Car, puisque AB est un apotome d’une médiale, que BE conviène avec la droite AB, les droites AE, EB seront des médiales commensurables en puissance seulement (76. 10) . Faisons en sorte que AB soit à ΓΔ comme BE est à ΔZ ; la droite AE sera commensurable avec ΓZ, et la droite BB commensurable avec ΔZ ; mais les droites AE, EB sont des médiales commensurables en puissance seulement ; les droites ΓZ, ZH sont donc des médiales commensurables en puissance seulement ; la droite ΓΔ est donc un apotome d’une médiale. Je dis que cette droite est un apotome du même ordre que AB. Car, puisque AE est à EB comme ΓZ est à ZΔ, le quarré de AE sera au rectangle sous AE, EB comme le quarré de ΓZ est au rectangle sous ΓZ, ZΔ (1. 6) ; mais le quarré de AE est commensurable avec le quarré de Γ-Z ; le rectangle sous AE, EB est donc commensurable avec le rectangle sous ΓΖ, ZΔ. 81 donc le rectangle sous AE, EB est rationel, le rectangle sous ΓZ, ZΔ sera rationel ; et si 16 rectangle sous AE, EB est médial, 16 rectangle sous ΓZ, ZΔ sera médial ; la droite ΓΔ est donc un apotome d’une médiale, et cet apotome est du même ordre que AB. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CVI.
Une droite commensurable avec une mineure est une mineure.
Soit AB une mineure, et que ΓΔ soit commensurable avec AB ; je dis que ΓΔ est une mineure.
Car faisons les mêmes choses qu’auparavant. Puisque les droites AE, EB sont incommensurables en puissance, les droites ΓZ, ZΔ seront incommensurables en puissance. Et puisque AE est à EB comme ΓΖ est à ZΔ, le quarré de AE sera au quarré de EB comme le quarré de ΓZ est au quarré de ZΔ (22. 6) ; donc, par addition, la somme des quarrés des droites AE, EB est au quarré de EB comme la somme des quarrés des droites ΓZ, ZΔ est au quarré de ZΔ (18. 5) . Mais le quarré de BE est commensurable avec le quarré de ZΔ ; la somme des quarrés des droites ΛΕ, EB est donc commensurable avec la somme des quarrés des droites ΓZ, ZΔ (10. 10) . Mais la somme des quarrés des droites AE, EB est rationelle ; la somme des quarrés des droites ΓZ, ZΔ est donc aussi rationelle. De plus, puisque le quarré de AE est au rectangle sous AE, EB comme le quarré de ΓZ est au rectangle sous IZ, ZΔ, et que le quarré de AE est commensurable avec le quarré de ΓZ ; le rectangle sous AE, EB sera commensurable avec 16 rectangle sous ΓZ, ZΔ. Mais le rectangle sous AE, EB est médial ; le rectangle sous ΓZ, ZΔ est donc médial ; les droites ΓZ, ZΔ sont donc incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant rationelle, et le rectangle sous ces mêmes droites étant médial (24. 10) ; la droite ΓΔ est donc une mineure (77. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
AUTREMENT.
Soit A une mineure, et que Β soit commensurable avec A ; je dis que la droite B est une mineure.
Soit exposée la rationelle ΓΔ ; appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΕ, qui étant égal au quarré de A, ait ΓZ pour largeur ; la droite ΓZ sera un quatrième apotome (101. 10) . Appliquons à ZE un parallélogramme ΖΗ, qui étant égal au quarré de B, ait ΖΘ pour largeur. Puisque A est commensurable avec B, le quarré de A sera commensurable avec le quarré de B. Mais ΓΕ est égal au quarré de A, et ZH égal au quarré de B ; le parallélogramme ΓE est donc commensurable avec ZH. Mais ΓΕ est à ΖΗ comme ΓΖ est à ZΘ (1. 6) ; la droite ΓZ est donc commensurable en longueur avec ZΘ (10. 10) ; mais la droite ΓZ est un quatrième apotome ; la droite ZΘ est donc un quatrième apotome (104. 10) ; la surface ZH est donc comprise sous une rationelle et un quatrième apotome. Mais si une surface est comprise sous une rationelle et un quatrième apotome, la droite qui peut cette surface est une mineure (95. 10) . Mais la droite B peut la surface ZH ; la droite B est donc une mineure. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CVII.
La droite commensurable avec la droite qui fait avec une surface rationelle un tout médial, fait elle-même avec une surface rationelle un tout médial.
Que la droite AB fasse avec une surface rationelle un tout médial, et que ΓΔ soit commensurable avec AB ; je dis que ΓΔ fait avec une surface rationelle un tout médial.
Car que BE conviène avec AB, les droites AE, EB seront incommensurables en puissance, la somme des quarrés de ces droites étant médiale, et le rectangle sous ces mêmes droites étant rationel (78. 10) . Faisons la même construction. Nous démontrerons comme auparavant que les droites ΓZ, ZΔ sont en même raison que les droites AE, EB ; que la somme des quarrés des droites AE, EB est commensurable avec la somme des quarrés des droites ΓZ, ZΔ, et que le rectangle sous AE, EB l’est aussi avec le rectangle sous ΓZ, ZΔ ; les droites ΓZ, ΖΔ sont donc incommensurables en puissance, ces droites faisant médiale la somme de leurs quarrés, et rationel le rectangle compris sous ces mêmes droites ; la droite ΓΔ fait donc avec une surface rationelle un tout médial (78. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
AUTREMENT.
Que A fasse avec une rationelle un tout médial, et que B soit commensurable avec A ; je dis que B fait avec une surface rationelle un tout médial.
Soit exposée la rationelle ΓΔ ; appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓE, qui étant égal au quarré de A, ait IZ pour largeur ; la droite ΓZ sera un cinquième apotome (102. 10) . Appliquons à ZE un parallélogramme ΖΗ, qui étant égal au quarré de B, ait ZΘ pour largeur. Puisque A est commensurable avec B, le quarré de A sera commensurab le avec le quarré de B. Mais ΓE est égal au quarré de A, et ZH au quarré de B ; le parallélogramme ΓE est donc commensurable avec ZH ; la droité ΓZ est donc commensurable en longueur avec ZΘ. Mais ΓZ est un cinquième apotome ; la droite ZΘ est donc un cinquième apotome (104. 10) . Mais la droite ZE est rationelle : or, si une surface est comprise sous une rationelle et un cinquième apotome, la droite qui peut cette surface fait avec une surface rationelle un tout médial (06. 10) . Mais la droite B peut la surface ZH ; la droite B fait donc avec une surface rationelle un tout médial. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CVIII.
Une droite commensurable avec la droite qui fait avec une surface médiale un tout médial, fait elle-mêime avec une surface médiale un tout médial. Que la droite AB fasse avec une surface médiale un tout médial, et que ΓΔ soit commensurable avec AB ; je dis que la droite ΓΔ fait aussi avec une surface médiale un tout médial.
Que BE conviène avec AB, et faisons la même construction ; les droites AE, EB seront incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, le rectangle compris sous ces mêmes droites étant aussi médial, et la somme des quarrés de ces droites étant incommensurable avec le rectangle compris sous ces mêmes droites (79. 10) . Et puisque les droites AE, EB sont commensurables avec les droites ΓZ, ZΔ, ainsi qu’on l’a démontré ; que la somme des quarrés des droites AE, EB est aussi commensurable avec la somme des quarrés des droites ΓZ, ZΔ, et que le rectangle sous AE, EB l’est aussi avec le rectangle sous ΓΖ, ΖΔ, les droites ΓΖ, ΖΔ seront incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, le rectangle compris sous ces mèmes droites étant aussi médial, et la somme des quarrés de ces droites étant aussi incommensurable avec le rectangle compris sous ces mêmes droites, la droite ΓΔ fera avec une surface médiale un tout médial (79. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CIX.
Une surface médiale étant retranchée d’une surface rationelle, la droite qui peut la surface restante est une des deux irrationelles suivantes ; savoir, ou un apotome, ) ou. une mineure.
Qu’une surface médiale BΔ soit retranchée d’une surface rationelle BΓ ; je dis que la droite qui peut la surface restante EΓ est une des deux irrationelles suivantes ; savoir, ou un apotome, ou une mineure.
Car soit exposée une rationelle ZH ; appliquons à ΖΗ un parallélogramme rectangle ΗΘ qui soit égal à BΓ, et retranchons ΗΚ égal à BΔ ; le reste EΓ sera égal à ΔΘ. Puisque BΓ est rationel, que BΔ est médial, que BΓ est égal à ΗΘ, et que BΔ est égal à HK, le parallélogramme ΗΘ sera rationel, et le parallélogramme HK médial. Mais ces parallélogrammes sont appliqués à la rationelle ZH ; la droite ZΘ est donc rationelle et commensurable en longueur avec ZH (21. 10) , et la droite ZK rationelle et incommensurable en longueur avec ZH (25. 10) ; la droite ZΘ est donc incommensurable en longueur avec ZH (13. 10) ; les droites ΖΘ, ZK sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite KΘ est donc un apotome, et KZ est la droite qui convient à KΘ (74. 10) : or, la puissance de ΘZ surpasse la puissance de ZK du quarré d’une droite ou commensurable ou incommensurable avec ΘZ. Qu’elle la surpasse d’abord du quarré d’une droite incommensurable. Mais la droite entière ΘZ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ZH ; la droite KΘ est donc un premier apotome (déf. trois. 1. 10) . Mais la droite qui peut une surface comprise sous une rationelle et un premier apotome est elle-même un apotome (02. 10) ; la droite qui peut ΛΘ, c’est-à-dire ΓE, est donc un apotome. Si la puissance de ΘZ surpasse la puissance de ZK du quarré d’une droite incommensurable avec ΘΖ, la droite KΘ sera un quatrième apotome (déf. trois. 4. 10) , parce que la droite entière ΘZ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ZH. Mais la droite qui peut une surface comprise sous une rationelle et un quatrième apotome est une mineure (05. 10) ; la droite qui peut la surface ΔΘ, c’est-à-dire EΓ, est donc une mineure. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CX.
Une surface rationelle étant retranchée d’une surface médiale, il résulte deux autres irrationelles ; savoir, ou un premier apotome d’une médiale, ou une droite qui fait avec une surface rationelle un tout médial.
Retranchons la surface rationelle BΔ de la surface mediale BΓ ; je dis que la droite qui peut la surface restante EΓ est une des deux irrationelles suivantes ; savoir, ou un premier apotome d’une médiale, ou une droite qui fait avec une surface rationelle un tout médial.
Car soit exposée une rationelle ZH ; appliquons semblablement des surfaces à ZH ; la droite ΖΘ sera conséquemment une rationelle, et cette droite sera incommensurable en longueur avec ZH (21. 10) ; mais la droite ZK est rationelle, et commensurable en longueur avec ZH (23. 10) ; les droites ΘΖ, ZK sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite KΘ est donc un apotome, et ZK convient avec cette droite (74. 10) . Or, la puissance de ΘΖ surpasse la puissance de ZK du quarré d’une droite commensurable ou incommensurable avec ΘZ. Si la puissance de ΘZ surpasse la puissance de ZK du quarré d’une droite commensurable avec ΘZ, à cause que la congruente ZK est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ZH, la droite KΘ sera un second apotome (déf. trois. 2. 10) . Mais ZH est une rationelle ; la droite qui peut ΔΘ, c’est-à-dire EΓ, est donc un premier apotome d’une médiale (93. 10) . Si la puissance de ΘΖ surpasse la puissance de ZK du quarré d’une droite incommensurable avec ΘΖ, à cause que la congruente ΖΚ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ZH, la droite KΘ sera un cinquième apotome (déf. trois. 5. 10) ; la droite qui peut la surface EΓ fait donc avec une surface rationelle un tout médial (06. I0) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CXI.
Une surface médiale étant retranchée d’une surface médiale incommensurable avec la surface entière, il résulte deux droites irrationelles ; savoir, ou un second apotome d’une médiale, ou une droite qui fait avec une surface médiale un tout médial.
Retranchons, comme dans les figures précédentes, de la surface médiale BΓ la surface médiale BΔ, incommensurable avec la surface entière ; je dis que la droite qui peut EΓ est une des deux irrationelles suivantes ; savoir, ou un second apotome d’une médiale, ou une droite qui fait avec une surface médiale un tout médial.
Car puisque chacun des parallélogrammes BΓ, BΔ est médial, et que BΓ est incommensurable avec BΔ, c’est-a-dire HΘ avec HK, la droite ΘZ sera incommensurable avec ZK (1. Ο et 10. 10) ; les droites ΘZ, ZK sont donc de rationelles commensurables en puissance seulement (23. 10) ; la droite ΘK est donc un apotome (74. 10) . Si donc la puissance de ΘZ surpasse la puissance de ZK du quarré d’une droite commensurable avec ΘΖ ; et si aucune des droites ΘZ, ZK n’est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ZH, la droite KΘ sera un troisième apotome (déf. 5. 10) . Puisque KA est une rationelle, que le rectangle compris sous une rationelle et un troisième apotome est irrationel (94. 10) , que la droite qui peut cette surface est irrationelle, et que cette droite est appelée second apotome d’une médiale, la droite qui peut ΔΘ, c’est-à-dire EΓ, sera un second apotome d’une médiale. Si la puissance de ΘZ surpasse la puissance de ΖΚ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec ΘΖ ; et si aucune des droites ΘZ, ZK n’est commensurable en longueur avec ZH, la droite KΘ sera un sixième apotome (déf. trois. 6. 10) . Mais la droite qui peut un rectangle compris sous une rationelle et un sixième apotome, est une droite qui fait avec une surface médiale un tout médial (07. 10) ; la droite qui peut ΔΘ, c’est-à-dire EΓ, est donc une droite qui fait avec une surface médiale un tout médial. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CXII.
Un apotome n’est pas la même droite que celle de deux noms.
Soit l’apotome AB ; je dis que AB n’est pas la même droite que celle de deux noms.
Car que cela soit, si c’est possible ; soit exposée une rationelle ΔΓ, et appliquons à la rationelle ΔΓ un rectangle ΓΕ, qui étant égal au quarré de AB, ait ΔE pour largeur (49. 1) . Puisque la droite AB est un apotome, la droite ΔE sera un premier apotome (9B. 10) . Que EZ conviène avec ΔΕ ; les droites ΔZ, ZE seront des rationelles commensurables en puissance seulement ; la puissance de ΔZ surpassera la puissance de ZE du quarré d’une droite commensurable avec ΔZ, et ΔZ sera commensurable en longueur avec la rationelle exposée ΔΓ (déf. trois. 1. 10) . De plus, puisque AB est une droite de deux noms, la droite ΔE sera une première de deux noms (61. 10) . Que ΔΕ soit divisée en ses noms au point H, et que ΔH soit son plus grand nom ; les droites ΔH, HE seront des rationelles commensurables en puissance seulement (déf. sec. 1. 10). Mais la puissance de ΔH surpasse la puissance de HE du quarré d’une droite commensurable avec ΔH, et la plus grande droite ΔΗ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ΔΓ ; la droite ΔΖ est donc commensurable en longueur avec ΔH (12. 10) ; la droite ΔZ est donc commensurable avec la droite restante HZ. Et puisque ΔZ est commensurable avec ZH, et que ΔZ est rationelle, la droite ZH sera rationelle. Et puisque ΔZ est commensurable en longueur avec ZH, et que la droite ΔZ est incommensurable en longueur avec ZE, la droite ZH sera incommensurable en longueur avec la droite EZ ; mais ces droites sont rationelles ; les droites HZ, ZE sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite HE est donc un apotome (74. 10) . Mais elle est aussi rationelle, ce qui est impossible. Un apotome, etc.
COROLLAIRE.
L’apotome et les irrationelles qui la suivent ne sont ni médiales, ni les mêmes entr’elles ; car le quarré d’une médiale étant appliqué à une rationelle fait une largeur rationelle et incommensurable en longueur avec la droite à laquelle elle est appliquée (23. 10) . Le quarré d’un apotome étant appliqué à une rationelle fait une largeur qui est un premier apotome (98. 10) ; le quarré d’un premier apotome d’une médiale étant appliqué à une rationelle fait une largeur qui est un second apotome (99. 10) ; le quarré d’un second apotome d’une médiale étant appliqué à une rationelle fait une largeur qui est un troisième apotome (100. 10) ; le quarré d’une mineure étant appliqué à une rationelle fait une largeur qui est un quatrième apotome (101. 10) ; le quarré d’une droite, qui fait avec une surface rationelle un tout médial, étant appliqué à une rationelle fait un cinquième apotome (102. 10) ; le quarré d’une droite, qui fait avec une surface médiale un tout médial, étant appliqué à une rationelle fait un sixième apotome (102. 10) . Puis donc que les largeurs dont nous venons de parler diffèrent de la première droite et entr’elles ; qu’elles diffèrent de la première, parce qu’elle est rationelle, et entr’elles, parce qu’elles ne sont pas du même ordre, il est évident que ces irrationelles sont différentes entr’elles. Et puisqu’on a démontré que l’apotome n’est pas la même droite que celle de deux noms (112. 10) , que les quarrés de l’apotome et des droites qui viènent ensuite étant appliqués à une rationelle font des largeurs qui sont des apotomes du même ordre que les droites qui suivent lʼapotome, et que les quarrés de la droite de deux noms, et des droites qui viènent ensuite, étant appliqués à une rationelle, font des largeurs qui sont des droites de deux noms du même ordre que celles qui suivent la droite de deux noms (61, 62, 63, 64, 65 et 66. 10) ; les droites qui suivent l’apotome et la droite de deux noms sont donc différentes entr’elles, de manière que toutes ces irrationelles sont au nombre de treize.
PROPOSITION CXIII.
Le quarré d’une rationelle étant appliqué à une droite de deux noms fait une largeur qui est un apotome, dont les noms sont commmensurables avec les noms de la droite de deux noms, et ces noms sont en même raison ; et de plus, l’apotome qui en résulte sera du même ordre que la droite de deux noms.
Soit A une rationelle, et BΓ une droite de deux noms, dont le plus grand nom soit ΓΔ ; que le rectangle sous BΓ, EZ soit égal au quarré de A ; je dis que EZ est un apotome dont les noms sont commensurables avec les droites ΓΔ, ΔB, et en même raison que ces droites, et que EZ sera du même ordre que BΓ.
Que le rectangle sous ΒΔ, H soit encore égal au quarré de A. Puisque le rectangle sous BΓ, EZ est égal au rectangle sous BΔ, H, la droite ΓΒ sera à BΔ comme H est à EZ (16. 6) . Mais ΓB est plus grand que BΔ ; la droite H est donc plus grande que EZ. Que ΕΘ soit égal à H, la droite ΓB sera à BΔ comme ΘΕ est à EZ ; donc, par soustraction, ΓΔ est à BΔ comme ΘΖ est à ZE (17. 5) . Faisons en sorte que ΘZ soit à ZE comme ZK est à KE ; la droite entière ΘK sera à la droite entière KZ comme ZK est à KE ; car un antécédent est à un conséquent comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (12. 5) . Mais ZK est à ΚΕ comme ΓΔ est à ΔΒ ; la droite ΘK est donc à KZ comme ΓΔ est à ΔB ; mais le quarré de ΓΔ est commensurable avec le quarré de ΔB (37. 10) ; le quarré de ΘK est donc commensurable avec le quarré de KZ (10. 10) . Mais le quarré de ΘK est au quarré de KZ comme ΘΚ est à KE, parce que les trois droites ΘK, KZ, KE sont proportionnelles (20. cor. 2. 6) ; la droite ΘK est donc commensurable en longueur avec KE ; la droite ΘE est donc aussi commensurable en longueur avec EK (16. 10) . Et puisque le quarré de A est égal au rectangle sous ΘE, BΔ, et que le quarré de A est rationel, le rectangle sous ΘK, BΔ sera rationel. Mais ce rectangle est appliqué à la rationelle ΒΔ ; la droite ΘE est donc rationelle et commensurable en longueur avec BΔ (21. 10) ; la droite EK, qui est commensurable avec ΘE, est donc rationelle et commensurable en longueur avec ΒΔ. Et puisque ΓΔ est à ΔB comme ΖΚ est à KE, et que les droites ΓΔ, ΔΒ sont commensurables en puissance seulement, les droites ZK, KE seront commensurables en puissance seulement. Mais KE est rationelle, et commensurable en longueur avec BΔ ; la droite ZK est donc rationelle et commensurable en longueur avec ΓΔ ; les droites ZK, KE sont donc des rationeiles commensurables en puissance seulement ; la droite EZ est donc un apotome (74. 10) . Mais la puissance de ΓΔ surpasse la puissance de ΔΒ du quarré d’une droite commensurable ou incommensurable avec ΓΔ. Si la puissance de ΓΔ surpasse la puissance de ΔB du quarré d’une droite commensurable avec ΓΔ, la puissance de ZK surpassera la puissance de KE du quarré d’une droite commensurable avec ZK, et si ΓΔ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, la droite ZK le sera aussi ; si BΔ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, KE lui sera aussi commensurable ; et si aucune des droites ΓΔ, ΔB n est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, aucune des droites ZK, KE ne lui sera commensurable. Si la puissance de ΓΔ surpasse la puissance de ΔB du quarré d’une droite incommensurable avec ΓΔ, la puissance de ZK surpassera la puissance de KE du quarré d’une droite incommensurable avec ZK. Si ΓΔ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, la droite ZK le sera aussi ; si la droite BΔ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, la droite KE lui scra aussi commensurable. Et si aucune des droites ΓΔ, ΔB nʼest commensurable en longueur avec la rationelle exposée, aucune des droites ZK, KE ne lui sera commensurable ; la droite ZE est donc un apotome, dont les noms ZK, KE sont commensurables avec les noms ΓΔ, ΔΒ d’une droite de deux noms, et en même raison qu’eux ; et la droite ZE sera du même ordre que BΓ. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CXIV.
Le quarré d’une rationelle appliqué à un apotome fait une largeur qui est une droite de deux noms, dont les noms sont commensurables avec les noms de l’apotome, et en même raison qu’eux ; et de plus, cette droite de denx noms est du même ordre que l’apotome.
Soit la rationelle A, et l’apotome ΒΔ ; que le rectangle sous BΔ, KΘ soit égal au quarré de A, de manière que le quarré de la rationelle A étant appliqué à l’apotome BΔ ait KΘ pour largeur ; je dis que ΚΘ est une droite de deux noms, dont les noms sont commensurables avec 165 noms de ΒΔ, et en même raison qu eux, et que ΚΘ est du même ordre que BΔ. Car que ΔΓ conviène avec BΔ, les droites BΓ, ΓΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement (74. 10) . Que le rectangle sous BΓ, H soit égal au quarré de A. Puisque le quarré de A est rationel, le rectangle sous BΓ, H sera aussi rationel. Mais il est appliqué à la rationelle BΓ ; la droite H est donc rationelle, et commensurable en longueur avec BΓ (21. 10) . Et puisque le rectangle sous BΓ, H est égal au rectangle sous BΔ, KΘ, la droite ΓB sera à la droite ΒΔ comme KΘ est à Η (16. 6) . Mais la droite ΓB est plus grande que BΔ ; la droite KΘ est donc plus grande que la droite H. Faisons KE égale à H ; la droite KE sera commensurable en longueur avec BΓ. Et puisque ΓΒ est à BΔ comme ΘΚ est à KE, par conversion BΓ sera à ΓΔ comme ΚΘ est à ΘE. Faisons en sorte que ΚΘ soit à ΘΕ comme ΘZ est à ZE, la droite restante KZ sera à ΖΘ comme ΚΘ est à ΘE, c’est-à-dire comme BΓ est à ΓΔ (19. 5) . Mais les droites BΓ, ΓΔ sont commensurables en puissance seulement ; les droites KZ, ZΘ sont donc commensurables en puissance seulement. Et puisque ΚΘ est à ΘΕ comme KZ est à ZΘ, et que KΘ est à ΘE comme ΘΖ est à ZE ; la droite KZ sera à ΖΘ comme ΘΖ est à ΖΕ ; la première droite est donc à la troisième comme le quarré de la première est au quarré de la seconde (20. cor. 2. 6) ; la droite KZ est donc à ZE comme le quarré de KZ est au quarré de ΖΘ ; mais le quarré de KZ est commensurable avec le quarré de ΖΘ, parce que les droites KZ, ZΘ sont commensurables en puissance ; la droite KZ est donc commensurable en longueur avec ZE ; la droite ZK est donc commensurable en longueur avec KE (16. 10) . Mais KE est rationelle, et commensurable en longueur avec ΒΓ ; la droite KZ est donc rationelle, et commensurable en longueur avec BΓ. ΕἰἸ. puisque BΓ est à ΓΔ comme KZ est à ZΘ, par permutation BΓ sera à KZ comme ΔΓ est à ZΘ. Mais BΓ est commensurable avec KZ ; la droite ΓΔ est donc commensurable en longueur avec ΖΘ (10. 10) . Mais les droites BΓ, ΓΔ sont des rationelles commensurables en puissance seulement ; les droites KZ, ZΘ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ΚΘ est donc une droite de deux noms (37. 10) . Si donc la puissance de BΓ surpasse la puissance de ΓΔ du quarré d’une droite commensurable avec BΓ, la puissance de KZ surpassera la puissance de ZΘ du quarré d’une droite commensurable avec KZ. Si BΓ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, la droite ΚΖ lui sera commensurable. Si ΓΔ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, la droite ΖΘ le sera aussi ; et si aucune des droites BΓ, ΓΔ n’est commensurable avec la rationelle exposée, aucune des droites KZ, ZΘ ne sera commensurable avec elle. Si la puissance de BΓ surpasse la puissance de ΓΔ du quarré d’une droite incommensurable avec BΓ, la puissance de KZ surpassera la puisssance de ZΘ du quarré d’une droite incommensurable avec KZ. Si BΓ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, la droite KZ lui sera commensurable. Si ΓΔ est commensurable avec la rationelle exposée, la droite ΖΘ le sera aussi ; et si aucune des droites BΓ, ΓΔ n’est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, aucune des droites KZ, ZΘ ne sera commensurable avec elle ; la droite ΚΘ est donc une droite de deux noms, dont les noms KZ, ZΘ sont commensurables avec les nomns BΓ, ΓΔ de cet apotome, et en même raison qu’eux ; et de plus, KΘ scra du même ordre que BΓ (déf. sec. et tr. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION CXV.
Si une surface est comprise sous un apotome et une droite de deux noms, dont les noms sont commensurables avec les noms de l’apotome, et en même raison qu’eux, la droite qui peut cette surface est rationelle.
Qu’une surface soit comprise sous AB, ΓΔ, c’est-à-dire sous un apotome AB, et sous une droite de deux noms ΓΔ, dont ΓE est le plus grand nom ; que les noms ΓΕ, ΕΔ de la droite de deux noms soient commensurables avec les noms AZ, ZB de l’apotome AB, et en même raison qu’eux ; et que H soit la droite qui peut la surface comprise sous AB, ΓΔ ; je dis que la droite H est rationelle.
Car soit exposée la rationelle Θ ; appliquons à ΓΔ un parallélogramme, qui étant égal au quarré de Θ, ait ΚΔ pour largeur (45. 1) ; la droite KΔ sera un apotome, dont les noms KM, MA seront commensurables avec les noms ΓΕ ; EΔ de la droite de deux noms, et en même raison qu’eux (113. 10) . Mais les droites ΓΕ, EΔ sont commensurables avec les droites AZ, ZB, et en même raison qu’elles ; la droite AZ est donc à ZB comme KM est à MA (11. 5) ; donc, par permutation, la droite AZ sera à KM comme ΖΒ est à ΔΜ ; la droite restante AB est donc à la droite restante KA comme AZ est à KM (19. 5) . Mais AZ est commensurable avec KM ; la droite AB est donc commensurable avec ΚΛ (10. 10) . Mais AB est à ΚΛ comme le rectangle sous ΓΔ, AB est au rectangle sous ΓΔ, KΔ (1. 60) ; le rectangle sous ΓΔ, AB est donc commensurable avec le rectangle sous ΓΔ, ΚΛ. Mais le rectangle sous ΓΔ, KΔ 661 égal au quarré de Θ ; le rectangle sous ΓΔ, 4Β est donc commensurable avec 16 quarré de Θ. Mais le rectangle sous ΓΔ, AB est égal au quarré de H ; le quarré de H est donc commensurable avec le quarré de Θ. Mais le quarré de Θ est rationel ; le quarré de H est donc rationel ; la droite H est donc rationelle, et cette droite peut la surface comprise sous ΓΔ, AB. Si donc, etc.
COROLLAIRE.
D’après cela, il est évident pour nous qu’il est possible qu’une surface rationelle soit comprise sous deux droites irrationelles.
PROPOSITION CXVI.
Il résulte d’une médiale une infinité d’irrationelles, dont aucune n’est la même qu’aucune de celles qui la précèdent.
Soit la médiale A ; je dis qu’il résulte de A une infinité dʼirrationelles, et qu’aucune d’elles n’est commensurable avec aucune de celles qui la précèdent.
Soit exposée la rationelle B, et que le quarré de Γ soit égal au rectangle sous A, B, la droite Γ sera irrationelle (déf. 11. 10) ; car le rectangle compris sous une irrationelle et une rationelle est irrationel (39. sch. 10) , et la droite Γ ne sera aucune de celles qui la précèdent ; car le quarré d’aucune de ceiles qui la précédent étant appliqué à une surface rationelle ne fait une largeur médiale : 61, 62, 63, 64, 65, 66, 98, 99, 100, 101, 102 ; 113. 10) . De plus, que le quarré de Δ soit égal au rectangle sous B, Γ ; le quarré de Δ sera irrationel (39. sch. 10) ; la droite Δ est donc irrationelle, et cile n’est aucune de celles qui la précèdent ; car le quarré d’aucune de celles qui la précèdent étant appliqué à une rationelle ne fait la largeur Γ. En procédant à l’infini de la même manière, il est évident qu’il résultera d’une médiale une infinité d’irrationelles, et qu’aucune d’elles ne sera la même qu’aucune de celles qui la précèdent. Ce qu’il fallait démontrer.
AUTREMENT.
Soit la médiale AΓ ; je dis qu’il résulte de AΓ une infinité d’irrationelles, et qu’aucune d’elles n est la même qu’aucune de celles qui la précèdent.
Menons la droite ΔB perpendiculaire à AΓ ; que la droite AB soit rationelle, et achevons le parallélogramme ΒΓ ; 16 parallélogramme BΓ sera irrationel, ainsi que la droite qui pourra ce parallélogramme. Que la droite ΓΔ puisse ce parallélogramme ; la droite ΓΔ sera irrationelle, et ne sera aucune de celles qui la précèdent ; car le quarré d’aucune de celles qui la précédent étant appliqué à une rationelle ne fera une largeur médiale. De plus, achevons le parallélogramme EΔ, le parallélogramme ΕΔ sera irrationel, ainsi que la droite qui peut ce parallélogramme. Que la droite ΔZ puisse ce parallélogramme ; la droite ΔΖ sera irrationelle, et cette droite ne sera aucune des droites qui la précèdent ; car le quarré d’aucune de celles qui la précèdent étant appliqué à une rationelle ne fera la largeur ΓΔ. Il résulte donc, etc.
PROPOSITION CXVII.
Qu’il nous soit proposé de démontrer que dans les figures quarrées la diagonale est incommensurable en longueur avec le côté. Soit le quarré ABΓΔ, et que AΓ soit sa diagonale ; je dis que la droite AΓ est incommensurable en longueur avec AB.
Qu’elle lui soit commensurable, si cela est possible ; je dis qu’il s’en suivrait qu’un même nombre serait pair et impair. Or, il est évident que le quarré de AΓ est double du quarré de AB (47. 10) ; mais AΓ est commensurable avec AB ; la droite AΓ a donc avec la droite AB la raison qu’un nombre a avec un nombre (6. 10) . Que AΓ ait avec AB la raison que le nombre EZ a avec le nombre H, et que les nombres EZ, H soient les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux ; le nombre EZ ne sera pas l’unité. Car si EZ était l’unité, à cause que EZ a avec H la raison que AΓ a avec AB, et que AΓ est plus grand que AB, l’unité EZ serait plus grande que le nombre H, ce qui est absurde ; EZ n’est donc pas l’unité ; EZ est donc un nombre. Et puisque ΓA est à AB comme ΕΖ est à H, le quarré de ΓΑ sera au quarré de AB comme le quarré de EZ est au quarré de H. Mais le quarré de ΓΑ est double du quarré de AB ; le quarré de EZ est donc double du quarré de H ; le quarré du nombre EZ est donc pair. Le nombre EZ est donc pair ; car s’il était impair, son quarré serait impair ; parce que si l’on ajoute tant de nombres impairs que l’on voudra, leur quantité étant impaire, leur somme est un nombre impair (23. 9) ; le nombre EZ est donc un nombre pair. Partageons le nombre EZ en deux parties égales en Θ. Puisque les nombres EZ, H sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux, ces nombres seront premiers entr’eux. Mais le nombre EZ est pair ; le nombre H est donc impair. Car s’il était pair, les nombres EZ, H, qui sont premiers entr’eux, seraient mesurés par deux ; parce que tout nombre pair a une partie qui en est la moitié, ce qui est impossible. Le nombre H n’est donc pas un nombre pair ; il est donc impair. Mais EZ est double de EΘ ; le quarré de EZ est donc quadruple du quarré de EΘ (11. 8) . Mais le quarré de EZ est double du quarré de H ; le quarré de H est donc double du quarré de EΘ ; le quarré de H est donc pair ; le nombre H est donc pair, d’après ce qui a été dit (29. 9) . Mais il est aussi impair, ce qui est impossible ; la droite AΓ n’est donc pas commensurable en longueur avec AB ; elle lui est donc incommensurable. Ce qu’il fallait démontrer.
AUTREMENT.
Soit A la diagonale, et B le côté ; je dis que A est incommensurable en longueur avec B. Que A, s’il est possible, soit commensurable avec B ; faisons en sorte que A soit encore à B comme le nombre EZ est au nombre H, et que les nombres EZ, H soient les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux (24. 7) ; les nombres EZ, H seront premiers entr’eux. Je dis d’abord que H n’est pas l’unité ; que Η soit l’unité, si cela est possible. Puisque A est à B comme EZ est à H, le quarré de A sera au quarré de B comme le quarré de EZ est au quarré de H. Mais le quarré de A est double du quarré de B ; le quarré de EZ est donc double du quarré de H ; mais H est l’unité ; le quarré de EZ est donc 16 nombre deux, ce qui est impossible, H n’est donc pas l’unité ; H est donc un nombre. Et puisque le quarré de A est au quarré de B comme le quarré de EZ est au quarré de H, par inversion, le quarré de B sera au quarré de A comme le quarré de H est au quarré de EZ. Mais le quarré de B mesure le quarré de A ; le quarré de H mesure donc le quarré de EZ, le nombre H mesure donc le nombre EZ (14. 8) . Mais Η se mesure lui-même ; le nombre H mesure donc les nombres EZ, H qui sont premiers entr’eux ; ce qui est impossible ; la droite A n’est donc pas commensurable en longueur avec la droite B ; elle lui est donc incommensurable. Ce qu’il fallait démontrer.
SCHOLIE.
Des droites incommensurables en longueur étant trouvées, comme les droites A, B, on trouvera plusieurs autres grandeurs de deux dimensions, c’est-à-dire des surfaces incommensurables entr’elles. Car si l’on prend une moyenne proportionnelle Γ entre les droites A, B (13. 6) ; la droite A sera à B comme la figure construite sur la droite A est à la figure construite sur la droite Γ, les figures A, Γ étant semblables et semblablement décrites (20. 6) , soit que les figures décrites soient des quarrés ou des figures rectilignes semblables ; ou bien des cercles décrits autour des diamètres A, Γ, parce que les cercles sont entr’eux comme les quarrés de leurs diamètres (2. 12) . On aura donc trouvé des surfaces planes incommensurables entr’elles. Ce qu’il tallait démontrer.
Ayant donc démontré que diverses figures de deux dimensions sont incommensurables entr’elles, nous démontrerons qu’il y a des solides commensurables et incommensurables entr eux, d’après la théorie des solides. Car si sur les quarrés des droites A, B ou sur des figures rectilignes qui leur soient égales, nous construisons des solides de même hauteur, des parallélépipèdes, des pyramides, des prismes ; les solides qu’on aura construits seront entr’eux comme leurs bases (32. 11, et 6. 5. 12) . Si les bases sont commensurables, les solides seront commensurables ; et si les bases sont incommensurables, les solides le seront aussi (10. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
Si l’on a deux cercles A, B, et si sur ces cercles on construit des cônes ou des cylindres de même hauteur, ces solides seront entr’eux comme leurs bases, c’est-à-dire comme les cercles A, B (11. 12). Si les cercles sont commensurables, les cônes et les cylindres seront commensurables entr’eux (10. 10) ; et si les cercles sont incommensurables, les cônes et les cylindres seront incommensurables. Il est donc évident pour nous que la commensurabilité ou l’incommensurabilité se rencontre non seulement dans les lignes et dans les surfaces, mais encore dans les solides.
fin du dixième livre