Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 22)
PROPOSITION LXXXI.
Il n’y a qu’une droite qui puisse convenir avec le premier apotome médial, c’est une droite médiale commensurable en puissance avec la droite entière, et comprenant avec elle une surface rationelle.
Soit AB un premier apotome médial, et que BΓ conviène avec AB ; les droites AΓ, ΓΒ seront des médiales commensurables. en puissance seulement, et comprenant une surface médiale sous ΑΓ, ΓΒ (75. 10) ; je dis qu’une autre médiale, commensurable en puissance seulement avec la droite entière, et comprenant avec elle une surface médiale, ne peut convenir avec AB.
Que la droite ΔΒ conviène avec AB, si cela est possible ; les droites ΑΔ, ΔB seront des médiales commensurables en puissance seulement, et comprenant une surface rationelle sous AΔ, ΔΒ (75. 10) . Et puisque la somme des quarrés des droites AΔ, ΔΒ surpasse le double rectangle sous AΔ, AB de la même grandeur dont la somme dès quarrés des droites AΓ, ΓΒ surpasse le double rectangle sous AΓ, ΓB, car ces excès sont chacun le quarré de AB (7. 2) ; par permutation, la somme des quarrés des droites AΔ, ΔB surpassera la somme des quarrés de AΓ, ΓΒ de la même grandeur dont le double rectangle sous ΑΔ, ΔΒ surpasse le double rectangle sous AΓ, ΓB. Mais le double rectangle sous AΔ, ΔB. surpasse le double rectangle sous AΓ, ΓB d’une surface rationelle, car ces surfaces sont rationelles l’une et l’autre ; la somme des quarrés des droites ΑΔ, ΔΒ surpasse donc la somme des quarrés des droites AΓ, ΓB d’une surface rationelle ; ce qui est impossible, parce que ces surfaces sont médiales l’une et lautre, et qu’une surface médiale ne surpasse pas. une surface médiale d’une surface rationelle (27. 10). Il n’y a donc, etc.
PROPOSITION LXXXII.
Il n’y a qu’une seule droite qui puisse convenir avec le second apotome médial, c’est une droite médiale, commensurable en puissance seulement avec la droite entière, et comprenant avec elle une surface médiale. Soit un second apotome médial AB, et que la droite BΓ conviène avec AB ; les droites AΓ, ΓB seront des médiales commensurables en puissance seulement, et comprenant une surface médiale sous AΓ, ΓB (76. 10) ; je dis qu’une autre droite médiale commensurable en puissance seulement avec la droite entière, et comprenant avec elle une surface médiale, ne peut convenir avec AB.
Que BA conviène avec AB, si cela est possible ; les droites AA, AB seront des médiales commensurables en puissance seulement, et comprenant une surface médiale sous Aa, AB (76. 10) . Soit exposée la rationelle EZ ; appliquons à EZ un parallélogramme EH égal à la somme des quarrés de AT et de IB, , qui ait pour largeur la droite EM, et retranchons de EH un parallélogramme ΘH égal au double rectangle sous Ar, TB, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite ΘM ; le reste EA sera égal au quarré de AB (7. 2) ; la droite AB pourra donc la surface EA. De plus, appliquons à EZ un parallélogramme E ! égal à la somme des quarrés des droites AΔ, ΔΒ, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite EN ; mais EA est égal au quarré de AB ; le reste ΘI est donc égal au double rectangle sous ΑΔ, ΔΒ (7. 2) . Et puisque 168 droites ΑΓ, ΓΒ sont médiales, les quarrés des droites ΔΓ, ΓΒ seront médiaux. Mais la somme de ces quarrés est égale au parallélogramme ΕΗ ; 16 parallélogramme EH est donc médial (cor. 24. 10) , et ce parallélogramme, qui a pour largeur la droite EM, est appliqué à ΕΖ ; la droite EM est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec EZ (23. 10) . De plus, puisque le rectangle sous AΓ, ΓΒ est médial, le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ sera médial (cor. 24. 10) . Mais ce rectangle est égal au parallélogramme ΘΗ ; le parallélogramme ΘΗ est donc médial ; et ce parallélogramme, qui a pour largeur la droite ΘΜ, est appliqué à la rationelle EZ ; la droite ΘΜ est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec EZ (23. 10) . Et puisque les droites AΓ, ΓΒ sont commensurables en puissance seulement, la droite AΓ sera incommensurable en longueur avec ΓΒ. Mais AΓ est à ΓB comme le quarré de ΑΓ est au rectangle sous ΑΓ, ΓΒ ; le quarré de AΓ est donc incommensurable avec le rectangle sous ΑΓ, ΓΒ. Mais la somme des quarrés des droites AΓ, ΓΒ est commensurable avec le quarré 46 AΓ (16. 10) ; et le double rectangle sous AΓ, ΓΒ est com mensurable avec le rectangle sous ΑΓ, ΓB ; la somme des quarrés des droites ΑΓ, ΓB est donc incommensurable avec le double rectangle sous AΓ, ΓΒ. Mais EH est égal à la somme des quarrés des droites AΓ, ΓB, et ΘΗ est égal au double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ ; le parallélogramme ΕΗ est donc incommensurable avec ΘΗ. Mais EH est à ΘΗ comme EM est à ΘΜ (1. 6) ; la droite EM est donc incommensurable en longueur avec ΘΜ. Mais ces deux droites sont rationelles ; les droites EM, ΘΜ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite EΘ est donc un apotome, et ΘΜ convient avec cet apotome (74. 10) . Nous démontrerions semblablement que ΘΝ lui convient aussi ; deux droites différentes, commensurables en puissance seulement avec la droite entière, conviendraient donc avec un apotome, ce qui est impossible (80. 10). Il n’y a donc, etc.
PROPOSITION LXXXIII.
Il n’y a qu’une seule droite qui puisse convenir avec une droite mineure, c’est celle qui est incommensurable en puissance avec la droite entière, et qui fait avec la droite entière la somme des quarrés de ces droites rationelle, et médial le double rectangle compris sous ces mêmes droites.
Soit la mineure AB, et que BΓ conviène avec AB ; 168 droites AΓ, ΓB seront in- commensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant rationelle, et le double rectangle compris sous ces mêmes droites étant médial (77. 10) ; je dis qu’aucune autre droite, faisant les mèmes choses, ne peut convenir avec AB.
Que BΔ conviène avec AB, si cela est possible ; les droites AΔ, ΔΒ seront incommensurables en puissance, ces droites faisant ce qui vient d’être dit (77. 10) . Et puisque la somme des quarrés des droites AΔ, ΔΒ surpasse la somme des quarrés des droites ΑΓ, ΓΒ de la même grandeur dont le double rectangle sous AΔ, ΔΒ surpasse le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ (7. 2) , et que la somme des quarrés des droites AΔ, ΔΒ surpasse la somme des quarrés des droites AΓ, ΓB d’une surface rationelle, car ces grandeurs sont rationelles l’une et l’autre, le double rectangle sous AΔ, AB surpassera d’une surface rationelle le double rectangle sous AΓ, ΓB, ce qui est impossible (27. 10) ; car ces grandeurs sont médiales l’une et lʼautre. Donc, etc.
PROPOSITION LXXXIV.
Il n’y a qu’une seule droite qui puisse convenir avec la droite qui fait avec une surface rationelle un tout médial, c’est celle qui est incommensurable en puissance avec la droite entière, et qui fait avec la droite entière la somme des quarrés de ces droites médiale, et rationel le double rectangle compris sous ces mêmes droites.
Que ΑΒ fasse avec une surface rationelle un tout médial, et que BΓ conviène avec AB, les droites AΓ, ΓB seront incommensurables en puissance, la somme des quarrés des droites ΑΓ, ΓB étant médiale, et le double rectangle sous AΓ, ΓB étant rationel (78. 10) ; je dis qu’une autre droite, faisant les mèmes choses, ne peut convenir avec AB.
Que ΒΔ conviène avec ΑΒ, si cela est possible ; les droites AΔ, ΔΒ seront incommensurables en puissance, la somme des quarrés des droites ΑΔ, ΔΒ médiale, et le double rectangle sous ΑΔ, ΔΒ rationel (78. 10) . Puisque la somme des quarrés des droites ΑΔ, ΔB surpasse la somme des quarrés des droites AΓ, ΓB de la même grandeur dont le double rectangle sous AΔ, ΔΒ surpasse le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ, comme dans ce qui précède (7. 2) , et que le double rectangle sous ΑΔ, ΔΒ surpasse le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ d’une surface rationelle, car ces grandeurs sont rationelles l’une et l’autre, la somme des quarrés des droites AΔ, ΔΒ surpassera la somme des quarrés des droites AΓ, ΓΒ d’une surface rationelle ; ce qui est impossible ; car ces grandeurs sont médiales l’une et l’autre (27. 10) . Il n’y a donc qu’une seule droite qui puisse convenir avec ΑΒ, c’est celle qui est incommensurable en puissance avec la droite entière, et qui fait avec la droite entière ce qu’on a dit ; il n’y a donc qu’une seule droite qui puisse convenir avec AB. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXXXV.
Il n’y a qu’une seule droite qui puisse convenir avec la droite qui fait avec une surface médiale un tout médial, c’est celle qui est incommensurable en puissance avec la droite entière, et qui fait avec la droite entière la somme des quarrés de ces droites médiale, et le double rectangle sous ces mêmes droites médial et commensurable avec la somme de leurs quarrés.
Que la droite AB fasse avec une surface médiale un tout médial, et que BΓ conviène avec AB ; les droites AΓ, ΓB seront incommensurables en puissance, et feront (6 qui vient d’être dit (79. 10) ; je dis qu’une autre droite, faisant ce qui vient d’être dit, ne convient point avec AB.
Que ΒΔ, s’il est possible, conviène avec AB, les droites AΔ, ΔΒ étant incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés médiale, le double rectangle sous ΑΔ, ΔΒ médial, et la somme des quarrés des droites AΔ, ΔΒ incommensurable avec le double rectangle sous AN, ΔΒ. Soit exposée la rationelle ΕΖ ; appliquons à EZ un parallélogramme ΕΗ égal à la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓB, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite EM ; et retranchons de EH un parallélogramme ΘΗ égal au double rectangle sous ΑΓ, ΓB, ce parallélogramme ayant ΘM pour largeur ; le quarré restant de AB sera égal au parallélogramme EA (7. 2) ; la droite AB pourra donc le parallélogramme EA. De plus, appliquons à EZ un parallélogramme EI égal à la somme des quarrés des droites AΔ, ΔB, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite EN. Mais le quarré de AB est égal au parallélogramme ΕΛ ; le double parallélogramme restant compris sous AΔ, ΔB est donc égal à ΘΙ (7. 2) . Et puisque la somme des quarrés des droites AΓ, ΓΒ est médiale, et que cette somme est égale à ΕΗ, le parallélogramme ΕΗ sera médial ; mais ce parallélogramme est appliqué à EZ, et il a pour largeur la droite EM ; la droite EM est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec EZ (23. 10) . De plus, puisque le double rectangle sous ΑΓ, ΓB est médial, et qu’il est égal à ΘΗ, le parallélogramme ΘΗ sera médial ; mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelle EZ, 61 il a pour largeur la droite ΘΜ ; la droite ΘΜ est donc rationelle et incommensurable en longueur avec EZ (23. 10) . Mais la somme des quarrés des droites AT, ΓB est incommensurable avec le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ ; le parallélogramme EH est donc incommensurable avec ΘΗ ; la droite EM est donc incommensurable en longueur avec MΘ (1. 6) . Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites EM, MΘ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ΕΘ est donc un apotome (74. 10) , et ΘM convient avec ΕΘ. Nous démontrerions semblablement que EΘ est encore un apotome, et que ΘΝ convient avec EΘ ; des rationelles différentes commensurables en puissance seulement avec la droite entière, conviendraient donc avec un apotome, ce qui a été démontré impossible (80. 10) ; une autre droite ne convient donc pas avec AB ; il ny a donc qu’une seule droite qui puisse convenir avec AB, c’est celle qui est incommensurable en puissance avec la droite entière AB, et qui fait avec la droite entière la somme des quarrés de ces droites médiale, le double rec- tangle sous ces mêmes droites médial, et la somme des quarrés incommensurable avec le double rectangle compris sous ces mêmes droites. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXXXVI.
Trouver un premier apotome.
Soit exposée la rationelle A, et que BH soit commensurable en longueur avec A, la droite BH sera rationelle. Soient exposés deux nombres quarrés ΔE, EZ, dont l’excès Z0 ne soit pas un nombre quarré (30. lem. 1. 10) , le nombre ΔE nʼaura pas avec ΔΖ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré. Faisons en sorte que ΕΔ soit à Δ2 comme le quarré de BH est au quarré de HΓ ; le quarré de BH sera commensurable avec le quarré de Hr (6. 10) . Mais le quarré de BH est rationel ; le quarré de ΗΓ est donc aussi rationel ; la droite HΓ est donc rationelle. Et puisque ΕΔ n’a pas avec ΔΖ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de BH n’aura pas avec le quarré de HΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré (9. 10) ; la droite BH est donc incommensurable en longueur avec HΓ. Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites BH, HΓ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite BΓ est donc un apotome (74. 10) . Je dis aussi que cette droite est un premier apotome. Car que l’excès du quarré de ΒΗ sur le quarré de HΓ soit le quarré de Θ. Puisque ΔΕ est à ΖΔ comme le quarré de BH est au quarré de ΗΓ, par conversion, ΔΕ sera à EZ comme le quarré de HB est au quarré de Θ (10. cor. 5). Mais le nombre ΔE a avec le nombre EZ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, car ces nombres sont des quarrés l’un et l’autre ; le quarré de ΗΒ a donc avec le quarré de Θ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite HB est donc commensurable en longueur avec Θ (9. 10). Mais la puissance de BH surpasse la puissance de ΗΓ du quarré de e ; la puissance de BH surpasse donc la puissance de ΗΓ du quarré d’une droite commensurable en longueur avec BH. Mais la droite entière BH est commensurable en longueur avec la rationelle exposée A ; la droite BΓ est donc un premier apotome (déf. trois. 1. 10). On a donc trouvé un premier apotome BΓ. Ce qu’il fallait faire.
PROPOSITION LXXXVII.
Trouver un second apotome.
Soit exposée la rationelle A, et que la droite HΓ soit commensurable en longueur avec A ; la droite HΓ sera rationelle (30. lem. 1. 10) . Soient exposés deux nombres quarrés ΔΕ, EZ, dont l’excès ΔΖ ne soit pas un quarré. Faisons en sorte que ΖΔ soit à ΔΕ comme le quarré de ΓΗ est au quarré de HB ; le quarré de ΓH sera commensurable avec le quarré de HB (6. 10) . Mais le quarré de ΓΗ est rationel ; le quarré de HB est donc rationel ; la droite EB est donc rationelle. Et puisque le quarré de ΓH n’a pas avec le quarté de HB la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, la droite ΓΗ sera incommensurable en longueur avec HB (9. 10) . Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites ΓH, HB sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite BΓ est donc un apotome (74. 10) . Je dis aussi que cette droite est un second apotome. Car que l’excès du quarré de BH sur le quarré de ΗΓ soit le quarré de Θ. Puisque le quarré de BH est au quarré de ΗΓ comme le nombre ΕΔ est au nombre ΔZ, par conversion, le quarré de BH sera au quarré de Θ comme ΔΕ est à EZ. Mais ΔΕ et EZ sont des quarres l’un et l’autre ; le quarré de BH a donc avec le quarré de Θ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite BH est donc commensurable en longueur avec Θ (9. 10). Mais la puissance de BH surpasse la puissance de ΗΓ du quarré de Θ la puissance de BH surpasse donc la puissance de ΗΓ du quarré d’une droite commensurable en longueur avec BH. Mais la congruente ΓH est commensurable en longueur avec la rationelle exposée A ; la droite ΒΓ est donc un second apotome (déf. trois. 2. 10).
On a donc trouvé un second apotome BΓ. Ce quʼil fallait faire.
PROPOSITION LXXXVIII.
Trouver un troisième apotome.
Soient exposés la rationelle A, et les trois nombres E, BΓ, ΓΔ, qui n’ayent pas entre eux la raison quʼun nombre quarré a avec un nombre quarré ; que ΓΒ ait avec BΔ la raison quʼun nombre quarré a avec un nombre quarré ; faisons en sorte que Ε soit à BΓ comume le quarré de A est au quarré de ZH, et que ΒΓ soit à ΓΔ comme le quarré de ZH est au quarré de ΗΘ ; le quarré de A sera commensurable avec le quarré de ΖΗ (6. 10) . Mais le quarré de A est rationel ; le quarré de ZH est donc rationel ; la droite ZH est donc rationelle. Et puisque E n’a pas avec BΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de A n’aura pas avec le quarré de ZH la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite A est donc incommensurable en longueur avec ZH (9. 10) . De plus, puisque BΓ est à Γ ; comme le quarré de ZH est au quarré de ΗΘ, le quarré de ΖΗ sera commensurable avec le quarré de ΗΘ. Mais le quarré de ZH est rationel ; le quarré de HΘ est donc rationel ; la droite ΗΘ est donc rationelle. Et puisque BΓ n’a pas avec ΓΔ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de ZH n’aura pas avec le quarré de HΘ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite ZH est donc incommensurable en longueur avec ΗΘ (9. 10). Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites ZH, HΘ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ΖΘ est donc un apotome (74. 10) . Je dis aussi quʼelle est un troisième apotome. Car puisque E est à BΓ comme le quarré de A est au quarré de ZH, et que BΓ est à ΓΔ comme le quarré de ZH est au quarré de ΗΘ ; par égalité, E sera à ΓΔ comme le quarré de A est au quarré de ΘΗ (22. 5) ; mais E n’a pas avec ΓΔ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de A n’a donc pas avec le quarré de HΘ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite A est donc incommensurable en longueur avec ΗΘ (9. 10) ; aucune des droites ZH, ΗΘ n’est donc commensurable en longueur avec la rationelle exposée A. Que le quarré de Κ soit la grandeur dont le quarré de ZH surpasse le quarré de HΘ. Puisque BΓ est à ΓΔ comme le quarré de ZH est au quarré de HΘ ; par conversion, ΓB sera à BΔ comme le quarré de ZH est au quarré de Κ (19. 5) . Mais ΓB a avec BΔ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de ZH a donc avec le quarré de K la raison quʼun nombre quarré ἃ avec un nombre quarré ; la droite ΖΗ est donc commensurable en longueur avec Κ (9. 10) . Mais la puissance de ZH surpasse la puissance de ΗΘ du quarré de K ; la puissance de ZH surpasse donc la puissance de HΘ du quarré d’une droite commensurable avec ZH ; mais aucune des droites ZH, ΗΘ n’est commensurable en longueur avec la rationelle exposée A ; la droite ZΘ est donc un troisième apotome (déf. trois. 3. 10) .
On a donc trouvé un troisième apotome ZΘ. Ce qu’il fallait faire.
PROPOSITION LXXXIX.
Trouver un quatrième apotome. ;
Soit exposée la rationelle A, et que BH soit commensurable en longueur avec A ; la droite BH sera rationelle. Soient exposés les deux nombres ΔΖ, ZE, de manière que le nombre entier ΔE n’ait pas avec chacun des nombres ΔΖ, ZE la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; et faisons en sorte que ΔΕ soit à EZ comme le quarré de BH est au quarré de Hr ; le quarré 46 BH sera commensurable avec le quarré de HΓ (6. 10) . Mais le quarré de BH est rationel, le quarré de HΓ est donc rationel ; la droite ΗΓ est donc rationelle. Et puisque ΔΕ n’a pas avec EZ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, 16 quarré de BH n’aura pas non plus avec le quarré de HΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite BH est donc incommensurable en longueur avec HΓ (9. 10). Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites BH, ΗΓ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite BΓ est donc un apotome (74. 10). Je dis qu’elle est un quatrième apotome. Que le quarré de Θ soit ce dont le quarré de BH surpasse le quarré de ΗΓ. Puisque ΔΕ est à ΕΖ comme le quarré de BH est au quarré de HT, par conversion, EΔ sera à ΔZ comme le quarré BH est au quarré de Θ. Mais EΔ n’a pas avec ΔΖ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de BH n’a donc pas non plus avec le quarré de a la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite BH est donc incommensurable en longueur avec Θ (9. 10) ; mais la puissance de BH surpasse la puissance de ΗΓ du quarré de Θ ; la puissance de BH surpasse donc la puis- sance de ΗΓ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec BH. Mais la droite entière BH est commensurable en longueur avec la rationelle exposée Α ; la droite BΓ est donc un quatrième apotome (déf. trois. 4. 10) .
On a donc trouvé un quatrième apotome ΒΓ. Ce qu’il fallait fairce
PROPOSITION XC.
Trouver un cinquième apotome.
Soit exposée la rationelle A, et que ΓΗ soit commensurable en longueur avec A ; la droite ΓH sera rationelle. Soient exposés aussi deux nombres ΔΖ, ZE, de manière que ΔΕ n’ait ni avec l’un ni avec l’autre des nombres ΔΖ, ZE la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; et faisons en sorte que ZE soit à EΔ comme le quarré de ΓH est au quarré de ΗΒ ; le quarré de ΓH sera commensurable avec le quarré de ΗΒ (6. 10) . Mais 16 quarré de ΓH est rationel ; le quarré de HB est donc rationel ; la droite BH est donc rationelle. Et puisque ΔΕ est à EZ comme le quarré de BH est au quarré de HΓ, et que ΔE nʼa pas avec EZ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de BH n’aura pas non plus avec le quarré de HΓ la raison quʼun nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite BH est donc incommensurable en longueur avec HΓ (9. 10). Mais elles sont rationelles l’une et l’autre ; les droites BH, HΓ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite BH est donc un apotome (74. 10) . Je dis qu’elle est un cinquième apotome. Que le quarré de Θ soit ce dont le quarré de BH surpasse le quarré de HΓ. Puisque le quarré de BH est au quarré de HΓ comme ΔΕ est à EZ ; par conversion, EΔ sera à ΔZ comme le quarré de BH est au quarré de Θ. Mais EΔ n’a pas avec ΔΖ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de BH n’a donc pas non plus avec le quarré de Θ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite BH est donc incommensurable en longueur avec Θ (9. 10) . Mais la puissance de BH surpasse la puissance de HΓ du quarré de Θ ; la puissance de BH surpasse donc la puissance de HΓ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec BF. Mais la congruente ΓH est commensurable en longueur avec la rationelle exposée A ; la droite BΓ est donc un cinquième apotome (déf. trois. 5. 10) . On a donc trouvé un cinquième apotome BΓ. Ce qu’il fallait faire.
PROPOSITION XCI.
Trouver un sixième apotome.
Soient exposés la rationelle A, et trois nombres E, BΓ, ΓΔ, qui n’ayent pas entre eux la raison quʼun nombre quarré a avec un nombre quarré ; de plus, que ΓB n’ait pas avec BΔ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; faisons en sorte que E soit à BΓ comme le quarré de A est au quarré de ZH, et que BΓ soit à ΓΔ comme le quarré de ZH est au quarré de HΘ.
Puisque E est à ΒΓ comme le quarré de A est au quarré de ZH, le quarré de A sera commensurable avec le quarré de ZH. Mais le quarré de A est rationel ; le quarré de ZH est donc rationel ; la droite ZH est donc rationelle. Et puisque E n’a pas avec BΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de A n’aura pas non plus avec le quarré de ZH la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite A est donc incommensurable en longueur avec ZH (9 10) . De plus, puisque BΓ est à ΓΔ comme le quarré de ZH est au quarré de ΗΘ ; le quarré de ZH sera commensurable avec le quarré de ΗΘ. Mais le quarré de ZH est rationel ; le quarré de ΗΘ est donc rationel (6. 10) ; la droite HΘ est donc rationelle. Et puisque BΓ n’a pas avec ΓΔ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de ZH n’aura pas non plus avec le quarré de HΘ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite ZH est donc incommensurable en longueur avec ΗΘ (9. 10) . Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites ZH, ΗΘ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ZΘ est donc un apotome (74. 10) . Je dis qu’elle est un sixième apotome, Car puisque E est à BΓ comme le quarré de A est au quarré de ZH, et que BΓ est à ΓΔ comme le quarré de ZH est au quarré de ΗΘ, par égalité, E sera à ΓΔ comme le quarré de A est au quarré de HΘ. Mais E n’a n’a pas avec ΓΔ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de A n’aura donc pas avec le quarré de HΘ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite A est donc incommensurable en longueur avec ΗΘ (9. 10) ; aucune des droites ZH, HΘ n’est donc commensurable en longueur avec A. Que le quarré de K soit ce dont le quarré de ZH surpasse le quarré de HΘ. Puisque BΓ est à ΓΔ comme le quarré de ZH est au quarré de HΘ ; par conversion, ΓB sera à EΔ comme le quarré de ZH est au quarré de K. Mais ΓB n’a pas avec BΔ la raison quʼun nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de ZH n’a donc pas non plus avec le quarré de K la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite ZH est donc incommensurable en longueur avec K (9. 10) . Mais la puissance de la droite ZH surpasse la puissance de la droite HΘ du quarré de K ; la puissance de ZH surpasse donc la puissance de ΗΘ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec ZH. Mais aucune des droites ZH, ΗΘ n’est commensurable en longueur avec la rationelle exposée A ; la droite ZH est donc un sixième apotome (déf. trois. 6. 10). On a donc trouvé un sixième apotome ΖΘ. Ce quʼil fallait faire.
SCHOLIE.
On peut démontrer plus brièvement la recherche des six apotomes dont nous venons de parler. Car qu’il faille trouver un premier apotome ; suit exposé la première de deux noms AΓ ; que son plus grand nom soit AB (49. 10) , et faisons BΔ égal à BΓ ; les droites AB, BΓ, c’est-à-dire AB, BΔ, seront des rationelles commensurables en puissance seulement (déf. sec. I. 10) ; la puissance de AB surpassera la puissance de BΓ, c’est-à-dire de BΔ, du quarré d’une droite commensurable en longueur avec AB ; mais la droite AB est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ; la droite AB est donc un premier apotome (déf. trois. 1. 10) . Nous trouverons semblablement les autres apotomes en exposant les droites de deux noms qui sont du même ordre (50, 51, 52, 53, et 54. 10) .
PROPOSITION XCII.
Si une surface est comprise sous une rationelle et un premier apotome, la droite qui peut cette surface est un apotome.
Que la surface AB soit comprise sous une rationelle AΓ et sous un premier apotome AΔ ; je dis que la droite qui peut la surface AB est un apotome. Car, puisque AΔ est un premier apotome, que ΔH lui conviène ; les droites AH, HΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement (déf. trois. 1. 10) . Mais la droite entière AH est commensurable avec la rationelle exposée AΓ, et la puissance de AH surpasse la puissance de HΔ du quarré d’une droite commensurable en longueur avec AH ; si donc on applique à AH un parallélogramme qui étant égal à la quatrième partie du quarré de ΔH, soit défaillant d’une figure quarrée, ce parallélogramme divisera la droite AH en parties commensurables (18. 10) . Que ΔH soit coupé en deux parties égales au point E ; appliquons à AH un parallélogramme qui étant égal au quarré de EH, soit défaillant d’une figure quarrée, et que ce soit le rectangle compris sous AZ, ZH ; la droite AZ sera commensurable avec ZH. Par les points E, Z, H menons les droites EΘ, Z1, ΗΚ parallèles à AΓ. Puisque AZ est commensurable en longueur avec ZH, la droite AH sera commensurable en longueur avec chacune des droites AZ, ZH (16. 10) . Mais AH est commensurable avec AΓ ; chacune de droites AZ, ZH est donc commensurable en longueur avec AΓ (12. 10) . Mais AΓ est rationelle ; les droites AZ, ZH sont donc rationelles l’une et l’autre ; les parallélogrammes AI, ZK sont donc aussi rationels l’un et l’autre (20. 10) . Et puisque ΔE est commensurable en lon- gueur avec EH, la droite ΔH est donc commensurable en longueur avec chacune des droites ΔE, EH. Mais ΔΗ est rationelle et incommensurable en longueur avec AΓ ; chacune des droites ΔE, EH est donc rationelle et incommensurable en longueur avec AΓ ; chacun des rectangles ΔΘ, EK est donc médial (22. 10) . Faisons le quarré ΔM égal au parallélogramme AI (14. 2) , et retranchons de AM un quarré ΝΞ égal au parallélogramme ΖΚ, le quarré NZ ayant l’angle commun ΛΟΜ ; les quarrés AM, NΞ seront autour de la même diagonale (26. 6) . Que ΟΡ soit leur diagonale, et décrivons la figure. Puisque le rectangle sous AZ, ZH est égal au quarré de EH, la droite AZ sera a EëH comme EH est à ZH (17. 6) . Mais AZ est à EH comme AI est à EK, et EH est à ΖΗ comme EK est à KZ (1. 6) ; le parallélogramme EK est donc. moyen proportionel entre les parallélogrammes AI, KZ. Et puisque MN est moyen proportionel entre ΔΜ et NΞ, ainsi qu’on l’a démontré plus haut (55. 10) ; que AI est égal au quarré AM, et que ZK l’est à NΞ, le parallélogramme MN sera égal à EK. Mais EK est égal à ΔΘ (37. 1), et MN à ΔΞ (43. 1) ; le parallélogramme ΔK est donc égal au gnomon ΥΦΧ, conjointement avec NΞ. Mais le parallélogramme AK est égal à la somme des quarrés ΛΜ, NΞ ; le parallélogramme restant AB est donc égal à ΣT. Mais ΣΤ est le quarré de ΛN ; le quarré de ΛN est donc égal à AB ; la droite ΛN peut donc la surface AB. Je dis aussi que AN est un apotome. Car puisque chacun des parallélogrammes ΑΙ, ΖΚ est rationel, et qu’ils sont égaux aux quarrés ΛM, NΞ, chacun des quarrés ΛM, NΞ, c’est-à-dire chacun des quarrés des droites ΔA0, ON sera rationel ; 165 droites ΛΟ, ON sont donc rationelles l’une et l’autre. De plus, puisque le parallélogramme ΔΘ est médial, et qu’il est égal à ΛΞ, le parallélogramme AZ sera aussi médial. Et puisque ΔΞ est médial, et que ΝΞ est rationel, le parallélogramme AZ sera incommensurable avec le quarré NE ; mais ΔZ est à NZ comme AO est à ON (1. 60) ; la droite Δ0 est donc incommensurable en longueur avec ON (10. 10) . Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites ΛΟ, ON sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite AN est donc un apotome (74. 10) . Mais cette droite peut la surface AB ; la droite qui peut la surface AB est donc un apotome. Si donc, etc.
PROPOSITION XCIII.
Si une surface est comprise sous une rationelle et un second apotome, la droite qui peut cette surface est un premier apotome d’une médiale.
Que la surface AB soit comprise sous la rationelle AΓ et sous le second apotome AΔ ; je dis que la droite qui peut la surface AB est un premier apotome d’une médiale. Que la droite ΔΗ conviène avec AΔ, les droites AH, HΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement ; la congruente ΔΗ sera commensurable avec la rationelle exposée AΓ, et la puissance de la droite entière AH surpassera la puissance de la congruente HΔ du quarré d’une droite commensurable en lon- gueur avec AH (déf. trois. 2. 10) , puisque la puissance de ΑΗ surpasse la puissance de HΔ du quarré d’une droite commensurable en longueur avec AH, si nous appliquons à AH un parallélogramme qui étant égal à la quatrième partie du quarré de HΔ, soit défaillant d’une figure quarrée, ce parallélogramme divisera la droite AH en parties commensurables (18. 10) . Coupons ΔH en deux parties égales au point E ; appliquons à AH un parallélogramme qui étant égal au quarré de EH soit détaillant d’une figure quarrée, et que ce soit le rectangle sous AZ, ZH ; la droite AZ sera commensurable en longueur avec ZH. Par les points E, Z, H menons les droites EΘ, ZI, HK parallèles à AΓ. Puisque AZ est commensurable en longueur avec ZH, la droite AH sera aussi commensurable en longueur avec chacune des droites AZ, ZH (16. 10) . Mais AH est rationelle et incommensurable en longueur avec AΓ ; chacune des droites AZ, ZH est donc rationelle et incommensurable en longueur avec AΓ ; chacun des parallélogrammes AI, ZK sera par conséquent médial (22. 10) . De plus, puisque ΔE est commensurable avec EH, la droite ΔH sera commensurable avec chacune des droites ΔE, ΒH. Mais la droite ΔH est commensurable en longueur avec AΓ ; chacune des droites ΔΕ, EH est donc rationelle et commensurable en longueur avec AΓ ; chacun des parallélogrammes ΔΘ, EK est donc rationel. Faisons le quarré ΛΜ égal au parallélogramme AI (14. 2) , et retranchons de ΔM un quarré NΞ égal au parallélogramme ΖΚ, ce quarré étant dans le même angle que ΔM ; savoir, dans lʼangle ΛΟΜ ; les quarrés AM, NΞ seront autour de la même diagonale (26. 6) . Que leur diagonale soit ΟΡ, et décrivons la figure. Puisque les parallélogrammes AI, ZK sout médiaux et commensurables entre eux, et qu’ils sont égaux aux quarrés des droites x0, ON, les quarrés des droites ΛΟ, ON seront médiaux ; les droites Λ0, ON sont donc des médiales. Je dis que ces droites sont commensurables en puissance seulement. Car puisque le rectangle sous AZ, ZH est égal au quarré de EH, la droite AZ sera à EH comme ΒΗ est à ZH (17. 6) . Mais AZ est à EH comme AI est à EK (1. 6) ; et EH est à ΖΗ comme EK est à ZK ; le parallélogramme EK est donc moyen proportionel eutre ies parallélogrammes AI, ZK. Mais MN est aussi moyen proportionnel entre ΛM et NΞ (55. 10) , et AI est égal à AM, et ZK égal à NZ ; le parallélogramme MN est donc égal à EK. Mais ΔΘ est égal à EK (37. 1) , et ΔΞ égal à MN (43. 1) , le parallélogramme entier ΔK est donc égal au gnomon ΥΦΧ, conjointement avec NZ. Et puisque le parallélogramme AK tout entier est égal à la somme des quarrés AM, NZ, et que la partie ΔΚ est égale au gnomon ΥΦΧ, conjointement avec NZ, le parallélogramme restant AB sera égal à ET, c’est-à-dire au quarré de AN ; le quarré de AN est donc égal à la surface AB ; la droite ΛΝ peut donc la surface AB. Or, je dis que AN est un premier apotome d’une médiale. Car, puisque le parallélogramme EK est rationel et égal à MN, c’est-à-dire à ΔZ, le parallélogramme AZ, c’est-à-dire le rectangle sous ΛΟ, ON, sera rationel. Mais on a démontré que NE est médial ; le parallélogramme ΛΞ est donc incommensurable avec NE ; mais ΛΞ est à ΝΞ comme AO est à ON (1. 6) ; les droites ΔΟ, ON sont donc incommensurables en longueur ; les droites ΛO, ON sont donc des médiales, qui étant commensurables en puissance seulement, comprènent une surface rationelle ; la droite ΔΝ est donc un premier apotome d’une médiale (75. 10) , et elle peut la surface AB ; la droite qui peut la surface AB est donc un premier apotome d’une médiale. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XCIV.
Si une surface est comprise sous une rationelle et un troisième apotome, la droite qui peut cette surface est un second apotome d’une médiale. Que la surface AB soit comprise sous une rationelle AΓ et un troisième apotome AΔ ; je dis que la droite qui peut la surface AB est un second apotome d’une médiale.
Car que ΔH conviène avec AΔ ; les droites AH, HΔ seront des rationelles coms mensurables en puissance seulement ; aucune des droites AH, HΔ ne sera commen- surable en longueur avec la rationelle exposée AΓ, et la puissance de la droite entière AH surpassera la puissance de la congruente ΔΗ du quairé d’une droite commensurable avec la droite entière AH (déf. trois. 3. 10) . Et puisque la puissance de AH surpasse la puissance de ΔH du quarré d’une droite commensurable avec ΑΗ, si nous appliquons à AH un parallélogramme, qui étant égal à la quatrième partie du quarré de ΔH, soit détaillant d’une tigure quarrée, ce parallélogramme divisera AH en parties commensurables (18. 10) . Coupous ΔΗ cn deux parties égales au point E, et appliquons à AΗ un parallélogramme, qui étant égal au quarré de EH, soit défaillant d’une figure quarrée, et que ce soit le rectangle sous AZ, ZH. Par les points E, Z, H menons les droites EΘ, ZI, HK parallèles à AΓ ; les droites AZ, ZH seront commensurables ; le parallélogramme AI sera donc commensurable avec ZK. Et puisque les droites AZ, ZH sont commensurables en longueur, la droite AH sera commensurable en longueur avec chacune des droites AZ, ZH (16. 10) . Mais AH est rationelle et incommensurable en longueur avec AΓ ; chacune des droites AZ, ZH est donc rationelle et incommensurable en longueur avec AΓ ; chacun des parallélogrammes AI, ZK est donc médial (22. 10) . De plus, puisque ΔE est commensurable en longueur avec EH ; la droite ΔE sera commensurable en longueur avèc chacune des droites ΔE, EH. Mais ΔΗ est rationelle et incommensurable en lougueur avec AΓ ; chacune des droites ΔE, EH est donc rationelle et incommensurable en longueur avec AΓ ; chacun des parallélogrammes ΔΘ, EK est donc médial (22. 10) . Et puisque les droites AH, HΔ sont commensurables en puissance seulement, la droite AH sera incommensurable en longueur avec ΔH. Mais AH est commensurable en longueur avec AZ, et ΔH avec HE ; la droite AZ est donc incommensurable en longueur avec EH (15. 10) . Mais AZ est à EH comme le parallélogramme AI est au parallélogramme EK
11. 6) ; le parallélogramme ΑΙ est donc incommensurable avec le parallélogramme EK. Faisons le quarré ΔM égal à AI (14. 2) , et retranchons de ΛΜ le quarré NΞ égal à ZK, ce quarré étant dans le même angle que AM, les quarrés AM, NΞ seront autour de la même diagonale (26. 6) . Que leur diagonale soit OP, et décrivons la figure. Puisque le rectangle sous AZ, ZH est égal au quarré de EH ; la droite AZ sera à EH comme ΕΗ est à ZH (17. 6) . Mais AZ est à EH comme ΑΙ est à EK (1. 6) , et EH est à ZH comme EK est à ZK ; le parallélogramme AI est donc à EK comme ΕΚ est à ZΚ ; le parallélogramme EK est donc moyen proportionnel entre AI et ΖΚ, Puisque MN est moyen proportionnel entre les quarrés ΛM, NΞ, que le parallélogramme AI est égal à ΛM, et ZK égal à NZ, le parallélogramme EK sera égal à MN. Mais MN est égal à ΛΞ (45. 1) , et EK égal à ΔΘ (37. 1) ; le parallélogramme entier ΔΚ est donc égal au gnomon YΦX, conjointement avec NZ. Mais AK est égal à la somme des quarrés ΛΜ, NZ ; le parallélogramme restant AB est donc égal à ΣΤ, c’est-à-dire. au quarré de AN ; la droite AN peut donc la surface AB. Je dis que AN est un second apotome d’une médiale. Car puisqu’on a démontré que les surfaces AI, ZK sont médiales, et qu’elles sont égales aux quarrés des droites ΛΟ, ON, chacun des quarrés des droites ΛΟ, ON sera médial ; chacune des droites ΛO, ON est donc médiale. Et puisque AI est commensurable avec ZK, le quarré de ΛΟ sera commensurable avec le quarré de ON. De plus, puisqu’on a démontré que AI est incommensurable avec EK, le quarré AM sera incommensurable avec MN, c’est-à-dire le quarré de ΛΟ avec le rectangle sous ΛΟ, ON ; la droite ΛΟ est donc incommensurable en longueur avec ON ; les droites ΛΟ, ON sont donc des médiales commensurables en puissance seulement. Je dis que ces droites comprènent une surface médiale. Car puisquʼon a démontré que EK cst médial, et qu’il est égal au rectangle sous ΛC, ON, le rectangle sous ΛΟ, ON sera médial ; les droites A0, ON sont donc des médiales, qui étant commensurables en puissance seulement, comprènent une surface médiale ; la droite AN est donc un second apotome d’une médiale (76. 10) , et elle peut la surtace AB ; la droite qui peut la surface AB est donc un second apotome d’une médiale. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XCV.
Si une surface est comprise sous une rationelle et un quatrième apotome, la droite qui pent cette surface est une mineure.
Que la surface AB soit comprise sous une rationelle AΓ et sous un quatrième apotome AΔ ; je dis que la droite qui peut la surface AB est une mineure.
Car que ΔH conviène à AΔ, les droites AH, HΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite AH sera commensurable en longueur avec la rationelle exposée AΓ, et la puissance de la droite entière AH surpassera la puissance de la congruente HΔ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec AH (déf. trois. 4. 10). Puisque la puissance de AH surpasse la puissance de HΔ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec AH ; si nous appliquons à AH un parallélogramme, qui étant égal à la quatrième partie du quarré de ΔΗ, soit défaillant d’une figure quarrée, ce parallélogramme divisera la droite AH en parties incommensurables (18. 10) . Coupons ΔH en deux parties égales en E ; appliquons à AH un parallélogramme, qui étant égal au quarré de EH, soit défaillant dʼune figure quarrée ; que ce soit le rectangle sous AZ, ZH ; la droite AZ sera incommensurable en longueur avec ZH. Par les points E, Z, H menons les droites EΘ, ZI, HK parallèles aux droites AΓ, BΔ. Puisque AH est rationelle et commensurable en longueur avec AΓ, le parallélogramme entier AK sera rationel (20. 10) . De plus, puisque ΔH est incommensurable en longueur avec AΓ, et que ces droites sont rationelles l’une et l’autre, le parallélogramme ΔΚ sera médial (22. 10) . De plus, puisque AZ est incommensurable en longueur avec ZH, le parallélogramme AI sera incommensurable avec ZK (1. 6) . Faisons le quarré ΔM égal à AI, et retranchons de ΔM un quarré NZ égal à ZK, ce quarré étant autour d’un même angle AOM que le quarré ΔM ; les quarrés AM, NE seront autour de la même diagonale (26. 6) . Que ΟΡ soit leur diagonale, et décrivons la figure. Puisque le rectangle sous AZ, ZH est égal au quarré de EH, la droite AZ sera à EH comme ΕΗ est à HZ (17. 6) . Mais AZ est à EH comme AI est à EK, et EH est à ΖΗ comme EK est à ZK (1. 6) ; le parallélogramme EK est donc moyen proportionnel entre AI et ZK. Et puisque MN est moyen proportionnel entre les quarrés AM, NZ, que le parallélogramme AI est égal à AM, et ZK égal à ΝΞ, le parallélogramme EK sera égal à MN. Mais ΔΘ est égal à EK (37. 1), et MN égal à ΔE (43. 1) ; le parallélogramme entier ΔΚ est donc égal au gnomon YΦΧ, conjointement avec NZ. Et puisque 16 parallélogramme entier AK est égal à la somme des quarrés AMY NZ, et que ΔK est égal au gnomon YΦΧ, conjointement avec le quarré NZ, 16 parallélogramme restant AB sera égal à ZT, c’est-à-dire au quarré de ΛN ; la droite AN peut donc la surface AB. Or, je dis que AN est l’irrationelle qu’on nomme mineure. Car, puisque le parallélogramme AK est rationel, et qu’il est égal à la somme des quarrés des droites ΔΟ, ON, la somme des quarrés des droites ΔΟ, ON sera rationelle. De plus, puisque ΔK est médial, et qu’il est égal au double rectangle compris sous ΛΟ, ON, le double rectangle sous ΛO, ON sera médial. Et puisque on a démontré que AI est incommensurable avec ZK, le quarré de ΛΟ sera incommensurable avec le quarré de ON ; les droites ΛO, ON sont donc incommensurables en puissance, ces droites faisant rationelle la somme de leurs quarrés et médial le double rectangle compris sous ces mêmes droites ; la droite ΛΝ est donc lʼirrationelle qu’on appèle mineure (77. 10) ; mais cette droite peut la sur- face AB ; la droite qui peut la surface AB est donc une mineure. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XCVI.
Si une surface est comprise sous une rationelle et un cinquième apotome, la droite qui peut cette surface est celle qui fait avec une surface rationelle un tout médial.
Que la surface AB soit comprise sous une rationelle AΓ et un cinquième apotome ΑΔ ; je dis que la droite qui peut la surface AB est celle qui fait avec une surface rationelle un tout médial.
Car, que la droite ΔH conviène avec AΔ ; les droites AH, ΗΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement, la congruente ΔΗ sera incommensurable en longueur avec la rationelle exposée AΓ, et la puissance dé la droite entière AH surpassera la puissance de la congruente ΔΗ du quarré d’une droite incommensurable avec la droite entière AH (déf. trois. 5. 10) ; si donc nous appliquons à AH un parallélogramme, qui étant égal à la quatrième partie du quarré de ΔH, soit détaillant d’une figure quarrée, ce parallélogramme divisera la droite AH en parties incommensurables (19. 10) . Coupons la droite ΔH en deux parties égales en E, et appliquons à AH un parallélogramme, qui étant égal au quarré de EH, soit défaillant d’une figure quarrée, et que ce soit 16 rectangle sous AZ, ZH ; la droite AZ sera incommensurable en longueur vvec ZH. Par les points E, Z, H menons les droites EΘ, ZI, Γ parallèles à AΓ. Puisque la droite AH est incommensurable en longueur avec AΓ, et que ces droites sont rationelles l’une et l’autre, le parallélogramme AK sera médial (22. 10) . De plus, puisque la droite ΔH est rationelle, et qu’elle est incommensurable en longueur avec AΓ, la surface ΔΚ sera rationelle (20. 10) . Faisons 16 quarré AM égal à AI, et retranchons de ΛΜ un quarré ΝΞ égal à ZK, ce quarré étant autour du même angle ΔΟΜ que AM ; les quarrés ΛΜ, ΝΞ seront autour de la même diagonale (26. 6) . Que leur diamètre soit ΟΡ, et décrivons la figure. Nous démontrerons de la même manière que la droite AN peut la surface AB. Or, je dis que AN fait avec une surface rationelle un tout médial. Car, puisqu’on a démontré que le parallélogramme AK est médial, et puisque ce parallélogramme est égal à la somme des quarrés des droites ΛΟ, ON, la somme des quarrés des droites AT, ON sera médiale. De plus, puisque le parallélogramme ΔΚ est rationel, et qu’il est égal au double rectangle sous ΛO, ON, le double rectangle sous ΛΟ, ON sera rationel. Mais le parallélogramme AI est incommensurable avec ZK ; le quarré de ΛΟ est donc incommensurable avec le quarré de ON ; les droites ΛΟ, ON sont donc incommensurables en puissance, la somme des quarrés de ces droites étant médiale, et le double rectangle sous ces mêmes droites étant rationel ; la droite restante ΔN est donc l’irrationelle qui est dite pouvant avec une surface rationelle un tout médial (78. 10) . Mais cette droite peut la surface AB ; la droite qui peut la surface AB est donc celle qui fait avec une surface rationelle un tout médial. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XCVII.
Si une surface est comprise sous une rationelle et un sixième apotome, la droite qui peut cette surface est celle qui fait avec une surface médiale un tout médial.
Que la surface AB soit comprise sous une rationelle AΓ et un sixième apotome AΔ ; je dis que la droite qui peut la surface AB est celle qui fait avec une surface médiale un tout médial.
Que ΔΗ conviène avec AΔ, les droites AH, HΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement ; aucune de ces droites ne sera commensurable en longueur avec la rationelle exposée AΓ, et la puissance de la droite entière AH surpassera la puissance de la congruente ΔΗ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec AH (déf. trois. 6. 10) . Puisque la puissance de AH surpasse la puissance de HΔ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec AH ; si on applique à AH un parallélogramme, qui étant égal à la quatrième partie du quarré de ΔΗ, soit défaillant d’une figure quarrée, ce parallélogramme divisera la droite AH en parties incommensurables (19. 10) . Coupons la droite ΔHE en deux parties égales en E, et appliquons à AH un parallélogramme, qui étant égal au quarré de AH, soit défaillant d’une figure quarrée ; que ce soit le rectangle sous AZ, ZH ; la droite AZ sera incommensurable en longueur avec ZH. Mais AZ est à ΖΗ comme AI est à ZK (1. 6) ; le parallélogramme AI est donc incommensurable avec ZK (10. 10) . Et puisque les droites AH, AΓ sont des rationelles commensurables en puissance seulement, le parallélogramme AK sera médial (22. 10) . De plus, puisque les droites AΓ, ΔΗ sont rationelles, et incommensurables en longueur, le parallélogramme ΔK sera médial. Puisque les droites AH, HΔ sont commensurables en puissance seulement, la droite AH sera incommensurable en longueur avec HΔ. Mais AH est à ΗΔ comme AK est à Κ (1. 6) ; le parallélogramme AK est donc incommensurable avec KΔ (10. 10) . Faisons le quarré ΛΜ égal à AI (14. 2) , et retranchons de ΔM un quarré NZ égal à ΖΚ, ce quarré étant autour du même angle que AM ; les quarrés AM, NZ seront autour de la même diagonale (26. 6). Que leur diagonale soit OP, et décrivons la figure. Nous dé- montrerons de la même manière qu’auparavant que la droite AN peut la surface AB. Je dis que la droite AN est celle qui fait avec une surface médiale un tout médial. Car, puisque nous avons démontré que le parallélogramme AK est médial, et qu’il est égal à la somme des quarrés des droites ΛΟ, ON, la somme des quarrés des droites ΔΟ, ON sera médiale. De plus, puisqu’on a démontré que le parallélogramme ΔK est médial, et puisqu’il est égal au double rectangle sous ΛΟ, ON, le double rectangle sous ΛΟ, ON sera médial. Et puisqu’on a démontré que AK est incommensurable avec ΔΚ, la somme des quarrés des droites A0, ON sera incommensurable avec 16 double rectangle sous ΛO, ON. Et puisque AI est incommensurable avec ZK, le quarré de ΛΟ sera incommensurable avec 16 quarré de ON ; les droites ΑΟ, ON sont donc incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, le double rectangle sous ces droites étant médial, et la somme des quarrés de ces droites étant incommensurable avec le double rectangle sous ces mêmes droites ; la droite ΔΝ est donc l’irrationelle appelée la droite qui fait avec une surface médiale un tout médial (79. 10) ; mais cette droite peut la surface AB ; la droite qui peut la surface AB est donc celle qui fait avec une surface médiale un tout médial. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XCVIII.
Le quarré d’un apotome appliqué à une rationelle fait une largeur qui est un premier apotome.
Soit l’apotome AB, et la rationelle ΓΔ ; appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΕ égal au quarré de AB, ce parallélogramme ayant ΓZ pour largeur ; je dis que ΓZ est un premier apotome.
Car que BH conviène avec AB, les droites ΑΗ, HB seront des rationelles commensurables en puissance seulement (74. 10) . Appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΘ égal au quarré de AH, et un parallélogramme ΚΔ égal au quarré de BH (45. 1) ; le parallélogramme entier ΓA sera égal à la somme des quarrés des droites AH, HB. Mais ΓE est égal au quarré de AB ; le parallélogramme restant ZΔ est donc égal au double rectangle sous AH, HB (7. 2) . Coupons ZM en deux parties égales au point N, et par le point N menons NΞ parallèle à ΓΔ ; chacun des parallélogrammes zΞ, ΛN sera égal au rectangle sous AH, HB. Et puisque les quarrés des droites AH, HB sont rationels ; et que AM est égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, le parallélogramme AM sera rationel. Mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelle FΔ, et il a pour largeur ΓM ; la droite ΓM est donc rationelle, et commensurable en longueur avec ΓΔ (21. 10) . De plus, puisque le double rectangle sous AH, HB est médial, et que le parallélogramme ΛZ est égal au double rectangle sous AH, HB, le parallélogramme ΛZ sera médial. Mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelie ΓΔ, et il a pour largeur ZM, la droite ZM est donc rationelle et incommensurable en longueur avec ΓΔ (23. 10) . Et puisque
les quarrés des droites AH, HB sont rationels, et que le double rectangle sous AH, HB est médial, la somme des quarrés des droites AH, HB sera incommensurable avec 16 double rectangle sous ΑH, HB. Mais ΓΔ est égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, et ZΔZ égal au double rectangle sous AH, ΗΒ ; le parallélogramme ΓΛ est donc incommensurable avec ZA. Mais ΓΛ est à ZA comme IM est à MZ (1. 6) ; la droite ΓM est donc incommensurable en longueur avec la droite MZ. Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites ΓM, MZ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ΓZ est donc un apotome (74. 10) . Je dis qu’elle est un premier apotome. Car, puisque le rectangle sous AH, ΗΒ est moyen proportionnel entre les quarrés des droites AH, ΗΒ (55. 10) , que ΓΘ est égal au quarré de AH, que ΚΛ est égal au quarré de BH, et que NAΔ est égal au quarré de AH, HB, le parallélogramme ΝΔ sera moyen proportionnel entre les parallélogrammes ΓΘ, ΚΔ ; le parallélogramme ΓΘ est donc à NΔ comme NΛ est à KΛ. Mais ΓΘ est à ΝΛ comme ΓΚ est à NM, et NΛ est à KΛ comme NM est à KM ; la droite ΓK est donc à NM comme NM est à KM ; le rectangle sous ΓΚ, ΚΜ est donc égal au quarré de MN, c’est-à-dire à la quatrième partie du quarré de ZM (17. 6) . Et puisque le quarré de AH est commensurable avec le quarré de HB, le parallélogramme ΓΘ sera commensurable avec KΛ. Mais ΓΘ est à ΚΛ comme ΓΚ est à KM ; la droite ΓΚ est donc commensurable avec KM (10. 10) . Et puisque les deux droites ΓM, MZ sont inégales, qu’on a appliqué à ΓM un parallélogramme, qui étant égal à la quatrième partie du quarré de ZM, est défaillant d’une figure quarrée, que ce parallélogramme est celui qui est compris sous ΓΚ, KM, et que ΓK est commensurable avec KM, la puissance de ΓM surpassera la puissance de MZ du quarré d’une droite commensurable en longueur avec ΓM (18. 10) . Mais ΓΜ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ΓΔ ; la droite ΓZ est donc un premier apotome (déf. trois. 1. 10). Le quarré, etc.
PROPOSITION XCIX.
Le quarré d’un premier apotome d’une médiale appliqué à une rationelle fait une larseur qui est un second apotome.
Soient un premier apotome d’une médiale AB, et la rationelle ΓΔ ; appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓE, qui éjant égal au quarré de AB, ait pour lurgeur la droite ΓZ ; je dis que ΓZ est un second apotome.
Car que BH conviène avec AB, les droites AH, HB seront des médiales, qui étant commensurables en puissance seulement, comprendront une surface rationelle (75. 10) . Appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΘ, qui ctant égal au quarré de AH, ait la droite ΓK pour largeur ; appliquons aussi à Γ un parallélogramme Ka, qui étant égal au quarré de HB, ait KM pour largeur (45. 1) ; le parallélogramme entier lA sera égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, les quarrées étant médiaux ; le parallélogramme ΓΛ sera donc médial. Mais il est appliqué à ΓΔ, et il a ΓM pour largeur ; la droite rM est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΓΔ (23. 10) . Et puisque ΓΔ est égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, et que le quarré de AB est égal à ΓE, le double rectangle restant compris sous AH, HB sera égal à ZΛ (7. 2) . Mais le double rectangle compris sous AH, HB est rationel ; le parallélogramme ZΛ est donc rationel ; mais il est appliqué à la rationelle ZE, et il a pour largeur ZM ; la droite ZM est donc rationelle, et incommensurable en lougueur avec ΓΔ (21. 10) . Et puisque la somme des quarrés des droites AH, HB, c’est-à-dire le parallélogramme ΓΔ, est médiale, et que le double rectangle sous AH, HB, cʼest-à-dire ZΛ, est rationel ; le parallélogramme ΓA sera incommensurable avec ZΛ. Mais ΓΛ est à ΖΛ comme ΓM est à ΖΜ (1. 6) ; la droite ΓM est donc incommensurable en longueur avec la droite MZ. Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites ΓM, MZ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ΓZ est donc un apotome (74. 10) . Or, je dis que cette droite est un second apotome. Car coupons ZM en deux parties égales en N, et par le point N menons NΞ parallèle à ΓΔ ; chacun des parallélogrammes ΖΞ, de MZ, est défaillant d’une figure quarrée, et que ce parallélogramme divise ΓM en parties commensurables, la puissance de ΓM surpassera la puissance de MZ du quarré d’une droite commensurable en longueur avec ΓM (18. 10) . Mais la congruente ZM est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ΓΔ ; la droite ΓΖ est donc un second apotome (déf. trois. 2. 10) . Le quarré, etc.
PROPOSITION C.
Le quarré d’un second apotome médial appliqué à une rationelle fait une
largeur qui est un troisième apotome.
Soient un second apotome médial AB, et une rationelle ΓΔ ; appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΕ, qui étant égal au quarré de AB, ait pour largeur la droite ΓΖ ; je dis que ΓΖ est un troisième apotome.
Que BH conviène avec AB ; les droites AH, ΗΒ seront des médiales, qui étant incommensurables en puissance seulement, comprendront une surface médiale (76. 10) . Appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΘ, qui étant égal au quarré de AH, ait pour largeur la droite ΓK ; appliquons aussi à KΘ un parallélogramme KA, qui étant égal au quarré de BH, ait pour largeur la droite KM (45. 1) ; le parallélogramme entier ΓA sera égal à la somme des quarrés des droites AH, HB. Mais la somme des quarrés des droites AH, HB est médiale ; le parallélogramme ΓΛ est donc médial ; mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelle ΓΔ, et il a pour largeur ΓM ; la droite ΓM est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΓΔ (23. 10) . Et puisque le parallélogramme entier ΓA est égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, et que le parallélogramme ΓΕ est égal au quarré de AB, le parallélogramme restant ZA sera égal au double rectangle sous AH, HB (7. 2) . Coupons ZM en deux parties égales au point N, et menons la droite NΞ parallèle à ΓΔ ; chacun des parallélogrammes ZΞ, ΝΛ sera égal au rectangle sous AH, HB. Mais le rectangle sous AH, ΗΒ est médial ; le parallélogramme ZΔ est donc médial. Mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelle EZ, et il a ZM pour largeur ; la droite ZM est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΓΔ (25. 10) . Et puisque les droites AH, HB sont commensurables en puissance seulement, la droite AH sera incommensurable en longueur avec HB ; le quarré de AH est donc incommensurable avec le rectangle sous AH, HB (1. 6, et 10. 10) . Mais la somme des quarrés de AH et de HB est commensurable avec le quarré de AH, et le double rectangle sous AH, HB commensurable avec le rectangle sous AH, HB ; la somme des quarrés de AH et de HB est donc incommensurable avec le double rectangle sous AH, HB. Mais le parallélogramme ΓΛ est égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, et le parallélogramme ZΛ égal au double rectangle sous AH, HB ; le parallélogramme ΓΛ est donc incommensurable avec ΖΛ. Mais ΓΛ est à ΖΛ comme ΓM est à ZM ;
la droite ΓM est donc incommensurable en longueur avec la droite ZM (10. 10) . Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites ΓM, MZ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ΓZ est donc un apotome (74. 10) . Et je dis que cette droite est un troisième apotome. Car puisque le quarré de AH est commensurable avec le quarré de HB, le parallélogramme ΓΘ sera commensurable avec KAΔ ; la droite ΓK est donc aussi commensurable avec KM. Et puisque le rectangle sous AH, HB est moyen proportionnel entre les quarrés des droites ΑΗ, HB (55. 10) , que ΓΘ est égal an quarré de AH, que ΚΛ est égal au quarré de HB, et que ΝΔ est égal au rectangle sous AH, HB, le parallélogramme ΝΛ sera moyen proportionnel entre ΓΘ et KA ; le parallélogramme ΓΘ est donc à ΝΔ comme ΝΛ est à ΚΛ. Mais ΓΘ est à NΛ comme ΓΚ est à NM, et NΔË est à ΚΛ comme NM est à ΚΜ (1. 6) ; la droite ΓK est donc à NM comme ΝΜ est à KM ; le rectangle sous Γ, KM est donc égal au quarré de NM, c’est-à-dire à la quatrième partie du quarré de ZM (17. 10) . Et puisque les deux droites ΓM, MZ sont inégales, que l’on a appliqué à ΓM un parallélogramme, qui étant égal à la quatrième partie du quarré de ZM, est déftaillant d’une figure quarrée, et que ce parallélogramme divise ΓM en parties commensurables, la puissance de ΓM surpassera la puissance de MZ du quarré d’une droite commensurable en longueur avec ΓM (18. 10) ; aucune des droites ΓM, MZ n’est donc commensurable en longueur avec la rationelle exposée ΓΔ ; la droite ΓZ est donc un troisième apotome (déf. trois. 3. 10) . Le quarré, etc.
PROPOSITION CI.
Le quarré d’une mineure appliqué à une rationelle fait une largeur qui est un quatrième apotome.
Soient une mineure AB, et une rationelle ΓΔ ; appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΕ, qui étant égal au quarré de AB, ait ΓZ pour largeur ; je dis que la droite ΓZ est un quatrième apotome.
Car que BH conviène avec AB ; les droites AH, HB seront incommensurables en puissance ; la somme des quarrés des droites AH, HB sera rationelle, et le double rectangle sous AH, HB sera médial (77. 10) . Appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΘ, qui étant égal au quarré de AH, ait ΓΚ pour largeur, et appliquons aussi à KΘ un parallélogramme KΛ, qui étant égal au quarré de BH, ait KM pour largeur (45. 1) , le parallélogramme entier ΓΛ sera égal à la somme des quarrés des droites AH, HB. Mais la somme des quarrés des droites AH, HB est rationelle ; le parallélogramme ΓΔ est donc rationel ; mais il est appliqué à la rationelle ΓΔ, et il a pour largeur ΓM ; la droite ΓM est donc rationelle et commensurable en longueur avec ΓΔ (21. 10) . Et puisque le parallélogramme entier ΓA est égal à la somme des quarrés des droites ΑΗ, HB, et que ΓE est égal au quarré de AB ; le parallélogramme restant ZA sera égal au double rectangle sous AH, HB (7. 2) . Coupons ZM en deux parties égales au point N, et par le point N menons NΞ parallèle aux droites ΓΔ, MΔ ; chacun des parallélogrammes ZΞ, ΝΛ sera égal au rectangle sous AH, ΗΒ. Et puisque le double rectangle sous AH, HB est médial et égal à ZΔ, le parallélogramme ZΔ sera médial. Mais il est appliqué à la rationelle ZE, et il a ZM pour largeur ; la droite ZM est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΓΔ (23. 10) . Et puisque la somme des quarrés des droites AH, ΗΒ est rationelle, et que le double rectangle sous AH, HB est médial, la somme des quarrés des droites AH, AB sera incommensurable avec ie double rectangle sous AH, ΗB. Mais le parallélogramme ΓΛ est égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, et ZΔZ égal au double rectangle sous AH, HB ; [6 parallélogramme ΓΛ est done incommensurable avec ΖΛ. Mais ΓΛ est à ΖΛ comme ΓΜ est à ZM (1. 6) ; la droite ΓM est donc incommensurable en longueur avec la droite ZM (10. 10) . Mais ces droites sont ration elles l’une et l’autre ; les droites ΓΜ, MZ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ΓZ est donc un apotome (74. 10) . Et je dis que cette droite est un quatrième apotome. Car, puisque les droites AH, HB sont incommensurables en puissance, le quarré de AH sera incommensurable avec le quarré de ΗΒ. Mais ΓΘ est égal au quarré de AH, et ΚΛ égal au quarré de HB ;
le parallélogramme ΓΘ est donc incommensurable avec KA. Mais ΓΘ est à ΚΛ comme ΓΚ est à KM ; la droite ΓK est donc incommensurable en longueur avec KM. Et puisque le rectangle sous AH, HB est moyen proportionnel entre le quarré de AH et le quarré de HB (55. lemm. 10) , que 16 parallélogramme ΓΘ est égal au quarré de AH, le parallélogramme ΚΛ égal au quarré de HB, et le parallélogramme NA égal au rectangle sous AH, HB, le parallélogramme ΝΛ sera moyen proportionnel entre ΓΘ et KΔ ; la droite ΓΘ est donc à ΝΔ comme NA est à ΚΛ. Mais ΓΘ est à ΝΔ comme ΓΚ est à NM, et NΔ est à KΔ comme ΝΜ est à KM ; la droite Γk est donc à NM comme NM est à KM ; le rectangle sous ΓK, KM est donc égal au quarré de NM, c’est-à-dire à la quatrième partie du quarré de ZM (17. 0) . Et puisque les deux droites ΓM, MZ sont inégales, que l’on a appliqué à ΓM un parallélogramme, qui étant égal à la quatrième partie du quarré de MZ, est défaillant d’une figure quarrée, que ce rectangle est celui qui est compris sous ΓΚ, ΚΜ, et que ce parallélogramme divise ΓM en parties incommensurables, la puissance de ΓM surpassera la puissance de MZ du quarré d’une droite incommensurable avec ΓΜ (19. 10) . Mais la droite entière ΓM est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ΓΔ ; la droite ΓZ est donc un quatrième apotome (déf. trois. 4. 10) . Le quarré, etc.
PROPOSITION CII.
Le quarré d’une droite qui fait avec une surface rationelle un tout médial, étant appliqué à une rationelle, fait une largeur qui est un cinquième apotome.
Que la droite AB fasse avec une surface rationelle un tout médial, et soit la rationelle ΓΔ ; appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΕ ; qui étant égal au quarré de AB, ait ΓZ pour largeur ; je dis que ΓZ est un cinquième apotome.
Car que BH conviène avec AB ; les droites AH, HB seront incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, et le double rectangle compris sous ces mêmes droites étant rationel (78. 10) . Appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΘ, qui soit égal au quarré de AH ; appliquons aussi à cette droite un parallélogramme ΚΛ, qui soit égal au quarré de ΗΒ (45. 1) , le parallélogramme entier ΓA sera égal à la somme des quarrés des droites AH, HB. Mais la somme des quarrés des droites AH, HB est médiale ; le parallélogramme ΓΛ est donc médial. Mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelle ΓΔ, et il a ΓM pour largeur ; la droite ΓM est donc rationelle et incommensurable avec ΓΔ (23. 10) . Et puisque 16 parallélogramme entier ΓΛ est égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, et que ΓE est égal au quarré de AB, 16 parallélogramme restant ΖΔ sera égal au double rectangle sous AH, HB (7. 2) . Coupons la droite ZM en deux parties égales en Ν, et par le point N menons la droite NZ parallèle à lune ou à l’autre des droites ΓΔ, MΛ ; chacun des parallélogrammes ZΞ, NΛ ; sera égal au rectangle sous AH, ΗΒ. Et puisque le double rectangle sous AH, HB est rationel, et qu’il est égal à ZΛ, le parallélogramme ZΛ sera rationel. Mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelle EZ, et il a ZM pour largeur ; la droite ZM est donc rationelle, et commensurable en longueur avec ra (21, 10) . Et puisque ra est médial, et ZA rationel, le parallélogramme ΓΛ sera incommensurable avec ZA. Mais ΓA est à ZΛ comme ΓM est à MZ (1. 6) ; la droite rM est donc incommensurable en lon- gueur avec la droite Mz (10. 10) . Mais ces droites sont rationelles l’une et lʼautre ; les droites rIM, Mz sont donc des rationelles commensurables en puis- sance seulement ; la droite rz est donc un apotome (74- 10) . Et je dis que cette droite est un cinquième apotome. Nous démontrerons semblablement que le rectangle sous ΓK, KM est égal au quarré de NM, c’est-à-dire à la quatrième partie du quarré de zM. Puisque le quarré de AH est incommensurable avec le quarré de HB, que le quarré de AH est égal à ΓΘ, et que le quarré de HB est égal à KΛ, le parallélogramme ΓΘ sera incommensurable avec KA. Mais ΓΘ est à ΚΛ comme ΓΚ est à KM la droite ΓK est donc incommensurable en lon- gueur avec KM. Et puisque les deux droites ΓM, MZ sont inégales, que l’on a appliqué à ΓM un parallélogramme, qui étant égal à la quatrième partie du quarré de ZM, est défaillant d’une figure quarrée, et que ce parallélogramme divise ΓM en parties incommensurables, la puissance de ΓM surpassera la puissance de MZ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec ΓM (19. 10) . Mais l. congruente ZM est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ΓΔ ; la droite ΓZ est donc un cinquième apotome (déf. trois. 5. 10) . Le quarré, etc.
PROPOSITION CIII.
Le quarré d’une droite qui fait avec une surface médiale un tout médial, étant appliqué à une rationelle, fait une largeur qui est un sixième apotome.
Que la droite AB fasse avec une surface médiale un tout médial ; soit la rationelle ΓΔ ; appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓE, qui étant égal au quarré de AB, ait ΓZ pour largeur ; je dis que la droite ΓZ est un sixième apotome. Car que BH conviène avec AB ; les droites AH, HB seront incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, le double rectangle sous ces droites étant aussi médial, et la somme des quarrés de ces mêmes droites étant incommensurable avec le double rectangle sous AH, HB (79. 10) . Appliquons à ΓΔ un parallélogramme ΓΘ, qui étant égal au quarré de AH, ait ΓK pour largeur ; appliquons à ΚΘ un parallélogramme ΚΔ égal au quarré de BH ; le parallélogramme entier ΓΔ sera égal à la somme des quarrés des droites AH, HB ; le parallélogramme ΓΛ sera donc médial. Mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelle ΓΔ, et 11 a ΓΜ pour largeur ; la droite ΓM est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΓΔ (23. 10) . Et puisque ΓΛ est égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, et que ΓE est égal au quarré 46 AB, le parallélogramme restant ΖΛ sera égal au double rectangle sous AH, HB (7. 2) . Mais le double rectangle sous AH, HB est médial ; le parallélogramme ZA est donc médial. Mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelle ZE, et il a ZM pour largeur ; la droite ZM est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΓΔ. Et puisque la somme des quarrés des droites AH, HB est incommensurable avec le double rectangle sous AH, HB, que ΓΛ est égal à la somme des quarrés des droites AH, HB, et que ZΛ est égal au double rectangle sous AH, HB, le parallélogramme ΓΛ sera incommensurable avec ZΔ. Mais ΓA est à ZΛ comme ΓM est à MZ (1. 6) ; la droite ΓM est donc incommensurable en longueur avec la droite MZ (10. 0 10) . Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites ΓΜ, MZ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ΓZ est donc un apotome (74. 10) . Et je dis que cette droite est un sixième apotome. Car puisque ZΛ est égal au double rectangle sous AH, HB, coupons ZM en deux parties égales en N, et par le point N menons la droite NZ parallèle à ΓΔ, chacun des parallélogrammes ZΞ, NΛ sera égal au rectangle sous ΑΗ, HB. Et puisque les droites AH, HB sont incommensurables en puissance, le quarré de AH sera incommensurable avec le quarré de HB. Mais ΓΘ est égal au quarré de AH, et KΔ égal au quarré de ΗB ; le parallélogramme ΓΘ est donc incommensurable avec ΚΛ. Mais ΓΘ est à ΚΛ comme ΓΚ est à KM (1. 6) ; la droite ΓΚ est donc incommensurable avec KM. Et puisque le rectangle sous AH, HB est moyen proportionnel entre les quarrés des droites AH, HB (. 5. lem. 10) , que ΓΘ est égal au quarré de AH, que KΛ est égal au quarré de HB, et que ΝΛ est égal au rectangle sous AH, HB, le parallélogramme ΓΘ est donc à ΝΔ comme ΝΛ est à KΔ. Par la même raison, la puissance de ΓM surpassera la puissance de MZ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec ΓM ; aucune des droites ΓM, MZ n’est donc commensurable avec la rationelle exposée ΓΔ ; la droite ΓZ est donc un sixième apotome (déf. trois. 6. 10) . Le quarré, etc.