Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 8)

La proportion est troublée, lorsquʼayant trois grandeurs et dʼautres grandeurs égales en nombre aux premières, il arrive que dans les premières grandeurs lʼantécédent est au conséquent, comme dans les secondes grandeurs l’antécédent est au conséquent, et que dans les premières

grandeurs le conséquent est à une grandeur quelconque, comme dans les secondes grandeurs une grandeur quelconque est à un antécédent.

PROPOSITION PREMIÈRE.

Si lʼon a tant de grandeurs que l’on voudra, égales en nombre à dʼautres grandeurs, chacune des premières étant le même équimultiple de chacune des secondes, une des premières grandeurs sera le même multiple d’une des secondes que la somme des premières l’est de la somme des secondes.

Soient AB, TA (245), tant de grandeurs quʼon voudra égales en nombre à dʼautres grandeurs E, Z, chacune étant le même multiple de chacune ; je dis que AB est le même multiple de E, que la somme de AB et de rA lʼest de la somme de E et de z.

Puisque ab est multiple de E, que ra lʼest de Z, Il y aura dans AB autant de grandeurs égales à E, qu'il y a de grandeurs égales à z. Partageons 48 en grandeurs égales à E, et que ces grandeurs soient AH, HB; partageons aussi ra en grandeurs égales à Z, et que ces grandeurs soient re, @a. Le nombre des parties re, @4 sera égal au nombre des parties AH, HB. Mais AH est égal à E, et Γθ égal à z; donc la somme de 4H et de re sera égale à la somme de E et de Z. Par la même raison, HB est égal à E, et @A à z; donc la somme de HB et de θΔ est égale à la somme de E et de z. Il y a donc dans AB autant de grandeurs égales à E, qu'il y a dans la somme de 48 et de rA de grandeurs égales à la somme de E et de Z. Donc AB est le même multiple de E que la somme de 48 et rA l’est de la somme de E et de z. Donc, etc.

PROPOSITION II.

Si la première est le même multiple de la seconde que la troisième l’est de la quatrième, et si la cinquième est le même multiple de la seconde que la sixième l'est de la quatrième, la somme de la première et de la cinquième sera le même multiple de la seconde que la somme de la troisième et de la sixième l’est de la quatrième.

Que la première AB soit le même multiple de la seconde Γ que la troisième ΔE l’est de la quatrième Z, et que la cinquième BH soit le même multiple de la seconde r que la sixième EΘ l’est de la quatrième Z; je dis que la somme de la première et de la cinquième AH sera le même multiple de la seconde Γ que la somme de la troisième et de la sixième Δθ l’est de la quatrième Z. Puisque AB est le même multiple de r que AE l’est de z, il y a dans AB autant de grandeurs égales à r qu’il y a dans AE de grandeurs égales à z, Par la même raison, il y a dans BH autant de grandeurs égales à r qu’il y a dans 5e de grandeurs égales à z. Il y a donc dans la grandeur entière AH autant de grandeurs égales à r qu’il y a dans la grandeur entière 46 de grandeurs égales à z. Donc AH est le même multiple de r que 4@ l'est de z; donc la somme de la première et de la cinquième AH sera le même multiple de la seconde r que la somme de la troisième et de la sixième 4e l'est de la quatrième Z. Donc, etc.

PROPOSITION III.

Si la première est le même multiple de la seconde que la troisième l’est de la quatrième, et si l’on prend des équimultiples de la première et de la troisième, le multiple de la première sera, par égalité, le même multiple de la seconde que le multiple de la troisième l’est de la quatrième.

Que la première A soit le mème multiple de la seconde B que la troisième Γ lʼest de la quatrième Δ ; prenons les équimultiples EZ, HΘ de A et de Γ ; je dis que EZ est le même multiple de B que HΘ lʼest de Δ.

Puisque EZ est le même multiple de A que Ho lʼest de r, il y a dans E autant de grandeurs égales à A quʼil y a dans HΘ de grandeurs égales à Γ. Divisons EZ en grandeurs égales à A, et que ces grandeurs soient EK, KZ; divisons ΗΘ en grandeurs égales à Γ, et que ces grandeurs soient ΗΔ, ΔΘ. Le nombre des parties EK, KZ sera égal au nombre des parties HA, 46, Et puisque A est le même multiple de B que Γ l'est de A, que EK est égal h4, et HA égal à r, la grandeur EK est le même multiple de B que HA l’est de Δ. Par la même raison, KZ est le même multiple de B que 4@ l’est de 4. Et puisque la première Ek est le même multiple de la seconde B que la troisième HA l’est de la quatrième 4, et que la cinquième Kz est le même multiple de la seconde B que la sixième 4@ l'est de la quatrième A, la somme de la première et de la cinquième, qui est Ez, sera le même multiple de la seconde B, que la somme de la troisième et de la sixième, qui est ΗΘ, l’est de la quatrième 4 (2. 5). Donc, etc.

PROPOSITION IV.

Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la quatrième, des équimultiples quelconques de la première et de la troisième comparés à des équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième, auront entre eux la même raison.

Car que la première A ait avec la seconde B la même raison que Γ avec Δ, prenons des équimultiples quelconques E , z de A et de r, et d’autres équimultiples quelconques H , Θ de B et de 4 ; je dis que E est à H comme Z est à Θ.

Prenons des équimultiples quelconques K, A de E et de Z, et d’autres équimultiples quelconques M, N de H et de Θ. Puisque E est le même multiple de 4 que z l’est de r, et que l’on a pris des équimultiples k, À de E et de z, la grandeur K est le même multiple de A que A l’est de r (3. 5). Par la même raison, M est le même multiple de B que N l’est de 4. Et puisque A est à B comme r est à â, que l’on a pris des équimultiples quelconques k, À de A et de r, et d’autres équimultiples quel- conques M, N de B et de A, si K surpasse M, À surpasse N ; si K est égal à M, A est égal à N, et si K est plus petit que M, A est plus petit que N (déf. 5. 3.). Mais k, A sont des équimultiples quelconques de & et de z, et M, N d’autres

équimultiples quelconques de H et de ©; donc E est à H comme z est à Θ (déf. 6. 5). Donc, etc. COROLLAIRE.

Puisqu’il a été démontré que si K surpasse M, A surpasse N ; que si K est égal à M, À est égal à N, et que si k est plus petit que M, A est plus petit que N, il est évident que si M surpasse K, N surpasse A; que si M est égal à K, N est égal à À, et que si M est plus petit que K, N est plus petit que A; par conséquent H est à E comme Θ est à Z. De là il est évident que si quatre grandeurs sont proportionnelles, elles seront encore proportionnelles par inversion.

PROPOSITION V.

Si une grandeur est le même multiple d’une grandeur que la grandeur retranchée l’est de la grandeur retranchée, le reste sera le même multiple du reste que le tout l’est du tout. Que la grandeur 48 soit le même multiple dé la grandeur rA que la grandeur retranchée AE l'est de la grandeur retranchée rz ; je dis que la grandeur restante EB sera le même multiple de la grandeur restante ZA que la grandeur entière AB l’est de la grandeur entière ΓΔ.

Que AE soit le même multiple de ΓZ que EB l’est de TH.

Puisque AE est le même multiple de rz que EB l’est de Hr, AE est le même multiple de rz que 48 l’est de Hz(1.5). Mais l’on a supposé que AE est le même multiple de rz que 48 l’est de ra; donc 48 est le même multiple de æz et de ra; donc Hz est égal à ra. Retranchons la partie commune rz ; le reste Hr sera égal au reste 4z. Et puisque AE est le même multiple de 1Z que EB l'est de Hr, et que ZA est égal à Hr, AE est le même multiple de rZ que EB l'est de za. Mais on a supposé que AE est le même multiple de ΓZ que AB l’est de ΓΔ ; donc EB est le même multiple de za que 48 l’est de ra; donc la grandeur restante EB sera le même multiple de la grandeur restante za que la grandeur entière 48 l’est de la grandeur entière ra. Donc, etc.

PROPOSITION VI.

Si deux grandeurs sont des équimultiples de deux grandeurs ; et si certaines grandeurs retranchées sont des équimultiples des dernières, les grandeurs restantes seront égales à ces dernières, ou des équimultiples de ces dernières.

Que les deux grandeurs 4B, rA soient des équimultiples des deux grandeurs E,Z, et que les grandeurs retranchées AH, re soient des équimuliples de E et de z; je dis que les grandeurs restantes HB, @A sont égales aux grandeurs E, Z, ou des équimultiples de ces grandeurs. Premièrement, que HB soit égal à E; je dis que ea est égal à z. Faisons ΓK égal à Z.

Puisque AH est le même multiple de E que ΓΘ l'est de Z, que HB est égal à E, et kr égal az, 4B est le même multiple de E que Ke l’est de Z (2.5). Mais on a supposé que AB est le même multiple de E que rA l’est de z ; donc Ke est le même multiple de z que ra l’est de z. Et puisque les grandeurs ke, ra sont chacune le même multiple de z, Ke est égal à ra. Retranchons la partie commune re ; la grandeur restante kr sera égale à la grandeur restante @a. Mais kr est égal à z; donc ea est égal à z ; donc si HB est égal à E, @A sera égal à z.

Nous démontrerons semblablement, que si H8 est un multiple de E, la grandeur ea sera le même multiple de z. Donc, etc.

PROPOSITION VII.

Des grandeurs égales ont la même raison avec une même grandeur, et une même grandeur a la même raison avec des grandeurs égales.

Soient les grandeurs égales A, B, et Γ une autre grandeur quelconque ; je dis que chacune des grandeurs A, B a la même raison avec Γ, et que Γ a la même raison avec chacune des grandeurs A, B.

Prenons des équimultiples quelconques 4, E de A et de B, et un autre multiple quelconque Z de r.

Puisque 4 est le même multiple de À que E l'est de B, et que 4 est égal à B, A est égal à E. Mais Z est un autre multiple quelconque de r ; donc, si Δ surpasse Z, E surpasse Z ; si Δ est égal à z, E est égal à Z ; et si A est plus petit que Z, E est plus petit que z. Mais A, E sont des équimultiples quelconques de A et de B, et Z est un autre multiple quelconque de r; donc A est à Γ comme B est à Γ (déf. 6.5).

Je dis aussi que Γ a la même raison avec chacune des grandeurs A, B.

La même construction étant faite, nous démontrerons semblablement que est égal à E; mais Z est un autre multiple quelconque ; donc si Z surpasse A, z sur- passe ; si Z est égal à a, z est égal à E, et si z est plus petit que r, z est plus petit que E. Mais z est un multiple de r, et A, E sont d'autres équimultiples quelconques de 4 et de B ; donc r est à A comme r est à B (déf. 6. 5). Donc, etc.

PROPOSITION VIII.

Deux grandeurs étant inégales, la plus grande a avec une même grandeur une plus grande raison que la plus petite, et une même grandeur a avec la plus petite une plus grande raison qu’avec la plus grande.

Soient les grandeurs inégales AB, r; que AB soit la plus grande, et que 4 soit une autre grandeur quelconque ; je dis que AB a avec A une plus grande raison que r avec A, et que À avec r une plus grande raison qu’avec AB.

Car puisque 48 est plus grand que Tr, faisons BE égal à r; la plus petite des grandeurs AE, EB étant multipliée, deviendra enfin plus grande que 4 (déf. 5.5), Que 48 soit d’abord plus petit que EB; multiplions AE, que son multiple zh soit plus grand que A, et que He soit le même multiple de EB, et k le même multiple de r, que ZH l’est de AE. Prenons la grandeur A double de 2, la grandeur M triple de 4, et ainsi de suite, une fois de plus, jusqu’à ce que le multiple de A deviène pour la première fois plus grand que k. Prenons ce multiple ; que N, quadruple de 4, soit plus grand que K, pour la première fois.

Puisque K est pour la première fois plus petit que N, la grandeur K n’est pas plus petite que M. Mais ZH est le même multiple de AE que H© l'est de EB ; donc zH est le même multiple de AE que Ze l’est de AB(1. 5). Mais zH est le même multiple de AE que k l’est de r; donc ze est le même multiple de 4B que x l’est de r ; donc Z®, K sont des équimultiples de 48 et de r. De plus, puisque ho est le même multiple de EB que k l’est der, et que EB est égal ar, H© est égal à K. Mais K n’est pas plus petit que M; donc He n’est pas plus petit que M. Mais ZH est plus grand que 4 ; donc la grandeur entière ze est plus grande que A et M pris ensemble. Mais A, M pris ensemble sont égaux à N, puisque M est triple de 4, que 4, M pris ensemble sont quadruples de 4, et que N est quadruple de 4, les grandeurs M, 4 prises ensemble sont égales à N. Mais Z® est plus grand que A, M; donc 79 surpasse N. Mais K ne surpasse pas N, et Z®, K sont des équimultiples de 48 et de T, et N est un autre multiple quelconque de 4 ; donc AB a une plus grande raison avec A, que r avec A (déf. 8. 5).

Je dis de plus que à a une plus grande raison avec T que 4 avec 4B.

Ayant fait la même construction, nous démontrerons semblablement que N surpasse K, et que N ne surpasse pas Z@. Mais N est un multiple de 4, et Z6, K sont d’autres équimultiples quelconques de 4B et de r ; donc 4 a une plus grande raison avec r que A avec AB (déf, 8. 5). Mais que AE soit plus grand que E8 ; la plus petite grandeur EB étant multipliée deviendra enfin plus grande que 4 (déf. 5. 5). Qu’elle soit multipliée, et que He soit un multiple de EB plus grand que A, et que ZH soit le même multiple de AE, et Kk de r, que H@ l’est de EB8. Nous démontrerons semblablement que Z6,K sont des équimultiples de 4B et de r. Prenons semblablement un multiple N de 4 qui soit plus grand pour Ja première fois que ZH; ZH ne sera pas plus petit que M. Mais H@ est plus grand que 4; donc la grandeur entière Z© surpasse A, M pris ensemble, c’est-à-dire N. Mais ne surpasse pas N , parce que ZH étant plus grand que H@ , c’est-à-dire que K, ne surpasse pas N. Et conformément a ce qui a été dit auparavant, nous achèverons la démonstration. Donc, etc.

PROPOSITION IX.

Les grandeurs qui ont une même raison avec une même grandeur sont égales entr’elles, et les grandeurs avec lesquelles une même grandeur a une même raison sont aussi égales entr’elles.

Que chacune des grandeurs A, B ait avec r la même raison; je dis que A est égal à 8.

Car, si cela n’était point, chacune des grandeurs A, B n'aurait pas avec T la même raison (8. 5) ; mais elle l’a; donc 4 est égal à B.

Que r ait la même raison avec chacune des grandeurs 4, B; je dis que 4 est égal à 8.

Car, si cela n'était point, la grandeur r n’aurait pas la même raison avec chacune des grandeurs 4,8 (8.5). Mais elle l’a ; donc A est égal à B. Donc, etc.

PROPOSITION X.

Des grandeurs ayant une raison avec une même grandeur, celle qui a une plus grande raison est la plus grande, et celle avec laquelle cette même grandeur a une plus grande raison est la plus petite.

Que A ait avec T une plus grande raison que 2 avec T ; je dis que A est plus grand que B.

Car, si cela n’est pas, A est égal à B, ou plus petit. A nʼest pas égal à 5, car chacune des grandeurs A, B aurait la même raison avec r (7. 5)q. Mais chacune de ces grandeurs n’a pas la même raison avec r ; donc A n’est pas égal à B. A nʼest pas cependant plus petit que B ; car A aurait avec T une plus petite raison que B avec r (8. 5). Mais A nʼa pas avec T une plus petite raison que B avec Γ ; donc A n’est pas plus petit que 8. Mais on a démontré qu’il ne lui est pas égal ; donc A est plus grand que 8:

De plus, que r ait avec B une raison plus grande que Γ avec A ; je dis que B est plus petit que A.

Car, si cela n’est pas, il lui est égal, ou il est plus grand. Mais la grandeur B n’est pas égale à A; car alors la grandeur T aurait la même raison avec chacune des grandeurs 4, B (7. 5). Mais elle ne l’a pas ; donc A n’est pas égal à B. La grandeur B n’est pas cependant plus grande que A; car alors Γ aurait avec B une raison plus petite qu'avec A (8.5). Mais r n’a pas avec B une raison plus petite qu’avec A; donc B n’est pas plus grand que 4. Mais on a démontré qu’il ne lui est pas égal; donc B est plus petit que 4. Donc, etc.

PROPOSITION XI.

Les raisons qui sont les mêmes avec une même raison sont égales entr’elles.

Que A soit à B comme T est à A, et que Tr soit à A comme E est à 2; je dis que A est à B comme E est à Z.

Prenons des équimultiples quelconques H, ©, k des grandeurs A, Tr, E,et d’autres équimultiples quelconques 4, M, N des grandeurs B, 4, 2.

Puisque A est à B comme T est à A, et qu’on a pris des équimuliiples quel- conques H, © de A et de r; et d'autres équimultiples quelconques 4, M de B et de A; si H surpasse A, @ surpasse M; si H est égal à A, © est égal à M; et si H est plus petit que A, © est plus peut que M (déf. 6. 5). De plus, puisque T est à 4 comme E est à Z, et quʼon a pris des équimultiples quelconques ©, K de r et de E, et dʼautres équimultiples quelconques M, N de 4etdeZ ; si © surpasse M, K surpasse N ; 516 est égal à M, K est égal à N, et si © est plus petit que M, K est plus petit que N. Mais si Θ surpasse M, H surpasse A ; si © est égal à M, H est égal à A, et si © est plus petit que M, H est plus petit que A ; donc, si H surpasse A, K surpasse N ; si H est égal à A, K est égal à N, et si H est plus petit que A, K est plus petit que N. Mais H, K sont des équimultiples quelconques de 4 et de E, et A, N d’autres équimultiples quelconques de B et de Z ; donc 4 est à B comme E est à z (déf. 6. 5). Donc, etc.

PROPOSITION XII.

Si tant de grandeurs qu’on voudra sont proportionnelles, un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents.

Soient A, B, Γ, Δ, E, Z tant de grandeurs proportionnelles qu’on voudra ; que A soit à B comme Γ est à Δ et comme E est à Z ; je dis que A est à B comme la somme des antécédents A, Γ, E est à la somme des grandeurs B, Δ, Z.

Prenons des équimultiples quelconques H, @, K des grandeurs A, Γ, E, et d’autres équimultiples quelconques : A, M, N des grandeurs B, Δ, Z.

Puisque A est à B comme Γ est à A, et comme E est à z ; que lʼon a pris des équimultiples quelconques H, 6, K des grandeurs A, T, E, et dʼautres équimultiples quelconques A, M, N des grandeurs B, A, Z ; si H surpasse A, © surpasse M, et K surpasse N ; si H est égal à A, o est égal à M, et K égal à N ; et si H est plus petit que A, e est plus petit que N, ei K plus petit que N (déf. 6. 5). Donc, si H surpasse A, la somme des grandeurs H, ©, κ surpasse la somme des grandeurs A, M, N ; si H est égal à ^, la somme des grandeurs H, ©, K est égale à la somme des grandeurs A, M, N ; et si H est plus petit que A, la somme des grandeurs H, ©, K est plus petite que la somme des grandeurs A, M, N. Mais la grandeur H et la somme des grandeurs H, ©, K sont des équimultiples de la grandeur 4 et des grandeurs A, T, E, parce que si tant de grandeurs qu’on voudra sont les mêmes multiples d’autres grandeurs égales en nombre, chacune de chacune, la somme des premières grandeurs est le même multiple de la somme des secondes, quʼune de ces grandeurs F est d’une de ces grandeurs (1. 5). Par la même raison, la grandeur 4 et la somme des grandeurs A, M, N sont des équimultiples de la grandeur B et de la somme des grandeurs B, A, Z ; donc A est à B comme la somme des grandeurs A, T, E est à la somme des grandeurs B, ^, Z (déf. 6. 5). Donc, etc.

PROPOSITION XIII.

Si la première a la même raison avec la seconde que la troisième avec la quatrième, et si la troisième a avec la quatrième une raison plus grande que la cinquième avec la sixième, la première aura avec la seconde une raison plus grande que la cinquième avec la sixième.

Que la première A ait avec la seconde B la même raison que la troisième T avec la quatrième 4, et que la troisième Tr ait avec la quatrième 4 une raison plus grande que la cinquième E avec la sixième Z ; je dis que la première 4 aura avec la seconde B : ʼune raison plus grande que la cinquième E avec la sixième Z.

Puisque T a avec A une raison plus grande que E avec Z, parmi des equimultiples quelconques de r et de E, et parmi d’autres équimultiples quelconques de A et de Z, un multiple de r surpasse un multiple de A, et un multiple de E ne surpasse pas un multiple de z (déf. 8. 5). Prenons ces équimultiples, et que H, © soient des équimultiples de r et de E, et que K, À soient d’autres équimultiples quelconques de À et de z, de manière que H surpasse K, et que © ne surpasse pas À ; et que M soit le même multiple de À que H l’est de T, et que N soit le même multiple de B que k l’est de a.

Puisque 4 est à B comme r est à A, et qu’on a pris des équimultiples quelconques M, H de A et de r, et d’autres équimultiples quelconques N, K de B et de 4 ; si M Surpasse N, H surpasse K ; si M est égal a N, H est égal à K ; et si M est plus petit que N, H est plus peut que Kk (déf. 6. 5). Mais H surpasse Kk ; donc M surpasse N. Mais © ne surpasse pas A ; et M, © sont des équimultiples quelconques de A et de E ; et N, A sont d’autres équimultiples quelconques de B et de Z ; donc A a avec B une raison plus grande que E avec Z (déf, 8. 5). Donc, etc.

PROPOSITION XVI.

Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la quatrième, et si la première est plus grande que la troisième, la seconde sera plus grande que la quatrième ; si la première est égale à la troisième, la seconde sera égale à la quatrième, et si la première est plus petite que la troisième, la seconde sera plus petite que la quatrième.

Que la première A ait avec la seconde B la même raison que la troisième r avec la quatrième 4, et que A soit plus grand que r ; je dis que 8 est plus grand que A.

Puisque A est plus grand que r, et que B est une autre grandeur quelconque, A a avec B une plus grande raison que r avec B (8. 5). Mais A est à B comme T est a A ; donc Tr a avec A une plus grande raison que r avec B (13. 5). Mais la grandeur avec laquelle une même grandeur a la plus grande raison est la plus petite (ro. 5) ; donc A est plus petit que B, et par conséquent B plus grand que 4.

Nous démontrerons semblablement que si À est égal à Tr, B sera égal à 4, et que si À est plus petit que Tr, B sera plus petit que 4. Donc, etc.

PROPOSITION XV.

Les parties comparées entr’elles ont la même raison que leurs équimultiples.

Que AB soit le même multiple de r que AE l’est de Z ; je dis que r est à Z Comme AB est à AE. Puisque AB est le même multiple de r que AE l’est de Z, il y a dans AB autant de grandeurs égales à r qu’il y a dans AE de grandeurs égales à z. Divisons 4 en parties égales à Tr, et que ces parties soient AH, H©, ©@B ; divisons aussi AE en parties égales à Z, et que ces parties soient AK, KA, AE. Le nombre des parties AH, H©, ©B sera égal au nombre des parties AK, KA, AE. Et puisque les parties AH, H©, ©B sont égales entr’elles, et que les parties AK, KA, AE sont aussi égales entr’elles, AH est à AK comme H© est à KA, et comme €B est à AE (7. 5) ; donc un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (12. 5) ; donc AH est à 4K comme AB est à AE. Mais AH est égal à T, et AK égal à Z ; donc r està2 comme AB est à AE. Donc, etc.

PROPOSITION XVI.

Si quatre grandeurs sont proportionnelles, elles seront proportionnelles par permutation.

Soient les quatre grandeurs proportionnelles A, B, Γ, Δ, c’est-à-dire que A soit à B comme Γ est à Δ ; je dis que ces grandeurs sont proportionnelles par permutation, c’est-a-dire que A est à Γ comme B est à Δ.

Prenons des équimultiples quelconques E, Z de A et de B, et d’autres équimultiples quelconques H, 6 de T et de a.

Puisque E est le même multiple de 4 que Z l’est de B, et que les parties comparées entr’elles ont la même raison que leurs équimultiples (15. 5), la grandeur À est à B comme E est à Z. Mais A est à B comme Γ est à A ; donc Γ est à Δ comme E est à Z (11. 5). De plus, puisque H, © sont des équimultiples de r et de À ; T est à A comme H est à ©. Mais r est à A comme E est à Z ; donc E est à Z comme H est à © (11. 5). Mais si quatre grandeurs sont proportionnelles, et si la première est plus grande que la troisième, la seconde sera plus grande que la quatrième ; si la première est égale à la troisième, la seconde est égale à la quatrième, et si la première est plus petite que la troisième, la seconde est plus petite que la quatrième (14. 5). Donc si E surpasse H, Z surpasse © ; si E est égal à H, Z est égal à © ; et si E est plus petit que H, Z est plus petit que 6. Mais E, Z sont des équimultiples quelconques de 4 et de B, et H, © sont d’autres équimultiples quel- conques de T et de 4 ; donc A est à Γ comme B est à 4 (déf. 6. 5). Donc, etc.