L'abaque
Compter avec des jetons sur un tableau.
L'abaque médiéval
Abacus Medievalis
La table à colonnes
L'abaque (abacus) est une table de calcul à colonnes utilisée depuis l'Antiquité romaine. L'abaque de Gerbert comportait des colonnes pour les unités, dizaines, centaines, etc., et l'on y plaçait des jetons (calculi) marqués des chiffres de 1 à 9 (les « apices »). L'abaque permettait d'effectuer les quatre opérations fondamentales (addition, soustraction, multiplication et division) de manière visuelle et concrète. Il régna dans les écoles et les comptoirs commerciaux jusqu'à ce que le calcul écrit (algorismus) le supplante progressivement.
L'abaque (en latin « abacus ») est une table de calcul divisée en colonnes représentant les unités, dizaines, centaines, etc. Les « calculi » (petits cailloux, en latin) étaient les jetons que l'on déplaçait sur l'abaque.
Retenue et emprunt
Le maniement de l'abaque obéit à des règles précises. Lorsqu'une addition fait dépasser le total de 9 dans une colonne, on effectue une retenue : on retire dix unités de cette colonne et on en ajoute une à la colonne immédiatement à gauche, exactement comme dans l'addition écrite que nous pratiquons aujourd'hui. La soustraction, quant à elle, requiert parfois l'opération inverse : l'emprunt. Pour calculer 403 moins 178, par exemple, il faut emprunter 2 fois aux colonnes supérieures, car les chiffres du bas dépassent ceux du haut dans les colonnes des unités et des dizaines.
L'Échiquier et l'abaque romain
En Angleterre, l'usage de l'abaque donna naissance à une institution remarquable : l'Échiquier (en anglais Exchequer), à la fois le nom de la grande table de calcul recouverte d'un drap quadrillé sur laquelle les fonctionnaires royaux vérifiaient les comptes du royaume, et celui de l'administration financière elle-même, qui perdure encore de nos jours. Avant les innovations de Gerbert d'Aurillac, les Romains utilisaient déjà un abaque portatif en bronze, à rainures et billes coulissantes, qui fonctionnait selon la numération romaine : les colonnes correspondant aux valeurs I, X, C, M et leurs intermédiaires.
Il régna dans les écoles et les comptoirs commerciaux jusqu'à ce que le calcul écrit (algorismus) le supplante progressivement.
Testez-vous : 8 questions
1. Comment appelle-t-on la table de calcul à colonnes utilisée pour effectuer les opérations arithmétiques ?
- Le sextant
- L’abaque
- Le compas
- L’astrolabe
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Réponse : L’abaque
L’abaque (du grec abax, « table ») est un instrument de calcul constitué de colonnes (unités, dizaines, centaines…) sur lesquelles on déplace des jetons (calculi). Utilisé depuis l’Antiquité romaine, il resta l’outil de calcul principal en Occident jusqu’à l’adoption du calcul écrit.
2. Comment appelle-t-on les jetons ou cailloux utilisés pour calculer sur l’abaque ?
- Des dés
- Des chiffres
- Des apices
- Des calculi
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Réponse : Des calculi
Les jetons utilisés sur l’abaque s’appellent « calculi » en latin, littéralement « petits cailloux ». Ce mot est à l’origine de notre terme « calcul ». Les Romains et les médiévaux déplaçaient ces calculi sur les colonnes de l’abaque pour effectuer additions et soustractions.
3. Chaque colonne de l’abaque représente une valeur positionnelle. Que représente la colonne la plus à droite ?
- Les dizaines
- Les centaines
- Les milliers
- Les unités
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Réponse : Les unités
La colonne la plus à droite de l’abaque représente les unités. Chaque colonne vers la gauche multiplie la valeur par 10 : dizaines, centaines, milliers, etc. Ce système positionnel est la base de notre numération décimale et du calcul tant sur abaque qu’à l’écrit.
4. Gerbert d’Aurillac innova en marquant ses jetons de chiffres (les « apices »). Combien de symboles différents portaient ces jetons ?
- 9 (de 1 à 9)
- 12 (de 1 à 12)
- 10 (de 0 à 9)
- 7 (de 1 à 7)
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Réponse : 9 (de 1 à 9)
Les apices de Gerbert portaient 9 symboles différents, de 1 à 9. Le zéro n’y figurait pas car, sur l’abaque, une colonne vide suffisait à indiquer l’absence. Ce n’est qu’avec le calcul écrit (algorisme) que le zéro devint indispensable comme marqueur de position.
5. Pour additionner 347 + 285 sur l’abaque, que fait-on quand une colonne dépasse 9 ?
- On retient un jeton à gauche
- On passe à droite
- On enlève tous les jetons
- On recommence le calcul
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Réponse : On retient un jeton à gauche
Quand une colonne de l’abaque dépasse 9 jetons (ou la valeur maximale), on effectue une retenue : on retire 10 jetons de cette colonne et on en ajoute 1 à la colonne de gauche (valeur supérieure). C’est le même principe que la retenue dans l’addition écrite.
6. Comment appelle-t-on les fonctionnaires des comptes du royaume d’Angleterre, calculant sur un grand abaque à tissu quadrillé ?
- La Chambre des Pairs
- L’Échiquier
- Le Parlement
- La Chancellerie
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Réponse : L’Échiquier
L’Échiquier (Exchequer) désigne à la fois la table de calcul recouverte d’un drap quadrillé et l’institution financière du royaume d’Angleterre. Les fonctionnaires y posaient des jetons pour vérifier les comptes royaux, d’où le nom qui perdure encore aujourd’hui.
7. Sur l’abaque, combien de fois emprunte-t-on pour calculer 403 − 178 ?
- 1 fois
- 3 fois
- 2 fois
- Aucune
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Réponse : 2 fois
Pour 403 - 178 : en colonne des unités, 3 < 8, on emprunte une dizaine (1er emprunt). En colonne des dizaines, 9 (après emprunt : 10-1=9… en fait 0-1 après emprunt) < 7, on emprunte une centaine (2e emprunt). On emprunte donc 2 fois au total.
8. Quel système de numération employait l’abaque romain à rainures et billes, en usage avant Gerbert ?
- La numération romaine
- La base 60 babylonienne
- La base 12 duodécimale
- Le système binaire
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Réponse : La numération romaine
L’abaque romain portatif, en bronze avec rainures et billes coulissantes, employait la numération romaine. Les colonnes correspondaient aux valeurs romaines (I, X, C, M…). Gerbert d’Aurillac révolutionna cet outil en y introduisant des jetons marqués de chiffres arabes (apices).
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