Le nombre d'or et le rectangle d'or
Le rectangle dont les proportions plaisent à l'œil.
Sectio Aurea
La divine proportion
Parmi toutes les proportions, il en est une que les Anciens tenaient pour la plus belle : la « divine proportion », que nous appelons le nombre d'or. Euclide la définit au livre VI des Éléments sous le nom de « partage en extrême et moyenne raison » : un segment est divisé de telle sorte que le rapport du tout à la grande partie est égal au rapport de la grande partie à la petite. Ce rapport vaut environ 1,618.
Le rectangle d'or
Le rectangle d'or, dont les côtés sont dans ce rapport, apparaît dans les proportions du Parthénon et, selon certains historiens, dans celles des cathédrales. Luca Pacioli le nommera plus tard « divine proportion » car, comme la Trinité est une et trine, ce nombre est à la fois unique et engendre une harmonie infinie.
Les cinq solides platoniciens eux-mêmes (et surtout le dodécaèdre et l'icosaèdre) sont intimement liés au nombre d'or, car leurs arêtes et diagonales sont entre elles dans ce rapport merveilleux.
Testez-vous : 8 questions
1. Comment appelle-t-on la proportion définie par Euclide comme le « partage en extrême et moyenne raison » ?
- Le nombre pi
- Le nombre d’Euler
- Le nombre d’or
- La racine de deux
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Réponse : Le nombre d’or
Le « partage en extrême et moyenne raison », défini par Euclide au livre VI des Éléments, est ce que nous appelons aujourd’hui le nombre d’or (phi, environ 1,618). Un segment est divisé en extrême et moyenne raison lorsque le rapport du tout à la grande partie égale le rapport de la grande partie à la petite. Cette proportion unique fascina les mathématiciens et les artistes de toutes les époques.
2. Comment appelle-t-on un rectangle dont les côtés sont dans le rapport du nombre d’or ?
- Rectangle divin
- Rectangle d’or
- Rectangle sacré
- Rectangle parfait
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Réponse : Rectangle d’or
Un rectangle d’or est un rectangle dont les côtés sont dans le rapport du nombre d’or (phi, environ 1,618). Si l’on retire un carré d’un rectangle d’or, le rectangle restant est lui-même un rectangle d’or, et ainsi de suite à l’infini. Cette propriété d’autosimilarité unique en fait une figure particulièrement harmonieuse, utilisée en architecture et en art depuis l’Antiquité.
3. Dans quel livre des Éléments Euclide définit-il le « partage en extrême et moyenne raison » ?
- Le livre VI
- Le livre XIII
- Le livre I
- Le livre X
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Réponse : Le livre VI
C’est dans le livre VI des Éléments qu’Euclide définit le « partage en extrême et moyenne raison », que nous appelons aujourd’hui le nombre d’or ou section dorée. Il s’agit de diviser un segment de telle sorte que le rapport du tout à la grande partie soit égal au rapport de la grande partie à la petite. Ce rapport vaut phi, environ 1,618.
4. Quels deux solides platoniciens sont le plus intimement liés au nombre d’or ?
- Cube et tétraèdre
- Dodécaèdre, icosaèdre
- Tétraèdre, icosaèdre
- Octaèdre et cube
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Réponse : Dodécaèdre, icosaèdre
Le dodécaèdre et l’icosaèdre sont les deux solides platoniciens dont les proportions sont intimement liées au nombre d’or (Phi).
5. Si l’on retranche un carré d’un rectangle d’or, quelle forme obtient-on ?
- Un carré
- Un triangle d’or
- Un rectangle d’or
- Un losange
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Réponse : Un rectangle d’or
Si l’on retranche un carré du côté le plus court d’un rectangle d’or, on obtient un nouveau rectangle d’or, plus petit. Cette propriété d’autosimilarité est unique au rectangle d’or et peut se répéter à l’infini, engendrant une spirale logarithmique. C’est cette récurrence qui fascinait les penseurs médiévaux : le nombre d’or se reproduit indéfiniment dans ses propres parties.
6. Dans un pentagone régulier, quel est le rapport entre la diagonale et le côté ?
- Le nombre pi
- La racine de deux
- Le nombre trois
- Le nombre d’or
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Réponse : Le nombre d’or
Dans un pentagone régulier, le rapport entre la diagonale et le côté est exactement le nombre d’or φ (phi ≈ 1,618). Cette propriété remarquable fait du pentagone l’une des figures les plus liées à φ. Les Pythagoriciens, qui avaient choisi le pentagramme (étoile à cinq branches inscrite dans le pentagone) comme symbole, connaissaient déjà cette proportion.
7. Comment Euclide nomme-t-il la division d’un segment selon le nombre d’or ?
- Proportion céleste
- Division sacrée
- Extrême et moyenne raison
- Rapport harmonique
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Réponse : Extrême et moyenne raison
Euclide nomme la division d’un segment selon le nombre d’or « partage en extrême et moyenne raison » (livre VI, définition 3). Un segment est ainsi divisé lorsque le rapport du tout à la grande partie est égal au rapport de la grande partie à la petite. Ce rapport vaut phi (environ 1,618). Le terme « nombre d’or » n’apparut que bien plus tard.
8. Le rectangle dont les côtés sont dans le rapport du nombre d’or est le rectangle ____.
- d’or
- sacré
- parfait
- divin
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Réponse : d’or
Le rectangle d’or est un rectangle dont les côtés sont dans le rapport du nombre d’or (phi, environ 1,618). Si l’on note a le grand côté et b le petit, alors a/b = phi. Ce rectangle possède la propriété unique que si l’on en retranche un carré de côté b, le rectangle restant est à nouveau un rectangle d’or. Cette autosimilarité en fait une figure d’une harmonie particulière.
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