Les parallèles et le cinquième postulat d'Euclide

Réponse : Le cinquième

Le postulat des parallèles est le cinquième postulat d’Euclide. Il énonce que si une sécante coupe deux droites en formant des angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux angles droits, ces droites se rencontrent de ce côté. Ce postulat, le plus controversé de l’histoire des mathématiques, résista à toute tentative de démonstration pendant plus de deux mille ans.

Réponse : Une seule

Le cinquième postulat d’Euclide implique que par un point extérieur à une droite, on ne peut mener qu’une seule parallèle à cette droite. C’est la formulation équivalente la plus connue, due à Playfair. Cette unicité de la parallèle est le fondement de la géométrie euclidienne. Si l’on admet plusieurs parallèles (ou aucune), on obtient les géométries non euclidiennes.

Réponse : Le démontrer

Pendant des siècles, les géomètres tentèrent de démontrer le cinquième postulat d’Euclide, sans succès, ouvrant la voie aux géométries non euclidiennes.

Réponse : Proclus

Proclus (412-485), philosophe néoplatonicien et commentateur d’Euclide, fut l’un des premiers à tenter de démontrer le cinquième postulat à partir des quatre autres. Sa tentative, comme toutes celles qui suivirent pendant des siècles, échoua. Ce n’est qu’au XIXe siècle que l’on prouva l’indépendance de ce postulat, ouvrant la voie aux géométries non euclidiennes.

Réponse : Omar Khayyam

Omar Khayyam (1048-1131), savant persan célèbre aussi comme poète (les Rubaiyat), tenta de démontrer le cinquième postulat d’Euclide dans ses Commentaires sur les difficultés de certains postulats d’Euclide. Sa tentative, bien que n’aboutissant pas, explora des quadrilatères à angles droits qui préfigurèrent les géométries non euclidiennes, plusieurs siècles avant leur formalisation.

Réponse : Une sécante

En géométrie, lorsqu’une droite coupe deux autres droites, on l’appelle une sécante. Ce terme vient du latin secare, « couper ». C’est précisément dans cette configuration qu’Euclide étudie les angles formés (alternes, correspondants…) pour établir les propriétés des droites parallèles, notamment dans son célèbre cinquième postulat.

Réponse : Deux angles droits

Le cinquième postulat d’Euclide (postulat des parallèles) affirme que si une sécante coupe deux droites en formant des angles intérieurs du même côté dont la somme est inférieure à deux angles droits (180°), alors ces deux droites, prolongées de ce côté, finiront par se rencontrer. Si la somme vaut exactement deux angles droits, les droites sont parallèles et ne se rencontrent jamais.

Réponse : Il est indépendant

Le cinquième postulat ne put jamais être démontré à partir des quatre premiers parce qu’il est logiquement indépendant d’eux. Cela signifie qu’on peut construire des géométries cohérentes où le cinquième postulat est remplacé par un postulat différent (géométries non euclidiennes de Lobatchevski et Riemann). Cette indépendance ne fut prouvée qu’au XIXe siècle, après deux millénaires de tentatives infructueuses.

Réponse : Faux

Le cinquième postulat d’Euclide n’a jamais été démontré comme un théorème, ni au Moyen Âge ni après. Malgré de nombreuses tentatives pendant plus de deux mille ans (Proclus, Omar Khayyam, Saccheri…), personne n’y parvint. Au XIXe siècle, on prouva finalement que ce postulat est logiquement indépendant des quatre autres, ce qui donna naissance aux géométries non euclidiennes.