Le théorème de Pythagore (I.47) et sa réciproque
a² + b² = c² : le roi des théorèmes.
Theorema Pythagorae
La proposition I.47
La proposition I.47, couronnement du livre I, énonce le théorème de Pythagore : dans tout triangle rectangle, le carré construit sur l'hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés. La démonstration d'Euclide est purement géométrique, par décomposition en aires.
La réciproque et le triangle 3-4-5
La proposition suivante (I.48) est la réciproque : si le carré d'un côté d'un triangle égale la somme des carrés des deux autres, alors l'angle opposé est droit. Ce couple de propositions fournit aux bâtisseurs un outil pratique incomparable : le triangle de côtés 3, 4 et 5, dont les maîtres d'oeuvre des cathédrales se servaient pour vérifier leurs angles droits avec une simple corde à noeuds.
Ce couple de propositions fournit aux bâtisseurs un outil pratique incomparable : le triangle de côtés 3, 4 et 5, dont les maîtres d'oeuvre des cathédrales se servaient pour vérifier leurs angles droits avec une simple corde à noeuds.
Testez-vous : 9 questions
1. Quel numéro porte le théorème de Pythagore dans le livre I des Éléments ?
- I.47
- I.5
- I.1
- I.32
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Réponse : I.47
Le théorème de Pythagore porte le numéro I.47 dans les Éléments d’Euclide, c’est-à-dire la 47e proposition du livre I. C’est l’avant-dernière proposition de ce livre, et l’une des plus célèbres de toute l’histoire des mathématiques. La proposition I.48, qui clôt le livre I, en est la réciproque.
2. Le théorème de Pythagore s’applique à quel type de triangle ?
- Triangle isocèle
- Triangle équilatéral
- Tout triangle
- Triangle rectangle
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Réponse : Triangle rectangle
Le théorème de Pythagore s’applique exclusivement aux triangles rectangles, c’est-à-dire ceux qui possèdent un angle droit (90°). Il énonce que le carré de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Euclide le démontre à la proposition I.47 des Éléments.
3. Dans un triangle rectangle, comment appelle-t-on le côté opposé à l’angle droit ?
- L’hypoténuse
- La hauteur
- La base
- La médiane
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Réponse : L’hypoténuse
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle. C’est toujours le plus long des trois côtés. Le théorème de Pythagore (proposition I.47 des Éléments) établit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (les cathètes).
4. La proposition I.48, réciproque du théorème de Pythagore, permet de vérifier quoi ?
- Un angle droit
- Un cercle inscrit
- Une droite parallèle
- Un triangle isocèle
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Réponse : Un angle droit
La proposition I.48, réciproque du théorème de Pythagore, permet de vérifier qu’un angle est droit. Si dans un triangle le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors l’angle opposé au grand côté est un angle droit. Les bâtisseurs médiévaux utilisaient cette réciproque avec la corde à 13 nœuds (triangle 3-4-5) pour vérifier la rectitude de leurs angles.
5. Nos bâtisseurs vérifiaient un angle droit avec un triangle de côtés 3, 4 et 5. Quel instrument utilisaient-ils ?
- Une corde à nœuds
- Une équerre en pierre
- Un compas métallique
- Un fil à plomb
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Réponse : Une corde à nœuds
La corde à nœuds avec le triangle 3-4-5 applique le théorème de Pythagore pour vérifier un angle droit sur le chantier.
6. La démonstration d’Euclide pour I.47 procède par décomposition en quoi ?
- En segments
- En angles
- En aires
- En nombres
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Réponse : En aires
La démonstration d’Euclide pour la proposition I.47 (théorème de Pythagore) procède par décomposition en aires. Euclide construit des carrés sur les trois côtés du triangle rectangle, puis montre que les aires de certains triangles et rectangles sont égales, prouvant finalement que l’aire du grand carré (sur l’hypoténuse) est la somme des aires des deux petits carrés.
7. Quel commentateur ancien appelle la proposition I.47 le « théorème de la mariée » en raison de la beauté de sa figure ?
- Ptolémée
- Proclus
- Pappus
- Héron
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Réponse : Proclus
Proclus (412-485), commentateur néoplatonicien des Éléments, appelle la proposition I.47 le « théorème de la mariée » (theorema nymphae) en raison de la beauté de sa figure géométrique, où les trois carrés s’articulent autour du triangle rectangle. D’autres traditions l’appellent le « moulin à vent ». Ce surnom témoigne de l’admiration des anciens pour l’élégance de cette démonstration.
8. Boèce, dans sa Geometria, attribue ce théorème à Pythagore. Selon la tradition, que fit Pythagore après l’avoir découvert ?
- Il sacrifia un bœuf
- Il écrivit un hymne
- Il pleura de joie
- Il jeûna trois jours
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Réponse : Il sacrifia un bœuf
Selon une tradition antique rapportée par Boèce et d’autres auteurs, Pythagore aurait été si heureux de sa découverte du théorème qu’il sacrifia un bœuf (une hécatombe) aux dieux en signe de gratitude. Cette anecdote, probablement légendaire, illustre l’importance que les anciens accordaient à cette vérité géométrique fondamentale.
9. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est l’____.
- hypoténuse
- apothème
- arête
- orthocentre
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Réponse : hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus long des trois côtés. Le mot vient du grec hypo (« sous ») et teinein (« tendre ») : c’est le côté « tendu sous » l’angle droit. Le théorème de Pythagore (I.47) établit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
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Dans ce chapitre : Euclide et les Éléments
- Structure de l'œuvre : les treize livres et leur réception
- Définitions, postulats et axiomes : la méthode déductive du livre I
- Les propositions du livre I : triangles, parallèles et le théorème de Pythagore (I.47)
- Le théorème de Pythagore (I.47) et sa réciproque
- La traduction d'Adélard de Bath et l'enseignement universitaire