Définitions, postulats et axiomes : la méthode déductive du livre I

Réponse : Ce qui n’a pas de partie

Euclide définit le point comme « ce qui n’a pas de partie » (définition I.1 des Éléments). Cette définition signifie que le point est indivisible : il n’a aucune extension, aucune dimension. Il possède seulement une position dans l’espace. C’est le concept le plus élémentaire de la géométrie, à partir duquel tout le reste est construit.

Réponse : Cinq

Euclide pose cinq postulats au début du livre I des Éléments. Les quatre premiers sont simples et intuitifs (tracer une droite, prolonger un segment, tracer un cercle, égalité des angles droits). Le cinquième, le postulat des parallèles, est le plus célèbre et le plus controversé de l’histoire des mathématiques, car il parut moins évident et résista à toute tentative de démonstration.

Réponse : Un axiome

Un axiome (notion commune) est un principe évident admis sans démonstration. Euclide en pose cinq au fondement de sa géométrie.

Réponse : Tracer une droite

Le premier postulat d’Euclide énonce qu’entre deux points quelconques, on peut toujours tracer une droite (un segment de droite). Ce postulat, en apparence évident, est le fondement de toute la géométrie euclidienne : il garantit que l’espace géométrique est continu et qu’on peut y relier librement deux points.

Réponse : Une seule

Euclide définit la ligne comme « une longueur sans largeur » (définition I.2). La ligne ne possède donc qu’une seule dimension : la longueur. Elle n’a ni largeur ni épaisseur. C’est une abstraction pure, intermédiaire entre le point (zéro dimension) et la surface (deux dimensions). Les droites et les courbes sont des cas particuliers de lignes.

Réponse : 465

Euclide démontre 465 propositions (théorèmes et problèmes) dans l’ensemble des treize livres des Éléments. Ce nombre impressionnant témoigne de l’ampleur de l’ouvrage, qui couvre la géométrie plane, l’arithmétique, les grandeurs irrationnelles et la géométrie dans l’espace. Chaque proposition est rigoureusement démontrée à partir des définitions, postulats et axiomes posés au début.

Réponse : Les parallèles

Le cinquième postulat d’Euclide concerne les parallèles : deux droites qui ne se rencontrent jamais. C’est le postulat le plus discuté de l’histoire.

Réponse : La loi naturelle

Saint Thomas d’Aquin comparait les axiomes d’Euclide, vérités évidentes par elles-mêmes qui fondent toute la géométrie, aux premiers principes de la loi naturelle en philosophie morale. De même que les axiomes sont indémontrables mais indispensables en géométrie, les préceptes premiers de la loi naturelle (faire le bien, éviter le mal) sont des évidences morales qui fondent tout raisonnement éthique.

Réponse : postulat

Un postulat est une vérité admise sans démonstration, sur laquelle repose tout l’édifice déductif. Euclide en pose cinq au début des Éléments, dont le célèbre cinquième postulat (des parallèles). À la différence des axiomes (notions communes à toutes les sciences), les postulats sont propres à la géométrie.