Les propositions du livre I : triangles, parallèles et le théorème de Pythagore (I.47)

Réponse : Triangle équilatéral

La toute première proposition du livre I des Éléments montre comment construire un triangle équilatéral sur un segment donné, à l’aide du seul compas et de la règle. Euclide trace deux cercles de même rayon centrés sur chaque extrémité du segment ; leur intersection donne le troisième sommet. Cette construction inaugurale pose les bases de toute la méthode euclidienne.

Réponse : Carré de l’hypoténuse

La proposition I.47 des Éléments d’Euclide (théorème de Pythagore) dit que dans un triangle rectangle, le carré construit sur l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés. C’est l’un des théorèmes les plus célèbres de toute la mathématique, couronnement du livre I des Éléments.

Réponse : Deux angles droits

La proposition I.32 des Éléments d’Euclide démontre que la somme des trois angles intérieurs de tout triangle vaut deux angles droits (soit 180°). Cette vérité fondamentale repose sur le cinquième postulat (des parallèles). Elle est au cœur de toute la géométrie plane et fut l’une des propositions les plus commentées au Moyen Âge.

Réponse : Angles base isocèle

Le « pont aux ânes » (pons asinorum) désigne la proposition I.5 des Éléments, qui démontre que les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux. Ce surnom lui vient de sa difficulté relative : elle constitue le premier obstacle sérieux pour les étudiants. Celui qui ne pouvait la franchir ne pouvait aller plus loin dans l’étude de la géométrie euclidienne.

Réponse : Côté-angle-côté

La proposition I.4 des Éléments établit le critère de congruence Côté-Angle-Côté (CAS) : si deux triangles ont deux côtés égaux et l’angle compris entre ces côtés également égal, alors les deux triangles sont congruents (identiques en forme et en taille). C’est le premier critère d’égalité des triangles démontré par Euclide, fondement de nombreuses propositions ultérieures.

Réponse : Quarante-huit

Le livre I des Éléments d’Euclide contient quarante-huit propositions. Il part des définitions, postulats et axiomes, puis démontre progressivement les propriétés des triangles, des parallèles et des aires, pour culminer avec la proposition I.47 (théorème de Pythagore) et sa réciproque (I.48). C’est le livre le plus étudié et le plus commenté de tout l’ouvrage.

Réponse : Si l’angle est droit

La proposition I.48, réciproque du théorème de Pythagore, permet de vérifier si un angle est droit en mesurant les trois côtés du triangle.

Réponse : 9 + 16 = 25

Le triangle 3-4-5 permet de tracer des angles droits parce qu’il vérifie le théorème de Pythagore : 3 au carré + 4 au carré = 9 + 16 = 25 = 5 au carré. Puisque la somme des carrés des deux petits côtés égale le carré du grand côté, l’angle opposé au côté 5 est un angle droit (proposition I.48, réciproque du théorème). Les bâtisseurs l’utilisaient avec la corde à 13 nœuds.

Réponse : Pythagore

La proposition I.47 des Éléments d’Euclide est la démonstration du théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré construit sur l’hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés. Ce théorème, l’un des plus célèbres de toute la mathématique, couronne le livre I et servait aux bâtisseurs médiévaux pour vérifier les angles droits.