Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 14)

PROPOSITION XXXVI.

Deux nombres étant donnés, trouver le plus petit qu’ils mesurent.

Soient A, B les deux nombres donnés ; il faut trouver le plus petit quʼils mesurent.

Car les nombres 4, B sont premiers entrʼeux, ou ne le sont pas. Que les nombres A, B soient d’abord premiers entr’eux, et que A multipliant B produise ; le nombre B multipliant A produira r (16. 7) ; donc les nombres A, B mesureront T ; je dis que r est le plus petit. Car si cela n’est pas, les nombres A, 3 mesureront quelque nombre plus petit que r. Qu’ils mesurent 4. Quʼil y ai dans E autant dʼunités que A mesure de fois 4 ; et qu’il y ait dans Z autant dʼunités que B mesure de fois A ; donc 4 multipliant E produira A, et B multipliant Z produira A ; donc le produit de A par E est égal au produit de B par Z ; donc 4 est à B comme Z est à E (19. 7). Mais les nombres A, B sont premiers entr’eux ; les nombres premiers sont les plus petits (25. 7) , et les plus petits mesurent également ceux qui ont une même raison, le plus grand le plus grand, et le plus peut le plus petit (21. 7) ; donc le nombre B mesure E, c’est-à-dire le conséquent le conséquent. Mais A multipliant B, E a fait r, A ; donc B est à E Comme Tr est à A (18. 7) ; mais 3 mesure E ; donc r mesure 4, le plus grand le plus peut, ce qui est impossible ; donc les nombres 4, B ne mesureront pas quelque nombre plus peut que Γ, puisque A, B sont premiers entr’eux ; donc r est le plus petit nombre qui soit mesuré par A, 8.

Que les nombres A, B ne soient pas premiers entr’eux. Prenons les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec 4, B (35. 7), et que ces nombres soient LE ; le produit de A par E sera égal au produit de B par Z (19. 7). Que 4 multipliant E fasse r ; donc B multipliant Z fera r ; donc 4, B mesurent r ; je dis que rʼ est le plus petit. Car s’il ne l’est pas, les nombres 4, B mesureront quelque nombre plus petit que r. Qu’ils mesurent À, et qu’il y ait dans H autant d’unités, que 4 mesure de fois A, et dans © autant d’unités que B mesure de fois A. Le nombre A multipliant H fera A, et B multipliant @ fera 4 ; donc le produit de 4 par est égal au produit de B par @ ; donc 4 est à B comme © est à H (19. 7). Mais A est à B comme Z est à E ; et A est à B comme © est à H ; donc Z est à E comme ® est à H. Mais z, E sont les plus petits nombres, et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont la même raison, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit (21. 7) ; donc E mesure H. Mais 4 multipliant E, H fait T, A ; donc E est à H comme r est à A (17. 7). Mais E mesure H ; donc r mesure A (déf. 20. 7), le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc les nombres 4, B ne mesurent pas quelque nombre plus petit que r ; donc r est le plus petit nombre qui soit mesuré par A, 8. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXXVII.

Si deux nombres mesurent quelque nombre, le plus petit qu’ils mesurent mesurera ce même nombre.

Que les deux nombres 4, B mesurent quelque nombre rA, et que E soit le plus petit nombre qu’ils mesurent ; je dis que E mesure rA.

Car si E ne mesure pas TA, que E mesurant ZA laisse rz plus petit que lui-même. Puisque les nombres A, B mesurent E, que E mesure 4Z, les nombres

PROPOSITION XXXVIII.

Trois nombres étant donnés, trouver le plus petit quʼils mesurent.

Soient A, B, Γ les nombres donnés ; il faut trouver le plus petit nombre quʼils mesurent.

Prenons le plus petit nombre A mesuré par les deux nombres 4, B (56. 7). Le nombrer mesurera A, où ne le mesurera pas. Premièrement qu’il le mesure. Puisque les nombres A, B mesurent A, les nombres A, B, Γ mesureront Δ. Je dis aussi que Δ est le plus petit. Car s’il ne l’est pas, les nombres A, B, Γ mesureront quelque nombre plus petit que Δ. Quʼils mesurent E. Puisque les nombres A, B, Γ

A, B mesureront ΔZ ; mais ils mesurent ΓΔ tout entier ; donc ils mesureront le reste ΓZ plus petit que E, ce qui est impossible ; donc E ne peut pas ne point mesurer ΓΔ ; donc il le mesure. Ce qu’il fallait démontrer. mesurent E, les nombres 4A, B mesureront Æ, et le plus petit nombre mesuré par A, B mesurera E (37. 7). Mais le plus petit nombre mesuré par A, B est A ; donc à mesure E, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc les nombres A, B, I ne mesurent pas un nombre plus petit que A ; donc 4 est le plus petit nombre mesuré par les nombres A, B, T.

Que r ne mesure pas A. Prenons le plus petit nombre E mesuré par A (36. 7). Puisque A, B mesurent A, et que A mesure E, les nombres 4, B mesureront E. Mais r mesure E ; donc les nombres A, B, r mesureront E. Je dis que E est le plus petit. Car s’il ne l’est pas, les nombres A, B, T mesureront quelque nombre plus petit que E. Quʼils mesurent z. Puisque les nombres A, B, r mesurent z, les nombres A, B mesureront Z, et le plus petit nombre mesuré par AB mesurera Z. Mais le plus petit mesuré par 4, B est A ; donc A mesure z. Mais r mesure Z ; donc A, r mesurent Z. Donc le plus petit nombre mesuré par 4, 1 mesurera Z (37. 7). Mais le plus petit nombre mesuré par 4, T est E ; donc E mesure Z, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible. Donc les nombres A, B, T ne mesureront pas quelque nombre plus petit que E ; donc E est le plus peut nombre qui soit mesuré par A, B, r. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXXIX.

Si un nombre est mesuré par quelque nombre, le nombre mesuré aura une partie dénommée par le nombre qui le mesure. Que le nombre A soit mesuré par le nombre B ; je dis que A a une partie dénommée par B.

Qu’il y ait dans T autant d’unités que B mesure de fois A. Puisque B mesure A par les unités qui sont en r, et que l’unité A mesure Tr par les unités qui sont en lui, l’unité A mesurera T autant de fois que B mesure A ; donc, par permutation, l’unité A mesurera B autant de fois que r mesure 4 (15. 7) ; donc r est la même partie de A que l’unité À l’est de 8. Mais l’unité A est une partie de B dénommée par lui ; donc r est une partie de A dénommée par B ; donc 4 a une partie T dénommée par 8. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XL.

Si un nombre a une partie quelconque, ce nombre sera mesuré par le nombre dénommé par cette partie.

Que le nombre 4 ait une partie quelconque B, et que le nombre r soit dénommé par B ; je dis que T mesure A.

Puisque B est une partie de A dénommée par r, et que l’unité A est une partie de r dénommée par lui, l’unité A est la même partie du nombre T que B l’est de A ; donc l’unité A mesure le nombre Tr autant de fois que B mesure 4 ; donc par permutation l’unité A mesure le nombre B autant de fois que r mesure 4 (15. 7) ; donc r mesure 4. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XLI.

Trouver un nombre, qui étant le plus petit, ait des parties données.

Soient A, B, I les parties données ; il faut trouver un nombre, qui étant le plus petit, ait les parties données 4, B, T.

Que les nombres A, E, Z soient dénommés par les parties A, B, T ; prenons le plus petit nombre H qui est mesuré par A, E, Z (38. 7) ; le nombre H aura des parties dénommées par 4, E, Z (39. 7). Mais les parties dénommées per A, E, Z sont A, B, r ; donc Ha les parties A, B, 1. Je dis que H est le plus peut. Car si cela n’est pas, soit un nombre © plus petit que H qui ait les parties A, B, T. Puisque @ a les parties A, B, T, le nombre © sera mesuré par les nombres dénommés par les parties A, B, r (40. 7). Mais les nombres dénommés par les parties A, B, Γ sont Δ, E, Z ; donc Θ plus petit que H sera mesuré par Δ, E, Z, ce qui est impossible ; il n’y a donc pas quelque nombre plus petit que H qui ait les parties A, B, Γ. Ce qu’il fallait démontrer.

fin du septième livre.

EUCLIDIS

ELEMENTORUM

LIBER OCTAVUS.

Separateur-10-Vaguelettes1

LE HUITIÈME LIVRE

DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.

PROPOSITION PREMIÈRE.

Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si leurs extrêmes sont premiers entr’eux, ces nombres sont les plus petits de tous ceux qui ont la même raison avec eux.

Soient A, B, Γ, Δ tant de nombres successivement proportionnels qu’on voudra, et que leurs extrêmes A, Δ soient premiers entr’eux ; je dis que les nombres A, B, Γ, Δ sont les plus petits de tous ceux qui ont la même raison avec eux. Car si cela n’est point, que les nombres E, Ζ, H, Θ, plus petits que les nombres A, B, Γ, Δ, soient en même raison que ceux-ci. Puisque les nombres A, B, Γ, Δ sont en même raison que les nombres E, Z, H, Θ, et que la quantité des nombres A, B, Γ, Δ est égale à la quantité des nombres E, Z, H, Θ, par égalité Α est à ñ comme E est à Θ (14. 7). Mais les nombres A, Δ sont premiers entre eux, et les nombres premiers sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux (23. 7). et les nombres qui sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux mesurent également ceux qui ont la même raison, le plus grand le plus grand, le plus petit le plus petit, c’est-à-dire l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21. 7) ; donc 4 mesure E, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc les nombres E, Ζ, H, Θ, plus petits que les nombres A, B, Γ, Δ, ne sont pas en même raison que ceux-ci ; donc les nombres Α, B, Γ, Δ sont les plus petits de tous ceux qui ont la même raison avec eux. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION 2.

Trouver tant de nombres qu’on voudra, qui soient : les plus petits nombres successivement proportionnels dans une raison donnée-.

Que la raison donnée, dans les plus petits nombres, soit celle de Α à B ; il faut trouver tant de nombres qu’on voudra, qui soient les plus petits nombres successivement proportionnels dans la raison de 4 à B.

Qu’on en demande quatre. Que se multipliant lui-même fasse Γ, que Α multipliant B fasse n, que B se multipliant lui-même fasse E, que Α multipliant encore Γ, à, E fasse Z, H, Θ, et que B multipliant E fasse Κ.

Puisque Α se multipliant lui-même a fait Γ, et que Α multipliant B a fait Δ, le nombre À multipliant les deux nombres 4, B a fait Γ, Δ ; donc Α est à B comme z est à Δ (17. 7). De plus, puisque Α multipliant B a fait Δ, et que B se multipliant lui-même a fait E, les nombres 4, B multipliant B ont fait 4, E ; donc Α est à B comme Δ est à E (18. j). Mais Α est à B comme Γ est à Δ ; donc ΓΣ est à Δ comme n est à E. Et puisque Α multipliant Ç, ñ5a fait Z, H, le nombre T est à Δ comme z est à H. Mais Γ est à Δ comme Α est à B ; donc Α est à B comme Ζ est à H. De plus, puisque 4 multipliant Δ, Ea fait H, , le nombre Δ est à E comme H est à. Mais Δ est à E comme Α est à B ; donc Α est à B comme H est à o. Et puisque Α, B multipliant E ont fait, K, le nombre est à Β comme Θ est à K. Mais Α est à B comme Ζ est à H, et comme H est à Θ ; donc Zz est à H comme H est à Θ, et comme Θ est à k ; donc Γ, Δ, Ε et Z, H, Θ, sont proportionnels, dans la raison de à B. Je dis aussi qu’ils sont les plus petits. Car puisque Α, B sont les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux, et que les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux sont premiers entr’eux (23. 7) , les nombres 4, B sont premiers entr’eux. Mais les nombres Α, B, se multipliant eux- mêmes, ont fait Γ, E, et les nombres 4, B multipliant ç, E ont fait z, K ; donc les nombres Γ, E et Z, K sont premiers entr’eux (29. 7). Mais si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si leurs extrêmes sont premiers entr’eux, ces nombres sont lies plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux (1. 8) ; donc les nombres T, ñ, E et les nombres z, H, Θ, K sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec Α, B. Ce qu ? il fallait démontrer.

CORROLAIRE.

De là il est évident que si trois nombres successivement proportionnels sont les plus petits de ceux qui ont la mème raison avec eux, leurs extrêmes sont des quarrés ; que si l’on a quatre nombres, les extrêmes sont des cubes.

PROPOSITION 3.

Si tant de nombres successivement proportionnels que l’on voudra, sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux, leurs extrêmes sont premiers entr’eux.

Que tant de nombres Α, B, Γ, Δ successivement proportionnels qu’on voudra, soient les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux ; je dis que leurs extrêmes Α, à sont premiers entr’eux.

Car prenons les deux plus petits nombres qui ont la même raison que A, B, Γ, Δ (2, 8) ; que ces nombres soient E, Z ; prenons-en trois, et qu’ils soient H, , Κ, et ainsi de suite, toujours un de plus jusqu/à ce quʼon en ait pris une quantité égale à celle des nombres Α, Β, Γ, d. Qu’ils soient pris, et qu’ils soient Λ, M, Ν, Ξ. Puisque les nombres E, Z sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux, ils sont premiers entreux (24- 7). Et puisque les nombres E, Ζ se mul- tipliant eux-mêmes ont fait H, K, et que ces mêmes nombres multipliant H, Kont fait, Ξ, lesnombres H, K, et lesnombres Λ, Ξὶ sont premiers entr’eux (20. 7). Et puisque les nombres Α, B, Γ, Δ sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux, que les nombres 4, M, N, Z sont les plus petits qui ont la même raison que À, B, T, Δ, et que la quantité des nombres Α, B, Γ, à est égale à la quantité des nombres û, M, N, Z ; chacun des nombres Α, B, T, Δ est égal à chacun des nombres 1, M, N, Z ; donc Α est égal à Δ, et Δ à. Mais les nombres Δ, À sont premiers entr’eux ; donc les nombres ñ, sont premiers entr’eux. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION IV.

Tant de raisons qu’on voudra étant données, dans leurs plus petits nombres, trouver les plus petits nombres successivement proportionnels dans les raisons données. Soient données dans leurs plus petits nombres la raison de Α à B, celle de à Δ, et celle de E à z ; il faut trouver les plus petits nombres successivement proportionnels dans da raison de à B, dans celle de Γ à n, et enfin dans celle de E à Z.

Soit pris le plus petit nombre qui est mesuré par B et Γ (36. j) ; que ce soit H. - Que Ûñ mesure Θ autant de fois que B mesure H, et que Δ mesure K autant de fois que Γ mesure H ; ou ΕΒ mesurera K ou il ne le mesurera pas. Premiè- rement que E mesure Κ ; et que Z mesure Λ autant de fois que E mesure K.

Puisque Α mesure autant de fois que B mesure H, ñ est à B comme Θ est à H (13. 7). Par la même raison Γ est à Δ commeH. est à K, et E est à Ζ comme Κ est à n ; les nombres, H, Κ, Λ sont donc successivement dans la raison de Α à B, dans celle de Γ à 3, et encore dans celle de Γ à Z ; et je dis aussi qu ? ils sont les plus petits. Car si, H, K, ü ne sont pas les plus petits nombres successivement proportionnels dans les raisons de Α à B, de Γ à, et de Β à Z, il y aura certains nombres plus petits que Θ, Η, Κ, Λ dans les raisons de Α à B, der à ñ, et de E à Ζ. Que ce soient N, =, M, o. Puisque Α est à B comme N est à Z, que A, B sont les plus petits, et que les plus petits mesurent également ceux qui ont la même raison, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (321. 7), le nombre B mesurera Æ. Par la même raison Γ mesure ; donc B et Γ mesurent # ; ’donc le plus petit nombre mesuré par B, T mesure (37. 7) — Mais le plus petit nombre mesuré par B, Γ le est H ; donc H mesure Z, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible. Il n’y a donc pas certains nombres plus petits que, H, K, ñ, successivement proportionnels dans les raisons de A à B, de r à n, et enfin de E à Z. Mais que E ne mesure pas K. Soit pris le plus petit nombre mesuré par E, K (36. 7) , et que ce soit M. Que les nombres Θ, H mesurent autant de fois N, Z que Κ mesure M, et que Z mesure o autant de fois que E mesure M. Puisque Θ mesure N autant de fois que H mesure =, Θ est à H comme N est à Z (13. 7. )

Mais Θ est à H comme Α οαϑ1 à Β ; donc + est à Β comme N est à z. Par la même raison Γ est à n comme Z est à M. De plus, puisque E mesure M autant de fois que Ζ mesure O, E est à Ζ comme M est à Ο ; donc les nombres N, , M, Ο sont successivement proportionnels dans Jes raisons de 4 à B, der à n, et de E à z. Je dis aussi qu’ils sont les plus petits dans les raisons de n, B, Γ, Δ, Ε, Ζ. Car si cela n’est point, il y aura des nombres plus petits que N, Z, M, Ο qui seront successivement proportionnels dans les raisons de A, B, Γ, Δ, E, Ζ. Que ces nombres soient Π, P, Σ, Τ. Puisque Π est à P comme A est B, que Α, B sont les plus petits, et que les plus petits mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent. (21. 7), le nombre B mesurera P. Par la même raison Γ mesurera P ; donc B, Γ mesurent P ; donc le plus petit nombre mesuré par B, Γ mesurera P (37. 7j) — Mais le plus petit nombre mesuré par B, Γ est H ; donc H mesure P. Mais H est à P comme Κ est à Σ (13. 7) ; donc K mesurez (déf. 20. 7. ; mais B mesure z ; donc E, K mesurent Z ; donc le plus petit nombre mesuré par E, K mesurera Σ. Mais le plus petit nombre mesuré par E, K est M ; donc M mesure z, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc il n’y aura pas certains nombres plus petits que N, , M, O successivement proportionnels dans les raisons de à B, de r à n, et de B à 7; donc N, Ξ, M, O sont les plus petits nombres qui soient successivement proportionnels dans les raisons de A, B, Γ, Δ, E, Z. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION V.

Les nombres plans ont entr’eux une raison composée des côtés.

Soient les nombres plans 4, B ; que T, Δ soient les côtés de Α, et E, Z les côtés de B ; je dis que Α a avec B une raison composée des côtés.

La raison de Γ à E, et celle de à Z étant données, soient pris les nombres H, , K qui soient successivement les plus petits dans les raisons dev, Ε, Δ, Ζ (4. 3), de manière que T soit à Ε comme H est à Θ, et que Δ soit à Z comme est à K Que Δ multipliant E fasse n Puisque Δ multipliant Γ fait Α, et que multipliant E fait Δ, Γ est à E comme A est à Λ (17. 7). Mais Γ est à E comme H et à Θ ; donc Hest à Θ comme x est à Λ. De plus, puisque E multipliant Δ fait, et que E multipliant Z fait B, Δ est à Z comme Λ est à B. Mais Δ est à Z comme o cest à K ; donc Θ est à Κ comme Λ est à B. Mais on a démontré que H est à comme œo est à r ; donc, par égalité, H est à K comme Α est à B (14- 7) ; mais H a avec Κ une raison composée des côtés ; donc Α a avec B une raison composée des côtés. Ce qu’il fallait dé- montrer.

PROPOSITION VI.

Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si le premier ne mesure pas le second, aucun autre n’en mesure un autre.

Soient Α, B, ç, Δ, E tant de nombres successivement proportionnels qu’on voudra, et que Α ne mesure pas B ; je dis qu’aucun autre n’en mesurera un autre. Il est certainement évident que les nombres Α, B, Γ, 4, E ne se mesurent point successivement les uns les autres, puisque Α ne mesure pas B. Je dis de plus qu’aucun autre n’en mesure un autre ; car que Α mesure T, si cela est possible. Autant qu’il j a de nombres Α, B, Γ, autant soient pris de nombres qui soient les plus petits de ceux qui ont la même raison avec Α, B, Γ (35. 7), et que ces nombres soient Z, H,. Puisque les nombres Z, H, Θ sont dans la même raison que a, B, T, et que la quantité des nombres Α, B, Γ est la même que la quantité des nombres z, H, , par égalité Α est à comme Z est à Θ (14. 7). Et puisque Α est à B comme Z est à H, et que Α ne mesure pas B, Z ne mesure pas H (20. déf. 7) ; donc m’est pas l’unité, parce que l’unité mesure tous les nombres (déf. 1. 7) ; donc Ζ, Θ sont premiers entr’eux ; donc Z ne mesure pas Θ (déf. 12. 7.). Mais Z est à Θ comme Θ est à Γ ; donc Α ne mesure pas Γ. Nous démontrerons semblablement qu’aucun autre n’en mesure un autre. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION VII.

Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si le premier mesure le dernier, il mesurera le second.

Soient A, B, Γ, Δ à tant de nombres successivement proportionnels qu’on voudra, et que Α mesure Δ ; je dis que Α mesure B.

Car si Α ne mesure pas B, aucun autre m’en mesurera un autre (6. 8) ; mais Α mesure Δ ; donc Α mesure B. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION VIII.

Si entre deux nombres tombent des nombres successivement proportionnels, il tombera autant de nombres moyens proportionnels entre deux autres nombres qui ont la même raison que les premiers, qu’il en tombe entre les deux premiers. Qu’entre les deux nombres Α, B tombent les nombres moyens proportionnels Γ, n, et soit fait en sorte que Α soit à B comme E est à Ζ ; je dis qu’il tombera entre E, Z autant de. nombres moyens proportionnels qu’il en tombe entre les deux premiers Α, B.

Autant qu’il y a de nombres Α, Γ, Δ, B, autant soient pris de nombres qui soient les plus petits de ceux qui ont la même raison avec 4, T, , B (35. 7) ; et que ces nombres soient H, , K, ; leurs extrêmes H, Λ seront premiers entVeux (3. 8). Et puisque les nombres Α, Γ, Δ, B sont en même raison que H, , K, Δ, et que la quantité des nombres Α, Γ, B, à est égale à la quantité des nombres H, , K, , par égalité Α sera à Bcomme Hest à Λ (14-7). Mais Ûñ est à B comme E est à:Z; donc H est à n comme E est à Ζ. Mais les nombres H, Δ sont premiers ent&eux, et les nombres premiers sont les plus petits (23. 7) , et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, le plus grand le plus grand, le plus petit le plus petit ; c’est-à-dire l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21. 7) ; donc H mesure E autant de fois que mesure Ζ. Que les nombres, K mesurent les nombres M, N autant de fois que H mesure E ; les nombres H, 9, k, ñ mesureront également E, M, Ν, Ζ ; donc les nombres H, Θ, K, sont en même raison que E, M, N, Z (déf. 20. 7). Mais les nombres H, , K, sont en même raison que les nombres A, Γ, Δ, B ; donc les nombres A, Γ, Δ, B sont en même raison que E, M, N, Z. Mais les nombres A, Γ, Δ, B sont successivement proportionnels ; donc les nombres E, M, N, Z sont successivement proportionnels ; donc il tombe entre E, Z autant de nombres successivement proportionnels qu’il en tombe entre A, B. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION IX.

Si deux nombres sont premiers entreux, et s’il tombe entreux des nombres successivement proportionnels, il tombera entre chacun de ces nombres et l’unité autant de nombres successivement proportionnels qu’il en tombe entre les deux premiers nombres.

Soient deux nombres Α, B premiers entreux, et qu’entre ces deux nombres. il tombe les deux nombres successivement proportionnels Γ, à ; et soit E l’unité ; je dis qu’entre chacun des nombres Α, B il tombera autant de nombres successivement proportionnels qu’il en tombe entre Α, B et l’unité. Soient pris les deux plus petits nombres Z, H dans la raison des nombres A, Γ, a, B (2. 8) ; ensuite trois Θ, Κ, Δ, et toujours successivement un de plus jusqu’à ce que leur quantité soit égale à celle des nombres Α, Γ, Δ, B ; que ces nombres soient pris, et qu’ils soient M, N, Z, 0 ; il est évident que Ζ se multipliant lui-même a fait o, que z multipliant a fait M, que H se multipliant lui-même a fait n, et que H multipliant a fait o (2. 8). Puisque les nombres M, N, Z, Ο sont les plus petits de ceux qui ont la même raison quez, H, que les nombres Α, Γ, Δ, B sont aussi les plus petits de ceux qui ont la même raison que Ζ, n, et que la quantité des nombres M, N, Z, o est égale à celle des nombres A, T, à, B, chacun des nombres M, N, , _ est égal à chacun des nombres A, , à, B ; donc Μ est égal à et o à B. Et puisque Z se multipliant lui-même a fait Θ, Z mesure Θ par les unités qui sont en Z. Mais l’unité E mesure Ζ par les unités qui sont en Z ; donc l’unité E mesure Ζ autant de fois que Z mesure ; donc l’unité Ε est au nombre Ζ comme z est à Θ (déf. 20. 7). De plus, puisque Ζ pliant a fait M, le nombre mesure M par les unités qui sont en Z. Mais l’unité E mesure le nombre Z par les unités qui sont en lui ; donc l’unité E mesure Z autant de fois que mesure M ; donc l’unité E est au nombre Ζ comme Θ est à M. Mais on a démontré que l’unité E est au nombre Ζ comme Ζ est à Θ ;

donc l’unité Ε est au nombre Ζ comme Ζ est à Θ, et comme o est à M. Mais M égale ; donc l’unité E est au nombre Ζ comme Z est à Θ, et comme. est à Α. Par la même raison l’unité E est au nombre H comme H est à n, et comme n est à B ; il tombe donc entre chacun des nombres Α, B, et l’unité E, autant de nombres successivement proportionnels qu’il en tombe entre A, B. Çe qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION X.

Si entre deux nombres et l’unité il tombe des nombres successivement proportionnels, il tombe entre les deux premiers nombres autant de nombres successivement proportionnels qu’il en tombe entre chacun des premiers et l’unité.

Qu’entre les nombres A, B, et l’unité Γ, il tombe les nombres successivement proportionnels Δ, E et Z, H ; je dis qu’entre Α, B il tombera autant de nombres successivement proportionnels qu’il en tombe entre chacun des nombres Α, B et l’unité Γ.

Car que Δ multipliant Z fasse Θ, et que chacun des nombres Δ, Ζ multipliant Θ fasse K, Λ. Puisque l’unité Γ est an nombre Δ comme Δ est à E, l’unité Γ mesure le nombre a autant de fois que n mesure E. Mais l’unité Γ mesure le nombre Δ par les unités qui sont en Δ ; donc Δ mesure E par les unités qui sont en Δ ; donc Δ se multipliant lui-même fait Ε. De plus, puisque lʼunité Γ est au nombre Δ comme Ε est à 4, l’unité à r mesure le nombre Δ autant de fois que B mesure À. Mais l’unité à mesure le nombre Δ par les unités qui sont en à ; donc Ε mesure À par les unités qui sont en n ; donc 3 multipliant Ε fait Α. Par la même raison Ζ se multipliant lui-même fait H, et Z multipliant Η fait B. Mais Δ se multipliant lui- même fait E, et multipliant Ζ2 fait Θ ; donc n est à Ζ comme E est à (17. 7). Par la même raison Δ est à Ζ comme Θ est à H ; donc E est à Θ comme Θ est à H. De plus, puisque le nombre Δ multipliant les nombres E, Θ fait les nombres A, K, le nombre E est à comme Α est K (17. 7). Mais E est à Θ comme Δ est à Z ; donc Δ est à Z comme A est à Κ. De plus, puisque les nombres Δ, Ζ multipliant Θ font les nombres K, Λ, le nombre Δ est à Ζ comme K est à Λ (18. 7). Mais Δ est à Z comme A est à K ; donc Α est à Κ comme K est à Λ. De plus, puisque le nombre Z multipliant les nombres H, Θ fait les nombres Δ, B, le nombre Θ eôt à H comme Λ est à B. Mais Θ est à H comme Δ est à Ζ ; donc Δ est à Ζ comme Λ est à B. Mais il a été démontré que Δ est à Z comme Α est à K, comme K est à Λ donc Α est à Κ comme K est à Λ, et comme Λ est à B ; donc les nombres A, K, Λ, B sont successivement proportionnels ; donc entre Α, B il tombe autant de nombres successivement proportionnels qu’il en tombe entre les nombres Α, B et l’unité Γ. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XI.

Entre deux nombres quarrés, il y a un nombre moyen proportionnel, et le quarré est au quarré en raison double de celle que le côté a avec le côté.

Soient les nombres quarrés Α, B ; que le côté de Α soit Γ, et que le côté de B soit Δ ; je dis qu’il y a un nombre moyen proportionnel entre A et B, et que A a avec B une raison double de celle que Γ a avec Δ.

Car que Γ multipliant Δ fasse B Puisque Α est un nombre quarré, et que son côté est Γ, le nombre Γ se multipliant lui-même fait A (déf. 18. 7). Par la même raison le nombre Δ se multipliant lui-même fait B ; donc puisque Γ multipliant l’un et l’autre nombre Γ, Δ fait l’un et l’autre nombre Α, E, le nombre Γ est à Δ comme Α est à E (17. 7). Par la même raison Γ est à à comme E est à B ; donc A est à E comme E est à B ; donc le nombre E est moyen proportionnel entre Α, B.

Je dis aussi que A a avec B une raison double de celle que Γ a avec Δ. Car puisque les trois nombres A, E, B sont proportionnels, le nombre Α a avec B une raison double de celle que A a avec B. Mais Α est à E comme Γ est à Δ ; donc A a avec B une raison double de celle que le côté Γ a avec le côté Δ. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XII.

Entre deux nombres cubes, il y a deux nombres mogens proportionnels, et le cube a avec le cube une raison triple de celle que le côté a avec le côté. Soient les nombres cubes A, B, et que Γ soitle côté de, et Δ le cété de B ; je dis qu’il y a deux nombres moyens proportionnels entre Α, Β, et que A a avec B une raison triple de celle que le côté Γ a avec le côté Δ.

Car que le côté Γ se multipliant lui-même fasse Ε, que Γ multipliant fasse z, que Δ se multipliant lui-même fasse H, et que les nombres Γ, Δ multipliant Ζ fassent les nombres, K.

Puisque Α est un cube, que son côté est Γ, et que Γ se multipliant lui-même a fait Ε, le nombre Γ se multipliant lui-même fera Ε, et Γ multipliant E fera A (déf. 19. 7). Par la même raison, Δ se multipliant lui-même fait H, et Δ multipliant H fait B. Et puisque Γ multipliant les nombres Γ, Δ a fait les nombres E, Z, le nombre Γ est à Δ comme Δ est à Ζ (17. 7). Par la même raison, Γ est à Δ comme Ζ est à H. De plus, puisque Γ multipliant les nombres E, Ζ fait les nombres A, Θ, le nombre E est à Ζ comme est à Θ. Mais E est à Ζ comme Γ est à Δ ; donc Γ est à Δ comme Α est à Θ. De plus, puisque les nombres Γ, Δ multipliant Z ont fait les nombres Θ, k ; le nombre Γ est à Δ comme ws est à K (18. 7). De plus, puisque Δ multipliant les nombres Z, H fait les nombres Κ, B, le nombre Z est à H comme K est à B. Mais Ζ est à H comme T est à n ; donc Γ est à Δ comme K est à B. Mais il a été démontré que Γ est à 1 comme a est à, comme Θ est à K, et comme k est à B ; donc entre A, B il y a deux nombres moyens proportionnels Θ, K.

Je dis aussi que A a avec B une raison triple de celle que Γ a avec Δ. Car puisque les quatre nombres Α, Θ, K, B sont proportionnels, Α aura avec B une raison triple de celle que Α a avec Θ. Mais Α est à Θ comme Γ est à Δ ; donc Α a avec B une raison triple de celle que Γ a avec Δ. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XIII.

Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si chacun de ces nombres se multipliant lui-même fait certains nombres, les nombres produits seront proportionnels ; et si les premiers nombres multipliant les nombres produits font certains nombres, ceux-ci seront encore proportionnels, et cela arrivera toujours aux derniers produits.

Soient A, B, Γ tant de nombres proportionnels qu’on voudra, de manière que A soit à B comme B est Γ ; que les nombres Α, Β, Γ Β6 multipliant’eux-mêmes fassent Δ, E, Z, et que ces mêmes nombres multipliant Δ, E, Z fassent H, Θ, K ; je dis que les nombres Δ, E, Z, ainsi que Η, Θ, K, sont successivement proportionnels.

Car que A multipliant B fasse Λ ; que les nombres A, B multipliant Λ fassent M, N ; et de plus, que B multipliant Γ fasse Ξ, et que les nombres B, Γ multipliant Ξ fassent O, Π.

Nous démontrerons de la même manière gu’auparavant que les nombres Δ, Λ, E et H, M, N, Θ sont successivement proportionnels dans la raison de A à Β, que les nombres E, Ξ, Ζ et Θ, O, Π, K sont aussi successivement proportionnels dans la raison de B à Γ. Mais Α est à B comme B est à Γ ; donc les nombres Δ, Λ, E sont en même raison que les nombres E, Ξ, Ζ, et les nombres H, M, N, Θ en même raison que les nombres Θ, Ο, Π, Κ. Mais la quantité des nombres Δ, Λ, E est égale à la quantité des nombres E, Ξ, Z ; et la quantité des nombres H, M, N, Θ est égale à la quantité des nombres Θ, O, Π, K ; donc par égalité Δ est à Ε comme E est à Z, et H est à Θ comme Θ est à K (14. 7). Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XIV.

Si un nombre quarré mesure un nombre quarré, le côté mesurera le côté ; et si le côté mesure le côté, le quarré mesurera le quarré.

Soient les nombres quarrés A, B ; que Γ, Δ soient leurs côtés ; que Α mesure B ; je dis que Γ mesure Δ.

Car que Γ multipliant Δ fasse E, les nombres A, E, B seront successivement proportionnels dans la raison de Γ ὰ Δ ; et puisque Α, E, B sont successivement proportionnels, et que Α mesure B, Α mesurera E (7. 8). Mais A est à Ε comme Γ est à Δ ; donc Γ mesure Δ (déf. 20. 7).

Mais que Γ mesure Δ ; je dis que Α mesure B.

Les mêmes choses étant construites, nous démontrerons semblablement que A, E, B sont successivement proportionnels dans la raison de Γ à Δ. Et puisque T est à n comme Θ est à E, et que Γ mesure 3, Α i mesurera Ε. Mais Α, E, B sont successivement proportionnels ; donc Α mesure B ; donc, etc.

PROPOSITION XV.

Si un nombre cube mesure un nombre cube, le côté:mesurera le côté ; et si le côté mesure le côté, le cube mesurera le cube.

Car que le nombre cube Α mesure le nombre cube B ; que Γ soit le côté de Α et a le côté de B ; je dis que Γ mesure Δ.

Que Γ se multipliant lui-même fasse E ; que à se multipliant lui-même fasse H; que Γ multipliant fasse Z, et que les nombres&, Δ multipliant Z fassent Θ, Κ. Il est évident que les nombres E, Z, H et A, Θ, K, B seront successivement proportionnels dans la raison de Γ à Δ ; et puisque A, Θ, Κ, Β sont successivement proportionnels, et que Α mesure B, Α mesurera Θ (7. 8). Mais Α est à Θ comme Γ est à Δ ; donc Γ mesure Δ (déf. 20. 7).

Mais que Γ mesure Δ, je dis que Α mesurera B.

Les mêmes choses étant construites, nous démontrerons semblablement que les nombres Α, Θ, K, B sont successivement proportionnels dans la raison de Γ à Δ. Et puisque Γ mesure Δ, et que Γ est à Δ comme À est à, Α mesurera ; donc ñ mesure B. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XVI.

Si un nombre quarré ne mesure pas un nombre quarré, le côté ne mesurera pas le côté ; et si le côté ne mesure pas le côté, le quarré ne mesurera pas le quarré.

Soient les nombres quarrés A, B, que Γ, Δ en soient les côtés, et que Α ne mesure pas B ; je dis que Γ ne mesure pas Δ.

Car si Γ mesure Δ, Α mesurera B (14. 8). Mais Α ne mesure pas B ; donc Γ ne mesurera pas Δ.

De plus, que Γ ne mesure pas Δ ; je dis que Α ne mesurera pas B.

Car si A mesure B, Γ mesurera Δ (14. 8). Mais Γ ne mesure pas Δ ; donc Α ne mesurera pas B. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XVII.

Si un nombre cube ne mesure pas un nombre cube, le côté ne mesurera pas le côté ; et si le côté ne mesure pas le côté, le cube ne mesurera pas le cube.

Que le nombre cube Α ne mesure pas le nombre cube B, et que Γ soit le côté de A, et Δ le côté de B ; je dis que Γ ne mesurera pas Δ.

Car si Γ mesure Δ, Α mesurera B (15. 8.) Mais A ne mesure pas B ; donc Γ ne mesure pas Δ.

Mais que Γ ne mesure pas Δ ; je dis que Α ne mesurera pas B.

Car si A mesure B, Γ mesurera Δ (15. 8). Mais Γ ne mesure pas Δ ; donc Α ne mesurera pas B. Ce qu’il fallait démontrer.