Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 15)

PROPOSITION XVIII.

Entre deux nombres plans semblables, il y a un nombre moyen proportionnel, et le nombre plan a avec le nombre plan une raison double de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue.

Soient les deux nombres plans semblables A, B, que les nombres r, ñ soient Les côtés de Α, et E, z les côtés de B. Puisque les nombres plans semblables ont leurs côtés proportionnels, Γ est à Δ comme E est z (déf. 21. 7) ; et je dis qu’entre x, B il y a un nombre moyen proportionnel, et que Α à avec B une raison double de celle que Γ a avec E, ou de celle que Δ a avec z, c’est-à-dite de celle qu’an côté homologue a avec un côté homologue.

Puisque Γ est à comme E est à Ζ, par permutation Γ est à E comme Δ est à Z (13. 7) Et puisque 4 est un nombre plan, et que Ç, à en sont les c étés, Δ multipliant Γ fera Α. Par la même raison E multipliant Z fera B. Que Δ multipliant E fasse H. Puisque Δ multipliant Γ fait A, et que multipliant E fait H, Γ est à E comme Ô est à H (17. 7). Mais Γ est à Ε comme Δ est à Z ; donc s est à z comme4 est à H. De plus, puisque E multipliant Δ fait H, et que E multipliant Z fait B, Δ est à Ζ comme H est à B. Mais on a démontré que Δ est à Ζ comme m est à H ; donc 4 est à H comme H est à B ; donc A, H, B sont successivement proportionnels ; donc il y a un nombre moyen proportionnel entre A et B.

Je dis que A a avec B une raison double de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue, c’est-à-dire de celle que Γ a avec E ou de celle que Δ avec Z. Car puisque les nombres A, H, B sont successivement proportionnels, A a avec B une raison double de celle que A a avec H. Mais Α est à H comme Γ est à E, et comme Δ est Ζ ; donc A avec B une raison double de celle de Γ avec E, ou de celle que Δ a avec Z. Ce qu’il fallait démontrer.

|- | style="width:50%; vertical-align:top; " | μὲν ὁ Γ πρὸς τὸν Δ σὕτως 6Ζ πρὸς τὸν Η, ῶὥς δὲ ὁ Δ πρὺς τὸν Ε ὀὕτως ὁΗη πρὸς τὸν Θ. Λόγω ὅτι τῶν Α, Β δύο μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοὶ, καὶ ὁ Α πρὸς τὸν Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ΔὁΓ πρὸς τὸν Ζ καὶ ὁ Δ ἡρὸς τὸν Η͂ καὶ ἐτήΊ ΟΕ πσρὸς τὸν Θ.

| style="width:50%; vertical-align:top; " | A ita Z ad H, ut vero A ad E ita H ad e&. Dico inter ipsos A, B duos medios proportionales cadere numeros, et A ad B triplam ratioreem habere ejus quam Γ ad Z et Δ ad H et adhuc E ad e.

|}

PROPOSITION XIX.

Entre deux nombres solides semblables il y a deux nombres moyens proportionnels ; et un nombre solide a avec un nombre solide semblable une raison triple de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue.

Soient Α, B deux nombres solides semblables ; que Γ, Δ, E soient les côtés de A, et Z, H, les côtés de B. Puisque les nombres solides semblables sont ceux qui ont leurs côtés homologues proportionnels (déf. 21. 7), Γ est à Δ comme Z à H, et n est à Ε comme H est à @3 ; je dis qu’entre les nombres ñ, B il y a deux moyens proportionnels, et que Α a avec B une raison triple de celle Ζ108 Γ ἃ avec Ζ, de celle que a avec H, et de celle que Ε a avec.

Car que Γ multipliant 3 fasse K, et que Ζ multipliant Η fasse n. Puisque Γ, Δ sont en même raison que Ζ, Η ; que K est le produit de Γ par Δ, et x le produit de Ζ par H, les nombres K, Λ sont des nombres plans semblables ; il y a donc entre K et ù un nombre moyen proportionnel (18. 8). Qu’il soit M ; le nombre M sera le produit de Δ par Zz, ainsi qu’on l’a démontré dans le théorème précédent. Puisque Δ multipliant Γ fait Κ, et que Δ multipliant Ζ fait M, le nombre Γ est à Z comme Κ est à M (17. 7). Mais K est à M comme M est à 4 ;

Jes nombres K, M, n sont donc successivement proportionnels dans la raison de Γ à Z. Et puisque Γ est à Δ comme Ζ est à H, par permutation Γ est à Z comme î est à H (13. 7). De plus, puisque Δ est à Ε comme H est à, par permutation ñ est à H comme Ε Θδιὰ (13. 7) ; les nombres K, M, Û sont donc successivement proportionnels dans la raison de Γ àz, de n a àH, et de Ε à. Que les nombres E, Θ multipliant M fassent N, Ξ. Puisque Α est un nombre solide, et que ses côtés sont, 4, E, le nombre E multipliant le produit de Γ par Δ fera Α ; mais le pro- duit de Γ par Δ est x ; donc E multipliant « fait Α. Par la même raison, y multi- pliant x fait B. Et puisque E multipliant κ fait 4, et que E multipliant M fait N, Κ est à M comme Α est à N (17. 7). Mais k est à M comme T est à Ζ, comme Δ est à H, et comme Ε est à Θ ; donc Γ ; est à Z, et n à H, et E à Θ, comme A est à N. De plus, puisque les nombres Β, multipliant M font N, Ξ, le nombre E est à o comme N est à. Mais E est à Θ comme T est à Z, et comme Δ est à H ; donc ; est à Z, ñ » à H, et Ε à a, comme Α est à N, et comme N est à Ξ. De plus, puisque multipliant M fait =, et que multipliant x fait B, M est à Λ comme z est à B. Mais M est à i comme T est à Z, comme à@est à H, et comme E est à Θ ; donc Test à z, ùî à H, et E àΘ, non seulement comme Æ est à B, mais encore comme Α est à N, et comme N est à = ; les nombres Α, N, zZ, B sont donc successivement proportionnels dans lesdites raisons des côtés.

Je dis aussi que Α a avec B une raison triple de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue, c’est-à-dire de celle que le nombre Γ a avec Ζ, ou de celle que Δ a avec H, et encore de celle que Ea avec. Car puisque les quatre nombres A, N, Ξ, B sont successivement proportionnels, le nombre ñ a avec B une raison triple de celle que 4 a avec N. Mais on a démontré que A est à N comme T est à Z, comme s est à H, et comme E est à Θ ; donc Α a avec B une raison triple de celle qu’un côté homologue a avec un côté homologue, c’est-à-dire de celle que le nombre Γ a avec Z, de celle que Δ a avec H, et de celle que Ε a avec. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XX.

Si entre deux nombres il tombe un nombre moyen proportionnel, ces nombres seront des plans semblables.

Car qu’entre les deux nombres A, B il tombe un moyen proportionnel Γ ; je dis que les nombres Α, B sont des plans semblables.

Car prenons les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec A, Γ (35. 7), et qu’ils soient Δ, E. Le nombre Δ sera à Ε comme est à Γ. Mais Α est à comme Γ est à B ; donc Δ mesure Α autant de fois que E mesure Γ. Qu’il y ait autant d’unités dans Z que Δ mesure de fois Α. Le nombre Ζ multipliant Δ fera Α, et z multipliant E fera Γ ; donc A est un nombre plan, dont les côtés sont, Z. De plus, puisque les nombres Δ, E sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec ῖγ, B, le nombre Δ mesurera Γ autant de fois que E mesure B. Qu’il y ait autant d’unités dans H que Ε mesure de fois Β ; le nombre E mesurera B par les unités qui sont dans H, et le nombre H multipliant E fera B ; donc B est un nombre plan, dont les côtés sont E, H ; donc Α, B sont des nombres plans. Je dis aussi que ces nombres sont semblables. Car, puisque Z multipliant Δ fait x, et que Ζ multipliant E fait Γ, Δ mesure Α autant de fois que Ε mesure Γ ; donc Δ est à E comme A est à Γ, c’est-à-dire comme Γ est à B. De plus, puisque E multipliant Ζ, H fait Γ, B, le nombre Ζ est à H comme T est à B (18. 7j). Mais Γ est à B comme Δ est à E ; donc Δ est à E comme Z est à H. Et par permutation Δ est à Z comme E est à H (13. 7). Donc A, B sont des nombres plans semblables (déf. 21. 7), puisque leurs côtés sont proportionnels. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXI.

Si entre deux nombres il tombe deux nombres moyens proportionnels, ces nombres seront des solides semblables.

Qu’entre les nombres Α, B il tombe deux nombres moyens proportionnels Γ, Δ ; je dis que les nombres Α, B sont des solides semblables.

Prenons les trois plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec A, Γ, Δ (35. 7) ; qu’ils soient E, Z, H ; leurs extrêmes E, H seront premiers entreux (3. 8). Et puisque entre E, H il tombe un moyen proportionnel z, les nombres E, H seront des nombres plans semblables (20. 8). Que Θ, K soient les côtés de E, et Λ, M les côtés de H ; il est évident, d’après ce qui précède, que les nombres E, Z, H sont successivement proportionnels dans là raison de Θ ὰ Λ et de K à M. Et puisque les nombres E, Z, H sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec A, Γ, à, et que la quantité des nombres E, Z, H est égale à la quantité des nombres Α, Γ, Δ, par égalité B est à H comme Α est à Δ (14. 7). Mais les nombres E, H sont premiers entr’eux, et les nombres premiers sont les plus petits (23. 7), et les plus petits mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (ai. 7) ; le nombre Ε mesure donc le nombre Α autant de fois que H mesure Δ. Qu’il y ait autant d’unités dans N que B mesure de fois Α ; le nombre N multipliant E fera Α. Mais E est le produit de par Κ ; donc le nombre N multi- pliant le produit de Θ par K fait Α ; donc Α est un nombre solide, dont les côtés sont, Κ, N. De plus, puisque les nombres E, Z, H sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec Γ, ñ, B, le nombre E mesure T autant de fois que H mesure B. Qu’il y ait autant d’unités dans Z que E mesure de fois T ;

le nombre H mesurera B par les unités qui sont dans Ξ ; donc z multipliant H fera Β. Mais H est le produit de n par M ; donc multipliant le produit de par M fera B ; donc B est un nombre solide, dont les côtés sont ñ, M, Z ; donc Α, Β sont des nombres solides. Je dis aussi que ces nombres sont semblables. Car puisque les nombres N, multipliant E font Α, Γ, le nombre N sera à comme A est à T, c’est-à-dire comme E est à Z (17. 7) . Mais E est à Z comme ga est à Λ, et comme K est à M ; donc Θ est à n comme K est à M, et comme N est à Ξ. Mais Θ, K, N sont les côtés de A, et Ξ, Λ, M les côtés de B ; donc les nombres A, B sont des solides semblables. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXII.

Si trois nombres sont successivement proportionnels, et si le premier est un quarré, le troisième sera un quarré.

Soient X, B, Γ trois nombres successivement proportionnels, et que le premier À soit un quarré ; je dis que le troisième Γ est un quarré.

Puisque entre les nombres Α, Γ il y a un moyen proportionnel B, les nombres Α, Γ sont des plans semblables (20. 3). Mais Α est un quarré ; donc Γ est un quarré. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXIII.

Si quatre nombres sont successivement proportionnels, et si le premier est un cube, le quatrième sera un cube.

Soient A, Β, Γ, Δ quatre nombres successivement proportionnels, et que Α soit un cube ; je dis que Δ est un cube.

Car puisque entre Α, ñ il y a deux nombres mogyens proportionnels B, ©, les nombres Α, a sont des solides semblables (21. 8). Mais A est un nombre cube ; donc Δ est un cube. Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XXIV.

Si deux nombres ont entr’eux la même raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et si le premier est un quarré, le second sera un quarré.

Car que les deux nombres ñ, B ayent entr’eux la même raison que le nombre quarré Γ a avec le nombre quarré Δ, et que Α soit un quarré ; je dis que B est un quarré.

Car puisque Γ, Δ sont des quarrés, les nombres Γ, Δ sont des plans semblables ; il tombe donc entre Γ, Δ un nombre moyen proportionnel (13. 8). Mais Γ est à Δ comme est à B ; il tombe donc aussi un nombre moyen proportionnel entre A et B (8. 8). Mais A est un quarré ; donc B est un quarré (22. 8). Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXV.

Si deux nombres ont entr’eux la même raison qu’un nombre cube a avec un nombre cube, et si le premier est un cube, le second sera aussi un cube.

Car que les nombres Α, B ayent entreux la même raison que le nombre cube Γ a avec le nombre cubes, et que Α soit un cube ; je dis que B est aussi un cube.

Car puisque Γ, à sont des cubes, les nombres T, à sont des solides semblables ; il tombe donc entre Γ et Δ deux nombres moyens proportionnels (19. 8). Mais autant il tombe entre Γ et Δ de nombres successivement proportionnels, autant il en tombera entre ceux qui ont la même raison avec eux (8. 3) ; il tombera donc entre À et B deux nombres moyens proportionnels. Que ces nombres soient E, Ζ. Puisque les quatre nombres A, E, Z, B sont successivement proportionnels, et que A est un cube, le nombre B sera aussi un cube (23. 8). Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXVI.

Les nombres qui sont des plans semblables ont entr’eux la même raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré.

Soient Α, Β des nombres plans semblables ; je dis que 4 a avec B la même raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ;

Car puisque les nombres Α, B sont des plans, il tombe un nombre moyen proportionnel entre Α et B (18. 8). Qu’il en tombe un, et qu’il soit Γ. Prenons les plus petits nombres qui ont la même raison avec Α, Γ, B (35. 7), et qu’ils soient Δ, E, Z ; leurs extrêmes Δ, Ζ seront des quarrés (cor. 2. 8). Et puisque Δ est à Z comme A est à B, et que Δ, Z sont des quarrés, le nombre Α aura avec le nombre B la même raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXVII.

Les nombres solides semblables ont entr’eux la même raison qu’un nombre cube a avec un nombre cube.

Soient A, B des nombres solides semblables ; je dis que Α a avec B la même raison qu’un nombre cube a avec un nombre cube.

Car puisque les nombres Α, Β sont des solides semblables, il tombe deux moyens proportionnels entre A, B (19. 8). Qu’ils soient Γ, Δ. Prenons en même quantité les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec A, Γ, Δ, B (2. 8) ; qu’ils soient E, Z, H, Θ ; leurs extrêmes E, Θ seront des cubes (cor. 2 8) Mais E est à Θ comme Α est à B ; donc Α a avec B la même raison qu’un nombre cube a avec un nombre cube. Ce qu’il fallait démontrer.

fin du huitième livre

EUCLIDIS

ELEMENTORUM

LIBER NONUS.

Separateur-10-Vaguelettes1

LE NEUVIÈME LIVRE

DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.

PROPOSITION I.

Si deux nombres plans semblables se multipliant l’un l’autre produisent un nombre, le produit sera un quarré.

Soient Α, B deux nombres plans semblables, et que A multipliant B fasse Γ ; je dis que Γ est un quarré.

Car que Α se multipliant lui-même fasse Δ ; le nombre δΔ sera un quarré. Puisque A se multipliant lui-même fait Δ, et que 4 multipliant B fait à, le nombre Α est à B comme Δ est-à Γ (17. 7). Et puisque les nombres Α, B sont des plans semblables, , il tombe un nombre moyen proportionnel entre & et Β, (18. 8-. Mais si entre deux nombres il tombe des nombres successivement proportionnels, autant il en tombe entre ces deux nombres, autant il en tombera entre ceux qui ont la même raison (8. 8) ; il tombe donc entre Δ et Γ un nombre moyen proportionnel. Mais ñ est un quarré ; donc Γ est un quarré. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION II.

Si deux nombres se multipliant l’un l’autre font un quarré, ces nombres seront des plans semblables. Soient les deux nombres Α, B, et que multipliant B fasse le quarré Γ ; je dis que les nombres Α, B sont des plans semblables.

Car que Α se multipliant lui-même fasse Δ ; le nombre Δ sera un quarré. Et puisque Α se multipliant lui-même fait Δ, et que A multipliant B fait Γ, le nombre Α est à B comme Δ est à Γ (17. 7). Et puisque Δ est un quarré ainsi que Γ, les nombres Δ, Γ sont des plans semblables ; il tombe donc un nombre moyen proportionnel entre Δ et Γ (8. 8) Mais Δ est à Γ comme Α est à B ; il tombe donc un nombre moyen proportionnel entre Α et B (18. 8) . Mais si un nombre moyen proportionnel tombe entre deux nombres, ces nombres sont des plans semblables (20. 8) ; donc les nombres Α, B sont plans et semblables. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION III.

Si un nombre cube se multipliant lui-même fait un nombre, le produit sera un cube.

Car que le nombre cube Α se multipliant lui-même fasse B ; je dis que B est un cube.

Car prenons le côté à de Α, et que Γ se multipliant lui-même fasse Δ ; il est évident que Γ multipliant Δ fera Α (déf. 19. 7). Et puisque Γ se multipliant lui-même a fait Δ, le nombre Γ mesurera Δ par les unités qui sont en lui. Mais’unité mesure Γ par les unités qui sont en lui ; l’unité est donc à comme Γ est à n (déf. 20. 7.) De plus, puisque Γ multipliant Δ a fait Α, le nombre Δ mesure 4 par les unités qui sont en Γ. Mais l’unité mesure Γ par les unités qui sont en lui ; l’unité est donc à Γ comme Δ est à A. Mais l’unité est à comme Γ est à a ; donc l’unité est à — comme T est à n, et comme Δ est à Α ; il tombe donc entre l’unité et le nombre Α deux nombres moyens Γ, Δ successivement proportionnels. De plus, puisque Α se multipliant lui-même fait B, le nombre mesure B par les unités qui sont en lui. Mais l’unité mesure Û par les unités qui sont en lui ; l’unité est donc à à comme ä est à B (déf. 20. 7) — Mais entre l’unité et le nombre Α il tombe deux nombres moyens proportionnels ; il tombe donc entre Α et B deux nombres moyens proportionnels (δ. 8). Mais si entre deux nombres il tombe deux moyens proportionnels, et si le premier est un cube, le second sera un cube (23. 8). Mais Α est un cube ; donc B est un cube. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION IV.

Si un nombre cube multipliant un nombre cube fait un nombre, le produit sera un cube.

Car que le nombre cube A multipliant le nombre cube B fasse Γ ; je dis que Γ est un cube.

Car que A se multipliant lui-même fasse Δ, le nombre Δ sera un cube (3. 9). Et puisque A se multipliant lui-même a fait Δ, et que A multipliant B fait Γ, le nombre A est à B comme Δ est à Γ (17. 7). Et puisque les nombres A, B sont des cubes, les nombres A, B sont des solides semblables. Il tombe donc entre A et B deux nombres moyens proportionnels (19. 8) ; il tombera donc aussi entre Δ et Γ deux nombres moyens proportionnels (8. 8). Mais Δ est un cube ; donc Γ est un cube (23. 8). Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION V.

Si un nombre cube multipliant un nombre fait un cube, le nombre multiplié sera un cube.

Car que le nombre cube A multipliant un nombre B fasse le cube Γ ; je dis que B est un cube.

Que A se multipliant lui-même fasse Δ ; le nombre Δ sera un cube (3. 9). Et puisque A se multipliant lui-même fait Δ, et que A multipliant B fait Γ, le nombre A est à B comme Δ est à Γ (17. 7) Et puisque Δ et Γ sont des cubes, ces nombres sont des solides semblables ; il tombe donc entre Δ et deux nombres moyens proportionnels (19. 8). Mais Δ est à Γ comme A est à Β ; il tombe donc entre A et B deux nombres moyens proportionnels (8. 8). Mais A est un cube ; donc B est un cube (23. 8). Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION VI.

Si un nombre se multipliant lui-même fait un cube, ce nombre sera un cube.

Que le nombre A se multipliant lui-même fasse le cube B ; je dis que A est un cube.

Car que A multipliant B fasse Γ Puisque Α se multipliant lui-même fait B, et que A multipliant B a fait Γ, le nombre Γ est un cube (déf. 19. 7). Et puisque A se multipliant lui-même fait B, le nombre A mesure B par les unités qui sont en lui ; mais l’unité mesure A par les unités qui sont en lui ; l’unité est donc à Α comme Α est à B (déf. 20. 7). Εt puisque A multipliant B fait Γ, le nombre B mesure Γ par les unités qui sont en A. Mais l’unité mesure A par les unités qui sont en lui ; l’unité est donc à Α comme B est à Γ. Mais l’unité est à A comme A est à B ; donc A est à B comme B est à Γ. Et puisque B et Γ sont des cubes, ces nombres sont des solides semblables ; il y a donc entre B et Γ deux nombres moyens proportionnels (19. 8). Mais B est à Γ comme A à B ; il y a donc entre A et B deux nombres moyens proportionnels (8. 8). Mais B est un cube ; donc A est un cube (23. 8). Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION VII.

Si un nombre composé multipliant un nombre en fait un autre, le produit sera un solide.

Car que le nombre composé A multipliant Le nombre B fasse Γ ; je dis que Γ est un solide. (déf. 13. 7) Qu’il soit mesuré par Δ ; et qu’il y ait en E autant d’unités que Δ mesure de fois A. Puisque Δ mesure A par les unités qui sont en E, le nombre E multipliant Δ fera A. Et puisque A multipliant B fait Γ, et que A est le produit de Δ par E, le produit de Δ par E multipliant B fait Γ (10. 7) ; le nombre Γ est donc un nombre solide (déf. 17. 7), dont les côtés sont Δ, E, B. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION VIII.

Si, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, le troisième, à partir de l’unité, sera un quarré, et tous ceux qui en laissent un ; le quatrième un cube, et tous ceux qui en laissent deux ; le septième un cube et un quarré tout à la fois, et tous ceux qui en laissent cinq. Soient, à partir de l’unité, tant de nombres que l’on voudra A, Β, Γ, Δ, E, Z successivement proportionnels ; je dis que le troisième nombre B, à partir de l’unité, est un quarré, ainsi que tous ceux qui en laissent un ; que le quatrième Γ est un cube, ainsi que tous ceux qui en laissent deux ; que le septième Ζ est un cube et un quarré tout à la fois, ainsi que tous ceux qui en laissent cinq.

Car puisque l’unité est à A comme A est à B, l’unité mesure A autant de fois que A mesure B (déf. 20. 7). Mais l’unité mesure le nombre A par les unités qui sont en lui ; donc A mesure B par les unités qui sont en A ; le nombre A se multipliant lui-même fera donc le nombre B ; le nombre B est donc un quarré. Εt puisque B, Γ, Δ sont successivement proportionnels, et que B est un quarré, Δ sera aussi un quarré (22. 8). Par la même raison Z est un quarré. Nous démontrerons de la même manière que tous ceux qui en laissent un sont des quarrés. Je dis aussi que le quatrième, Γ, à partir de l’unité, est un cube, et tous ceux qui en laissent deux. Car puisque l’unité est à A comme B est à Γ, l’unité mesure A autant de fois que B mesure Γ. Mais l’unité mesure le nombre A par les unités qui sont en A ; donc B mesure Γ par les unités qui sont en A ; donc A multipliant B fera Γ Et puisque A se multipliant lui-même fait B, et que A multipliant B fait Γ, Γ est un cube (déf. 19. 7). Et puisque, Δ, E, Z sont successivement proportionnels, et que T est un cube, Z est aussi un cube (25. 3). Mais on a démontré qu’il est un quarré ; donc le septième Ζ, à partir de l’unité, est un cube et un quarré tout à la fois. Nous démontrerons semblablement que tous ceux qui en laissent cinq sont des cubes et des quarrés tout à la fois. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION IX.

Si, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si celui qui est après l’unité est un quarré, tous les autres seront des quarrés ; si celui qui est après l’unité est un cube, tous les autres seront des cubes.

Soient, à partir de l’unité, tant de nombres que l’on voudra A, B, Γ, Δ, Ε, Ζ successivement proportionnels, et que celui qui est après l’unité soit un quarré ; je dis que tous les autres seront des quarrés.

On a déjà démontré que le troisième B, à partir de l’unité, est un quarré, ainsi que tous ceux qui en laissent un (8. 9) ; je dis aussi que tous les autres sont des quarrés. Car puisque A, B, Γ sont successivement proportionnels, et que A est un quarré, Γ est un quarré (22. 8). De plus, puisque les nombres B, Γ, Δ sont successivement proportionnels, et que B est un quarré, Δ est aussi un quarré. Nous démontrerons semblablement que tous les autres sont des quarrés. Mais que A soit un cube ; je dis que tous les autres sont des cubes.

On a déjà démontré que le quatrième, à partir de l’unité, est un cube, ainsi que tous ceux qui en laissent deux (8. 9) ; je dis aussi que tous les autres sont aussi des cubes. Car puisque l’unité est à A comme A est à B, l’unité mesure A autant de fois que A mesure B (déf. 21. 7). Mais l’unité mesure A par les unités qui sont en lui ; s donc A mesure B par les unités qui sont en lui ; donc A se multipliant lui-même fait B ; mais A est un cube ; et si un nombre cube se multipliant lui-même fait un nombre, le produit est un cube (3. 9) ; donc B est un cube. Et puisque les quatre nombres A, B, Γ, Δ sont successivement proportionnels, et que A est un cube, Δ est un cube (23. 8). Par la même raison E est aussi un cube, ainsi que tous les autres. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION X.

Si, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si celui qui est après l’unité n’est point un quarré, aucun autre ne sera un quarré, excepté le troisième, à partir de l’unité, et tous ceux qui en laissent un. Et si celui qui est après l’unité n’est pas un cube, aucun autre ne sera un cube, excepté le quatrième, à partir de l’unité, et tous ceux qui en laissent deux.

Car soient, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra A, B, T, Δ, Ε, Ζ successivement proportionnels, et que celui qui est après l’unité ne soit pas un quarré, savoir A ; je dis qu’aucun autre né sera un quarré, excepté le troisième, à partir de l’unité, et ceux qui en laissent un.

Car si cela est possible, que Γ soit un quarré. Mais B est aussi un quarré (8. 9) ; donc B et Γ ont entr’eux la même raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; et B est à Γ comme A est à B ; donc A, B ont entr’eux la même raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; donc A, B sont des plans semblables (déf. 22. 7). Mais B est un quarré ; donc A est un quarré, ce qui n’est point supposé ; donc Γ n’est point un quarré. Nous démontrerons semblablement qu’aucun autre n’est un quarré, si ce n’est le troisième, à partir de l’unité, et ceux qui en laissent un.

Mais que A ne soit pas un cube ; je dis quʼaucun autre n’est un cube, si ce n’est le quatrième, à partir de l’unité, et ceux qui en laissent deux.

Car si cela est possible, que Δ soit un cube. Mais Γ est un cube ; car c’est le quatrième nombre, à partir de l’unité (8. 9), et Γ est ; Δ comme B est à Γ ; donc B a avec Γ la même raison qu’un cube a avec un cube. Mais Γ est un cube ; donc B est un cube. Et puisque l’unité est à Α comme A est à B, et que l’unité mesure A par les unités qui sont en lui ; donc A mesure B par les unités qui sont en lui (déf. 21. 7) ; donc A se multipliant lui-même fera le cube B. Mais si un nombre se multipliant lui-même fait un cube, ce nombre est un cube (6. 9) ; A est donc un cube, ce qui n’est point supposé ; donc Δ n’est pas un cube. Nous démontrerons semblablement qu’aucun autre n’est un cube, si ce n’est le quatrième, à partir de l’unité, et ceux qui en laissent deux. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XI.

Si, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, le plus petit mesure le plus grand par quelqu’un de ceux qui sont dans les nombres proportionnels.

Soient, à partir de l’unité A, tant de nombres qu’on voudra B, Γ, Δ, Ε successivement proportionnels ; je dis que B, le plus petit des nombres B, Γ, Δ, Ε, mesure E par un des nombres Γ, Δ. Car puisque l’unité A est à B comme Δ est à E, l’unité A mesure B autant de fois que Δ mesure E (déf. 20. 7) ; donc par permutation l’unité A mesure Δ autant de fois que B mesure E (15. 7. ) Mais l’unité A mesure Δ par les unités qui sont en lui ; donc B mesure E par les unités qui sont en Δ ; le plus petit B mesure donc E, qui est le plus grand, par un des nombres qui sont dans les nombres proportionnels. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XII.

Si, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, tous les nombres premiers qui mesurent le dernier mesurent aussi celui qui est le plus près de l’unité.

Soient, à partir de l’unité, tant de nombres-qu’on voudra A, B, Γ, Δ successivement proportionnels ; je dis que tous les nombres premiers qui mesurent Δ mesureront aussi A.

Que Δ soit mesuré par un nombre premier E ; je dis que Α est aussi mesuré par E. Que A ne soit pas mesuré par E. Puisque E est un nombre premier, et que tout nombre premier est premier avec tout nombre qu’il ne mesure pas (31. 7) ; les nombres E, A sont premiers entr’eux. Et puisque E mesure Δ, qu’il le mesure par Z ; le nombre E multipliant Z fera Δ De plus, puisque A mesure Δ par les unités qui sont en T (11. 9), le nombre A multipliant Γ fera Δ. Mais E multipliant Z fait Δ ; donc le produit de Α par Γ égale le produit de E par Z ; donc Α est à E comme Ζ est à Γ (19. 7). Mais les nombres A, E sont premiers entr’eux, et les nombres premiers sont les plus petits (23. 7), et les plus petits mesurent également ceux qui ont la même raison, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent 31. 7) ; donc E mesure Γ. Qu’il le mesure par H ; le nombre E multipliant H fera Γ. Mais par ce qui précède a multipliant B fait Γ ; donc le produit de Α par B égale le produit de E par H ; donc A est à B comme H est à B. Mais les nombres A, E sont premiers entrʼeux, et les nombres premiers sont les plus petits, et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21. 7). Donc E mesure B. Qu’il le mesure par Θ ; le nombre E multipliant Θ fera B. Mais A se multipliant lui-même fait B ; donc le produit de e par Ε égale le quarré de A ; donc E est à A comme A est à Θ. Mais A et E sont premiers entr’eux, et les nombres premiers sont les plus petits, et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21. 7). Donc E mesure A. Mais il ne le mesure pas, ce qui est impossible ; donc les nombres A, E ne sont pas premiers entr’eux ; donc ils sont composés. Mais les nombres composés sont mesurés par quelque nombre premier (déf. 15. 7) ; donc les nombres Α, B sont mesurés par quelque nombre premier. Et puisque E est supposé être un nombre premier, et qu’un nombre premier mʼest mesuré par aucun autre nombre que par lui-même (déf. 12. 7), le nombre E mesurera les nombres A, E ; donc E mesure A. Mais il mesure Δ ; donc E mesure les nombres A, Δ. Nous démontrerons semblablement que tous les nombres premiers qui mesurent Δ mesureront aussi le nombre A. Ce quʼil fallait démontrer.