Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 16)
PROPOSITION XIII.
Si, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si celui qui est après l’unité est un nombre premier, aucun autre nombre ne mesurera le plus grand, excepté ceux qui sont dans les nombres proportionnels.
Soient, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra A, B, Γ, Δ successivement proportionnels, et que le nombre A, qui est après l’unité, soit un nombre premier ; je dis que le plus grand Δ ne sera mesuré par aucun autre nombre, si ce n’est par les nombres Α, Β, Γ. Car si cela est possible, que E mesure Δ, et que E ne soit aucun des nombres A, B, Γ ; il est évident que E n’est pas un nombre premier. Car si E est un nombre premier, et sʼil mesure Δ, il mesurera A, qui est un nombre premier, E n’étant pas le même que A (12. 9), ce qui est impossible ; donc E n’est pas un nombre premier ; il est donc composé. Mais tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier (33. 7) ; donc Ε est mesuré par quelque nombre premier. Je dis qu’aucun autre nombre premier ne le mesurera, si ce n’est A. Car si E, qui mesure Δ, est mesuré par un autre nombre, cet autre nombre mesurera Δ ; il mesurera donc A, qui est un nombre premier, cet autre n’étant pas le même que A (12. g) ; ce qui est impossible. Donc A mesure B. Et puisque E mesure Δ, quʼil le mesure par Z ; je dis que Z n’est aucun des nombres A, B, Γ. Car si Z est le même qu’un des nombres A, Β, Γ, et sʼil mesure Δ par E, un des nombres A, B, Γ mesurera Δ par B. Mais un des nombres A, B, Γ mesure Δ par quelqu’un des nombres A, B, Γ (11. 9) ; donc E sera le même que quelqu’un des nombres A, B, Γ, ce qui n’est point supposé ; donc Z n’est aucun des nombres Α, B, Γ. Nous démontrerons semblablement que Z est mesuré par A, en faisant voir encore que Z n’est pas un nombre premier. Car s’il l’est, et s’il mesure Δ, il mesurera A, qui est un nombre premier, Z n’étant pas le même que A (12. 9) ; ce qui est impossible ; Z n’est donc pas un nombre premier ; il est donc composé ; mais tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier ; donc Ζ est mesuré par quelque nombre premier (33. 7). Je dis qu’il ne sera mesuré par aucun autre nombre, si ce n’est par A. Car si Z, qui mesure Δ, est mesuré par tout autre nombre premier, cet autre nombre mesurera Δ, et par conséquent A, qui est un nombre premier, Z n’étant pas la même que A (12. 9) ; ce qui est impossible ; donc A mesure Z. Et puisque E mesure Δ par Z, le nombre E multipliant z fera Δ. Mais A multipliant Γ fait Δ ; donc le produit de A par Γ égale le produit de E par Z ; donc A est à E comme Z est à Γ (19. 7). Mais A mesure E ; donc Z mesure Γ (déf. 21. 7) ; qu’il le mesure par H. Nous démontrerons semblablement que H n’est aucun des nombres A, B, et que A mesure H. Et puisque Z mesure Γ par H, le nombre Z multipliant Η fera Γ. Mais A multipliant B fait Γ ; donc le produit de Α par B égale le produit de Z par H ; donc A est à Ζ comme Η est à B. Mais A mesure Z ; donc H mesure B. Quʼil le mesure par Θ. Nous démontrerons semblablement que Θ n’est pas le même que A. Et puisque H mesure B par Θ, le nombre H multipliant Θ fait B. Mais A se multipliant lui-même fait B ; donc le produit de Θ par H égale le quarré de A ; donc Θ est à Α comme A est à H (20. 7). Mais A mesure H ; donc Θ mesure A, qui est un nombre premier, Θ n’étant pas le même que A, ce qui est absurde ; donc le plus grand nombre Δ n’est mesuré par aucun autre nombre, si ce n’est par A, B, Γ. Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION XIV.
Si le plus petit nombre est mesuré par des nombres premiers, il ne sera mesuré par aucun autre nombre premier, si ce n’est par ceux qui le mesuraient d’abord. Car soit A le plus petit nombre mesuré par les nombres premiers B, Γ, Δ ; je dis que A ne sera mesuré par aucun autre nombre premier, si ce n’est par B, Γ, Δ. Car si cela est possible, quʼil soit mesuré par le nombre premier E, et que E ne soit aucun des nombres B, Γ, Δ. Puisque E mesure A, qu’il le mesure par Z ; le nombre E multipliant Z fera A. Mais A est mesuré par les nombres premiers B, Γ, Δ, et lorsque deux nombres se multipliant l’un l’autre font un nombre, et qu’un nombre premier mesure le produit, ce nombre mesurera un des nombres qu’on avait d’abord supposés (32. 7) ; les nombres B, Γ, Δ mesurent donc un des nombres E, Z. Mais ils ne mesureront pas E, car E est un nombre premier, et il n’est aucun des nombres Β, Γ, Δ ; ils mesurent donc Z, qui est plus petit que A ; ce qui est impossible, car A est supposé le plus petit nombre mesuré par B, Γ, Δ ; donc aucun nombre premier, si ce n’est B, Γ, Δ, ne mesurera A. Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION XV.
Si trois nombres successivement proportionnels sont les plus petits de tous ceux qui ont la même raison avec eux, la somme de deux quelconques de ces nombres sera un nombre premier avec le nombre restant.
Que les trois nombres A, Β, Γ successivement proportionnels soient les plus petits de tous ceux qui ont la même raison avec eux ; je dis que la somme de deux des trois nombres A, B, Γ est un nombre premier avec le nombre restant, savoir la somme de A et de B avec Γ, la somme de B et de Γ avec A, et la somme de Γ et de A avec B.
Car prenons les deux plus petits nombres SE, EZ qui ont la même raison avec A, B, Γ. Il est évident que ΔΕ se multipliant lui-même fera A, que ΔΕ multipliant EZ fera B, et que ΕΖ se multipliant lui-même fera Γ (2. 8). Et puisque les nombres ΔΕ, EZ sont les plus petits, ces nombres sont premizers entr’eux (24. 7) . Mais si deux nombres sont premiers entr’eux Ê leur somme est un nombre premier avec chacun d’eux (30. 7) ; donc ΔΖ est un nombre premier avec chacun des nombres ΔΕ, EZ. Mais ΔE est premier avec EZ ; donc 3z et ΔΕ sont premiers avec EZ. Mais si deux nombres sont premiers avec un autre, le produit de ces deux nombres est premier avec cet autre (26. 7) ; donc le produit de ZΔ par ΔΕ est premier avec Ez ; donc le produit de ΖΔ par ΔΕ est premier avec le quarré de EZ. Car si deux nombres sont premiers entreux, le quarré de l’un d’eux est premier avec l’autre (27. 7). Mais le produit de ZA par ΔΕ égale le quarré de ΔΕ avec le produit de ÛB par EZ (3. 2) ; donc le quarré de ΔΕ avec le produit de ΔΒ par EZ est un nombre premier avec le quarré de EZ. Mais le quarré de ΔΕ est A, le produit de ΔΕ par EZ est B, et le quarré de EZ est Γ ; donc la somme de Α et de f est un nombre premier avec Γ Nous démontrerons de la même manière que la somme des nombres B, Γ est unnombre premier avec. A Je dis aussi que la somme des nombres A, Γ est un nombre premier avec B. Car puisque ΔZ est un nombre premier avec chacun des nombres ΔΕ, EZ (30. 7), le quarré de ΔΖ sera un nombre premier avec le produit de ΔΕ par Ez (26 et 27. 7). Mais la somme des quarrés des nombres ΔΕ, EZ, avec deux fois le produit de ΔE par EZ, est égale au quarré de wZ (4. 2) ; donc la somme des quarrés des nombres ΔE, EZ, avec deux fois le produit de ΔΕ par EZ, est un nombre premier avec le produit de ΔΕ par EZ ; donc, par soustraction, , la somme des quarrés des nombres ΔΕ, EZ, avec une fois le produit de ΔΕ par EZ, est un nombre premier avec le produit de ΔE par EZ ; donc, par soustraction, la somme des quarrés des nombres ΔΕ, EZ est un nombre premier avec le produit de ΔΕ par ΕΖ. Mais le quarré de ΔE est A, le produit de ΔE par EZ est B, et le quarré de EZ est Γ ; donc la somme des nombres A, Γ est un nombre premier avec B. Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION XVI.
Si deux nombres sont premiers entr’eux, le premier ne sera pas au second comme le second est à un autre nombre.
Que les deux nombres A, B soient premiers entr’eux ; je dis que A n’est point à B comme B est à un autre nombre.
Car si cela est possible, que A soit à B comme B est à Γ. Mais A et B sont des nombres premiers, et les nombres premiers sont les plus petits (23. 7) ; et les plus petits mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21. 7) ; donc A mesure B, comme un antécédent mesure un antécédent. Mais A se mesure lui-même ; donc A mesure A et B, qui sont premiers entr’eux ; ce qui est absurde ; donc A ne sera pas à B comme B est à Γ. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XVII.
Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportiomnels, et si leurs extrêmes sont premiers entreux, le premier ne sera pas au second comme le dernier est à un autre nombre.
Soient tant de nombres qu’on voudra A, B, Γ, Δ, et que leurs extrêmes A, Δ soient premiers entr’eux ; je dis que A n’est pas à B comme Δ est à un autre nombre.
Car si cela est possible, que A soit à B comme Δ est à Ε ; par permutation A sera à Δ comme B est à E (13. 7). Mais les nombres A, Δ sont des nombres premiers, et les nombres premiers sont les plus petits (23. 7), et les nombres qui sont les plus petits mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21. 7) ; donc A mesure B. Mais A est à B comme B est à Γ ; donc B mesure Γ ; donc A mesure aussi Γ. Mais B est à Γ comme Γ est à Δ ; donc le nombre B mesure Γ, et mesure Δ. Mais A mesure Γ ; donc A mesure Δ. Mais il se mesure lui-même ; donc A mesure les nombres A, Δ, qui sont premiers entr’eux, ce qui est impossible ; donc A nʼest pas à B comme Δ est à un autre nombre. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XVIII.
Deux nombres étant donnés, chercher s’il est possible de leur trouver un troisième nombre proportionnel.
Soient donnés les deux nombres A, B ; il faut chercher s’il est possible de leur trouver μπ troisième nombre proportionnel. Les nombres A, B sont premiers entr’eux, ou ils ne le sont pas. Sʼils sont premiers entr’eux, il est démontré qu’il n’est pas possible de leur trouver un troisième nombre proportionnel (16. 9).
Que les nombres A, B ne soient pas premiers entr’eux, et que B se multipliant lui-même fasse Γ. Le nombre A mesurera Γ ou ne le mesurera pas. Premièrement quʼil le mesure par Δ ; le nombre A multipliant Δ fera Γ. Mais B se multipliant lui-même fait Γ ; donc le produit de A par Δ est égal au quarré de B ; donc A est à B comme B est à Δ (20. 7). On a donc trouvé un troisième nombre Δ proportionnel aux nombres A, B.
Mais que A ne mesure pas Γ ; je dis qu’il est impossible de trouver un troisième nombre proportionnel aux nombres A, B. Car si cela est possible, que Δ soit le nombre trouvé ; le produit de A par sera égal au quarré de B (20. 7) ; mais le quarré de B est Γ ; donc le produit de A par Δ est égal à Γ ; donc A multipliant Δ fait Γ ; donc A mesure Γ par Δ. Mais on a supposé qu’il ne le mesure pas, ce qui est absurde ; il est donc impossible de trouver un nombre troisième proportionnel aux nombres A, B, lorsque A ne mesure pas Γ. Ce qu’il fallait démontrer.
|- | style="width:50%; vertical-align:top;" | ἀλλήλους εἰσὶ, δέδεικται ὁτι ἀδύνατόν ἐστιν
| style="width:50%; vertical-align:top;" | inter se sunt, demonstratum est impossibile
|}
PROPOSITION XIX.
Trois nombres étant donnés, chercher quand est-ce que l’on peut leur trouver un quatrième nombre proportionnel.
Soient donnés les trois nombres A, B, Γ ; il faut chercher quand est-ce que l’on peut leur trouver un quatrième nombre proportionnel. Ou les nombres. a, B, Γ sont successivement proportionnels, et leurs extrêmes Α, Γ sont premiers entr’eux ; ou bien cela n’est point. Si les nombres A, B, Γ sont successivement proportionnels, , et si leurs ex-
extrêmes A, Γ sont premiers entreux, on a démontré qu’il est impossible de leur trouver un quatrième nombre proportionnel (17. g) -
Si cela n’est point, que B multipliant Γ fasse Δ ; le nombre A mesurera le nombre Δ, ou ne le mesurera pas. Quʼil le mesure d’abord par E ; le nombre A
multipliant E fera Δ Mais B multipliant Γ fait Δ ; donc le produit de Α par E est égal au produit de B par Γ ; donc A est à B comme Γ est à E (19. 7) ; on a donc trouvé un quatrième nombre proportionnel Ε aux nombres A, B, Γ.
Mais que A ne mesure pas Δ ; je dis qu’il est impossible de trouver un quatrième nombre proportionnel aux nombres A, Β, Γ. Car si cela est possible, soit trouvé E ; le produit de A par E sera égal au produit de B par Γ (19. 7). Mais le produit de B par Γ est Δ ; le produit de A par E est donc égal à Δ ; donc A multipliant E fera Δ ; donc A mesure Δ par E ; donc A mesure Δ. Mais il ne le mesure pas, ce qui est absurde ; il n’est donc pas possible de trouver un quatrième nombre proportionnel aux nombres A, B, Tx, lorsque A ne mesure pas Δ.
PROPOSITION XX.
Les nombres premiers sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers.
Soient A, B, Γ les nombres premiers que l’on aura proposés ; je dis que les nombres premiers sont en plus grande quantité que les nombres A, B, Γ.
Soit pris le plus petit nombre mesuré par les nombres A, B, Γ (38. 7), et que ce nombre soit ΔΕ ; ajoutons à ΔΕ l’unité ΔΖ ; le nombre EZ sera un nombre
A....B......Γ..Δ........E
PROPOSITION XXI.
Si l’on ajoute tant de nombres pairs que l’on voudra, leur somme sera un nombre pair.
Ajoutons tant de nombres pairs AB, BΓ, ΓΔ, ΔΕ qu’on voudra ; je dis que leur somme AE est un nombre pair.
Puisque chacun des nombres AB, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ est un nombre pair, chacun de ces nombres peut être partagé en deux parties égales (déf. 6. 7) ; donc leur somme AE peut être partagée en deux parties égales. Mais un nombre pair est celui qui peut être partagé en deux parties égales ; le nombre AE est donc un nombre pair. Ce quʼil fallait démontrer.
A...B.....Γ.......Δ.........E
PROPOSITION XXII.
Si l’on ajoute tant de nombres impairs que l’on voudra, et si leur quantité est paire, leur somme sera paire. Ajoutons tant de nombres impairs AB, BΓ, ΓΔ, ΔῈ que Don voudra, leur quantité étant paire ; je dis que leur somme AE est paire.
Car puisque chacun des nombres AB, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ est impair, si l’on retranche une unité de chacun d’eux, chacun des nombres restants sera pair ; leur somme sera donc un nombre pair (21. 9). Mais la quantité des unités est paire ; donc la somme ΑΒ est paire. Ce qu’il fallait démontrer.
A.....B.......Γ.........E.Δ
PROPOSITION XXIII.
Si l’on ajoute tant de nombres impairs que l’on voudra, et si leur quantité est impaire, leur somme sera impaire.
Ajoutons tant de nombres impairs AB, BΓ, ΓΔ que l’on voudra, leur quantité étant impaire ; je dis que leur somme sera impaire. Retranchons de ΓΔ l’unité ΔE ; le reste ΓΕ sera un nombre pair (déf. 7. 7). Mais ΓΑ est un nombre pair (22. 9) ; donc la somme AE est un nombre pair (21. 9). Mais ΔE est une unité ; donc AΔ est un nombre impair. Ce qu’il fallait démontrer.
A......Γ....B
PROPOSITION XXIV.
Si d’un nombre pair on retranche un nombre pair, le reste sera pair.
Que du nombre pair AB soit retranché le nombre pair BΓ ; je dis que le reste ΓΑ est pair.
Car puisque AB est un nombre pair, ce nombre a une moitié. Par la même raison, ΒΓ a aussi une moitié ; donc le reste ΓΑ a aussi une moitié ; donc AΓ est un nombre pair. Ce quʼil fallait démontrer.
A.......Γ.Δ....E
PROPOSITION XXV.
Si d’un nombre pair on retranche un nombre impair, le reste sera impair.
Que du nombre pair AB. soit retranché le nombre impair ΒΓ ; je dis que le reste ΓA est impair.
Car que l’unité ΓΔ soit retranchée de ΒΓ, le reste ΔΒ sera pair (déf. 7. 7). Mais AB est pair ; donc le reste ΑΔ est pair (24. 9). Mais ΓΔ est lʼunité ; donc ΓΑ est impair. Ce qu’il fallait démontrer.
A....Γ......Δ.B
PROPOSITION XXVI.
Si d’un nombre impair on retranche un nombre impair, le reste sera pair.
Que de ΑΒ impair soit retranché ΒΓ impair ; je dis que le reste ΓΑ est pair. Puisque AB est impair, retranchons-en l’unité BΔ, le reste ΑΔ sera pair. Par la même raison ΓΔ sera pair ; donc le reste ΓA sera pair (24. 9). Ce qu’il fallait démontrer.
A.Δ....Γ....B
PROPOSITION XXVII.
Si d’un nombre impair on retranche un nombre pair, le reste sera impair.
Que de AB impair soit retranché BΓ pair ; je dis que le reste ΓΑ est impair.
Car soit retranchée l’unité ΑΔ ; le nombre ΔΒ sera pair. Mais ΒΓ est pair ; donc le reste ΓΔ est pair (24. 9). Mais ΔΑ est une unité ; donc ΓΑ est impair (déf. 7. 7). Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXVIII.
Si un nombre impair multipliant un nombre pair fait un nombre, le produit sera pair.
Que le nombre impair A multipliant le nombre pair B fasse Γ ; je dis que Γ est pair.
Car puisque A multipliant B a fait Γ, le nombre Γ est composé d’autant de nombres égaux à B quʼil y a d’unités dans A. Mais B est pair ; donc Γ est composé de nombres pairs. Mais la somme de tant nombres pairs que l’on voudra est un nombre pair (2. 9) ; donc Γ est un nombre pair. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXIX.
Si un nombre impair multipliant un nombre impair fait un nombre, le produit sera impair.
Que le nombre impair A multipliant le nombre impair B fasse Γ ; je dis que Γ est impair.
Car puisque Α multipliant B fait Γ, le nombre Γ est composé d’autant de nombres égaux à B qu’il y a d’unités en A. Mais les nombres A, B sont impairs ; donc Γ cst composé de nombres impairs, dont la quantité est un nombre impair ; donc Γ est un nombre impair (23. 9) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXX.
Si un nombre impair mesure un nombre pair, il mesurera sa moitié.
Que le nombre impair A mesure le nombre pair B ; je dis quʼil mesurera sa moitié.
Car puisque A mesure B, qu’il le mesure par Γ ; je dis que Γ nʼest pas un nombre impair. Qu’il le soit, si cela est possible. Puisque A mesure B par Γ, le nombre A multipliant Γ fera B ; donc B est composé de nombres impairs dont la quantité est un nombre impair ; donc B est impair ; ce qui est absurde, puisqu’il est supposé pair ; donc Γ n’est pas impair ; donc Γ est pair ; donc A mesure B par un nombre pair ; il mesurera sa donc moitié. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXI.
Si un nombre impair est premier avec un nombre, il sera premiér avec son double.
Que le nombre impair A soit premier avec un nombre B, et que Γ soit double de B ; je dis que A est premier avec Γ.
Car si les nombres A, z ne sont pas premiers, quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit Δ. Mais A est impair ; donc Δ est impair. Et puisque Δ, qui est impair, mesure Γ, et que Γ est pair, le nombre Δ mesurera la moitié de Γ (30. 9) . Mais B est la moitié de Γ ; donc Δ mesure B. Mais il mesure A ; donc Δ mesure les nombres A, B, qui sont premiers entr’eux ; ce qui est impossible ; donc A ne peut point ne pas être premier avec Γ ; donc les nombres A, Γ sont premiers entr’eux. Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION XXXII.
Chacun des nombres doubles, à partir du binaire, est pairement pair seulement.
Qu’à partir du binaire A, soient tant de nombres doubles qu’on voudra B, Γ, Δ ; je dis que les nombres B, Γ, Δ sont pairement pairs seulement.
Il est évident que chacun des nombres B, Γ, Δ est pairement pair (déf. 8. 7) ; car chacun est double à partir du binaire. Je dis quʼil l’est seulement. Car soit l’unité E. Puisqu’à partir de l’unité, on aura autant de nombres successivement proportionnels qu’on voudra, et que A est le premier après l’unité, le plus grand des nombres A, B, Γ, Δ, qui est Δ, ne sera mesuré par aucun nombre, si ce n’est par A, B, Γ (13. 9) . Mais chacun des nombres A, B, Γ est pair ; donc Δ est pairement pair seulement. Nous démontrerons semblablement que chacun des nombres A, B, Γ est pairement pair seulement. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXIII.
Si la moitié d’un nombre est impaire, ce nombre est pairement impair seulement.
Que la moitié du nombre Α soit impaire ; je dis que A est pairement impair seulement.
Il est évident qu’il est pairement impair (déf. 9. 7) ; car sa moitié, qui est impaire, le mesure par un nombre pair. Je dis qu’il l’est seulement. Car si A était aussi pairement pair, un nombre pair le mesurerait par un nombre pair (déf. 8. 7) ; donc sa moitié qui est impaire, serait mesurée par un nombre pair ; ce qui est absurde ; donc A est pairement impair seulement. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXIV.
Si un nombre, à partir du binaire, n’est pas un de ceux qui sont doubles, et si sa moitié n’est point impaire, il est pairement pair et pairement impair.
Que le nombre A, à partir du binaire, ne soit pas un de ceux qui sont doubles, et que sa moitié ne soit point impaire ; je dis que A est pairement pair et pairement impair.
Or, il est évident que A est pairement pair (déf. 8. 7) , puisque sa moitié n’est pas impaire. Je dis de plus que A est pairement impair ; car si nous partageons A en deux parties égales, et sa moitié en deux parties égales, et si nous faisons toujours la même chose, nous arriverons à quelque nombre impair qui mesurera A par un nombre pair. Car si cela n’est point, nous arriverons au nombre binaire, et A sera, à partir du binaire, un des nombres qui sont doubles, ce qui n’est pas supposé ; donc A est pairement impair. Mais on a démontré qu’il est pairement pair ; donc A est pairement pair et pairement impair. Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION XXXV.
Si tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels, et si du second et du dernier on retranche un nombre égal au premier, l’excès du second sera au premier comme l’excès du dernier est à la somme de tous ceux qui sont avant lui.
Soient tant de nombres qu’on voudra A, ΒΓ, Δ, EZ successivement proportionnels, à commencer du plus petit A, et retranchons de ΒΓ et de EZ les nombres HΓ, ZΘ égaux chacun à A ; je dis que BH est à A comme EΘ est à la somme des nombres A, ΒΓ, Δ.
Faisons ZK égal à ΒΓ, et ZΛ égal à Δ. Puisque ZK est égal à ΒΓ, et que ΖΘ est égal à HΓ, le reste ΘΚ est égal au reste HB. Et puisque ΕΖ est à Δ; comme Δ est à ΒΓ et comme ΒΓ est à A ; que Δ est égal à ZA ; que ΒΓ est égal à Zx, e ; A égal à ZO, le nombre EZ est à ΖΛ comme 4Z est à ZK, et comme KZ est à Z_ ; donc par soustraction, EA est à ΛΖ comme ΛΚ est à ZK, et comme ΚΘ est à ΖΘ ; donc un des antécédents est à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (19. 7) ; donc ΚΘ. est à ΖΘ comme la somme des nombres ΕΛ, ΛΚ, ko est à la somme des nombres AZ, kKZ, ΘZ. Mais ΚΘ est égal à BH, ΖΘ à A, et la somme des nombres ΖΔ, ΚΖ, 9Z à la somme des nombres Δ, BΓ, A ; donc BH est à A comme ΕΘ est à la somme des nombres Δ, BΓ, A ; donc l’excès du second est au premier comme l’excès du dernier est à la somme de tous ceux qui sont avant lui. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXVI.
Si, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra sont successivement proportionnels en raison double, jusqu’à ce que leur somme soit un nombre premier, et si cette somme multipliée par le dernier fait un nombre, le produit sera un nombre parfait.
Soient, à partir de l’unité, tant de nombres qu’on voudra A, B, T, Δ successivement proportionnels en raison double, jusqu’à ce que leur somme deviène un nombre premier ; que E soit égal à leur somme, et que E multipliant Δ fasse ΖΗ ; je dis que ZH est un nombre parfait.
Car, à partir de B, prenons une quantité de nombres, en raison double, qui soit égale à celle des nombres A, B, Γ, Δ ; que ces nombres soient E, ΘK, A, M ; par égalité, A sera à Δ comme E est à M (14. 7) ; donc le produit de E par Δ sera égal au produit de A par M (19. 7) . Mais le produit de E par Δ est ZH ; donc le produit de A par M est aussi ZH ; donc A multipliant M fait ZH ; donc M mesure ZH par les unités qui sont en A. Mais A est le nombre binaire ; donc ZH est double de M ; mais les nombres M, ÛÊ, ΘΚ, E sont successivement doubles les uns des autres ; donc E, ΘΚ ; Λ, M, ZH sont successivement proportionnels en raison double. Retranchons du second ΘK et du dernier ZH, les nombres ΘΝ, ZΞ égaux chacun au premier Ε ; l’excès du second nombre sera au premier comme l’excès du dernier est à la somme des nombres qui sont avant lui (35. 9) ; donc ΝΚ est à E comme ΞH est à la somme des nombres Μ, Δ, ΘΚ, E. Mais ΝΚ est égal à E ; donc ΞH est égal à la somme des nombres M, Δ, ΘΚ, E. Mais ΞZ est égal à Ε, et E égal à la somme des nombres A, B, Γ, Δ augmentée de l’unité ; donc ZH tout entier égale la somme des nombres E, ΘK, Λ, M augmentée de la somme des nombres A, B, Γ, Δ et de l’unité, et ZH est mesuré par tous ces nombres (11. 9) . Je dis que ZH n’est mesuré par aucun nombre, si ce n’est par les nombres A, B, Γ, Δ, E, ΘK, Δ, M et par l’unité. Car si cela est possible, que quelque nombre Ο mesute ZH, et que O ne soit aucun des nombres A, B, Γ, Δ, E, ΘΚ, Λ, M. Quʼil y ait dans Π autant d’unités que O mesure de fois ZH ; le nombre Π multipliant O fera ZH. Mais B multipliant Δ fait ZH ; donc E est à Π comme Ο est à Δ (19. 7) . Et puisque, à partir de lʼunité, les nombres A, B, Γ, Δ sont successivement proportionnels, et que le premier nombre après l’unité est A, le nombre Δ n’est mesuré par aucun autre nombre que par A, Β, Γ (13. g) ; mais on a supposé que Ο n’est aucun des nombres a, B, Γ ; donc Ο ne mesure pas Δ. Mais Ο est à Δ comme E est à I ; donc E ne mesure pas Π (déf. 2i. 7) . Mais E est un nombre premier, et tout nombre premier est premier avec tout hombre qu’il ne mesure pas (31. 7) ; donc les nombres E, Π sont premiers entre eux. Mais les nombres premiers sont les plus petits, et les plus petits mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, l’antécédent l’antécédent, et le conséquent le conséquent (21. 7) , et Ε est à A Π comme o est à Δ ; donc E mesure O autant de fois que : mesure Δ. Mais Δ n’est mesuré par aucun nombre, si ce n’est par Α, B, Γ ; donc Π est un des nombres A, B, Γ. Quʼil soit B. Α partir de E, prenons les nombres E, ΘΚ, Δ égaux en quantité aux nombres B, Γ, s. Mais les nombres E, ΘΚ ; Δ sont en même raison que les nombres B, Γ, Δ ; donc, par égalité, B est à Δ comme Ε 66 à A ; donc le produit de B par A est égal au produit de Δ par E (19. 7) . Mais le produit de s par B est égal au produit de Π par 0 ; donc le produit de Π par O est égal au produit de B par A ; donc Π est à B comme Λ est à Ο (19. 7) . Mais Π est le même que B ; donc Λ est le même que Ο, ce qui est impossible ; car on a supposé que O n’était aucun des nombres A, B, Γ ; donc aucun nombre ne mesure ZH, si ce ne sont les nombres A, B, Γ, Δ, E, ΘΚ, Λ, M et D’unité. Mais on a démontré que zH égale la somme des nombres A, B, T, Δ, E, ΘΚ, Λ, M augmentée de l’unité, et un nombre parfait est celui qui est égal à ses parties (déf. 23. 7) ; donc ZH est un nombre parfait. Ce qu’il fallait démontrer.
fin du neuvième livre
EUCLIDIS
ELEMENTORUM
LIBER DECIMUS.
Separateur-10-Vaguelettes1
LE DIXIÈME LIVRE
DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
DÉFINITIONS.
On appèle grandeurs commensurables celles qui sont mesurées par la même mesure.
Et incommensurables, celles qui n’ont aucune mesure commune.
Les lignes droites sont commensurables en puissance, lorsque leurs quarrés sont mesurés par une même surface.
Et incommensurables, lorsque leurs quarrés n’ont aucune surface pour commune mesure.
Ces choses étant supposées, on a démontré. qu’une droite proposée a une infinité de droites qui lui sont incommensurables, non seulement en longueur, mais encore en puissance. Οη appèlera rationnelle la droite proposée.
On appèlera aussi rationnelles les droites qui lui sont commensurables, soit en longueur et en puissance, soit en puissance seulement.
Et irrationnelles, celles qui lui sont incommensurables.
On appèlera rationel le quarré de la proposée.
On appèlera aussi rationnelles les surfaces qui lui sont commensurables.
Et irrationnelles celles qui lui sont incommensurables.
On appèlera encore irrationnelles et les droites dont les quarrés sont égaux à ces surfaces, c’est-à-dire les côtés des quarrés, lorsque ces surfaces sont des quarrés ; et les droites avec lesquelles sont décrits des quarrés égaux à ces surfaces, lorsque ces surfaces ne sont pas des quarrés.