Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 17)

DÉFINITIONS TROISIÈMES.

Une rationelle et un apotome étant exposés, si la puissance de la droite en- tière surpasse la puissance de la congruente du quarré d’une droite commensu- rable en longueur avec la droite entière, et si la droite entière est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, le reste sʼappèlera premier apotome.

Si la congruente est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, et si la puissance de la droite entière surpasse la puissance de la congruente du quarré d’une droite commensurable en longueur avec la droite entière, [16 reste sʼappèlera second apotome.

Si aucune de ces deux droites n’est commensurable en longueur avec la

rationelle exposée, et si la puissance de la droite entière surpasse la puissance de la congruente du quarré d’une droite commensurable avec la droite entière, le reste s’appèlera troisième apotome.

De plus, si la puissance de la droite entière surpasse la puissance de la congruente du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec la droite entière, et si la droite entière est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, le reste s’appèlera quatrième apotome.

Si la congruente est commensurable avec la rationelle exposée, le reste sʼappèlera cinquième apotome.

Si aucune de ces droites n’est commensurable avec la rationelle exposée, le reste sʼappèlera sixième apotome.

SECONDES DÉFINITIONS.

1. Une droite rationelle étant exposée, et une droite de deux noms étant di- visée en ses noms, la puissance du plus grand nom de cette droite surpassant Ja puissance du plus petit nom du quarré d’une droite commensurable en lon- gueur avec le plus grand nom, si le plus graand nom est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, la droite entière sera dite première de deux noms.

2. Si le plus petit nom est commensurable en longueur avec la rationelle ex- posée, elle sera dite seconde de deux noms. 3. Si aucun des noms n’est commensurable en longueur avec la rationelle ex- posée, elle sera dite troisième de deux noms.

4. De plus, si la puissance du plus grand nom surpasse la puissance du plus petit nom du quarré d’une droite incommensurable avec le plus grand nom, et si le plus grand nom est commensurable en longueur avec la rationelle exposée, elle sera dite quatrième de deux noms.

5. Si c’est le plus petit nom, elle sera dite cinquième.

6. Si ce n’est ni l’un ni l’autre, elle sera dite sixième.

La médiale.

La droite de deux noms.

La première de deux médiales.

Le seconde de deux médiales.

La majeure.

La droite qui peut une surface rationelle et une surface médiale.

La droite qui peut deux surfaces médiales.

L’apotome.

Le premier apotome d’une médiale.

Le second apotome d’une médiale.

La mineure.

La droite qui fait avec une surface rationelle un tout médial.

La droite qui fait avec une surface médiale un tout médial.

PROPOSITION I.

Deux grandeurs inégales étant proposées, si l’on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l’on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l’on fait toujours la même chose, il restera une certaine grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées.

Soient deux grandeurs inégales AB, Γ ; que AB soit la plus grande ; je dis que, si l’on retranche de AB une partie plus grande que sa moitié, et que si l’on fait toujours la même chose, il restera une certaine grandeur qui sera plus petite que la grandeur Γ.

Car Γ étant multiplié deviendra enfin plus grand que AB. Qu’il soit multiplié ; que ΔΕ soit un multiple de Γ, et que ce multiple soit plus grand que AB. Partageons ΔΕ en parties AZ, ZH, HE égales chacune à Γ ; retranchons de AB une partie ΒΘ plus grande que sa moitié, de AΘ une partie ΘΚ plus grande que sa moitié, et faisons toujours la même chose jusquʼà ce que le nombre des divisions de AB soit égal au nombre des divisions de ΔE ; que le nombre des divisions- AK, ΚΘ, as soit donc égal au nombre des divisions ΔΖ, ZH, HE.

Puisque ΔΕ est plus grand que AB, et qu’on a retranché de ΔΕ une partie EH plus petite que sa moitié, et qu’on a retranché de AB une partie ΒΘ plus grande que sa moitié, le reste Η͂Δ est plus grand que le reste x. Et puisque ΗΔ est plus grand que ΘΑ, qu’on a retranché de ΗΔ sa moitié HZ, et que de oa on a retranché ex plus grand que sa moitié, le reste sZ sera plus grand que le reste AkK. Mais ΔZ est égal à Γ ; donc Γ est plus grand que ΑΚ ; donc ΑΚ est plus petit que Γ. ll reste donc de la grandeur AB une grandeur Ak plus petite que la grandeur Γ, qui est la plus petite des grandeurs proposées. Ce qu’il fallait démontrer. La démonstration serait la même, si les parties retranchées étaient des moitiés.

PROPOSITION II.

Deux grandeurs inégales étant proposées, et si la plus petite étant toujours retranchée de la plus grande, le reste ne mesure jamais le reste précédent ; ces grandeurs seront incommensurables.

Soient les deux grandeurs inégales AB, ΓΔ ; que AB soit la plus petite, et que la plus petite étant toujours retranchée de la plus grande, le reste ne mesure jamais le reste précédent ; je dis que les grandeurs AB, ΓΔ sont incommensurables.

Car si elles sont commensurables, quelque grandeur les mesurera. Que quelque grandeur les mesure, s’il est possible, et que ce soit E ; que AB mesurant ΔΖ laisse ΓZ plus petit que lui ; que ΓΖ mesurant BH laisse AH plus petit que lui ; que Von fasse toujours la même chose jusqu’à ce qu’il reste une certaine grandeur qui soit plus petite que E. Que cela soit fait, et qu’il reste AH plus petit que Ε (1. 10) . Puisque E mesure AB, et que AB mesure ΔZ, E mesurera ΔZ. Mais E mesure ΓΔ tout entier ; donc E mesurera le reste ΓΖ. Mais ΓΖ mesure BH ; donc Ε mesure BH. Mais E mesure AB tout entier ; donc E mesurera le reste AH, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible. Donc aucune grandeur ne mesurera les. grandeurs AB, ΓΔ ; donc les grandeurs AB, ΓΔ sont incommensurables ; donc, etc.

PROPOSITION IIII.

Deux grandeurs commensurables étant données, trouver leur plus grande commune mesure.

Soient AB, ΓΔ les deux grandeurs commensurables données ; que AB soit la plus petite ; il faut trouver la plus grande commune mesure des grandeurs AB, ΓΔ. .

Car la grandeur AB mesure ΓΔ ou ne Îe mesure pas. Si AB mesure ΓΔ, à cause qu’il se mesure lui-même, AB sera une commune mesure des grandeurs AB, ΓΔ, et il est évident qu’elle en est la plus grande, car une grandeur plus grande que AB ne mesurera pas AB.

Mais que AB ne mesure pas ΓΔ. Retranchant toujours la plus petite de la plus grande, un reste mesurera enfin le reste précédent (2. 10) , parce que les grandeurs AB, ΓΔ ne sont pas incommensurables ; que AB mesurant ΕΔ laisse EΓ plus petit que lui ; que EΓ mesurant ZB laisse AZ plus petit que lui, et enfin que AZ mesure ΓE.

Puisque AZ mesure ΓE, et que ΓE mesure ZB, AZ mesurera ZB. Mais AZ se mesure lui-même ; donc AZ mesurera AB tout entier. Mais AB mesure ΔΕ ; donc AZ mesurera ΔΕ. Mais il mesure ΓE ; il mesure donc ΓΔ tout entier ; donc AZ mesure les grandeurs AB, ΓΔ ; donc AZ est une commune mesure des grandeurs AB, ΓΔ. Je dis aussi qu’il en est la plus grande. Car si cela n’est point, il y aura une certaine grandeur plus grande que AZ qui mesurera AB et Γ ; Quʼelle soit H. Puisque H mesure AB, et que AB mesure ΕΔ, H mesurera EA. Mais H mesure ΓΔ tout entier ; donc H mesurera le reste ΓE. Mais ΓΕ mesure ZB ; donc H mesurera za. Mais il mesure AB tout entier ; il mesurera donc le reste AZ, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible. Donc quelque grandeur plus grande que AZ ne mesurera pas AB et ΓΔ ; donc AZ est la plus grande commune mesure des grandeurs ΑΒ, ΓΔ.

On a donc trouvé la plus grande commune mesure ΑΖ des deux grandeurs commensurables données AB, ΓΔ. Ce qu’il fallait faire.

COROLLAIRE.

De là il est évident que si une grandeur mesure deux grandeurs, elle mesure aussi leur plus grande commune mesure.

PROPOSITION IV.

Trois grandeurs commensurables étant données, trouver leur plus grande commune mesure. Soient Α, B, Γ les trois grandeurs commensurables données ; il faut trouver la plus grande commune mesure des grandeurs Α, B, Γ.

Prenons la plus grande commune mesure de A et de B (3. 10) , et qu’elle soit Δ ; Δ mesure Γ ou ne le mesure pas. Qu’il le mesure d’abord. Puisque Δ mesure Γ, et qu’il mesure aussi A et B, Δ mesure les grandeurs A, B, Γ ; donc Δ est une commune mesure des grandeurs A, B, Γ. Et il est évident quʼil en est la plus grande, car une grandeur plus grande que Δ ne mesure pas A et B.

Mais que Δ ne mesure pas Γ ; je dis d’abord que les grandeurs Γ, Δ sont commensurables. Car puisque les grandeurs A, B, Γ sont commensurables, quelque grandeur les mesurera ; mais cette même grandeur mesurera A et B ; elle mesurera donc leur plus grande commune mesure Δ. Mais cette même grandeur mesure Γ ; donc elle mesure Γ et Δ ; donc Γ et Δ sont commensurables (déf. 1. 10) . Prenons donc leur plus grande commune mesure (3. 10) , et qu’elle soit B. Puisque Ε mesure Δ, et que Δ mesure A et B, Ε mesurera A et B. Mais il mesure Γ ; donc E mesure les grandeurs Α, B, Γ ; donc E est une commune mesure des grandeurs A, B, Γ. Je dis aussi qu’elle en est la plus grande. Car que ce soit Z plus grand que E, si cela est possible, et que Z mesure les grandeurs A, Β, Γ. Puisque Z mesure les grandeurs A, B, Γ, il mesurera A et B ; il mesurera donc la plus grande commune mesure de Α et B (cor. 3. 10) . Mais la plus grande commune mesure de A et de B est Δ ; donc Ζ mesure Δ ; mais il mesure Γ ; donc Z mesure Γ et Δ ; donc Z mesurera la plus grande commune mesure de Γ et de 3. Mais la plus grande commune mesure de Γ et de Δ est E ; donc Ζ mesure E, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc une grandeur plus grande que la grandeur E ne mesurera pas les grandeurs A, B, Γ ; donc E sera la plus grande commune mesure des grandeurs A, Β, Γ, si Δ ne mesure pas Γ ; et s’il le mesure, ce sera Δ.

On a donc trouvé la plus grande commune mesure de trois grandeurs commensurables données. Ce qu’il fallait faire.

COROLLAIRE.

De là il est évident que si une grandeur mesure trois grandeurs, elle mesurera aussi leur plus grande commune mesure.

On trouvera semblablement la plus grande commune mesure d’un plus grand nombre de grandeurs, et le même corollaire s’en suivra.

PROPOSITION V.

Les grandeurs commensurables ont entr’elles la raison qu’un nombre a avec un nombre.

Soient les grandeurs commensurables A, B ; je dis que A a avec B la raison qu’un nombre a avec un nombre.

Car puisque les grandeurs A, B sont commensurables, quelque grandeur les mesurera. Que quelque grandeur les mesure, et que ce soit Γ. Qu’il y ait autant d’unités dans Δ que Γ mesure de fois A ; qu’il y ait aussi autant d’unités dans E que Γ mesure de fois B.

Puisque Γ mesure A par les unités qui sont en Δ, et que l’unité mesure Δ par les unités qui sont en lui, l’unité mesure le nombre Δ autant de fois que la grandeur Γ mesure A ; donc Γ est à A comme l’unité est à Δ ; donc, par conversion, A est à Γ comme Δ est à l’unité. De plus, puisque Γ mesure B par les unités qui sont en E, et que l’unité mesure E par les unités qui sont en lui, l’unité mesure E autant de fuis que Γ mesure B ; donc Γ est à B comme l’unité est à Ε. Mais on a démontré que A est à Γ comme Δ est à l’unité ; donc, par égalité, A est à B comme le nombre Δ est à E.

Donc les grandeurs commensurables A, B ont entr’elles la raison que le nombre a avec le nombre E. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION VI.

Si deux grandeurs ont entr’elles la même raison qu’un nombre a avec un nombre, ces grandeurs seront commensurables.

Que les deux grandeurs A, B ayent entr’elles la même raison que le nombre Δ a avec le nombre E ; je dis que les grandeurs A, B sont commensurables.

Car que A soit partagé en autant de parties égales qu’il y a d’unités en Δ ; que Γ soit égal à une de ces parties ; et que Z soit composé d’autant de grandeurs égales. à Γ qu’il y a d’unités en E.

Puisqu’il y a dans Α autant de grandeurs égales à Γ quʼil y a d’unités en Δ, Γ sera la même partie de A que l’unité l’est de Δ ; donc Γ est à A comme l’unité est à Δ. Mais l’unité mesure le nombre Δ ; donc Γ mesure A. Et puisque Γ est à A comme lʼunité est au nombre Δ, par conversion, A est à Γ comme le nombre Δ est à l’unité. De plus, puisqu’il y a en Z autant de grandeurs égales à Γ qu’il y a d’unités en E, Γ sera à Z comme l’unité est au nombre E. Mais on a dé- montré que A est à Γ comme Δ est à l’unité ; donc par égalité A est à Ζ comme Δ est à E. Mais Δ est à E comme A est à B ; donc A est à B comme A est à Ζ ; donc A a la même raison avec B et avec Z ; donc B égale Z (9. 5) . Mais Γ mesure Z ; donc il mesure B. Mais Γ mesure A ; donc Γ mesure A et B ; donc A est commensurable avec B (déf. 1. 10) . Donc, etc.

AUTREMENT.

Que les deux grandeurs A et B ayent entr’elles la même raison que le nombre Γ avec le nombre Δ ; je dis que ces grandeurs sont commensurables.

Que A soit partagé en autant de parties égales qu’il y a d’unités en Γ, et que E soit : égal à une de ces parties ; l’unité sera au nombre Γ comme E est à A. Mais Γ est à Δ comme A est à B ; donc, par égalité, l’unité est à Δ comme E est à B. Mais l’unité mesure Δ ; donc E mesure B. Mais E mesure A, puisque l’unité mesure Γ ; donc E mesure A et B ; donc A et B sont commensurables, et E est leur commune mesure. Ce quʼil fallait démontrer.

COROLLAIRE.

De là il est évident que si l’on a deux nombres comme Δ et E, et une droite comme Α, il sera possible de faire en sorte que le nombre Δ soit au nombre E comme la droite A est à une autre droite. Mais si l’on prend une moyenne proportionnelle comme B entre A et Ζ (cor. 20. 6), A sera à Z comme le quarré de A est au quarré de B ; c’est-à-dire que la première sera à la troisième, comme la figure décrite sur la première est à la figure semblable et semblablement décrite sur la troisième (cor. 20. 6). Mais A est à Z comme le nombre Δ est au nombre E ; on a donc fait de telle manière que le nombre Δ est au nombre E comme la figure décrite sur la droite A est à la figure décrite sur la droite B.

PROPOSITION VII.

Les grandeurs incommensurables n’ont pas entr’elles la raison qu’un nombre a avec un nombre.

Soient les grandeurs incommensurables A, B ; je dis que A n’a pas avec B la raison qu’un nombre a avec un nombre.

Car si A avait avec B la raison qu’un nombre a avec un nombre, A serait commensurable avec B (6. 10) . Mais il ne l’est pas ; donc A n’a pas avec B la raison qu’un nombre a avec un nombre ; donc, etc.

PROPOSITION VIII.

Si deux grandeurs n’ont pas entr’elles la même raison qu’un nombre a avec un nombre, ces grandeurs seront incommensurables.

Que les deux grandeurs A, B n’ayent pas entr’elles la raison qu’un nombre a avec un nombre ; je dis que les grandeurs A, B sont incommensurables.

Car si elles étaient commensurables, A aurait avec B la raison qu’un nombre a avec un nombre (5. 10) . Mais il ne l’a pas ; donc les grandeurs A, B sont incommensurables ; donc, etc.

PROPOSITION IX.

Les quarrés des droites commensurables en longueur ont entr’eux la raison quʼun nombre quarré a avec un nombre quarré ; les quarrés qui ont entr’eux la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, ont leurs côtés com- mensurables en longueur ; les quarrés des droites qui ne sont pas commensurables en longueur, n’ont pas entr’eux la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; les quarrés qui n’ont pas entr’eux la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, n’ont pas leurs côtés commensurables en longueur.

Car que les droites A, B soient commensurables en longueur ; je dis que le quarré de A a avec le quarré de B la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré. Car puisque Α est commensurable en longueur avec B, A aura avec B la raison qu’un nombre a avec un nombre (5. 10). Qu’il ait celle que Γ a avec Δ. Puisque A est à B comme Γ est à Δ ; que la raison du quarré de A au quarré de B est double de la raison de. A avec B, car les figures semblables sont en raison double de leurs côtés homologues (20. 6) ; que la raison du quarré de Γ au quarré de Δ est double de celle de Γ à Δ, car il y a un moyen proportionnel entre deux nombres quarrés (11. 8) ; et que le quarré d’un nombre a avec le quarré d’un nombre une raison double de celle d’un côté à un côté, le quarré : de A sera au quarré de B comme le quarré de Γ est au quarré de Δ.

Mais que le quarré de A soit au quarré de B comme le quarré de Γ est au quarré de ; je dis que A est commensurable en longueur avec B. Car puisque le quarré de A est au quarré de B comme le quarré de Γ est au quarré de Δ, que la raison du quarré de Α au quarré de B est double de la raison de Α à B (20. 6) , et que la raison du quarré de Γ au quarré de Δ est double aussi de la raison. de Γ à Δ (11. 8) , A sera à B comme Γ est à Δ ; donc A a avec B la raison que le nombre Γ a avec le nombre » ; donc A est commensurable en longueur avec B (6. 10) .

Mais que A soit incommensurable en longueur avec B ; je dis que le quarré de A n’a pas avec le quarré de B la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré. Car si le quarré de A avait avec le quarré de B la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, A serait commensurable en longueur avec B. Mais cela n’est point ; donc le quarré de A nʼa pas avec le quarré de B la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré.

De plus, que le quarré de A au quarré de B nʼait pas la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; je dis que A est incommensurable en longueur avec B. Car si A était commensurable en longueur avec B, le quarré de A aurait avec le quarré de B la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré. Mais il ne l’a pas ; donc A m°est pas commensurable en longueur avec B ; donc, etc.

AUTREMENT.

Car puisque A est commensurable en longueur avec B, il a avec lui la raison qu’un nombre a avec un nombre (5. 10) . Que ce soit celle que Γ a avec Δ ; que Γ se multipliant lui-même fasse E, que Γ multipliant Δ fasse Z, et que Δ se multipliant lui-même fasse H. Puisque Γ se multipliant lui-même fait E, et que Γ multipliant Δ fait Z, Γ est à Δ, c’est-à-dire Α est à B comme E est à Z (17. 7) . Mais A est à B comme le quarré de A est au rectangle sous A, B (1. 6) ; donc le quarré de Α est au rectangle sous A, B comme E est à Z. De plus, puisque Δ se multipliant lui-même a fait H, et que Δ multipliant Γ a fait Z, Γ est Δ, c’est-à-dire Α est à B comme Ζ est à H (17. 7) . Mais A est à Β comme le rectangle sous A, B est au quarré de B (1. 6) ; donc le rectangle sous A, B est au quarré de B comme Ζ est à H. Mais le quarré de A est au rectangle sous A, B comme Ε est à Z ; donc par égalité le quarré de A est au quarré de B comme E est à H. Mais les nombres E, H sont des quarrés, car E est le quarré de Γ, et H le quarré de Δ ; donc le quarré de A a avec le quarré de B la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré.

Mais que le quarré de A ait avec le quarré de B la raison que le nombre quarré E a avec le nombre quarré H ; je dis que A est commensurable en longueur avec B. Car que Γ soit le côté de E, et Δ le côté de H, et que Γ multipliant Δ fasse Ζ, les nombres E, Z, H seront successivement proportionnels dans la raison de Γ à Δ (17. ÿ) . Êt puisque le rectangle sous A, B est moyen propor- tionnel entre les quarrés de A et de B (1. 6) , et que Z f’est entre E et H (11. 8) , le quarré de A sera au rectangle sous A, B comme B est à zZ. Mais le rectangle sous A, B est au quarré de B comme Z est à H, et le quarré de A est au rec- tangle sous A, B comme A est à B ; donc A et B sont commensurables, car ils ont la raison qu’a le nombre E avec le nombre Z, c’est-à-dire la raison que T a avec ; car Γ<est à Δ comme E est à Z, puisque Γ se multipliant lui-même fait E, οἵ que Γ multipliant Δ a fait Z ; donc Γ est à Δ comme E est à Z (17. 7) Ce qu’il fallaic démontrer.

COROLLAIRE.

D’après ce qui a été démontré, il est évident que les droites commensurables en longueur le sont toujours en puissance ; que celles qui le sont en puissance ne le sont pas toujours. en longueur ; que celles qui sont incommensurables en longueur ne le sont pas toujours en puissance, et que celles qui sont incommensurables en puissance le sont toujours en longueur.

Car puisque les quarrés des droites commensurables en longueur ont la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et que les grandeurs qui ont la raison qu’un nombre a avec un nombre sont commensurables, les droites com- mensurables en longueur sont commensurables non seulement en longueur, mais encore en puissance.

De plus, puisqu’on a démontré que les quarrés qui sont entrʼeux comme un nombre quarré est à un nombre quarré, ont leurs côtés commensurables en longueur, et que des droites sont commensurables en puissance, lorsque leurs quarrés ont la raison qu’un nombre a avec un nombre, les quarrés qui n’ont pas la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et qui n’ont simplement que la raison qu’un nombre a avec un nombre, ont leurs côtés commensurables en puissance, mais non eu longueur ; donc les droites commensurables en longueur le sont toujours en puissance, et les droites commensurables en puissance ne le sont pas toujours en longueur, à moins que leurs puissances n’ayent entre elles la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré.

Je dis aussi que les droites incommensurables en longueur ne le sont pas toujours en puissance ; car elles peuvent n’avoir pas la raison qu’un nombre a avec un nombre, et elles sont à cause de cela commensurables en puissance et incommensurables en longueur ; donc les droites incommensurables en longueur ne le sont pas toujours en puissance, mais les droites incommensurables en longueur peuvent être commensurables et incommensurables en puissance.

Mais les droites incommensurables en puissance sont toujours commensurables en longueur ; car si elles étaient commensurables en longueur, elles seraient commensurables en puissance. Mais on les suppose incommensurables, ce qui est absurde ; donc les droites incommensurables en puissance le sont toujours en longueur.

PROPOSITION X.

Si quatre grandeurs sont proportionnelles, et si la première est commensurable avec la seconde, la troisième sera commensurable avec la quatrième ; et si la première est incommensurable avec la seconde, la troisième sera incommensurable avec la quatrième.

Soient les quatre grandeurs proportionnelles A, B, Γ, Δ ; que A soit à B comme Γ est à Δ ; et que A soit commensurable avec B ; je dis que Γ sera commensurable avec Δ. Car puisque A est commensurable avec B, Â a avec B la même raison qu’un nombre a avec un nombre (5. 10). Mais Α est à B comme Γ est à Δ ; donc Γ a avec Δ la raison qu’un nombre a avec un nombre ; donc Γ est commensurable avec Δ (6. 10. )