Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 18)

Euclide · Arts Libéraux

Texte français, domaine public · Source : fr.wikisource.org — trad. Peyrard, français extrait de l'édition trilingue · 23 pages

Fiche de l’œuvre dans le savoir

Mais que A soit incommensurable avec B ; je dis que Γ sera incommensurable avec Δ. Car puisque Α est incommensurable avec B, A n’a pas avec B la raison qu’un nombre a avec un nombre (7. 10) . Mais A est à B comme Γ est à Δ ; donc Γ n’a pas avec Δ la raison qu’un nombre a avec un nombre ; donc Γ est incommensurable avec Δ ; donc, etc.

LEMME.

On a démontré dans les livres d’arithmétique (26. 8) que les nombres plans semblables ont entr’eux la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; et que si deux nombres ont entr’eux la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, ces nombres sont des plans semblables. De là il est évident que des nombres plans non semblables, c’est-à-dire des nombres plans qui n’ont pas leurs côtés proportionnels, n’ont pas la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré. Car s’ils l’avaient, ils seraient des plans semblables, ce qui n’est pas supposé ; donc des plans non semblables n’ont pas la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré.

PROPOSITION XI.

Trouver deux droites incommensurables avec la droite proposée, l’une en longueur seulement, et l’autre en puissance.

Soit A la droite proposée ; il faut, trouver deux droites incommensurables avec A, l’une en longueur seulement, et l’autre en longueur et en puissance. Car soient deux nombres B, Γ qui n’ayent pas entr’eux la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, c’est-à-dire qui soient deux plans non semblables ; et faisons en sorte que B soit à comme le quarré de A est au quarré de Δ, ce que nous avons déjà enseigné (cor. 0. 10o) ; le quarré de A sera commensurable avec le quarré de Δ. Et puisque B n’a pas avec Γ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de A n’aura pas avec le quarré de Δ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; donc A est incommensurable en longueur avec Δ (9. 10) . Prenons une moyenne proportionnelle E entre A et Δ, A sera à Δ comme le quarré de A est au quarré de EB (cor. 2. 6) . Mais A est incommensurable en longueur avec 3 ; donc le quarré de A est incommensurable avec le quarré de E (10. 10) ; donc A est incommensurable en puissance avec E. On a donc trouvé pour la droite proposée A deux droites incommensurables Δ, E, savoir la droite Δ en longueur seulement, et la droite E en puissance et en longueur. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XII.

Les grandeurs qui sont commensurables avec une même grandeur sont commensurables entr’elles.

Que chacune des grandeurs Α, B soit commensurable avec Γ ; je dis que A est commensurable avec B.

Car puisque A est commensurable avec Γ, A a avec Γ la raison quʼun nombre a avec un nombre (5. 10) ; quʼil ait celle que Δ a avec E. De plus, puisque B est commensurable avec T, Γ a avec B la raison qu’un nombre a avec un nombre. Qu’il ait celle que Ζ a avec H. La raison que Δ a avec E, et celle que Z a avec H étant données, prenons les nombres Θ, Κ, Λ successivement proportionnels dans les raisons données, de manière que Δ soit à B comme Θ est à K, et que Z soit à H comme K est à Λ.

Puisque A est à Γ comme Δ est à E, et que Δ est à E comme Θ est à K, A sera à Γ comme Θ est à K. De plus, puisque Γ est à B comme Z est à H, et que Z est à H comme K est Λ, Γ est à B comme K est à A. Mais A est à Γ comme Θ est à K ; donc, par égalité, Α est à B comme Θ est à A (23. 5) ; donc A a avec B la raison que le nombre Θ a avec le nombre Λ ; donc A est commensurable avec B (6. 10) . Donc, etc.

PROPOSITION XIII.

Si l’on a deux grandeurs ; que l’une d’elles soit commensurable avec une troisième, et que l’autre ne lui soit pas commensurable, ces deux grandeurs seront incommensurables.

Soient les deux grandeurs A, B, et une autre grandeur T ; que A soit commensurable avec T, et que B soit incommensurable avec Γ ; je dis que A est incommensurable avec B.

Car si A était commensurable avec B, à cause que Γ est commensurable avec A, Γ serait commensurable avec B (12. 10) . Ce qui n’est pas supposé.

PROPOSITION XIV.

Si deux grandeurs sont commensurables, et si l’une d’elles est incommensurable avec une autre grandeur, la grandeur restante sera aussi incommensurable avec celle-ci.

Soient les deux grandeurs commensurables A, B, et que l’une d’elles soit incommensurable avec Γ ; je dis que la grandeur restante B sera aussi incommensurable avec Γ.

Car si B était commensurable avec Γ, à cause que A est commensurable avec B, A serait commensurable avec Γ (12. 10) . Mais A est incommensurable avec Γ, ce qui est impossible ; donc B n’est pas commensurable avec Γ ; donc il lui est incommensurable. Donc, etc.

LEMME.

Deux droites inégales étant données, trouver ce dont le puissance de la plus grande surpasse la puissance de la plus petite.

Soient AB, Γ, les deux droites inégales données ; que AB soit la plus grande ; il faut trouver ce dont la puissance de AB surpasse la puissance de T.

Décrivons sur AB le demi-cercle AoB, adaptons dans ce demi-cercle une droite ΑΔ égale à Γ (1. 4), et joignons ΔΒ. Il est évident que l’angle AoB est droit (31. 3) , et que la puissance de AB surpasse la puissance de ΑΔ, c’est-à-dire de Γ, du quarré de ΔΒ (47. 1) .

On trouvera de la même manière la droite dont la puissance égale la somme des puissances de deux droites données.

PROPOSITION XV.

Si quatre droites sont proportionnelles, et si la puissance de la première sur- passe la puissance de la seconde du quarré d’une droite commensurable avec la première, la puissance de la troisième surpassera la puissance de la quatrième du quarré d’une droite qui sera commensurable avec la troisième, et si la puissance de la première surpasse la puissance de la seconde du quarré d’une droite incommensurable avec la première, la puissance de la troisième surpassera la puissance de la quatrième du quarré d’une droite qui sera incommensurable avec la troisième.

Soient les quatre droites proportionnelles A, B, Γ , de manière que A soit à B comme Γ est à Δ ; que la puissance de A surpasse la puissance de B du quarré de la droite E, et que la puissance de Γ surpasse la puissance de Δ du quarré de la droite Z ; je dis que si A est commensurable avec E, Γ le sera avec Z ; et que si A est incommensurable avec E, Γ le sera aussi avec Z.

Car puisque A est à B comme Γ est à Δ, le quarré de A sera au quarré de B comme le quarré de Γ est au quarré de Δ (cor. t. 22. 6) . Mais la somme des quarrés de E et de B est égale au. quarré de A, et la somme des quarrés de Ζ et de Δ est égale au quarré de Γ ; donc la somme des quarrés de E et de B est au quarré de B comme la somme des quarrés de Z et de Δ est au quarré de s ; donc, par soustraction, le quarré de E est au quarré de B comme le quarré de Ζ est au quarré de s (17. 5) ; donc E est à B comme Z cest à Δ (22 0) ; donc, par conversion, B est à E comme Δ est à Ζ (4. 5. Mais A est à B comme T est à Δ ; donc, par égalité, A est à B comme T est à Ζ (22. 5) ; donc si A est commensurable avec E, la droite Γ le sera avec Z ; et si A est incommensurable avec E, la droite Γ le sera avec Z (10. 10). Donc, etc.

PROPOSITION XVI.

Si l’on ajoute deux grandeurs commensurables, leur somme sera commensurable avec chacune d’elles ; et si leur somme est commensurable avec une d’elles, les grandeurs proposées seront commensurables.

Ajoutons les deux grandeurs commensurables AB, ΒΓ ; je dis que la grandeur entière ΑΓ est commensurable avec chacune des grandeurs AB, BT.

Car, puisque les grandeurs AB, BΓ sont commensurables, quelque grandeur les mesurera (déf. 1. 10) . Que quelque grandeur les mesure, et que ce soit Δ. Puisque Δ mesure AB et BΓ, il mesurera leur somme ΑΓ. Mais il mesure ΑΒ et BΓ, donc Δ mesure les grandeurs AB, BΓ, ΑΓ ; donc ΑΓ est commensurable avec AB et BT.

Mais que ΑΓ soit commensurable avec une des grandeurs AB, ΒΓ ; quil le soit avec AB ; je dis que les grandeurs ΑΒ, BΓ sont commensurables.

Car puisque les grandeurs AT, AB sont commensurables, quelque grandeur les mesurera. Que quelque grandeur les mesure, et que ce soit n. Puisque Δ mesure ΓΑ et AB, il mesurera le reste ΒΓ. Mais il mesure AB ; donc Δ mesure AB et ΒΓ ; donc les grandeurs AB, BΓ sont commensurables. Donc, etc.

PROPOSITION XVII.

Si l’on ajoute deux grandeurs incommensurables, leur somme sera incommensurable avec chacune d’elles ; et si leur somme est incommensurable avec une d’elles, les grandeurs proposées seront incommensurables. Soient ajoutées les deux grandeurs incommensurables AB, BΓ ; je dis que leur somme AT est incommensurable avec chacune des grandeurs ΑΒ, ΒΓ.

Car si les grandeurs ΓA, AB ne sont pas incommensurables, quelque grandeur les mesurera. Que quelque grandeur les mesure, et que ce soit n, si cela est possible. Puisque Δ mesure ΓΑ et AB, il mesurera le reste BΓ. Mais il mesure AB ; donc Δ mesure ΑΒ et BΓ ; ; donc AB et BΓ sont commensurables. Mais on les a supposées incommensurables, ce qui est impossible ; donc quelque grandeur ne mesurera pas ΓA et AB ; donc ΓΑ et AB sont incommensurables. Nous démontrerons semblablement que ΑΓ et ΓB sont incommensurables ; donc AΓ est incommensurable avec chacune des grandeurs ΑΒ, BΓ.

Mais que AΓ soit incommensurable avec une des grandeurs ΑΒ, BΓ, et qu’il le soit dʼabord avec AB ; je dis que AB et BΓ sont incommensurables. Car s’ils étaient commensurables, quelque grandeur les mesurerait. Que quelque grandeur les mesure, et que ce soit Δ. Puisque Δ mesure AB et BΓ, il mesurera leur somme AT. Mais il mesure AB ; donc Δ mesure ΓΑ ct AB ; donc ΓΑ et AB sont commensurables. Mais on les a supposées incommensurables, ce qui est impossible ; donc quelque grandeur ne mesurera pas AB et BΓ3 ; donc AB et BΓ sont incommensurables. Nous démontrerons semblablement que si AΓ est incommensurable avec rB, les grandeurs AB, ΒΓ seront aussi incommensurables. Donc, etc.

LEMME.

Si à une droite quelconque on applique un parallélogramme qui soit défaillant d’une figure quarrée, le parallélogramme appliqué est égal au rectangle compris sous les parties de la droite faites par l’application. Appliquons à une droite quelconque AB un parallélogramme ΑΔ qui soit défaillant d’une figure quarrée ΔΒ ; je dis que le parallélogramme As est égal au rectangle compris sous ΑΓ, ΓΒ.

Cela est évident ; car puisque ΔΒ est un quarré, ΔΓ est égal à ΓB, et ΑΔ est égal au rectangle sous ΑΓ, ΓΔ, c’est-à-dire sous ΑΓ, ΓΒ. Donc, etc.

PROPOSITION XVIII.

sera commensurable en longueur avec la plus grande. Et si la puissance de la plus grande surpasse la puissance de la plus petite du quarré d’une droite commensurable en longueur avec la plus grande, et si l’on applique à la plus grande un parallélogramme qui soit défaillant d’une figure quarrée, et qui soit égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite droite, ce parallélogramme divisera la plus grande en parties commensurables en longueur.

Soient les deux droites inégales A, BΓ ; que BΓ soit la plus grande ; appliquons à BΓ un parallélogramme qui soit défaillant d’un quarré, et qui soit égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite A, c’est-à-dire au quarré de la moitié de A ; que ce parallélogramme soit celui qui est sous BA, ΔΓ, et que ΒΔ soit commensurable en longueur avec ΔΓ ; je dis que la puissance de BΓ surpassera la puissance de A du quarré d’une droite commensurable en longueur avec ΒΓ.

Partageons BΓ en deux parties égales au point E, et faisons EZ égal à ΔE ; le reste ΔΓ sera égal à BZ. Et puisque la droite BΓ est coupée en deux parties égales en E, et en deux parties inégales en Δ, le rectangle compris sous ΒΔ, ΔΓ avec le quarré de ES sera égal au quarré de EΓ (5. 2) . Mais les quadruples sont égaux aux quadruples ; donc quatre fois le rectangle sous BΔ, ΔΓ avec le quadruple quarré de ΔΕ est égal au quadruple quarré de ΕΓ. Mais le quarré de A est quadruple du rectangle sous Bs, ar, et le quarré de BZ cst égal au quadruple quarré de ΔΕ, car ZΔ est double de ΔΕ ; et de plus, le quarré de ΒΓ est égal au quadruple du quarré de EΓ ; car BΓ est double de ΕΓ ; donc la somme des quarrés des droites Α, bZ est égale au quarré de BΓ ; donc le quarré de BΓ surpasse le quarré de Α du quarré de sZ ; donc la puissance de ΒΓ surpasse la puissance de A du quarré de ΖΔ. Il reste à démontrer que BΓ est commensurable avec zx. Car puisque BA est commensurable en longueur avec ΔΓ, BΓ est commensurable en longueur avec ΓΔ (16. 10). Mais ΓΔ est commensurable en longueur avec la somme de ΓΔ ct de BZ ; car ΓΔ égale ΒΖ (6, 10) ; donc BΓ est

commensurable en longueur avec la somme de ΒΖ et de ΓΔ ; donc BΓ est commensurable en longueur avec le reste ΖΔ (16. 10o) ; donc la puissance de BΓ surpasse la puissance de A du quarré d’une droite commensurable en longueur avec BT.

Mais que la puissance de ΒΓ surpasse la puissance de A du quarré d’une droite qui soit commensurable en longueur avec BΓ, et appliquons à BΓ un parallélogramme qui soit défaillant d’une figure quarrée, et qui soit égal à la quatrième partie du quarré de A ; que ce parallélogramme soit celui qui est sous ΒΔ, AT. Il faut démontrer que ΒΔ est commensurable en longueur avec ΔΓ.

Ayant fait la même construction, nous démontrerons semblablement que la puissance de BΓ surpasse la puissance de A du quarré de ZΔ. Mais la puissance de BΓ surpasse la puissance de Α du quarré d’une droite qui est commensurable avec BΓ ; donc BΓ est commensurable en longueur avec ZA ; donc BΓ est commensurable en longueur avec le reste, c’est-à-dire avec la somme de ΒΖ et de ΔΓ (16. 10) . Mais la somme des droites BZ et ΔΓ est commensurable avec ar ;

donc ΒΓ est commensurable en longueur avec ΓΔ (12. 10) ; donc, par soustraction, ΒΔ est commensurable eu longueur avec AT (15. 10) . Donc, etc.

PROPOSITION XIX.

Si l’on a deux droites inégales ; si l’on applique à la plus grande un parallélogramme qui soit défaillant d’une figure quarrée, et qui soit égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite, et si ce parallélogramme divise la plus grande en parties incommensurables en longueur, la puissance de la plus grande surpassera la puissance de la plus petite du quarré d’une droite qui sera incommensurable avec la plus grande. Et si la puissance de la plus grande surpasse la puissance de la plus petite du quarré d’une droite incommensurable avec la plus grande ; si l’on applique à la plus grande un parallélogramme qui soit détaillant d’une figure quarrée, et gui soit égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite, ce parallélogramme divisera la plus grande en parties incommensurables en longueur. Soient les deux droites inégales Α, ΒΓ, et que BΓ soit la plus grande ; appliquons à la plus grande un parallélogramme qui soit défaillant d’une figure quarrée, et qui soit égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite A ; que ce parallélogramme soit celui qui est sous ΒΔ, ΔΓ, et que ΒΔ soit incommensurable en longueur avec ΔΓ ; je dis que la puissance de BΓ surpasse la puissance de A du quarré d’une droite incommensurable avec BT.

Ayant fait la même construction quʼauparavant, nous démontrerons semblablement que la puissance de ΒΓ surpasse la puissance de A du quarré de z5.Il reste à démontrer que BΓ est incommensurable en longueur avec sz. Car puisque BA est incommensurable en longueur avec ΔΓ, BΓ est incommensurable en longueur avec AΓ (17. 10) . Mais ΔΓ est commensurable avec la somme de BZ et de ΔΓ (14. 10) ; donc ΒΓ est incommensurable avec la sonme de BZ et de ΔΓ ; donc BΓ est incommensurable en longueur avec le reste ΖΔ (17. 10) ; mais la puissance de ΒΓ surpasse la puissance de A du quarré de ΖΔ ; donc la puissance de ΒΓ surpassera la puissance de A du quarré d’une droite incommensurable avec BT.

Mais que la puissance de Br surpasse la puissance de A du quarré d’une droite incommensurable avec ΒΓ ; appliquons à BΓ un parallélogramme qui soit défaillant d’une figure quarrée, et qui soit égal à la quatrième partie du quarré de A ; et que ce parallélogramme soit celui qui est sous ΒΔ, AΓ ; il faut démontrer que ΒΔ est incommensurable en longueur avec aT.

Ayant fait la même construction, nous démontrerons semblablement que la puissance de BΓ surpasse la puissance de A du quarré de ΖΔ. Mais la puissance de BΓ surpasse la puissance de A du quarré d’une droite incommensurable avec BΓ ; donc BΓ est incommensurable en longueur avec Z3 ; donc BΓ est incommensurable avec le reste, c’est-à-dire avec la somme de ΒΖ et de ΔΓ (17. 10) . Mais la somme de ΒΖ et de ΔΓ est commensurable avec ΔΓ (6. 10) ; donc BΓ est incommensurable en longueur avec ΔΓ (14. 10) ; donc, par soustraction, Bô est incommensurable en longueur avec aΓ (17. 10) . Donc, etc.

SCHOLIE.

Puisqu’on a démontré que les. droites commensurables en longueur le sont toujours en puissance, que celles qui le sont en puissance ne le sont pas toujours en longueur, quoiqu’elles puissent être commensurables et incommensurables en longueur (cor. 9. 10) , il est évident que si une droite est commensurable en longueur avec la rationelle proposée, elle est appelée rationelle, et elle est com- mensurable non seulement en longueur, mais encore en puissance avec la ratio- nelle proposée, puisque les grandeurs commensurables en longueur le sont tou- jours en puissance. Mais si une droite est commensurable non seulement en puissance, mais encore en longueur, avec la rationelle proposée, elle est dite rationelle et commensurable en longueur et en puissance avec la rationelle pro- posée. Et si enfin une droite commensurable en puissance avec la rationelle proposée lui est incommensurable en longueur, elle est dite rationelle commen- surable en puissance seulement.

PROPOSITION XX.

Le rectangle compris sous des droites rationelles commensurables en longueur, suivant quelqu’un des modes dont nous avons parlé, est rationel.

Que le rectangle AΓ soit compris sous les droites rationelles AB, ΒΓ commensurables en longueur ; je dis que AΓ est rationel.

Car décrivons sur AB le quarré ΑΔ ; le quarré ΑΔ sera rationel (déf. 6 et cor. 9. 10). Puisque AB est commensurable en longueur avec BΓ, et que AB égale ΒΔ, ΒΔ est commensurable en longueur avec BΓ. Mais BΔ est à BΓ comme ΔΑ est à AΓ (1. 6) , et BΔ est commensurable avec BΓ ; donc ΔΑ est commensurable avec AΓ (10. 10) . Mais ΔΑ est rationel ; donc AΓ est aussi rationel (déf. 9 et pr. 12. 10).

Donc, etc.

PROPOSITION XXI. , Si une surface rationelle est appliquée à une droite rationelle, elle fera une largeur rationelle, et commensurable en longueur avec la droite à laquelle cette surface est appliquée.

Que la surface rationelle ΑΓ soit appliquée, suivant quelqu’un des modes dont nous avons encore parlé, à la rationelle AB, faisant la largeur BΓ ; je dis que BΓ est rationel et commensurable en longueur avec AB.

Car décrivons sur ΑΒ le quarré ΑΔ ; ΑΔ sera rationel (déf. 6 et cor. 9. 10) . Mais ΑΓ est rationel ; donc ΔΑ est commensurable avec ΑΓ (déf. 9 et pr. 12. 10) . Mais ΔΑ est à ΑΓ comme ΔΒ est à BΓ (1. 6) ; donc ΔΒ est commensurable avec BΓ (10. 10) . Mais ΔΒ est égal à BA ; donc AB est commensurable avec ΑΓ. Mais AB est rationel ; donc BΓ est aussi rationel, et commensurable en longueur avec AB (déf. 6 et pr. 12. 10). Donc, etc.

LEMME.

La droite dont la puissance est une surface irrationelle, est irrationelle.

Que la puissance de A soit une surface irrationelle, c’est-à-dire que le quarré de A soit égal à une surface irrationelle ; je dis que A est irrationel.

Car si A était rationel, le quarré de A serait rationel, ainsi que cela est dit dans les définitions (déf. 8 et cor. 9. 10) . Mais il ne l’est pas ; donc A est irrationel. Ce quʼil fallait démontrer.

PROPOSITION XXII.

Le rectangle compris sous des droites rationelles, commensurables en puissance seulement, est irrationel, et la droite dont la puissance égaie ce rectangle sera irrationelle ; cette droite s’appèlera médiale.

Que le rectangle ΑΓ soit compris sous les droites rationelles ΑΒ, BΓ commensurables en puissance seulement ; je dis que le rectangle ΑΓ est irrationel, et que la droite dont la puissance est égale à ce rectangle est irrationelle ; que cette droite soit appelée médiale.

Car décrivons sur AB le quarré ΑΔ ; ΑΔ sera irrationnel. Et puisque AB est in- commensurable en longueur avec BΓ ; car on a supposé que ces deux droites étaient commensurables en puissance seulement, et que de plus AB est égal à BÛ, ΔB sera incommensurable en longueur avec ΒΓ. Mais ΒΔ est à ΒΓ comme ΑΔ est à ΑΓ (1. 6) ; donc ΔΑ est incommensurable avec ΑΓ (10. 10) ; mais ΔΑ est rationel ; donc At est irrationnel (déf. 10 et pr. 13. 10) ; donc la droite dont la puissance égale AΓ, c’est-à-dire la droite dont la puissance est un quarré égal à ΑΓ est irrationelle (déf. 11. 10) . Cette droite sera appelée médiale. Ce qu’il fallait démontrer.

LEMME.

Si l’on a deux droites, la première sera à la seconde comme le quarré de la première est au rectangle compris sous ces deux droites.

Soient les deux droites ZE, EH ; je dis que ZE est à ΕΗ comme le quarré de ZE est au rectangle compris sous ZE, EH.

Décrivons sur ΖΕ le quarré ΔΖ, et achevons HΔ. Puisque ZE est à EH comme ΖΔ est à ΔH (1. 6) ; que ΖΔ est le quarré de ZE, et que ΔΗ est le rectangle sous ΔΕ EH, cʼest-a-dire sous ΖΕ, EH, la droite ZE est à EH comme le quarré de ZE est au rectangle sous ZE, EH. Semblablement le rectangle sous HE, EZ est au quarré de EZ, c’est-à-dire ΗΔ est à ZA comme RE. est à EZ. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXIII.

Le quarré d’une médiale appliqué à une rationelle fait une longueur rationelle et incommensurable en longueur avec la droite à laquelle il est appliqué.

Soit la médiale Α, et la rationelle ΓB ; appliquons à BΓ un rectangle ΒΔ, qui soit égal au quarré de A, et qui fasse la largeur ΓΔ ; je dis que la droite ΓΔ est rationelle et incommensurable en longueur avec ΓΒ.

Car, puisque la droite A est médiale, sa puissance égale une surface comprise sous des rationelles commensurables en puissance seulement (22. 10) . Que sa puissance soit égale à HZ ; mais sa puissance égale aussi ΔΒ ; donc ΔΒ égale HZ. Mais ΔΒ est équiangle avec HZ ; et dans les parallélogrammes équiangles et égaux, les côtés qui comprènent des angles égaux, sont réciproquement proportionnels (14. 6) ; donc ΒΓ est à EU comme ΕΖ est à ΓΔ ; donc le guarré de BΓ est au quarré de EHO comme le quarré de Ez est au quarré de ΓΔ (22. 6) . Mais le quarré de ΓΒ est commensurable avec le quarré de ΕΗ ; car chacune de ces droites est rationelle (22. 10) ; donc le quarré de EZ est aussi commensurable avec le quarré de ΓΔ (ro. 10) . Mais le quarré de EZ est rationel ; donc le quarré de ΓΔ est rationel aussi ; donc ΓΔ est rationel. Et puisque la droite EZ est incommensurable en longueur avecFH ; car celle-ci ne lui est commensurable qu’en puissance, et que EZ est à ΕΗ͂ comme le quarré de ΕΖ est au rectangle sous ZE, EH (lem. 22. 10) , le quarré de EZ est incommensurable avec le rectangle sous ZE, EH (ro. 1o) . Mais le quarré de ΓΔ est commensurable avec le quarré de EZ, car ces droites sont rationelles en puissance, et le rectangle sous ΔΓ, B est commensurable avec le rectangle sous ZE, EH, car ils sont égaux chacun au quarré de A ; donc le quarré de ΓΔ est incommensurable avec le rectangle sous AT, ΓΒ (13. 10) . Mais le quarré de ΓΔ est au rectangle sous ΔΓ, ΓΒ comme ΔΓ est à ΓB (lem. 22) ; donc ΔΓ est incommensurable en longueur avec ΓΒ ; donc ΓΔ est rationel et incommensurable en longueur avec ΓΒ (déf. 6. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXIV.

Une droite commensurable avec une médiale, est une médiale.

Soit la médiale A, et Ζιιὼ B soit commensurable avec A ; je dis que la droite E est médiale.

Car soit la rationelle ΓΔ, et soit appliqué à ΓΔ un rectangle ΓΕ qui, faisant la largeur ΕΔ, soit égal au quarré de Α ; la droite ΕΔ sera rationelle et incom- mensurable en longueur avec ΓΔ (23. 10). Soit aussi appliqué à ΔΓ un rectangle ΓΖ qui, faisant la largeur ZA, soit égal au quarré de B. Puisque A est commen- surable avec B, le quarré de A sera commensurable avec le quarré de B (cor. 9. 10) . Mais ΕΓ est égal au quarré de Α, et ΓΖ est égal au quarré de B ; donc EΓ est commensurable avec ΓZ, Mais EΓ est à ΓZ comme EΔ est a ΔΖ (1. 6) ; donc ΕΔ est commensurable en longueur avec ΔZ (10. 10) . Mais la droite ΕΔ est rationelle et incommensurable en longueur avec ΔΓ (23. 10) ; donc la droite ΔΖ est rationelle et incommensurable en longueur avec ΔΓ (13. 10) ; donc les droites ΓΔ, ΔΖ sont rationelles et commensurables en puissance seulement. Mais la droite dont la puissance égale un rectangle sous des rationelles commensu- rables en puissance seulement, est une médiale (22. 10} ; donc la droite, dont la puissance égale le rectangle sous ΓΔ, ΔΖ, est une médiale ; mais la puissance- de B égale le rectangle sous ΓΔ, ΔZ ; donc la droite B est une médiale.

COROLLAIRE.

De là il est évident. qu’une surface commensurable avec une surface médiale est médiale. Car les droites dont les puissances sont égales à ces surfaces sont commensurables en puissance, et l’une de ces droites est médiale ; donc la droite restante est médiale. Mais d’après ce qui a été dit dans les rationelles, on peut conclure dans les médiales qu’une droite commensurable à une médiale. est une médiale, cette droite lui étant commensurable non seulement en longueur, mais encore en puissance ; car généralement les droites commen- surables en longueur le sont toujours en puissance. Mais si une droite est commensurable en puissance avec une médiale, et si elle l’est aussi en longueur, les médiales sont dites commensurables en longueur et en puissance. Mais si elles ne sont commensurables qu’en puissance, elles sont dites médiales commen- surables en puissance seulement.