Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 19)

PROPOSITION XXV.

Le rectangle compris sous des médiales commensurables en longueur, suivant quelqu’un des modes dont nous avons parlé, est médial.

Que le rectangle AΓ soit compris sous les droites médiales AB, ΒΓ commensurables en longueur ; je dis que ΑΓ est médial.

Décrivons sur AB le quarré ΑΔ, ΑΔ sera médial (cor. 24. 10). Et puisque AB est commensurable en longueur avec ΒΓ, et que AB est égal à B5, la droite ΔΒ est commensurable en longueur avec Br ; donc ΔΑ est commensurable avec ΑΓ. Mais ΔΑ est médial (cor. 24. 10) ; donc AΓ est aussi médial. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXVI.

Le rectangle compris sous des droites médiales commensurables. en puissance seulement, est ou rationel ou médial.

Que le rectangle AΓ soit compris sous les droites médiales AB, BΓ, commensurables en puissance seulement ; je dis que ΑΓ est ou rationel ou médial.

Car décrivons sur les droites AB, BΓ les quarrés ΑΔ, BE ; chacun des quarrés ΑΔ, BE sera médial. Soit la rationelle ZH ; appliquons à ZH le parallélogramme rectangle HΘ, qui ayant ZΘ pour largeur, soit égal à ΑΔ ; appliquons aussi à ΘΜ le parallélogramme rectangle Mk, qui ayant ΘK pour largeur, soit égal à AT, et enfin appliquons semblablement à kN le parallélogramme rectangle NA, qui ayant KA pour largeur, soit égal à BE (45. 1) ; les droites ΖΘ, ΘΚ, ΚΛ seront en ligne droite (14. 1) Puisque chacun des quarrés AM, BE est médial ; que AΔ est égal à ΗΘ, et BE égal à NΛ, chacun des rectangles HA, NA sera médial ; mais ils sont appliqués sur la rationelle ZH ; donc chacune des droites ΖΘ, KA est rationelle et incommensurable en longueur avec ZH (23. 10) . Mais ΑΔ est commensurable avec BE ; donc ΗΘ est commensurable avec NA. Mais ΗΘ est à NA comme ZΘ est à KΛ (1. 6) ; donc ΖΘ est commensurable en longueur avec KΛ (10. 10) ; donc les droites ΖΘ, ΚΛ sont des rationelles commensurables en longueur ; le rectangle sous ΖΘ, ΚΛ est donc rationel. Εἰ puisque BΔ est égal à BA, et ZB égal à BΓ, ΔΒ seyra à ΒΓ comme AB est à BZ ; mais oB est à BI comme ΔΑ est à ΑΓ, et AB est à BΞ comme ΑΓ est à ΓΞ (1. 6) ; donc ΔΑ est à ΑΓ comme ΑΓ est à ΓΞ. Mais ΑΔ est égal à ΗΘ, AΓ égal à MK, et ΓΞ égal à NA ; donc ΗΘ est à MK comme ΜΚ est à NΛ ; donc ΖΘ est à ΘΚ comme ΘΚ est à ΚΛ ; le rectangle compris sous ΖΘ, ΚΛ est donc égal au quarré de ΘΚ (17. 6). Mais le rectangle sous ZΘΚ, ΚΛ est rationel (20. 10) ; donc le quarré de ΘΚ est rationnel ; gdonc la droite ΘK est rationelle. Et si ΘΚ est commensurable en lon- gueur avec ZH, la surface ΘΝ sera rationelle. Mais si ΘΚ est incommensurable en longueur avec ZH, les droites ΚΘ, ΘΜ seront des rationelles commensurables en puissance seulement, et la surface ΘΝ sera médiale (22. 10} ; donc ΘN est rationel ou médial. Mais ΘN est égal à ΑΓ ; donc ΑΓ est ou rationel ou médial. Donc, etc.

PROPOSITION XXVII.

Une surface médiale. ne surpasse pas une surface médiale d’une surface rationelle.

Car, que la surface médiale AB, s’il est possible, surpasse la surface médiale ΑΓ d’une surface rationelle ΔΒ ; soit la rationclle EZ ; appliquons à EZ le parallé- logramme rectangle ZΘ, qui, étant égal à AB, ait EΘ pour largeur (45. 1) ; et de ΖΘ retranchons ZH égal à AT ; le reste ΒΔ sera égal au reste ΚΘ. Mais ΔΒ est rationel donc Ka est rationel. Et puisque chacune des surfaces AB, AΓ est médiale, que ΑΒ est égal à ZΘ, et que ΑΓ est égal à ZH, chacune des surfaces ZΘ, ZH sera médiale. Mais ces surfaces sont appliquées à EZ ; donc chacune des droites ΕΘ, EH est rationelle et incommensurable en longueur avec EZ (23. 10) . Et puisque ΔΒ est rationel, et qu’il est égal à kΘ, ΚΘ sera rationel ; mais il est appliqué a la ratio- nelle EZ ; donc Ho est rationel el£ commensurable en longueur avec EZ (21. 10) . Mais EH est rationel et incommensurable en longueur avec ΕΖ ; donc EH est in- commensurable en longueur avec ΗΘ (13. 10) . Mais ΕΗ est à HA commelle quarré de EH est au rectangle sous EB, HΘE (1. 6) ; donc le quarré de EH est incommensurable avec le rectangle sous EH, ΗΘ (10. 10) . Mais la somme des quarrés des droites EH, HΘ est commensurable avec le quarré de EH, car ces quarrés sont rationels et le double rectangle sous EH, HΘ est commensurable avec le rectangle sous EH, ΗΘ, car il en est le double ; donc la somme des quarrés de EH et de ΗΘ est incommensurable avec le double rectangle sous EH, HΘ (14. 10) ; donc la somme des quarrés des droites EH, ΗΘ, du double du rectangle sous EH, HA, qui est le quarré de EΘ (4. 2) , est incommensurable avec la somme des quarrés des droites EH, HΘ (17. 10) . Mais les quarrés de ΕΗ et de ΗΘ sont rationels ; donc le quarré de EΘ est irrationel (déf. 10. 10) ; donc ΕΘ est irrationel. Mais il est rationel, ce qui est impossible. Donc, etc.

PROPOSITION XXVIII.

Trouver des médiales commensurables en puissance seulement, qui contiènent une surface rationelle.

Soient A, B deux rationelles commensurables en puissance seulement ; prenons une moyenne proportionnelle Γ entre A et B (13. 6) , et faisons en sorte que A soit à B comme Γ est à Δ (12. 6).

Puisque les rationelles A, B sont commensurables en puissance seulement, le rectangle sous A, B (22. 10) , c’est-à-dire le quarré de Γ, est médial (17. 6) ; donc Γ est médial. Et puisque Α est à B comme Γ est à Δ, et que les droites A, B ne sont commensurables qu’en puissance ; les droites Γ, Δ ne sont commensurables qu’en puissance (10. 10) . Mais Γ est médial ; donc Δ est médial (24. 10) ; donc les droices Γ, Δ sont des médiales commensurables en puissance seulement (24. 10). Je dis aussi qu’elles comprènent une surface rationelle. Car puisque A est à B comme Γ est à Δ, par permutation A est à Γ comme B est à Δ (16. 5) . Mais A est à Γ comme Γ est à B ; donc Γ est à B comme B est à Δ ; donc le rectangle sous Γ, Δ est égal au quarré de B (17. 6) . Mais le quarré de B est. rationel ; le rectangle sous Γ, Δ est donc aussi rationel.

On a donc trouvé des médiales commensurable en puissance seulement. Ce quʼil fallait faire.

PROPOSITION XXIX.

Trouver des médiales. commensurables en puissance seulement, qui comprènent une surface médiale.

Soient les trois rationelles A, B, Γ commensurables en puissance seulement ; prenons une moyenne proportionnelle Δ entre A et B (13. 6), et faisons en sorte que B soit à Γ comme Δ est à E (12. 6) .

Puisque les droites A, B sont des rationelles commensurables en puissance seulement, le rectangle sous Α, B (22. 10) , c’est-à-dire le quarré de Δ (17. 6) sera médial ; donc la droite‘a est médiale. Et puisque les droites B, Γ ne sont commensurables qu’en puissance, et que B est à Γ comme Δ est à E, les droites Δ, E ne sont commensurables qu’en puissance (10. 1Ο) . Mais Δ est médial ; donc E est médial (24. 10) ; donc les droites Δ, E sont des médiales commensurables en puissance seulement. Je dis aussi qu’elles comprènent une surface médiale ; car puisque B est à Γ comme Δ est à E, par permutation B est à Δ comme Γ est à E. Mais B est à Δ comme Δ est à A ; donc Δ est à A comme Γ est à E ; donc le rectangle sous A, Γ est égal au rectangle sous Δ, E (10. 6) . Mais le rectangle sous A, Γ est médial (22. 10) ; donc le rectangle sous Δ, Ε est médial.

On a donc trouvé des médiales commensurables en puissance seulement, qui comprènent une snrface médiale. Ce qu’il fallait faire.

COROLLAIRE.

Il est évident de plus qu’on a trouvé deux quarrés, savoir le quarré de ΒΔ et celui de ΓΔ, de manière que leur différence, qui est le produit de AB par BΓ, est un quarré, lorsque les nombres AB, BΓ sont des plans semblables. Mais lorsque ces nombres ne sont pas des plans semblables, on trouve deux quarrés, celui de BΔ et celui de ΓΔ, dont la différence, qui est le produit de AB par ΒΓ, n’est pas un quarré.

LEMME I.

Trouver deux nombres quarrés, de manière que leur somme soit un quarré.

Soient les deux nombres AB, ΒΓ ; quʼils soient ou pairs ou impairs. Puisque si d’un nombre pair on ôte un nombre pair, ou si d’un nombre impair on ôte un impair, le reste est pair (24, et 20. 9) ; le reste ΑΓ est donc pair. Partageons ΓᾺ en deux. parties égales en Δ. Que les nombres AB, ΒΓ soient ou des plans semblables ou des quarrés qui sont eux-mêmes des plans semblables ; le produit de AB par BΓ avec le quarré de ΓΔ sera égal au quarré de ΔΒ (6. 2) . Mais le produit de AB par ΒΓ est un quarré ; car on a démontré que si deux plans semblables se multipliant eux-mêmes font un nombre, le produit est un quarré (1. 9) ; on a donc trouré deux nombres quarrés, savoir le produit de AB par BΓ, et le quarré de ΓΔ, dont la somme égale le quarré de ΒΔ. Ce qu’il fallait faire.

LEMME II.

Trouver deux nombres quarrés, dont la somme ne soit pas un quarré.

Que le produit de AB par BΓ soit un quarré, comme nous l’avons dit ; que ΓΑ soit un nombre pair ; partageons ΓΑ en deux parties égales en Δ. Il est évident que le quarré qui résulte du produit de AB par BΓ avec le quarré de Γ ; est égal au quarré de Bs (6. 2) . Retranchons l’unité ΔΕ ; le quarré qui résultera du produit de AB par BΓ avec le quarré de ΓE sera plus petit que le quarré de Bs. Et je dis que le quarré qui résulte du produit de ΑΒ par BΓ avec le quarré de ΓΕ n’est pas un quarré.

Car si ce nombre est un quarré, ou il est égal au quarré de BE, ou il est plus petit que lui ; mais il ne peut pas être plus grand ; car, si cela était, l’unité serait partagée. Que le produit de AB par BΓ avec le quarré de ΓΕ soit d’abord égal au quarré de BE, si cela est possible, et que HA soit double de l’unité ΔΕ. Puisque AT tout entier est double de ΓΔ tout entier, et que 4Η est double de ΔΕ, le reste HT sera double du reste EΓ ; donc ΗΓ est partagé en deux parties égales en E ; donc le produit de HB par BΓ avec le quarré de ΓΕ est égal au quarré de BE (0. 2) . Mais le produit de AB par. BΓ avec le quarré de TE est supposé égal au quarré de BE ; donc le produit de HB par BΓ avec le quarré de ΓE est égal au produit de AB par ΒΓ avec le quarré de ΓΕ. Le quarré commun de ΓΕ étant retranché, on conclura que AB est égal à HB, ce qui est absurde ; donc le produit de ΑΒ par BΓ avec le quarré de TE n’est pas égal au quarré de BE. Je dis, de plus, qu’il n’est pas plus petit que le quarré de BE. Car, si cela est possible, qu’il soit égal au quarré de BZ, et que. ΘA soit double de 5Z. On conclura encore que ΘΓ est double de ΓΖ, de manière que ΓΘ sera partagé en deux parties égales en Z ; donc le produit de ΘB par. BΓ avec le quarré de ZΘ sera égal au quarré de ΒΖ (6. 2) . Mais le produit de AB par Br avec le quarré de ΓE est supposé égal au quarré de. zB ; donc le produit de ΘΒ par BΓ avec le quarré de ΓΖ sera égal au produit de AB par BF avec le quarré de ΓΕ, ce qui est absurde ; donc le produit de ΑΒ par ΒΓ avec le quarré de ΓΕ n’est pas égal à un plus petit quarré que celui de BE. Mais on a démontré qu’il n’est pas égal au quarré de BE, ni à un quarré plus grand. Donc le produit de ΑΒ par BΓ avec le quarré de TE n’est pas un quarré. Ce lemme peut se démontrer de plusieurs manières ; je me contenterai de celle que je viens d’exposer, afin de ne pas être trop long.

PROPOSITION XXX.

Trouver deux rationelles commensurables en puissance seulement, de manière que la puissance de la plus grande surpasse la puissance de la plus petite du quarré d’une droite commensurable en longueur avec la plus grande.

Soient une rationelle AB, et deux nombres quarrés ΓΔ, ΔΕ, de manière que leur excès ΓΕ ne soit pas un quarré (cor. 29. 10) . Sur AB décrivons le demi- cercle AZB ; faisons en sorte que ΔΓ soit à ΓΕ comme le quarré de BA est au quarré de Α2 (6. 10) ; et joignons ZB.

Car, puisque le quarré de BA est au quarré de AZ comme ΔΓ est à TE, le quarré de. BA aura avec le quarré de AZ la raison que le nombre ΔΓ a avec le nombre ΓΕ ; le quarré de BA sera donc commensurable avec le quarré de ΑΖ (6. 10). Mais le quarré de ΑΒ est rationel (déf. 8. 10) ; donc le quarré de ΑΖ est rationel (déf. 9. 10) ; donc la droite AZ est rationelle (déf. 6. 10) . Et puisque ΔΓ n’a pas avec ΓΕ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de BA mʼaura pas avec le quarré de ΑΖ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; donc ΒΑ est incommensurable en longueur avec ΑΖ (9. 10) ; donc les rationelles BA, AZ ne sont commensurables qu’en puissance (déf. 3 10) . Et puisque ΔΓ est à ΓΕ comme le quarré de AB est au quarré de AZ ; par conversion : ΓΔ est à ΔΕ comme le quarré de ΑΒ est au quarré de BZ (19. 5 et 47. 1) . Mais ΓΔ a avec ΔΕ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; donc le quarré de AB a avec le quarré de BZ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; donc AB est commensurable en longueur avec ΒΖ (9. 10. ) . Mais le quarré de AB est égal à la somme des quarrés de ΑΖ et de ZB (47. 1) ; donc la puissance de AB surpasse la puissance de ΑΖ du quarré de la droite commensurable en longueur avec AB.

On a donc trouvé deux rationelles BA, AZ commensurables en puissance seulement, de manière que la puissance de la plus grande BA surpasse la puissance de la plus petite ΑΖ du quarré de la droite BZ commensurable en longueur avec ΑΒ. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XXXI.

Trouver deux rationelles commensurables en puissance seulement, de manière que la puissance de la plus grande surpasse la puissance de la plus petite du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec elle.

Soient la rationelle AB, et les deux nombres quarrés ΓΕ, ED, de manière que leur somme ΓΔ ne soit pas un quarré (lem. 2. 29. 10) ; sur la droite 4Β, décrivons le dermni-cercle AZB ; faisons en sorte que ΓΔ soit à ΓΕ comme le quarré de AB est au quarré de AZ (cor. 6. 10) , et joignons BZ. Nous démontrerons semblablement comme auparavant que les rationelles BA, AZ ne sont commensurables qu’en puis- sance. Puisque sT est à ΓΕ Comme le quarré de BA est au quarré de AZ, par conversion ΓΔ sera à ΔΕ comme le quarré de AB est au quarré de ΒΖ. Mais ΓΔ n’a pas avec ΔΕ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; donc le quarré de de AB n’a pas avec le quarré de Bz la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; donc AB est incommensurable en longueur avec ΒΖ (9. 10) ; donc la puissance de ΑΒ surpasse la puissance de Az du quarré d’une droite ZB incommensurable avec AB ; donc les rationelles AB. , BZ ne sont commensurables qu’en puissance, et la puissance de AB surpasse la puissance de Az du. quarré de la droite ZB. incommensurable en longueur avec ΑΒ. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XXXI.

Trouver deux médiales qui nʼétant commensurables qu’en puissance, comprènent un rectangle rationel, de manière que la puissance de la plus-grande surpasse la puissance de la plus petite du quarré d’une droite commensurable en longueur avec la plus grande.

Soient les deux rationelles A, B commensurables en puissance seulement, de manière que la puissance de la plus grande Α surpasse la puissance de la plus petite B du quarré d’une droite commensurable en longueur avec A (30. 10) . Que le quarré de Γ soit égal au rectangle sous A, B. Mais le rectangle sous A, B est médial (22. 10) ; donc le quarré de Γ est médial ; donc la droite Γ est médiale. Que le rectangle sous T, Δ soit égal au quarré de B ; puisque le quarré de B est rationel, le rectangle sous Γ, Δ sera rationel. Et puisque A est à B comme le rectangle sous A, B est au quarré de B (1. 6) , que le quarré de Γ est égal au rectangle sous A, B, et que le rectangle sous Γ, Δ est égal au quarré de B, la droite A sera à la droite B comme le quarré de T est au rectangle sous Γ, Δ. Mais le quarré de Γ est au rectangle sous Γ, Δ comme T est à Δ ; donc A est à B comme Γ est à Δ. Mais A n’est commensurable avec B qu’en puissance ; donc Γ nʼest commensurable avec Δ qu’en puissance (1o. 10) Mais Γ est médial ; donc Δ est médial (24. 10) . Et puisque A est à B comme Γ est à Δ, et que la puissance de A surpasse la puissance de B du quarré d’une droite commensurable avec Α, la puissance de Γ surpasse la puissance de δ du quarré d’une droite commensurable avec Γ (15. 10) .

On a donc trouvé deux médiales T, Δ commensurables en puissance seulement, qui comprènent un rectangle rationel ; et la puissance de T surpasse la puissance de Δ du quarré d’une droite commensurable en longueur avec Γ.

Ce quʼil fallait faire.

Si la puissance de A surpassait la puissance de B du quarré d’une droite incommensurable avec A, on démontrerait semblablement qu’on peut trouver deux. médiales, qui n’étant com mensurables qu’en puissance, comprènent un rectangle rationel, de manière que la puissance de la plus grande surpasse la puissance de la plus petite du quarré d’une droite incommensurable avec la plus grande.

PROPOSITION XXXIII.

Trouver deux médiales qui n’étant commensurables qu’en puissance, com- prènent un rectangle médial, de. manière que la puissance de la plus grande surpasse la puissance. de la plus petite du quarré d’une droite commensurable avec la plus grande.

Soient les trois rationelles A, B, Γ commensurables en puissance seulement, de manière que la puissance de A surpasse la puissance de Γ du quarré d’une droite commensurable avec A (30. 10); que le quarré de Δ soit égal au rectangle sous A, B (14. 2) ; le quarré de s sera médial (22. 10) , et la droite Δ médiale. Que le rectangle sous Δ, E soit égal au rectangle sous B, Γ (45. 1). Puisque le rectangle sous A, B est au rectangle sous Β, Γ comme A est à Γ (1. 6), que le quarré de Δ est égal au rectangle sous A, B, et que le rectangle sous Δ ; Ε est égal au rectangle sous B, Γ, la droite A est à Γ comme le quarré de Δ est au rectangle sous Δ, E. Mais le quarré de Δ est au rectangle sous Δ, B comme Δ est à E (33. 10) ; donc A est à Γ comme Δ est à Ε. Mais A n’est commensurable avec Γ qu’en puissance ; donc Δ n’est commensurable avec E qu’en puissance (10. 10) ; mais Δ est médial ; donc E est médial (24. 10). Et puisque A est à Γ comme Δ est à E, et que la puissance de A surpasse la puissance de Γ du quarré d’une droite commensurable avec A, la puissance de Δ surpassera la puissance de E du quarré d’une droite commensurable avec Δ (15. 10). Je dis aussi que le rectangle sous Δ, E est médial. Car puisque le rectangle sous B, Γ est égal au rectangle sous Δ, E, et que le rectangle sous B, Γ est médial, parce que les rationelles B, Γ ne sont commensurables qu’en puissance, le rectangle sous Δ, E sera médial.

On a donc trouvé deux médiales qui nʼétant commensurables qu’en puissance, comprénent un rectangle médial, de manière que la puissance de la plus grande surpasse la puissance de la plus petite du quarré d’une droite commensurable avec la plus grande. Ce quʼil fallait faire. Si la puissance de A surpassait la puissance de Γ du quarré d’une droite in- commensurable avec A, on démontrerait semblablement qu’on peut trouver deux médiales, qui n’étant commensurables qu’en puissance, comprènent un rectangle médial, de manière que la puissance de la plus grande surpasse la puissance de la plus petite du quarré d’une droite incommensurable avec la plus grande.

LEMME.

Soit le triangle rectangle ABΓ, dont l’angle droit est BAΓ ; menons la perpendiculaire ΑΔ ; je dis que le rectangle sous IB, BΔ est égal au quarré de B, que le rectangle sous BT, ΓΔ est égal au quarré de ΓA, que le rectangle sous BΔ, ΔΓ est égal au quarré de ΑΔ, et enfin que le rectangle sous Br, ΑΔ est égal au rectangle sous BA, ΑΓ. Je dis d’abord que le rectangle sous ΓB, ΒΔ est égal au quarré de BA.

Car puisque dans un triangle rectangle on a mené de l’angle droit la droite AΔ perpendiculaire à la base, les deux triangles ΑΒΔ, ΑΔΓ sont semblables au triangle entier ABΓ, et semblables entr’eux (8. 6) . Et puisque le triangle ΑΒΓ est semblable au triangle 4Bs, ΓB est à ΒΑ comme BA est à BΔ (déf. 1. 6) ; donc le rectangle sous ΓB, ΒΔ est égal au quarré de AB (17. 6) . Par la même raison, le rectangle sous ΒΓ, ΓΔ est égal au quarré de Ar. Et puisque si de l’angle droit d’un triangle rectangle on mène une perpendiculaire à la base, la perpendiculaire est moyenne proportionnelle entre les segments de la base (cor. 8. 6) , la droite ΒΔ est à ΔΑ comme ΑΔ est à Δ (18. 6) ; donc le rectangle sous ΒΔ, ΔΓ est égal au quarré de ΔΑ. Je dis enfin que le rectangle sous BΓ, ΑΔ est égal au rectangle sous BA, ΑΓ. Car puisque, comme nous l’avons dit, ΑΒΓ est semblable au triangle ABΔ, ΒΡ est à ΓΑ comme Ba est à AN. Mais si quatre droites sont proportionelles, le rectangle sous les extrêmes est égal au rectangle sous. les moyennes (16. 6) ; donc le rectangle sous BΓ, ΑΔ sera égal au rectangle sous BA, ΑΓ. Je dis encore que, si nous décrivons le parallélogramme rectangle ΕΓ, et si nous achevons AZ, le rectangle EΓ sera égal au rectangle AZ, car chacun d’eux est double du triangle ABΓ ; mais ET est le rectangle compris sous ΒΓ, ΑΔ, et AZ le rectangle compris sous BA, ΑΓ ; donc le rectangle sous BΓ, ΑΔ est égal au rectangle sous ΒΑ, ΑΓ. Ce qu’il fallait démontrer.

PROPOSITION XXXIV.

Trouver deux droites incommensurables en puissance, de manière que la somme de leurs quarrés soit rationelle, et que le rectangle compris sous ces droites soit médial.

Soient les deux rationelles AB, ΒΓ commensurables en puissance seulement, de manière que la puissance. de la plus grande AB surpasse la puissance de la plus petite BΓ du quarré d’une droite incommensurable avec AB (31, 10) ; coupons ΒΓ en deux parties égales en Δ ; appliquons à AB un parallélogramme qui, étant égal à l’un ou à l’autre/des quarrés des droites ΒΔ, ΔΓ, soit défaillant dʼune figure quarrée (26. 6) , et que ce soit le rectangle sous AE, EB ; décrivons sur la droite AB le demi-cercle AZB ; menons la droite EZ perpendiculaire à ΑΒ, et joignons AZ, ZB.

Puisque les deux droites AB, ΒΓ sont inégales ; que la puissance de AB surpasse la puissance de BΓ du quarré d’une droite incommensurable avec AB ; qu’on a appliqué à ΑΒ un parallélogramme qui, étant égal à la quatrième partie du quarré de BΓ, c’est-à-dire au quarré de la moitié de cette droite, est défaillant d’une figure quarrée, et que ce parallélogramme est contenu sous AE, EB, la droite AE sera incommensurable avec EB (19. 10) . Et puisque AE est à EB comme le rectangle sous BA, AE est au rectangle sous AB, ΒΕ (1. 6) , que le rectangle sous AB, AE est égal au quarré de AZ, que le rectangle sous AB, BE est égal au quarré de ΒΖ, le quarré de AZ sera incommensurable avec le quarré de ΖΒ ; donc les droites AZ, ZB sont incommensurables en puissance. Et puisque la droite AB est rationelle, le quarré de AB est rationel ; donc la somme des quarrés de ΑΖ et de ΖΒ est rationelle. Et de plus, puisque le rectangle sous AE, EB est égal au quarré de EZ, et que le rectangle sous AE, EB est supposé égal au quarré de By, la droite ZE est égale à BΔ ; donc BΓ est double de EZ ; donc le rectangle sous AB, BΓ est commensurable avec le rectangle sous AB, EZ (1. 6) . Mais le rectangle sous AB, BΓ est médial (22. 10) ; donc le rectangle sous AB, EZ est médial. Mais le rectangle sous AB, EZ est égal au rectangle sous AZ, ZB (lem. 1. 35) ; donc le rectangle sous AZ, ZB est médial. Mais on a démontré que la somme des quarrés de az et de ΖΒ est rationelle.

On a donc trouvé deux droites AZ, ZB incommensurables en puissance, de manière que la somme de leurs quarrés est rationelle, et que le rectangle sous ces mêmes droites est médial. Ce quʼil fallait faire.

PROPOSITION XXXV.

Trouver deux droites incommensurables en puissance, de manière que la somme de leurs quarrés soit médiale, et que le rectangle qu’elles comprènent soit rationel.

Soient deux médiales AB, ΒΓ commensurables en puissance seulement, et comprenant un rectangle rationel, de manière que la puissance de AB surpasse la puissance de BΓ du quarré d’une droite incommensurable avec AB (32. 10) ; sur AB décrivons le demi-cercle AΔB ; coupons BΓ en deux parties égales en E ; appliquons à AB un parallélogramme qui, étant égal au quarré de BE, soit détaillant d’une figure quarrée (28. 6) , et que ce soit le rectangle sous AZ, ZB ; la droite AZ sera incommensurable en longueur avec ZB (19. 10) . Du point Z menons ΖΔ perpendiculaire à AB, et joignons ΑΔ, ΔB. Puisque AZ est incommensurable avec ZB, le rectangle sous BA, AZ est incommensurable avec le rectangle sous AB, BZ (1. 6, et 10. 10) . Mais le rectangle sous BA, AZ est égal au quarré de ΑΔ, et le rectangle sous AB, ΒΖ est égal au quarré de ΔB (34. lem. 1. 10) ; le quarré de ΑΔ est donc incommensurable avec le quarré de ΔΒ. Mais le quarré de AB est médial ; donc la somme des quarrés de ΑΔ et de ΔΒ est médiale. Et puisque BΓ est double de ΔΖ, le rectangle sous AB, BΓ est double du rectangle sous ΑΒ, ΖΔ (1. 6) . Mais le rectangle sous AB, BΓ est rationel ; donc le rectangle sous AB, ZA est rationel. Mais le rectangle sous AB, ΖΔ est égal au rectangle sous AS, ΔΒ (34. lem. 3. 10) ; le rectangle sous AB, ΔΒ est donc rationel.

On a donc trouvé deux droites AΔ, ΔΒ incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, et le rectangle sous ces droites étant rationel. Ce qu’il fallait faire.

PROPOSITION XXXVI.

Trouver deux droites incommensurables en puissance, de manière que la somme de leurs quarrés soit médiale, et que le rectangle compris sous ces droites soit médial et incommensurable avec la somme des quarrés de ces mêmes droites.

Soient deux médiales AB, BΓ commensurables en puissance seulement, et comprenant une surface médiale, de manière que la puissance de AB surpasse la puissance de BΓ du quarré d’une droite incommensurable avec AB (33. 10} ; et sur AB décrivons le demi-cercle AΔB, et faisons le reste comme il a été dit auparavant.

Puisque ΑΖ est incommensurable en longueur avec ΖΒ, la droite AΔ est incommensurable en puissance avec ΔB. Et puisque le quarré de ΑΒ est médial, la somme des quarrés de ΑΔ et de ΔΒ est médiale. Et puisque le rectangle sous AZ, ZB est égal au quarré de l’une ou de l’autre des droites BE, ΔΖ, la droite BE est égale à ΔΖ ; donc ΒΓ est double de ZΔ ; le rectangle sous. AB, BΓ est donc double du rec- tangle sous AB, ZΔ. Mais le rectangle sous AB, ΒΓ est médial ; le rectangle sous AB, ZΔ est donc médial ; mais il est égal au rectangle sous AΔ, ΔΒ (34. lem. 1. 10. ) ; le rectangle sous AΔ, ΔΒ est donc médial. Et puisque AB est incommensurable en longueur avec ΒΓ, el que TB est commensurable avec BE, la droite AB est incommensurable en longueur avec BE ; le quarré de AB est donc incommensurable avec le rectangle sous AB, BE (1. Θ, et 10. 10) . Mais la. somme des-quarrés de ΑΔ et de ΔΒ est égale au quarré de ΑΒ, et le rectangle sous AB, ZΔ, c’est-à-dire le rectangle sous AΔ, ΔΒ, est égal. au rectangle sous. AB, ΒΕ ; la somme des. quarrés de AΔ et de ΔΒ est donc incommensurable. avec le rectangle sous. ΑΔ, ΔΒ.

On a donc trouvé deux droites AΔ, ΔΒ incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, et le rectangle sous ces droites étant médial et incommensurable avec la somme des quarrés de ces mêmes droites. Ce quʼil fallait faire.

PROPOSITION XXXVII.

Si l’on ajoute deux rationelles commensurables en puissance seulement, leur somme sera irrationelle, et sera appelée droite de deux noms.

Ajoutons les deux rationelles AB, BΓ commensurables en puissance seulement ; je dis que leur somme. AΓ est irrationelle.

Car puisque AB est incommensurable en longueur avec ΒΓ, ces deux droites n’étant commensurables qu’en puissance, et que AB est à BΓ comme le rectangle sous AB, BΓ est au quarré de BΓ (1. 6) , le rectangle sous AB, BΓ est incommen- surable avec le quarré de BΓ (10. 10) . Mais le double rectangle sous AB, BΓ est commensurable avec le rectangle sous ΑΒ, BΓ (6. 10), et la somme des quarrés de ΑΒ et de BΓ est commensurable avec le quarré de BΓ (16. 10) , car les droites AB, BΓ sont des rationelles commensurables en puissance seulement ; le double rectangle sous AB, ΒΓ est donc incommensurable avec la somme des quarrés de as et de BΓ ; donc, par addition, le double rectangle sous AB, BΓ avec la somme des quarrés de AB et de BΓ, c’est-à-dire le quarré de AΓ (4. 2), est incommensurable avec la somme des quarrés de AB et de BΓ (17. 10) . Mais la somme des quarrés de AB, Br est rationelle ; le quarré de ΑΓ est donc irrationel (déf. x0. 10) ; la droite ΑΓ est donc irrationelle (défs 11. 10), et sera appelée droite de deux noms.

PROPOSITION XXXVIII.

Si l’on ajoute deux médiales, qui n’étant commensurables quʼen puissance, comprènent une surface rationelle, leur somme sera irrationelle, et sera la première de deux médiales.

Ajoutons les deux médiales AB, BΓ, qui n’étant commensurables qu’en puissance, comprènent une surface rationelle ; je dis que leur somme ΔΓ est irrationelle.

Car, puisque AB est incommensurable en longueur avec BΓ, la somme des quarrés de AB et de BΓ est incommensurable avec le double rectangle sous AB, BΓ (13. 10) ; donc, par addition, la somme des quarrés de AB et de BΓ avec le double rectangle sous AB, BΓ, c’est-à-dire le quarré de AΓ (4. 2) , est incommensurable avec le rectangle sous AB, BΓ. Mais le rectangle sous AB, BΓ est rationel, car les droites AB, BΓ sont supposées comprendre un rectangle rationel ; le quarré de ΑΓ est donc irrationnel ; la droite AΓ sera donc irrationelle, et sera appelée la première de deux médiales.

PROPOSITION XXXIX.

Si l’on ajoute deux médiales, qui n’étant commensurables qu’en puissance, comprènent une surface médiale, leur somme sera irrationelle, et sera appelée la seconde de deux médiales.

Ajoutons les deux médiales AB, ΒΓ, qui n’étant commensurables qu’en puissance, comprènent une surface médiale ; je dis que la droite AΓ est irrationelle. Soit la rationelle ΔΕ, et appliquons à ΔE un parallélogramme ΔZ, qui étant égal au quarré de AT, ait ΔΗ pour largeur (45. 1) . Puisque le quarré de AΓ est égal à la somme des quarrés de AB et de BΓ<, et du double rectangle sous AB, BΓ (4. 2) , appliquons à ΔΕ un rectangle EΘ égal à la somme des quarrés de ΑΒ et de BΓ, le rectangle restant ZΘ sera égal au double rectangle sous AB, ΒΓ. Mais chacune des droites AB, BΓ est médiale, les quarrés de AB et de BΓ sont donc médiaux. Et puisque, par supposition, le double rectangle sous AB, BΓ est médial, que ΕΘ est égal à la somme des quarrés de AB et de BΓ, et que ZΘ est égal au double rectangle sous AB, BΓ, ; chacun des rectangles EΘ, ΘΖ est médial, et ils sont appliqués à la rationelle ΔΕ ; chacune des droites ΔΘ, ΘΗ est donc rationelle (23. 10) et incommensurable en longueur avec ΔE. Et puisque AB est incommensurable en longueur avec BΓ, et que AB est à ΒΓ comme le quarré de AB est au rectangle sous AB, BΓ (1. 6) , le quarré de AB sera incommensurable avec le rectangle sous AB, BΓ (10. 10) . Mais la somme des quarrés de AB et de BΓ est commensurable avec le quarré de aB, et le double rectangle sous AB, BΓ est commensurable avec le rectangle sous AB, BΓ ; la somme des quarrés de AB et de BΓ est donc incommensurable avec le double rectangle sous AB, BΓ (14. 10) . Mais ΕΘ est égal à la somme des quarrés de AB et de ΒΓ, et Z est égal au double rectangle sous AB, ΒΓ ; donc EΘ est incommensurable avec ΘΖ ; la droite ΔΘ est donc incommensurable en longueur avec ΘΔ. Mais on a démontré que ces droites sont rationelles ; les droites ΔΘ, ΘΗ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite an est donc irrationelle (37. 10) . Mais la droite ΔΕ est rationelle, et un rectangle compris sous une irrationelle et sous une rationelle est irrationel ; la surface ΔΖ est donc irrationelle, et par conséquent la droite qui peut cette surface. Mais la puissance de AΓ est égale à ΔΖ ; la droite ΑΓ est donc irrationelle, et elle sera appelée la seconde de deux médiales.

PROPOSITION XXXX.

Si lʼon ajoute deux droites incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant rationelle, et le rectangle compris sous ces droites étant médial, la droite entière sera irrationelle, et sera appelée majeure.

Ajoutons les deux droites AB, BΓ incommensurables en puissance, ces droites faisant ce qui est proposé ; je dis que la droite ΑΓ est irrationelle.

Puisque le rectangle sous ΑΒ, BΓ est médial, le double rectangle sous AB, ΒΓ sera médial (24. cor. 10) . Mais la somme des quarrés de ΑΒ et de ΒΓ est rationelle ; le double rectangle sous AB, BΓ est donc incommensurable avec la somme des quarrés de ΑΒ et de BΓ ; donc la somme des quarrés de ΑΒ et de BΓ avec le double rectangle sous ΑΒ, ET, c’est-à-dire le quarré de ΑΓ (d. 2) , est incommensurable avec la somme des quarrés de AB et de Br (17. 10) ; le quarré de ΑΓ est donc irrationel ; la droite ΑΓ est donc irrationelle, et elle sera appelée majeure.

PROPOSITION XLI.

Si l’on ajoute deux droites incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, et le rectangle sous ces droites étant rationel, la droite entière sera irrationelle, et sera appelée celle qui peut une rationelle et une médiale.

Ajoutons les rdeux droites AB, ΒΓ incommensurables en puissance, ces droites faisant ce qui est proposé ; je dis que la droite ΑΓ est irrationelle.

Car puisque la somme des quarrés des droites ΑΒ, BΓ est médiale, et que le double rectangle sous AB, BΓ est rationel, la somme des quarrés de AB et de ΒΓ sera incommensurable avec le double rectangle sous AB, BΓ ; donc, par addition, le quarré de AΓ est incommensurable avec le double rectangle sous AB, BΓ (17. 10) . Mais le double rectangle sous AB, ΒΓ est rationel ; le quarré de ΑΓ est donc irrationel ; la droite. ΑΓ est donc irrationelle, et elle est appelée celle qui peut une rationelle et une médiale.

PROPOSITION XLII.

Si l’on ajoute deux grandeurs incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, et le rectangle sous ces droites étant médial et incommensurable avec la somme de leurs quarrés, la droite entière sera irrationelle, et sera appelée celle qui peut deux médiales.

Ajoutons les deux droites AB, BΓ incommensurables en puissance, ces droites faisant ce qui est proposé ; je dis que la droite AT est irrationelle.

Soit la rationelle ΔE, et appliquons à ΔΕ un rectangle ΔΖ égal à la somme des quarrés de AB et de BΓ, et que HΘ soit égal au double rectangle sous AB, BΓ ; le rectangle entier ΔΘ sera égal au quarré de AΓ (4. 2) . Et puisque la somme des quarrés de AB et de BΓ est médiale, et quʼelle est égale à ΔZ, le rectangle ΔZ est médial, et il est appliqué à la rationelle ΔΕ ; donc ΔΗ est rationel (23. 10) , et incommensurable en longueur avec ΔΕ. Par la même raison, la rationelle ΗΚ est incommensurable en longueur avec HZ, c’est-à-dire avec ΔΕ. Et puisque la somme des quarrés de AB et de BΓ est incommensurable avec le double rectangle sous AB, BΓ, le rectangle ΔΖ est incommensurable avec HA ; donc ΔΗ est incommensurable avec HK (1. 6, et 10. 10) . Mais ces droites sont rationelles ; les droites ΔΗ, HK sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; donc ΔΚ est la droite irrationelle appelée de deux noms (37. 10) . Mais ΔΕ est rationel ; donc ΔΘ est irrationel (39. l0) , et par conséquent la droite qui peut ΔΘ. Mais AΓ peut ΔΘ ; donc ΑΓ est irrationel, et cette droite est appelée celle qui peut deux médiales.

LEMME.

Soit la droite AB, que cette droite entière soit coupée en parties inégales aux poinis Γ, Δ, et supposons AΓ plus grand que ΔΒ ; je dis que la somme des quarrés ΑΓ et de ΓB est plus grande que la somme des quarrés de ΑΔ et de ΔΒ.

Coupons AB en deux parties égales en E. Puisque AT est plus grand que ΔB, retranchons la partie commune ΔΓ ; le reste AS sera plus grand que le reste ΓΒ. Mais ΑΒ est égal à EB ; donc ΔΕ est plus petit que EΓ ; les points Γ, Δ ne sont donc pas également éloignés du point qui coupe ΑΒ en deux parties égales. Et puisque le rectangle sous ΑΓ, ΓΒ avec le quarré de ΕΓ est égal au quarré de ΕΒ, et que le rectangle sous ΑΔ, ΔΒ avec le quarré de ΔΕ est égal au quarré de EB (5. 2) , le rectangle sous AΓ, ΓΒ avec le quarré de EΓ sera égal au rectangle sous 4Δ, ΔΒ avec le quarré de ΔΕ. Mais le quarré de ΔΕ est plus petit que le quarré de ΕΓ ; le rectangle restant sous AT, ΓΒ est donc plus petit que le rectangle sous AΔ, ΔΒ ; le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ est donc plus petit que le double rectangle sous AS, ΔΒ ; la somme restante des quarrés de ΑΓ et de BΓ est donc plus grande que la somme des quarrés de ΑΔ, ΔΒ. Ce qu’il fallait démontrer.