Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 20)
PROPOSITION XLIII.
La droite de deux noms ne peut être divisée en ses noms qu’en un point seulement.
Que la droite AB de deux noms soit divisée en ses noms au point T ; les droites rationelles ΑΓ, ΓΒ ne seront commensurables qu’en puissance ; je dis que la droite AB ne peut pas être coupée en un autre point en deux rationelles commensurables en puissance seulement.
Car si cela se peut, qu’elle soit coupée au point Δ, de manière que les rationelles ΑΔ, ΔΒ ne soient commensurables qu’en puissance. Il est évident que AΓ n°est pas égal à ΔΒ. Car que cela soit, si c’est possible ; la droite ΑΔ sera alors égale à ΓB, la droite ΑΓ sera à la droite ΓΒ comme ΒΔ est à ΔΑ, et la droite AB sera coupée en segments égaux au point Δ qu’au point Γ, ce qui n’est pas supposé ; donc ΑΓ n’est pas égale à ΔΒ ; donc les points T, Δ ne sont pas également éloignés du point qui coupe ΑΒ en deux parties égales ; donc la différence de la somme des quarrés de ΑΓ et de ΒΓ, à la somme des quarrés de ΑΔ et de ΑΒ, est égale à la différence du double rectangle sous AB, ΔΒ, au double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ ; parce que la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓΒ avec le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ, et la somme des quarrés de ΑΔ et ΔΒ avec le double rectangle sous ΑΔ, ΔB, sont égales chacune au quarré de AB (4. 2) . Mais la différence de la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓΒ, à la somme des quarrés de As et de nB, est une surface rationelle ; car ces deux sommes sont rationelles ; donc la différence du double rectangle sous 4Δ, ôB au double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ est une surface rationelle, ces surfaces étant médiales, ce qui est absurde ; car une surface médiale ne surpasse pas une surface médiale d’une rationelle (27. 10) ; une droite de deux noms ne peut donc pas être divisée en plus d’un point ; elle ne peut donc l’être qu’en un point. Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION XLIV.
La première de deux médiales ne peut être divisée qu’en un seul point.
Que la droite AB, première de deux médiales, soit divisée en Γ, de manière que les médiales ΑΓ, ΓΒ, commensurables en puissance seulement, comprènent une surface rationclle ; je dis que la droite AB ne peut être divisée en un autre point.
Car, si cela est possible, quʼelle soit divisée au point Δ, de manière que les médiales AΔ, ΔΒ, commensurables en puissance seulement, comprènent une surface rationelle. Puisque la différence du double rectangle sous ΑΔ, ΔB au double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ ïst égale à la différence de la somme des quarrés de ΑΓ, ΓΒ à la somme des quarrés de as, ΔΒ, et que le double rectangle sous An, ΔΒ et le double rectangle sous AΓ, ΓB diffèrent d’une surface rationelle ; car l’une et l’autre de ces grandeurs sont rationelles ; la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓΒ diffère donc d’une surface rationelle de la somme des quarrés de ΑΔ et de AB ; mais ces deux surfaces sont médiales, ce qui est absurde (27. 10) ; donc une première de deux médiales ne peut pas être divisée en ses noms en deux points différents ; elle ne peut donc l’être qu’en un seul point. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XLV.
La seconde de deux médiales ne peut être divisée qu’en un seul point. Que AB, seconde de deux noms, soit divisée au point Γ, de manière que les médiales ΑΓ, ΓB, qui comprènent une surface médiale, ne soient commensurables qu’en puissance. Il est évident que le point Γ n’est pas le milieu de AB, parce que : les droites AΓ, vB ne sont pas commensurables en longueur ; je dis que la droite AB ne peut pas être divisée en un autre point.
Car si cela est possible, qu’elle soit divisée au point Δ, de manière que AT ne soit pas égal à SB, et supposons que ΑΓ est plus grand que ΔΒ. Il est évident que la somme des quarrés de AΔ et de ΔΒ est plus petite que la somme des quarrés de AΓ et de ΓB, comme nous l’avons démontré plus haut (lem. 43. 10) , et que lcs médiales AS, ΔB, qui comprènent une surface médiale, ne sont commensurables quʼen pnissance (43. 10). Soit la rationelle EZ ; appliquons à EZ un rectangle EK égal au quarré de AB, et retranchons EH égal à la somme des quarrés de AΓ et de ΓE ; le reste ΘΚ sera égal au double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ (4. 2) . De plus, retranchons EA égal à la somme des quarrés de An et ôB, qui est plus petite que la somme des quarrés. de ΑΓ et de ΓB, comme on l’a démontré ; le reste ΜΚ sera égal au double rectangle sous AΔ, ΔΒ. Et puisque la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓΒ est médiale, le rectangle EB sera médial ; mais ce rectangle est appliqué à la rationelle EZ ; donc EΘ est rationel, et incommensurable en longueur avec EZ (23. 10) . Par la même raison, ΘΝ est rationel, et incommensurable en longueur avec EZ. Mais les médiales ΑΓ, ΓΒ ne sont commensurables qu’en puissance ; donc AT est incommensurable en longueur avec ΓB. Mais AΓ est à ΓΒ comme le quarré de AT est au rectangle sous AΓ, ΓΒ (1. 6) ; le quarré de ΑΓ est donc incommensurable avec le rectangle sous ΑΓ, ΓΒ (1Ο. 1a) . Mais la somme des quarrés de Ar et derB est incommensurable avec le quarré de AΓ (16. 10) , car les droites ΑΓ, ΓΒ sont commensurables en puissance, et le double rectangle sous AΓ, ΓB est commensurable avec le rectangle sous ΑΓ, ΓΒ ; la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓΒ est donc incommensurable avec le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ. Mais EH est égal à la somme des quarrés de ΑΓ et dewB—, et ΘΚ est égal au double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ; donc EH est incommensurable avec EK ; donc Eg est incommensurable en longueur avec ΘΝ ; mais ces droites sont rationelles ; les rationelles EΘ, ΘΝ ne sont donc commensurables qu’en puissance. Mais si lʼon ajoute deux rationelles commensurables en puissance seulement, leur somme est irrationelle, et est appelée droite de deux noms (37. 10) ; la droite EN de deux noms est donc divisée au point Θ. On démontrera semblablement que les rationelles EM, MN sont commensurables en puissance seulement, et que la droite EN de deux noms scia divisée en deux points ; savoir, en 9 et en M ; mais EΘ n’cst pas égal à MN, puisque la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓΒ est plus grande que la somme des quarrés de As et de ΔΒ (43. 10) . Mais la somme des quarrés de ΑΔ et de ΔΒ est plus grande que le double rectangle sous 4Δ, ΔΒ ; la somme des quarrés de ΑΓ, ΓΒ, c’est-à-dire le rectangle EH, est donc plus grande que le double rectangle sous As, sB ; c’est-à-dire, que le rectangle MK ; donc ΕΘ est plus grand que MN ; donc EÂ nʼest pas égal à MN. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XLVI.
La majeure ne peut être divisée qu’en un seul point.
Que la droite majeure soit divisée en Γ, de manière que les droites ΑΓ, ΓΒ soient iucommensurables en puissance seulement, la somme des quarrés de ΑΓ et de BΓ étant rationelle, et le rectangle sous AΓ, ΓΒ étant médial ; je dis que la droite AB ne peut pas être divisée en un autre point.
Car, quʼelle soit divisée au point Δ, si cela est possible, de manière que les droites ΑΔ, ΔΒ soient incommensurables en puissance, la somme des quarrés de 4Δ et de ÏB étant rationelle, et le rectangle sous ΔΑ, ΔΒ étant médial. Puisque la différence de la somme des quarrés de ΑΓ et deWB, à la somme des quarrés de As et de ΔΒ (4. 2) , est égale à la différence du double rectangle sous ΑΔ, ΔΒ au double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ, et que la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓB surpasse d’une surface rationelle la somme des quarrés de as, et de ΔB, car ces surfaces sont rationelles, le double rectangle sous AS, ΔB surpasse d’une surface rationelle le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ ; mais ces deux surfaces sont médiales, ce qui est impossibe (27. 10) ; une majeure ne peut donc pas être divisée en deux points ; elle ne peut donc l’ètre qu’en un point. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XLVII.
La droite qui peut une rationelle et une médiale ne peut être divisée qu’en un point.
Que la droite AB, pourant une rationelle et une médiale, soit divisée au point Γ, de manière que les droites ΑΓ, ΓB soient incommensurables en puissance, la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓB étant médiale, et le rectangle sous AΓ, ΓΒ étant rationel ; je dis que la droite AB ne peut pas être divisée en un autre point.
Car, qu’elle soit divisée en Δ, si cela est possible, de manière que les droites AΔ, ΔΒ soient incommensurables en puissance, la somme des quarrés de ΑΔ et de ΔΒ étant médiale, et le double rectangle sous AB, ΔΒ étant rationel. Puisque la différence du double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ au double rectangle sous AΔ, ΔΒ (4. 2) ast égale à la différence de la somme des quarres de AΔ, ΔΒ à la somme des quarrés de AΓ, ΓΒ, et que le double rectangle sous AΓ, B surpasse d’une surface rationelle le double rectangle sous ΑΔ, ΔΒ, la somme des quarrés de AΔ et de ΔΒ surpassera d’une surface rationelle la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓB ; mais ces surfaces sont médiales, ce qui est impossible (27. 10) ; une droite pouvant une rationelle et une médiale ne peut donc pas être divisée en deux points ; elle ne peut douc l’être qu’en un seul point. Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION XLVIII.
La droite qui peut deux médiales ne peut être divisée quʼen un seul point.
Que la droite AB, qui peut deux médiales, soit divisée en Γ, de manière que les droites AΓ, ΓΒ soient incommensurables en puissance, la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓΒ étant médiale ; le rectangle sous AΓ, ΓΒ étant ausssi médial ; la somme de leurs quarrés étant incommensurable avec le donble rectangle compris sous ces droites ; je dis que la droite AB n’est pas divisée en un autre point, en faisant ce qui est proposé. ;
Car, quʼelle soit divisée en Δ, si cela est possible, de manière que ΑΓ ne soit pas égal à ΔB, et supposons que ΑΓ soit la plus grande. Soit la rationelle EZ, et appliquons à EZ uu parallélogramme FH égal à la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓB, et ΘΚ égal au double rectangie sous ΑΓ, ΓΒ ; le parallélogramme entier EH sera égal au quarré de AB (4. 2) . De plus, appliquons à EZ le paral- lélogramme EΛ égal à la somme des quarrés de ΑΔ et de ΔΒ ; le double rec- tangle restant sous AΔ, ΔΒ sera égal au reste MK (4. 2) . Ετ puisque on a supposé que la somme des quarrés de AΓ et de ΓB est médiale, EH sera médial. Mais il est appliqué à la rationellé EZ ; donc ΘE est rationel, et incommensurable en longueur avec EZ (23. 10) . Par la même raiscn, ΘΝ est rationel et incom- mensurable en longueur avec EZ. Mais la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓB est incommensurable avec le double rectangle sous ΑΓ, ΓB ; donc EH est in- commensurable avec ΘΚ ; donc EΘ est incommensurable avec ΘΝ (10. 10) . Mais ces droites sont rationelles ; les rationelles ΕΘ, ΘΝ ne sont donc com- mensurables qu’en puissance ; le droite EN de deux noms est donc divisée au point. Nous démontrerons semblablement qu’elle est divisée au point M ; mais ΕΘ n’est pas égal avec MN ; la droite de deux noms est donc divisée en un point et encore en un autre point, ce qui est absurde (43. 10) ; une droite qui peut deux médiales n’est donc pas divisée en un point et encore en un autre point ; elle n’est donc divisée qu’en un seul point. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XLIX.
Trouver la première de deux noms.
Soient les deux nombres ΑΓ, ΓB, de manière que leur somme ΑΒ ait avec BΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et que leur somme n’ait pas avec ΓΑ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré (30. lem. 1. 10) ; soit exposée une rationelle Δ, et que EZ soit commensurable en longueur avec Δ ; la droite EZ sera rationelle (déf. 6. 10). Faisons en sorte que le nombre BA soit à AΓ comme le quarré de EZ est au quarré de 7H (cor. 6. 6) . Mais AB a avec ΑΓ la raison qu’un nombre a avec un nombre ; i le quarré de E a donc avec le quarré de ΖΗ la raison qu’un nombre a avec un nombre ; le quarré de EZ est donc commensurable avec le quarré de ZH (6. 10) . Mais EZ est rationel ; donc ZH est rationel. Et puisque BA n’a pas avec AT la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de EZ n’aura pas avec le quarré de 7H la raison quʼun nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite EZ est donc incommensurable en longueur avec ZH (9. 10) ; les droites EZ, ZH sont donc rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite EH est donc de deux noms (37. 10) ; et je dis qu’elle est la première de deux noms.
Car puisque le nombre BA est à ΑΓ comme le quarré de ΕΖ est au quarré de zZH, et que BA est plus grand que aΓ ; le quarré de EZ sera plus grand que le quarré de ZH. Que la somme des quarrés des droites ZH, Θ soit égale au quarré de EZ. Puisque BA est a ΑΓ comme le quarré de EZ est au quarré de ZH, par conversion, AB sera à BΓ comme le quarré de ΕΖ est au quarré de Θ. Mais ΑΒ a avec Br la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de EZ a donc avec le quarré de Θ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite EZ est donc commensurable en longueur avec a (9. 10) ; la puissance de EZ surpasse la puissance de ZH du quarré d’une droite commensurable avec EZ. Mais les droites EZ, ZH sont rationelles, et EZ est commensurable en longueur avec Δ ; la droite EH est donc la première de deux noms (déf. secondes. 1. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION L.
Trouver la seconde de deux noms.
Soient les deux nombres ΑΓ, ΓB, de manière que leur somme ΑΒ ait avec BΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré (30 lem. 1. 10) , et que AB n’ait pas avec ΑΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; soit la rationelle Δ, et que ZH soit commensurable en longueur avec Δ ; la droite ZH sera rationelle. Faisons en sorte que le nombre ΓA soit au nombre AB comme le quarré de HZ est au quarré de ZE (6. cor. 10) ; le quarre de HZ sera commensurable avec le quarré de ZE (0. 10) ; la droite ZE est donc rationelle (déf. 6. 10) . Et puisque le nombre ΓΑ n’a pas avec le nombre ΑΒ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de HZ n’aura pas non plus avec le quarré de ZE la raison
qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite HZ est donc incommensurable en longueur avec ZE (9. 10) ; les droites EZ, ZH sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; ΕΗ est donc une droite de deux noms (37. 10) . Π faut démontrer aussi quʼelle est la seconde de deux noms.
Car puisque, par inversion, le nombre ΑΒ est à ΑΓ comme le quarré de EZ est au quarré de 7H, et que BA est plus grand que ΑΓ, le quarré de EZ est plus grand que le quarré de ZH. Que la somme des quarrés des droites ZH, Θ soit égale au quarré de EZ ; par conversion, , AB sera à BΓcomme le quarré de EZ est au quarré de Θ. Mais AB a avec BΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de EZ a donc avec le quarré de Θ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite EZ est donc commensurable en longueur avec Θ (9. 10) ; (9. 10) ; la puissance de EZ surpasse donc la puissance de ZH du quarré d’une droite commensurable avec EZ. Mais les droites EZ, ZH sont des rationelles commensurables en puissance seulement, et le plus petit nom ΖΗ est commensurable en longueur avec la rationelle exposée Δ ; la droite EH est donc une seconde de deux noms (déf. sec. 2. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LI.
Trouver une troisième de deux noms.
Soient deux nombres AΓ, ΓΒ, de manière que leur somme ΑΒ ait avec BΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et que leur somme AB nʼai pas avec AΓ la raison quʼun nombre quarré a avec un nombre quarré ; soit un autre nombre Δ qui ne soit pas un quarré, et que ce nombre n’ait pas avec chacun des nombres BA, AΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; soit enfin une droite rationelle E, et faisons en sorte que Δ soit à AB comme le quarré de E est au quarré de ZH ; le quarré de E sera commensurable avec le quarré de ΖΗ. Mais la droite E est rationelle ; la droite ZH est donc rationelle (6. 10) . Et puisque Δ n’a pas avec AB la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et que le quarré de E nʼa pas non plus avec le quarré de 7H la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, la droite E sera incommensurable en longueur avec ZH (9. 10) . Faisons en sorte que le nombre BA soit à AΓ comme le quarré de ΖΗ est au quarré de ΗΘ ; le quarré de ZH sera commensurable avec le quarré de Hw. Mais la droite ZH est rationelle ; la droite HΘ est donc rationelle. Et puisque AB nʼa pas avec AΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et que le quarré de ZH n’a pas non plus avec le quarré de Ha la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, la droite ZH sera incommensurable en longueur avec HΘ (9. 10) ; les droites ZH, ΗΘ seront des rationelles commensurables en puissance seulement ;
ZΘ est donc une droite de deux noms (37. 10) . Je dis aussi quʼelle est une troisième de deux noms.
Car, puisque Δ est à AB comme le quarré de E est au quarré de ZH, et que AB est à ΑΓ comme le quarré de ZH est au quarré de HÉ ; par égalité, Δ sera à AΓ comme le quarré de E est au quarré de Ha. Mais Δ n’a pas avec AΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et le quarré de E n a pas non plus avec le quarré de ΗΘ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite E est donc incommensurable en longueur avec ΗΘ (9. 10) . Et puisque BA est à ΑΓ comme le quarré de ZH est au quarré de ΗΘ, le quarré de ZH sera plus grand que le quarté de Hc. Que la somme des quarrés de He et de K soit égale au quarré de ZH ; par conversion AB secra à BΓ comme le quarré de ZH est au quarré de K. Mais AB a avec BΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de ZH a donc avec le quarré de Κ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite ZH est donc commensurable en longueur avec K ; la puissance de ZH surpasse donc la puissance de ΗΘ du quarré d’une droite commensurable avec ΖΗ. Mais les droites ZH, ΗΘ sont des rationelles commensurables en puissance seulement, et aucune de ces droites n’est commensurable en longueur avec E ; la droite ΖΘ est donc une troisième de deux noms (déf. sec. 3. 10). Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LII.
Trouver une. quatrième de deux noms. Soient deux nombres AΓ, ΓB, de manière que AB n’ait pas avec BΓ ni avec AΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; soit la rationelle Δ, et que la droite EZ soit commensurable en longueur avec Δ ; la droite EZ sera rationelle. Faisons en sorte que le nombre BA soit à ΑΓ comme le quarré de EZ est au quarré de ZH ; le quarré de EZ sera commensurable avec le quarré de 7H ; la droite ΖΗ est donc rationelle. Et puisque BA n’a pas avec AΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et que le quarré de EZ n’a pas non plus avec le quarré de ZH la raison qu’un nombre quarré a avec nombre quarré, la droite ΕΖ sera incommensurable en longueur avec ΖΗ (9. 10) ; les droites EZ, ZH sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; EH est donc une droite de deux noms (37. 10) . Je dis aussi qu’elle est une quatrième de deux noms.
Car, puisque BA est à ΑΓ comme le quarré de EZ est au quarré de ZH, et que BA c’est plus grand que ΑΓ, le quarré de EZ est plus grand que le quarré de ΖΗ. Que la somme des quarrés de ZH et de a soit égale au quarré de ΕΖ ; par conversion, le nombre AB sera à BΓ comme le quarré de EZ est au quarré de a. Mais AB n’a pas avec BΓ la raison qu’un nombre quarré a aveC un nombre quarré ; le quarré de EZ na donc pas avec le quarré de Θ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite EZ est donc incommensurable en longueur avec Θ ; la puissance de ΕΖ surpasse donc la puissance de ZH du quarré d’une droite incommensurable avec ΕΖ. Mais les droites EZ, ZH sont des rationelles commensurables en puissance seulement, et EZ est commensurable en longueur avec Δ ; la droite EH est donc une quatrième de deux noms (déf. sec. 4. 10) . Ce qu’il fallait faire.
PROPOSITION LIII.
Trouver une cinquième de deux noms. Soient deux nombres ΑΓ, ΓΒ, de manière que AB n’ait pas avec chacun de ces nombres la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; soit une droite rationelle Δ, et que HZ soit commensurable en longueur avec Δ ; la droite HZ sera rationelle. Faisons en sorte que ΓΑ soit à AB comme le quarré de m est au quarré de ZE ; la droite ZE sera rationelle. Et puisque ΓΑ n’a pas avec AB la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, et que le quarré de HZ n’a pas non plus avec le quarré de ZE la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, les droites EZ, ZH seront des rationelles commensurables en puissance seulement (9. 10); EH est donc une droite de deux noms (37. 10) . Je dis aussi qu’elle est une cinquième de deux noms.
Car puisque ΓΑ est à AB comme Le quarré de ZH est au quarré de ZE, par inversion, BA est à AΓ comme le quarré de EZ est au quarré de ZH ; le quarré de EZ est donc plus grand que le quarré de ZH. Que la somme des quarrés de ZH et de Θ soit égale au quarré de EZ ; par conversion, le nombre ΑΒ sera au nombre BΓ comme le quarré de EZ est au quarré de Θ. Mais AB n’a pas avec ΒΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de EZ n’a donc pas avec le quarré de Θ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite EZ est donc incommensurable en longueur avec Θ ; la puissance de EZ surpasse donc la puissance de ZH du quarré d’une droite incommensurable avec Ε1. Mais les droites EZ, ZH sont des rationelles commensurables en puissance seulement, et le plus petit nom ZH est commensurable en longueur avec la rationelle exposée Δ ; la droite EH est donc une cinquième de deux noms (déf. sec. 5. 10). Ce qu’il fallait faire.
PROPOSITION LIV.
Trouver la sixième de deux noms.
Soient deux nombres ΑΓ, ΓΒ, de manière que AB n’ait pas avec chacun de ces nombres la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; soit un autre nombre Δ qui ne soit pas un quarré, et qui n’ait pas avec chacun des nombres BA, AΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; soit aussi la droite rationelle E ; et faisons en sorte que Δ soit à AB comme le quarré de E est au quarré de ZH ; le quarré de E sera commensurable avec le quarré de ZH. Mais la droite E est rationelle ; la droite ZH est donc rationelle (déf. 6. 10) . Et puisque Δ n’a pas avec AB la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de E n’aura pas avec le quarré de ZH la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite E est donc incommensurable en longueur avec ZH (9. 10) De plus, faisons en sorte que BA soit à AΓ comme le quarré de ZH est au quarré de ΗΘ ; le quarré de ZH sera commensurable avec le quarré de ΗΘ. Mais le quarré de ZH est rationel ; le quarré de HΘ est donc rationel ; la droite Ha est donc rationelle. Et puisque BA n’a pas avec AT la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré, le quarré de ZH n’aura pas non plus avec le quarré de Hg la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite ΖΗ est donc incommensurable en longueur avec ΗΘ (9. 10) ; les droites ZH, HE sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; ΖΘ est donc une droite de deux noms (37. 10) . Il faut démontrer aussi qu’elle est la sixième de deux noms.
Car puisque Δ est à AB comme le quarré de E est au quarré de ΖΗ, et que BA est à ΑΓ comme le quarré dc ZH est au quarré de ΗΘ ; par égalité, Δ sera à AΓ comme le quarré de E est au quarré de ΗΘ. Mais Δ n’a pas avec Ar la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de E n’a donc pas avec le quarré de HΘ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite E est donc incommensurable en longueur avec HA (9.10). Mais on a démontré qu’elle est incommensurable avec ZH ; chacune des droites ZH, HΘ est donc incommensurable en longueur avec E. Et puisque BA est à AΓ comme le quarré de ΖΗ est au quarré de HΘ, le quarré de ΖΘ sera plus grand que le quarré de HΘ. Que la somme des quarrés de ΗΘ et de k soit égale au quarré de ZH ; par conversion, AB sera. è ΒΓ comme le quarré de ZH est au quarré de K. Mais AB n’a pas avec BΓ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; le quarré de ZH nʼa donc pas avec le quarré de Κ la raison qu’un nombre quarré a avec un nombre quarré ; la droite ΖΗ est donc incommensurable en longueur avec K ; la puissance de ZH surpasse donc la puissance de ΗΘ du quarré d’une droite incommensurable avec ZH ; mais les droites ZH, HΘ sont des rationelles commensurables en puissance seulement, et aucune de ces droites n’est commensurable en longueur avec la rationelle exposée E ; la droite ΖΘ est donc uue sixième de deux noms (déf. sec.
6. 10) . Ce quʼil fallait faire.
LEMME.
Soient les deux quarrés AB, ΒΓ ; plaçons-les de manière que la droite ΔΒ soit dans la direction de BE ; la droite ZB sera dans la direction de BH. Achevons le parallélogramme ΑΓ ; je dis que AΓ est un quarré, que ΔΗ est moyen proportionnel entre AB e (t ΒΓ, et que ΔΓ est aussi moyen proportionnel entre ΑΓ et ΓB.
Puisque la droite ΔΒ est égale à BZ, et que BE est égale à ΒΗ, la droite entière ΔΕ sera égale à la droite entière ZH. Mais la droite ΔΕ est égale à chacune des droites ΑΘ, ΚΓ, et la droite ZH est aussi égale à chacune des droites ΑΚ, Θ ; chacune des droites ΑΘ, ΚΓ est donc égale à chacune des droites AK, ΘΓ ; donc ΑΓ est un parallélogramme équilatéral. Mais il est aussi rectangle ; donc ΑΓ est un quarré. Et puisque ZB est à BH comme ΔB est à BE, que ZB est à BH comme AB est à ΔΗ (1. 6) , et que ΔΒ est à ΒΕ comme OH est à BΓ, le quarré AB est à ΔΗ comme ΔΗ est à BΓ ; donc ΔΗ͂ est moyen proportionnel entre AB et BΓ. Je dis aussi que ΔΓ est moyen proportionnel entre ΑΓ et ΓB. Car puisque ΑΔ est à) A comme KH est a ΗΓ, à cause que chacune des droites ΑΔ, ΔΚ est égale à chacune des droites KH, ΗΓ, par addition, AK sera à ΚΔ comme ΚΓ est à ΓΗ. Mais AK est à ΚΔ comme ΑΓ est à ΓΔ (1. 6) , et ΚΓ est à ΓΗ comme ΔΓ est à ΓB ; donc AΓ est à ΔΓ comme ΔΓ est à BΓ ; donc ΔΓ est moyen proportionnel entre ΑΓ et ΓB. Ce qu’on s’était proposé de démontrer.
PROPOSITION LV.
Si une surface est comprise sous une rationelle et sous la première de deux noms, la droite qui peut cette surface est l’irrationelle appelée la droite de deux noms.
Que la surface ΑΒΓΔ soit comprise sous la rationelle AB et sous la droite ΑΔ première de deux noms ; je dis que la droite qui peut la surface ΑΓ est l’irrationelle appelée la droite de deux noms.
Puisque la droite AΔ est première de deux noms ; quʼelle soit divisée en ses noms au point E, et que AE soit son plus grand nom. Π1 est évident que les droites AE, ΕΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement, que la puissance de AE surpassera la puissance de ΕΔ du quarré d’une droite commensurable avec AE, et que AE sera commensurable en longueur avec la rationelle exposée AB (déf. sec. 1. 10) . Coupons EΔ en deux parties égales au point Z. Puisque la puissance de AE surpasse la puissance de EA du quarré d’une droite commensurable avcc AE, si nous appliquons à la plus grande AB un parallélogramme qui soit égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite, c’est-à-dire du quarré de E, et défaillant d’une figure quarrée, ce parallélogramme divisera cette droite en parties commensurables (18. 10) . Que le parallélogramme sous AH, HE, égal au quarré de EZ, soit appliqué à AZ (28. 6) ; la droite AH sera commensurable en longueur avec EH. Des points H, E, Z menons les droites HE, EK, ZA parallèles à l’une ou à l’autre des droites AB, ΓΔ (14. 2) . Faisons le quarré ΣN égal au parallélogramme ΑΘ, le quarré ΝΠ égal au parallélogramme HK, et faisons en sorte que la droite MN soit dans la direction de NZ ; la droite NP sera dans la direction de NO (14. 1). Achevons le parallélogramme ΣΠ, le parallélogramme ΣΠ sera un quarré (lem. précéd.). Puisque le rectangle sous AH, HE est égal au quarré de ΕΖ, la droite AH sera à EZ comme EZ est à EH (17. 6) ; donc AΘ est à EΛ comme EΛ est à KH (I. 6) ; donc ΕΛ est moyen proportionnel entre ΑΘ et HK. Mais ΑΘ est égal à EN, et HK est égal à NΠ ; donc EΛ est moyen proportionnel entre ΣN et ΝΠ. Mais MP est moyen proportionnel entre ΣΝ et ΝΠ (lem. précéd.); donc EA est égal à ΜΡ, et par conséquent à OΞ (4. 3. 1) . Mais la somme des rectangles ΑΘ, HK est égale à la somme des quarrés ΣN, ΝΠ ; donc ΑΓ tout entier est égal à ΣΠ tout entier, c’est-à-dire au quarré de MZ ; la droite ΜΞ peut donc le parallélogramme AΓ ; je dis que ΜΞ est une droite de deux noms. Car puisque AH est commensurable avec HB, la droite AB sera commensurable avec chacune des droites AH, HE (16. 10) . Mais on a supposé que AZ est commensurable en longueur avec AB ; les droites AH, HE sont donc commensurables avec AB (12. 10) . Mais la droite AB est rationelle ; chacune des droites AH, HE est donc rationelle ; chacun des parallélogrammes AΘ, HK est donc rationel (20. 10) ; AΘ est donc commensurable avec ΗΚ (10. 10) . Mais ΑΘ est égal à ZN, et ΗΚ est égal à ΝΠ ; les quarrés ΣΝ, ΝΠ, c’est-à-dire les quarrés des droites MN, NZ, sont donc rationels et commensurables. Et puisque ΑΒ est incommensurable en longueur avec ΕΔ (37. 10) , que XE est commensurable avec AH, et que ΔΒ est commensurable avec EZ, la droite ΑΗ sera incommensurable avec EZ ; donc ΑΘ est incommensurable avec EA. Mais AΘ est égal à ΣΝ, et ΕΛ égal à MP ; donc IN est incommensurable avec MP. Mais ΣN est à MP comme ΟΝ est à NP ; donc ON est incommensurable avec NP (10. 10) . Mais la droite ON est égale à NM, et NP est égal à NΞ ; donc MN est incommensurable avec NΞ. Mais le quarré de MN est commensurable avec le quarré de NΞ, et ils sont rationels l’un et lʼautre ; les droites MN, NZ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; MZ est donc une droite de deux noms (37. 10) , et elle peut le parallélogramme AΓ. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LVI.
Si une surface est comprise sous une rationelle et sous la seconde de deux noms, la droite qui peut cette surface est l’irrationelle appelée la première de deux médiales.
Que la surface ABΓΔ soit comprise sous la rationelle AB et sous la seconde de deux noms ΑΔ ; je dis que la droite qui peut la surface AT est la première de deux médiales.
Car puisque ΑΔ est la seconde de deux noms, divisons cette droite en ses noms au point B, de manière que AE soit son plus grand nom ; les droites AB, ΕΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement ; la puissance de ΔE surpassera la puissance de Es du quarré d’une droite commensurable avec ΑΕ, et le plus petit nom ΕΔ sera commensurable en longueur avec AB (déf. sec. 2. 10) . Coupons ΕΔ en deux parties égales en Z, et appliquons à AB un parallélogramme, qui étant égal au quarré de EZ, soit défaillant d’une figure quarrée ; que ce soit le parallélogramme sous AH, HE ; la droite AH sera commensurable en longueur avec HE (18. 10). Par les points H, E, Z menons les droites HA, EK, ZA parallèles aux droites AB, AΓ ; faisons le quarré EN égal au parallélogramme ΑΘ ; le quarré ΝΠ égal au parallélogramme HK, et plaçons MN dans la direction de NΞ ; la droite PN sera dans la direction de NO. Achevons le quarré ΣΠ ; il est évident, d’après ce qui a été démontré (55. 10), que le rectangle MP est moyen proportionnel entre ΣN et NΠ ; que MP est égal à EA, αἱ Ζα MZ peut la surface AΓ ; il faut démontrer que MΞ est la première de deux médiales. Car puisque AE est incommensurable en longueur avec ΕΔ (37. 10), et que ΕΔ est commensurable avec ΑΒ, la droite AE sera incommensurable en longueur avec ΑΒ (14. 10) . Et puisque AH est commensurable avec HE, la droite ΑΕ sera commensurable avec chacune des droites AH, BE (16. 10) . Mais AE est rationel ; chacune des droites AH, HE est donc rationelle. Et puisque AE est incommensurable avec AB, et que AB est commensurable avec chacune des droites 4H, HE, les droites AH, j HE seront incommensurables en longueur avec ΑΒ ; les droites BA, AH, HE sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; chacun des rectangles ΑΘ, ΗΚ est donc médial (22. 10) ; chacun des quarrés ZN, ΝΠ est donc médial ; les droites MN, NΞ sont donc médiales. Et puisque AU est commensurable en longueur avec HE, le rectangle 4Θ sera commensurable avec le rectangle HK (1. 6, et 10. 10) , c’est-à-dire le quarré ZN avec le quarré ΝΠ ; c’est-à-dire le quarré de MN avec le quarré de NΞ ; les droites MN, NΞ sont donc commensurables en puissance. Et puisque AE est incommensurable en longueur avec ΕΔ, que ΔΛΕ est commensurable avec AH, et que ΔΕ l’est avec ΕΖ ; la droite AH sera incommensurable avec EZ ; le rectangle ΑΘ est donc incommensurable avec le rectangle EA, c’est-à-dire 16 quarré ΣN avec MP, cʼest-à-dire la droite ON avec la droite NP, c'est-à-dire que la droite MN est incommensurable en longueur avec NZ (1. 6) . Mais on a démontré que les droites MN, NZ sont et médiales et commensurables en puissance ; les droites MN, NΞ sont donc des médiales commensurables en puissance seulement. Je dis enfin quʼelles comprénent une surface rationelle. Car puisque ΔΕ est supposé commensurable avec chacune des droites AB, EZ, la droite ΖΕ sera commensurable avec ΕΚ. Mais chacune d’elles est rationelle ; le rectangle ΕΛ est donc rationel (20. 10) , cʼest-à-dire le rectangle MP qui est compris sous MN, NΞ. Mais si l’on ajoute deux médiales gui n’étant commensurables quʼen puissance, comprènent une surface rationelle, leur somme est irrationelle, et s'appèle première de deux médiales (38. 10) ; donc MZ est une première de deux médiales. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LVII.
Si une surface est comprise sous une rationelle et sous la troisième de deux noms, la droite qui peut cette surface est l’irrationelle appelée la seconde de deux médiales.
Que la surface ABΓΔ soit comprise sous la rationelle AB et sous la troisième de deux noms AΔ, divisée en ses noms au point E, et que AE soit son plus grand nom ; je dis que la droite qui peut la surface ΑΓ est l’irrationelle appelée la seconde de deux médiales.
Faisons la même construction qu’auparavant. Puisque la droite AΔ est la troisième de deux noms, les droites AE, EΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement, la droite AE surpassera la puissance de ΕΔ du quarré d’une droite commensurable avec AE, et de plus aucune des droites AE, ΕΔ ne sera commensurable en longueur avec ΑΒ (déf. sec. 3. 10) . Nous démontrerons de la même manière que nous l’avons déjà fait que la droite MZ peut la surface AΓ (3. 10) , et que les droites MN, NΞ sont des médiales commensurables en puissance seulement ; la droite MZ est donc une droite de deux médiales. Il faut démontrer qu’elle en est la seconde. Puisque ΔΕ est incommensurable en longueur avec AB, c’est-à-dire avec EK, et que ΔΕ est commensurable avec EZ, la droite EZ sera incommensurable en longueur avec EK. Mais ces droites sont rationelles ; les droites ΖΕ, EK sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; le rectangle ΕΔ, c est-à-dire le rectangle MP, est donc médial ; mais il est compris sous MN, NΞ ; le rectangle compris sous MN, NΞ est donc médial (39. 10) ; la droite ΜΞ est donc une seconde de deux médiales. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LVIII.
Si une surface est comprise sous une rationelle et sous la quatrième de deux noms, la droite qui peut cette surface est l’irrationelle appelée majeure.
Que la surface ΑΓ soit comprise sous la rationelle AB, et sous la quatrième de deux noms ΑΔ, divisée en ses noms au point E, et que AE soit son plus grand nom ; je dis que la droite qui peut la surface ΑΓ est l’irrationelle appelée majeure.
Car, puisque AΔ est la quatrième de deux noms, les droites AE, ΕΔ seront des rationelles commensurables en puissance seulement, et la puissance de AE surpassera la puissance de ΕΔ du quarré d’une droite incommensurable dvec AE, et de plus AZE sera commensurable en longueur avec ΑΒ (déf. sec. 4. 10) . Coupons ΔΕ en deux parties égales en Z, et appliquons à AE un parallélogramme sous AH, HE qui soit égal au quarré de EZ ; la droite AH sera incommensurable en longueur avec HE (19. 10) . Conduisons les droites HΘ, EK, ZΛ parallèles à AB, et faisons le reste comme auparavant ; il est évident que la droite MZ peut la surface ar. Il faut démontrer que MZ est l’irrationelle appelée majeure. Puisque AH est incommensurable en longueur avec EH, la surface AΘ sera incommensurable avec ΗΚ, c’est-à-dire le quarré EN avec le quarré N) (1. 6, et 10. 10) ; les droites MN, NZ sont donc incommensurables en puissance. Et puisque AE est commensurable en longueur avec AB, le rectangle ΑΚ sera rationel ; mais il est égal à la somme des quarrés des droites MN, NZ ; la somme des quarrés de MN et de NZ est donc rationelle. Et puisque SE est incommensurable en longueur avec AB, c’est-à-dire avec EK ; et que ΔΕ est commensurable avec EZ ; la droite EZ sera incommensurable en longueur avec ΕΚ ; les droites KE, EZ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; le rectangle AE, c’est-à-dire MP, est donc médial (22. 10) ; mais il est contenu sous les droites MN, NΞ ; le rectangle sous MN, NΞ est donc médial, la somme des quarrés de MN et de NΞ étant rationelle, et les droites ΜΝ, NΞ étant incommensurables en puissance. Mais si l’on ajoute deux droites in- commensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant rationelle, et le rectangle compris sous ces droites étant médial, la somme de. ces droites sera irrationelle. Mais cette somme est appelée majeure (40. 10) ; la droite MZ est donc l’irrationelle appelée majeure, et elle peut la surface AΓ. Ce qu’il fallait démontrer,
PROPOSITION LIX.
Si une surface est comprise. sous une rationelle et sous une cinquième de deux noms, la droite qui peut cette surface est l’irrationelle appelée la droite qui peut une surface rationelle et une surface médiale.
Que la surface ΑΓ soit comprise sous la rationelle AB et sous. une cinquième de deux noms AΔ, divisée en ses noms au point E, de manière que AE soit le plus grand nom ; je dis que la droite qui peut la surface AΓ est l’irrationelle appelée la droite qui peut une surface rationelle et une surface médiale.
Faisons la même construction qu’auparavant ; il est évident que la droite MZ peut la surface ΑΓ. Il faut démontrer que la droite MZ est celle qui peut une surface rationelle et une surface médiale. Car puisque AH est incommensurable avec HE, ΑΘ sera incommensurable avec ΘΕ, c'est-à-dire le quarré de MN avec le quarré de NΞ (10. 10) ; les droites ΜΝ, NΞ sont donc incommensurables en puissance. Et puisque la droite AΔ est la cinquième de deux noms, et que ΕΔ en est le plus petit segment, la droite ΕΔ sera commensurable en longueur avec AB (déf. sec. 5. 10). Mais ΑΕ est incommensurable en longueur avec EΔ ; donc ΑΒ est incommensurable en longueur avec AE (13. 10) ; les droites BA, AE sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; le rectangle AK, c’est-à-dire la somme des quarrés de MN et de NΞ, est donc médial (22. t0) . Et puisque 5E est commensurable en longueur avec ΑΒ, c’est-à-dire avec EK ; que ΔΕ est commensurable avec EZ, la droite EZ sera commensurable avec ΕΚ. Mais la droite EK est rationelle, le rectangle EA, c’est-à-dire MP (20. 10), c’est-à-dire le rectangle sous MN, NΞ, est donc rationel ; les droites MN, NΞ sont donc incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, et le rectangle compris sous ces droites étant rationel ; donc MZ est la droite qui peut une surface rationelle et une surface médiale (41. 10) , et elle peut la surface AΓ. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LX.
Si une surface est comprise sous une rationelle et une sixième de deux noms, la droite qui peut cette surface est l’irrationelle appelée la droite qui peut deux médiales.
Que la surface ΑΒΓΔ soit comprise sous la rationelle ΑΒ et£ sous une sixième de deux noms AΔ, divisée en ses noms au point E, de manière que AE soit le plus grand nom ; je dis que la droite qui peut la surface ΑΓ est celle qui peut deux médiales.
Faisons la même construction qu’auparavant. Il est évident que MZ peut la surface AΓ, et que MN est incommensurable en puissance avec NΞ. Et puisque EA est incommensurable en longueur avec AB, les droites EA, AB seront des rationelles comnensurables en puissance seulement ; le rectangle ΑΚ, c’est-à-dire la somme des quarrés de MN et de NΞ, sera donc médial (22. 10). De plus, puisque ΕΔ est incommensurable en longueur avec ΑΒ, la droite EZ sera incommensurable
avec EK, les droites ZE, EK sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; le rectangle EA, c'est-à-dire MP, c’est-à-dire le rectangle sous MN, NΞ, sera donc médial. Et puisque ΑΕ est incommensurable avec EZ, le rectangle AK sera incommensurable avec EA. Mais AK est composé de la somme des quarrés de MN, NZ, et EA est le rectangle sous MN, NZ ; la somme des quarrés de MN, NZ est donc incommensurable avec le rectangle sous MN, NΞ Mais l’une et l’autre de ces grandeurs est médiale ; les droites MN, NΞ sont donc incommensurables en puissance ; donc ΜΞ est la droite qui peut deux médiales, et elle peut la surface AΓ (42. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
LEMME.
Si une ligne droite est coupée en parties inégales, la somme des quarrés de ces parties inégales est plus grande que le double rectangle compris sous ces parties.
Soit la droite ΑΒ ; coupons-la en parties inégales au point Γ, et que ΑΓ soit la plus grande ; je dis que la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓΒ est plus grande que le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ.
Que la droite AB soit coupée en deux parties égales en Δ. Puisque la ligne droite AB est coupée en parties égales au point Δ, et en parties inégales au point Γ, le rectangle sous ΑΓ, ΓΒ avec le quarré de ΔΓ sera égal au quarré de AΔ (5. 2) ; le rectangle sous AΓ, ΓΒ est donc plus petit que le quarré de AΔ ; le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ est donc plus petit que le double quarré de ΑΔ. Mais la somme des quarrés de AΓ et de ΓΒ est double de la somme des quarrés de ΑΔ et de ΔΓ (9. 2) ; la somme des quarrés de AΓ et de ΓΒ est donc plus grande que le double rectangle sous ΑΓ ; ΓΒ. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXI.
Le quarré d’une droite de deux noms appliqué à une rationelle fait une largeur qui est la première de deux noms.
Soit la droite AB de deux noms, divisée en ses noms au point Γ, de manière que AΓ soit son plus grand nom ; soit exposée la rationelle ΔΕ, et appliquons à la rationelle ΔΕ un rectangle ΔΕΖΗ égal au quarré de AB, et faisant la largeur ΔΗ ; je dis que la droite ΔH est une première de deux noms.
Appliquons à la rationelle ΔE un rectangle ΔΘ égal au quarré de ΑΓ (45. 1) , et un rectangle KA égal au quarré de ΒΓ ; le double rectangle restant sous ΑΓ, ΓΒ sera égal au rectangle MZ (4. 2). Coupons ΜΗ en deux parties égales en N, et menons a l’une ou à l’autre des droites MΛ, HΞ la parallèle NΞ ; chacun des rectangles
MΞ, NZ sera égal au rectangle compris sous ΑΓ, ΓΒ. Et puisque la droite ΑΒ de deux noms est divisée en ses noms au point Γ, les droites ΑΓ, ΓΒ seront des rationelles commensurables en puissance seulement (37. 10) ; les quarrés de AΓ et de is sont donc rationels, et commensurables entre eux ; la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓΒ est donc commensurable avec la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓB (16. 10) . Mais elle est égale au rectangle ΔΛ ; le rectangle ΔΛ est donc rationel, et il est appliqué à la rationelle ΔΕ ; la droite 5M est donc rationelle, et commensurable en longueur avec ΔΕ (23. 10) . De plus, puisque les droites AΓ, ΓΒ sont des rationelles commensurables en puissance seulement, le double rectangle sous AΓ, ΓΒ, c’est-à-dire le rectangle ΜΖ, sera médial. Mais il est appliqué à la rationelle MA ; la droite ΜΗ est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΜΔ, cʼest-à-dire avec ΔΕ (23. 10) . Mais la droite ΜΔ est rationelle, et à commensurable en longueur avec ΔΕ ; la droite ΔM est donc incommensurable en longueur avec MH (13. 10) . Mais ces droites sont rationelles ; les droites ΔΜ, MH sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; ΔH est donc une droite de deux noms (37. 10) . Il faut démontrer
quʼelle est aussi une première de deux noms. Car puisque le rectangle sous AΓ, ΓB est moyen proportionel entre les quarrés des droites AΓ, ΓΒ (55. lem. 10) , le rectangle MZ sera moyen proportionel entre les rectangles ΔΘ, KA ; le rectangle ΔΘ est. donc à ΜΞ comme MZ est à KA, c’est-à-dire δΔΚ est à MN comme MN est à MK ; le rectangle sous ΔΚ, ΚΜ est donc égal au quarré de MN (17. 6) . Et puisque le quarré de AT est commensurable avec le quarré de ΓΒ, le rectangle ΔΘ sera commensurable avec le rectangle kA (14. 10) ; la droite ΔK est donc commensurable en longueur avec ΚΜ. Et puisque la somme des quarrés des droites ΑΓ, ΓB est plus grande que le double rectangle sous AT, ΓΒ (61. lem. 10) , le rectangle ΔΛ sera plus grand que MZ ; la droite ôM est donc plus grande que ΜΗ. Mais le rectangle sous ΔΚ, KM est égal au quarré de MN, cʼest-à-dire à la quatrième partie du quarré de MH, et la droite ΔΚ est commensurable en longueur avec KM ; ΟΓ ; si lon a deux droites inégales, si l’on applique à la plus grande un parallélogramme égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite, si ce parallélogramme est défaillant d’une figure quarrée, et sʼil partage la plus grande en parties commensurables, la puissance de la plus grande surpassera la puissance de la plus petite du quarré d’une droite commensurable en longueur avec la plus grande (18. 10) ; la puissance de ΔΜ surpasse donc la puissance de MH du quarré d’une droite commensurable avec ΔΜ. Mais les droites ΔΜ, MH sont rationelles, et ôM, qui est le plus grand nom, est commensurable en longueur avec la rationelle exposée ΔΕ ; la droite ΔΗ est donc une première de deux noms (déf. sec. 1. 10) . Ce quʼil fallait démontrer.