Les Éléments (trad. Peyrard, 1804) (page 21)
PROPOSITION LXII.
Le quarré de la première de deux médiales appliqué à une rationelle fait une largeur qui est la seconde de deux noms.
Soit AB la première de deux médiales, divisée en ses médiales au point Γ ; que la droite AΓ soit la plus grande ; soit exposée la rationelle ΔΕ, et appliquons à ΔE un
parallélogramme ΔZ égal au quarré de AB, ce parallélogramme ayant ΔΗ pour largeur ; je dis que ΔΗ est une seconde de deux noms.
Faisons la même construction qu’auparavant. Puisque la droite AB, qui est divisée au point Γ, est la première de deux médiales, les droites AΓ, ΓΒ seront des médiales commensurables en puissance seulement, qui comprendront une surface rationelle (38. 10) ; les quarrés de AΓ et de ΓΒ sont donc médiaux ; le rectangle ΔΛ est donc médial, et il est appliqué à la rationelle ΔE ; la droite Ms est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΔE (23. 10). De plus, puisque le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ est rationel, le rectangle MZ sera rationel, et il est appliqué à la rationelle MΛ ; la droite MH est donc rationelle, et commensurable en longueur avec MΛ (21. 10) , c’est-à-dire avec ΔΕ ; la droite ΔM est donc incommensurable en longueur avec MH (13. 10) . Mais ces droites sont rationelles ;
les droites ΔM, MH sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; ΔΗ est donc une droite de deux noms. ll faut démontrer qu’elle est aussi la seconde de deux noms. Car puisque la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓB est plus grande que le double rectangle sous AΓ, ΓΒ (lem. 61. 10) , le rectangie ΔΛ sera plus grand que MZ ; la droite ΔM est donc plus grande que MH. Et puisque le quarré de AΓ cst commensurable avec le quarré de ΓΒ, le rectangle ΔΘ sera commensurable avec KA ; la droite ΔΚ est donc commensurable avec ΚΜ. Mais le rectangle sous ΔΚ, KM est égal au quarré de MN ; la puissance de ΔΜ surpasse donc la puissance de MH du quarré d’une droite commensurable avec ΔΜ (18. 10). Mais la droite MH est commensurable en longueur avec ΔE ; la droite ΔΗ est donc une seconde de deux noms (déf. sec. 2. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXIII.
Le quarré de la seconde de deux médiales appliqué à une rationelle fait une largeur qui est la troisième de deux noms.
Soit AB la seconde de deux médiales, divisée en ses médiales au point Γ, de manière que AΓ soit son plus grand segment ; soit aussi la rationelle ΔΕ ; appliquons à ΔΕ un parallélogramme ΔZ égal au quarré de ΑΒ, ce parallélogramme ayant ΔH pour largeur ; je dis que ΔΗ est une troisième de deux noms.
Faisons la même construction qu’auparavant. Puisque AB est une seconde de deux médiales, divisée au point Γ ; les droites ΑΓ, ΓΒ seront des médiales commensurables en puissance seulement, qui comprendront une surface médiale (39. 10) ; la somme des quarrés de ar et de ΓΒ est donc médiale. Mais elle est égale au rectangle ΔΛ ; le rectangle ΔΛ est donc médial ; et il est appliqué à la rationelle ΔΕ ; la droite ΔΜ est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΔE (23. 10) . Par la même raison, la droite MH est rationelle, et incommensurable en longueur avec MA, c’est-à-dire avec ΔE ; chacune des droites AM, MH est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΔΕ. Et puisque AT est incommensurable en longueur avec ΓΒ, et que ΑΓ est à ΓΒ comme le quarré de AT est au rectangle sous ΑΓ, ΓΒ, le quarré de ΑΓ sera incommensurable avec le rectangle sous ΑΓ, ΓΒ ; la somme des quarrés de ΑΓ et de ΓB est donc incommensurable avec le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ, c’est-a-dire ΔΛ avec MZ ; la droite ΔΜ est donc incommensurable avec MH. Mais ces droites sont rationelles ; ΔΗ est donc une droite de deux noms. Il faut démontrer quelle-est aussi une troisième de deux noms. Nous conclurons comme auparavant que ΔΜ est plus grand que MH, et que ΔK est commensurable avec ΚΜ. Mais le rectangle sous ΔΚ, ΚΜ est égal au quarré de MN ; la puissance de ΔΜ est donc plus grande que la puissance de MH du quarré dʼune droite commensurable avec ΔΜ (18. 10) . Mais aucune des droites ΔΜ, ΜΗ n’est commensurable en longueur avec ΔΕ ; la droite ΔΗ est donc une troisième de deux noms (déf. sec. 3. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXIV.
Le quarré d’une majeure appliqué à une rationelle fait une largeur qui est la quatrième de deux noms.
Soit la majeure AB, divisée en Γ, la droite AΓ étant plus grande que ΓΒ ; soit aussi une rationelle ΔΕ ; appliquons à ΔΕ un parallélogramme ΔΖ, qui étant égal au quarré de AB, ait la droite ΔΗ pour largeur ; Je dis que ΔΗ est une quatrième de deux noms.
Faisons la même construction qu’auparavant. Puisque la majeure AB est divisée au point Γ, les droites ΑΓ, ΓΒ seront incommensurables en puissance, la somme des quarrés de ces droites étant rationelle, et le rectangle sous ces mêmes droites médial (40. 10) . Puisque la somme des quarrés des droites AΓ, ΓΒ est rationelle, le rectangle ÊA sera rationel ; la droite ΔΜ est donc rationelle, et commensurable en longueur avec ΔΕ (21. 10). De plus, puisque le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ, c’est-a-dire MZ, est médial, et qu’il est appliqué à la rationelle MA, la droite ΜΗ sera rationelle, et incommensurable en longueur avec ΔΕ (23. 10) ; la droite ΔΜ est donc incommensurable en longueur avec ΜΗ ; les droites ôM, MH sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; ΔΗ est donc une droite de deux noms (37. 10) . Il faut démontrer quʼelle est aussi la quatrième de deux noms. Nous démontrerons, comme auparavant, que ΔΜ est plus grand que MH, et que le rectangle sous ΔΚ, ΚΜ est égal au quarré de MN. Et puisque le quarré de Ar est incommensurable avec le quarré de ΓΒ, le rectangle ΔΘ sera incommensurable avec KA (10. 10) ; la droite ΚΔ est donc incommensurable avec ΚΜ. Mais si deux droites sont inégales ; si lʼon applique à la plus grande un parallélogramme égal à la quatrième partie du quarré de la plus petite, et si ce parallélogramme, étant détaillant d’une figure quarrée, partage la plus grande droite en parties incommensurables en longueur, la puissance de la plus-grande droite surpassera la puissance de la plus petite du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec la plus. grande droite (19. 10) ; la puissance de ÛM surpassera donc la puissance de MH du quarré d’une droite incommensurable avec ΔΜ. Mais les droites ΔM, MH sont. des rationelles commensurables en puissance seulement, et# ΔΜ est commensurable avec la rationelle exposée ΔΕ ; ΔΗ est donc une quatrième de deux noms. (déf. sec. 4. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXV.
Le quarré d’une droite qui peut une surface rationelle et une surface médiale étant appliqué à une rationelle, fait une largeur qui est la cinquième de deux noms. Que la droite AB, pouvant une surface rationelle et une surface médiale, soit divisée en ses droites au point Γ, la droite ΑΓ étant la plus grande ; soit exposée la rationelle ΔΕ, et appliquons à ÈE un parallélogramme ΔZ égal au quarré de AB, ce parallélogramme ayant ΔH pour largeur ; je dis que ΔΗ est une cinquième de deux noms.
Car faisons la même construction qu’auparavant. Puisque la droite AB, qui est divisée au point, peut une surface rationelle et une surface médiale, les droites AT, ΓΒ seront incommensurables en puissance, la somme des quarrés de ces droites étant médiale, et le rectangle sous ces mêmes droites étant rationel (41. 10) . Puisque la somme des quarrés des droites ΑΓ, ΓΒ est médiale, le rectangle ΔΛ sera médial ; la droite 5M est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec NE (23. 10) . De plus, puisque le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ, c’est-à-dire MZ, est rationel, la droite MH sera rationelle et commensurable en longueur avec ΔΒ (21. 10) ; la droite ΔΜ est donc incommensurable avec MH (13. 10) ; les droites ΔΜ, MH sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; ΔH est donc une droite de deux noms (37. 10) . Je dis quʼelle est aussi une cinquième de deux noms. Car nous démontrerons semblablement que le rectangle sous ak, KM est égal au quarré de MN, et que ΔΚ est incommensurable en longueur avec ΚΜ ; la puissance de £M surpasse donc la puissance de MH du quarré d’une droite incommensurable avec ΔΜ (19. 10) . Mais les droites ΔM, MH sont des rationelles commensurables en puissance seulement, et la plus petite MH est commensurable en longueur avec ΔΕ ; la droite ΔῊ est donc une cinquième de deux noms (déf. sec. 5. 10) Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXVI.
Le quarré d’une droite qui peut deux médiales étant appliqué à une rationelle, fait une largeur qui est la sixième de deux noms.
Que la droite ΑΒ, divisée au point Γ, puisse deux médiales ; soit la rationelle ΔΕ, et appliquons à ΔΕ le parallélogramme ΔZ égal au quarré de ΑΒ, et ayant ΔΗ pour largeur ; je dis que ΔΗ est une sixième de deux noms. Faisons la même construction qu’auparavant. Puisque la droite AB, divisée au point Γ, peut deux médiales, les droites ΑΓ, ΓΒ seront incommensurables en puissance, la somme des quarrés de ces droites étant médiale, le rectangle sous ces mêmes droites étant aussi médial, et la somme de leurs quarrés étant incommensurable avec le rectangle compris sous ces droites (42. 10) , chacun des rectangles Δ, MZ sera médial, d’après ce qui a été démontré ; mais ils sont appliqués à la rationelle ΔE ; chacune des droites ΔΜ, ME est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΔΕ (23. 10) . Et puisque la somme quarrés de ΑΓ et de ΓΒ est incommensurable avec le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ, le rectangle ΔΛ sera incommensurable avec ΜΖ ; la droite Δμ est donc incommensurable avec MH (10. 10) ; les droites ΔΜ, MH sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; ΔΗ est donc une droite de deux noms. Je dis qu’elle est aussi une sixième de deux noms. Nous démontrerons encore de la même manière que le rectangle sous ΔΚ, KM est égal au quarré de MN, et que ΔΚ est incommensurable en longueur avec KM ; par la même raison, la puissance de ΔM surpassera la puissance de ΜΗ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec ΔΜ (19. 10) . Mais aucune des droites ΔΜ, MH n’est commensurable en longueur avec la rationelle exposée AE ; la droite ΔΗ est donc une sixième de deux noms (déf. sec. 6. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXVII.
La droite qui est commensurable en longueur avec une droite de deux noms, est aussi elle-même une droite de deux noms, et du même ordre quʼelle.
Soit AB une droite de deux noms, et que ΓΔ soit commensurable en longueur avec ΑΒ ; je dis que ΓΔ est une droite de deux noms, et qu’elle est du même ordre que ΑΒ.
Car, puisque AB est une droite de deux noms, qu’elle soit divisée en ses noms au point E, et que AE soit son plus grand nom ; les droites AE, EB seront des rationelles commensurables en puissance seulement (37. 10) . Faisons en sorte que AB soit à ΓΔ comme AZ est à ΓZ ; la droite restante EB sera à la droite restante ZΔ comme AB est à ΓΔ (19. 5) . Mais AB est commensurable en longueur avec ΓΔ ; la droite AE est donc commensurable avec ΓZ, et ΕΒ avec ZΔ (10. 10.). Mais les droites AE, EB sont rationelles ; les droites ΓZ, ZE sont donc rationelles. Εt puisque AE est à ΓΖ comme EB est à ΖΔ ; par permutation, AE est à ΕΒ comme ΓZ est à ZΔ. Mais les droites AB, EB ne sont commensurables qu’en puissance ; les droites ΓZ, ΖΔ ne sont donc commensurables qu’en puissance. Mais elles sont rationelles ; ΓΔ est donc une droite de deux noms (37. 10). Je dis aussi. que ΓΔ est du même ordre que AB.
Car la puissance de AE surpasse la puissance de EB du quarré d’une droite commensurable ou incommensurable avec AE. Si la puissance de AE surpasse la puissance de EB du quarré d’une droite commensurable avec AE, la puissance de ΓZ surpassera la puissance de ZΔ du quarré d’une droite commensurable avec ΓZ (15. 10) ; et si la droite AE est commensurable avec la rationelle exposée, la droite ΓΖ sera aussi commensurable avec elle (12. 1Ο) . Chacune des droites AB, ΓΔ est donc la première de deux noms, c’est-à-dire que ces droites sont du même ordre. Si la droite EB est commensurable avec la rationelle exposée, la droite ZA sera aussi commensurable avec elle, et la droite Γ ; sera encore du même ordre que AB, car chacune d’elles sera une seconde de deux noms. Mais si aucune des droites AE, EB n’est commensurable avec la rationelle exposée, aucune des droites ΓΖ, ZA ne sera commensurable avec elle, et chacune d’elles sera une troisième de deux noms. Si la puissance de AE surpasse la puissance de EB du quarré d’une droite incommensurable avec ΑΕ, la puissance de ΓΖ surpassera la puissance de ΖΔ du quarré d’une droite incommensurable avec ΓΖ (15. 10). Si la droite AE est commensurable avec la rationelle exposée, la droite ΓZ sera commensurable avec elle, et chacune d’elles sera une quatrième de deux noms. Si la droite EB est commensurable avec la rationelle exposée, la droite ΖΔ le sera aussi, et chacune d’elles sera une cinquième de deux noms ; et enfin si aucune des droites AE, EB n’est commensurable avec la rationelle exposée, aucune des droites ΓΖ, ZA ne sera commensurable avec elle, et chacune d’elles sera une sixième de deux noms. Donc, etc.
PROPOSITION LXVIII.
La droite qui est commensurable en longueur avec la droite de deux médiales, est aussi une droite de deux médiales, et du même ordre quʼelle.
Soit AB une droite de deux médiales, et que ΓΔ soit commensurable en longueur avec AB ; je dis que ΓΔ est une droite de deux médiales, et que cette droite est du même ordre que ΑΒ.
Car puisque ΑΒ est une droite de deux médiales, qu’elle soit divisée en ses médiales au point E ; les droites ΑΕ, EB seront des médiales commensurables en puissance seulement (38 et 39. 10). Faisons en sorte que AB soit ἃ ΓΔ comme AE est à ΓZ ; la droite restante EB sera à la droite restante ΖΔ comme ΑΒ est à ΓΔ. Mais AB est commensurable en longueur avec ΓΔ ; chacune des droites AE, EB est donc commensurable avec chacune des droites ΓZ, ZΔ. Mais les droites AE, EB sont médiales ; les droites ΓΖ, ZΔ sont donc médiales (24. 1Ο) . Et puisque AE est à EB comme ΓΖ est à ZA, et que les droites AE, EB ne sont commensurables qu’en puissance, les droites ΓZ, ZA ne seront commensurables qu’en puissance. Mais ou a démontré qu’elles sont médiales ; la droite ΓΔ est donc une droite de deux médiales (38 et 39. 10). Je dis aussi que ΓΔ est du même ordre que AB.
Car puisque AE est à EB comme ΓZ est à ΖΔ, le quarré de AE sera au rectangle sous AE, ΕΒ comme le quarré de IZ est au rectangle sous ΓΖ, ZΔ (11. 5, et 1. 6) ; donc, par permutation, le quarré de AE est au quarré de ΓZ comme le rectangle sous AE, EB est au rectangle sous xZ, ZA. Mais le quarré de AE est commensurable avec le quarré de ΓΖ ; le rectangle sous AB, EB est donc commensurable avec le rectangle sous ΓZ, ZΔ. Si donc le rectangle sous AE, EB est rationel, le rectangle sous ΓZ, ΖΔ sera rationel ; et ΓΔ sera, par conséquent, une première de deux médiales (38. 10) . Si le rectangle sous AE, EB est médial, le rectangle sous ΓΖ, ΖΔ sera médial. Mais les droites ΓΔ, ΔΒ sont l’une et l’autre la seconde de deux médiales (39. 10) ; la droite ΓΔ sera, par conséquent aussi, du même ordre que la droite AB. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXIX.
Une droite commensurable avec la majeure, est elle-même une droite majeure.
Soit la majeure AB ; et que ΓΔ soit commensurable avec AB ; je dis que ΓΔ est une droite majeure.
Divisons AB au point E ; les droites AB, EB seront incommensurables en puissance, la somme des quarrés de ces droites étant rationelle, et le rectangle sous ces mêmes droites étant médial (40. 10) . Car faisons les mêmes choses qu’auparavant. Puisque AB est à ΓΔ comme ΑΕ est à ΓZ, et comme EB est à ΖΔ, la droite AE sera à ΓZ comme EB est à ΖΔ (11. 5) . Mais ΑΒ est commensurable avec ΓΔ ; chacune des droites AE, EB est donc commensurable avec chacune des droites ΓZ, ZΔ. Et puisque AE est à ΓΖ comme EB est à ZA ; par permutation, AE sera à EB comme ΓΖ est à ZΔ ; donc, par addition, AB est à ΒΕ comme ΓΔ est à ΔΖ ; le quarré de AB est donc au quarré de ΒΕ comme le quarré de ΓΔ est au quarré de ΔΖ (22. 6) . Nous démontrerons semblablement que le quarré de AB est au quarré de AE comme le quarré de Γ ; est au quarré de ΓΖ ; le quarré de AB est donc à. la somme des quarrés des droites AE, EB comme le quarré de ΓΔ est à la somme des quarrés des droites ΓΖ, ZΔ ; donc, par permutation, le quarré de AB est au quarré de ΓΔ comme la somme des quarrés des droites AE, EB est à la somme des quarrés des droites ΓΖ, ΖΔ. Mais le quarré de ΑΒ est commensurable avec le quarré de ΓΔ ; la somme des quarrés des droites AE, EB est donc commensurable avec la somme des quarrés des droites ΓΖ, ZA. Mais la somme des quarrés des droites AE, EB est rationelle (40. 10) ; la somme des quarrés des droites ΓΖ, ZΔ est donc rationelle (déf. 9. 10) . Par la même raison, le double rectangle sous AE, EB est commensurable avec le double rectangle sous ΓZ, ZΔ. Mais le double rectangle sous AE, EB est médial (40. 10) ; le double rectangle sous ΓΖ, ΖΔ est donc médial (24. 10) ; les droites ΓZ, ΖΔ sont donc incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant rationelle, et le rectangle sous ces mêmes droites étant médial ; la droite entière ΓΔ est donc l’irrationelle appelée la droite majeure (40. 10) .
Une droite commensurable avec la majeure, est donc elle-même une droite majeure. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXX.
Une droite commensurable avec la droite qui peut une surface rationelle et une surface médiale, est elle-même une droite qui peut une surface rationelle et une surface médiale. Que la droite AB puisse une surface rationelle et une surface médiale, et que ΓΔ soit commensurable avec ΑΒ ; il faut démontrer que la droite Γ ; peut aussi une surface rationelle et une surface médiale.
Divisons AB en ses droites au point E ; les droites ΑΕ, EB seront incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, et le rectangle sous ces mêmes droites étant rationel (41. 10). Faisons la même construction qu’auparavant. Nous démontrerons semblablement que les droites ΓΖ, ZΔ sont incommensurables en puissance, que la somme des quarrés des droites ΑΕ, EB est commensurable avec la somme des quarrés des droites 2, ZA, et que le rectangle sous ΑΕ, EB l’est aussi avec le rectangle sous ΓΖ, ΖΔ ; la somme des quarrés des droites ΓΖ, ΖΔ est donc médiale, et le rectangle sous ΓΖ, ΖΔ rationel (24. 10) ; la droite ΓΔ pert donc une surface rationelle et une surface médiale (41. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXXI.
Une droite commensurable avec la droite qui peut deux surfaces médiales, est elle-même une droite qui peut deux surfaces médiales.
Que la droite ΑΒ puisse deux surfaces médiales, et que ΓΔ soit commensurable avec ΑΒ ; il faut démontrer que ΓΔ peut aussi deux surfaces médiales.
Car, puisque la droite AB peut deux surfaces médiales, qu’elle soit divisée en ses droites au point E ; les droites AE, EB seront incommensurables en puissance, la somme de leurs quarrés étant médiale, le rectangle sous ces mêmes droites étant aussi médial, et la somme des quarrés des droites ΑΕ, EB étant incommensurable avec le rectangle sous les droites ΑΒ, ΕΒ (42. 10) . Faisons la même construction qu’auparavant. Nous démontrerons semblablement que les droites ΓΖ, ZΔ sont incommensurables en puissance ; que la somme des quarrés des droites AE, EB est
commensurable avec la somme des quarrés des droites ΓΖ, ZA, et que le rectangle sous AB, EB lʼest aussi avec le rectangle sous xZ, Za ; la somme des quarrés des droites mZ, ΖΔ est donc médiale, le rectangle sous IZ, ZA médial aussi, et la somme des quarrés des droites ΓΖ, ZA incommensurable avec le rectangle sous ΓZ, ZΔ (24. 19) ; la droite ΓΔ peut donc deux surfaces médiales (42. 10) . Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION LXXII.
Si l’on ajoute une surface rationelle avec une surface médiale, on aura quatre droites irrationelles ; savoir, ou une droite de deux noms, ou la première de deux médiales, ou la droite majeure, ou enfin la droite qui peut une surface rationelle et une surface médiale.
Soit la surface rationelle AB, et la surface médiale ΓΔ ; je dis que la droite qui peut la surface ΑΔ, est ou une droite de deux noms, ou la première de deux médiales, ou une droite majeure, ou la droite qui peut une surtface rationelle et une surface médiale.
Car la surface AB est ou plus grande ou plus petite que ΓΔ. Qu’elle soit d’abord plus grande. Soit exposée la rationelle EZ ; appliquons à EZ un parallélogramme ΕΗ égal à AB, ce parallélogramme ayant la droite EΘ pour largeur ; appliquons aussi à EZ, c’est-à-dire à ΘΗ, un parallélogramme ΘΙ égal ΓΔ, ce parallélogramme ayant la droite ΘΚ pour largeur. Puisque AB est rationel et égal à EH, le parallélogramme FH sera rationel ; mais il est appliqué à la rationelle EZ, et il a pour largeur la droite ΕΘ ; la droite EΘ est donc rationelle, et commensurable en longueur avec EZ (21. 10) . De plus, puisque ΓΔ est médial, et qu’il est égal à ΘΙ, le parallélograme ΘΙ sera médial ; mais il est appliqué à la rationelle EZ, c’est-à-dire à ΘΗ, et il a pour largeur la droite ΘΚ ; la droite ΘΚ est donc rationelle et incommensurable en longueur avec EZ (23. 10) . Et puisque ΓΔ est médial, et que ΑΒ est rationel, AB sera incommensurable avec ΓΔ ; le parallélogramme EH est donc incommensurable avec ΘΙ. Mais EH est à ΘΙ comme EΘ est à ΘK ; la droite EΘ est donc incommensurable en longueur avec ΘΚ (1. 6) . Mais ces droites sont rationelles l’une et l’autre ; les droites EΘ, ΘΚ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ΕΚ divisée au point Θ est donc une droite de deux noms. Et puisque AB est plus grand que ΓΔ, que AB est égal à EH, et que ΓΔ est égal à ΘΙ, le parallélogramme EH est plus grand que ΘI ; la droite ΕΘ sera par conséquent plus grande que ΘK. La puissance de ΕΘ surpasse donc celle de ΘK du quarré d’une droite commensurable ou incommensurable en longueur avec ΕΘ. Que la puissance de ΕΘ surpasse d’abord la puissance de ΘΚ du quarré d’une droite commensurable avec ΕΘ ; mais ΘΕ, plus grand que ΘΚ, est commensurable avec la rationeile exposee EZ ; la droite ΕΚ est donc une première de deux noms (déf. sec. 1. 10) ; mais la droite ΕΖ est rationelle ; or, si une surface est comprise sous une rationelle et sous la première de deux noms, la droite qui peut cette surface est une droite de deux noms (55. 10) ; la droite qui peut la surface Ez est donc une droite de deux noms ; la droite qui peut la surface ΑΔ sera par conséquent une droite de deux noms. Mais que la puissance de EΘ surpasse la puissance de du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec EΘ, puisque EΘ, plus grand que ΘΚ, est commensurable en longueur avec la rationelle exposée EZ ; la droite EK sera la quatrième de deux noms (déf. sec. 4. 10) ; mais la droite EZ est rationelle ; or, si une surface est comprise sous une rationelle et sous une quatrième de deux noms, la droite qui peut cette surface est l’irrationelle appelée majeure (58. 10) ; la droite qui peut la surface Ez est donc une droite majeure ; la droite qui peut la surface As est donc aussi une droite majeure.
Mais que la surface AB soit plus petite que la surface ΓΔ ; la surface EH sera plus petite que la surface ΘΙ ; la droite EΘ sera par conséquent plus petite que ΘK ; or, la puissance de ΘΚ surpasse la puissance de ΕΘ du quarré d’une droite commensurable ou incommensurable en longueur avec ΘΚ. Que la puissance de ΘΚ surpasse dʼabord la puissance de EΘ du quarré d’une droite commensurable en longueur avec ok, puisque la droite EΘ, plus petite que ΘΚ, est commensurable en longueur avec la rationelle exposée EZ ; la droite ΕΚ est donc la seconde de deux noms (déf. sec. 2. 10) ; mais la droite EZ est rationelle ; or, si une surface est comprise sous une rationelle et sous une seconde de deux noms, la droite qui peut cette surface est la première de deux médiales (56. 10) ; la droite qui peut la surface EI est donc la première de deux médiales ; la droite qui peut la surface ΑΔ sera par conséquent la première de deux médiales. Mais que la puissance de ΚΘ surpasse la puissance de ΕΘ du quarré d’une droite incommensurable avec ΚΘ ; puisque ΕΘ, plus petit que ΚΘ, est commensurable avec la rationelle exposée ΕΖ ; la droite ΕΚ sera la cinquième de deux noms (déf. sec. 5. 10) ; mais la droite EZ est rationelle ; or, si une surface est comprise sous une rationelle et sous la cinquième de deux noms, la droite qui peut cette surface est celle qui peut une surface rationelle et une surface médiale (59. 10) ; la droite qui peut la surface EI est donc celle qui peut une surfase rationelle et une surface médiale ; la droite qui peut la surface ΑΔ sera par conséquent la droite qui peut une surface rationelle et une surface médiale. Donc, etc.
PROPOSITION LXXIII.
Deux surfaces médiales incommensurables entre elles étant ajoutées, il en résulte deux droites irrationelles, ou la seconde de deux médiales, ou la droite qui peut deux médiales.
Ajoutons les deux surfaces médiales AB, ΓΔ qui sont incommensurables entre elles ; je dis que la droite qui peut la surface ΑΔ est ou la seconde de deux médiales, ou la droite qui peut deux médiales.
Car la surface AB est ou plus grande ou plus petite que la surface ΓΔ. Que ΑΒ soi d’abord plus grand que ΓΔ ; soit exposée la rationelle EZ ; et appliquons à EZ un parallélogramme EH égal à AB, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite ΕΘ ; appliquons aussi à EZ un parallélogramme ΘΙ égal à ΓΔ, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite ΘΚ. Puisque les surfaces ΑΒ, ΓΔ sont médiales l’une et l’autre, les surfaces EH, ΘΙ seront aussi médiales l’une et l’autre ; mais ces surfaces sont appliquées à ΕΖ, et elles ont pour largeur les droites EΘ, ΘΚ ; les droites ΕΘ, ΘΚ sont donc rationelles l’une et l’autre (23. 10), et incommensurables en longueur avec EZ. Et puisque AB est incommensurable avec ΓΔ, que ΑΒ est égal à ΕΗ, et que ΓΔ est égal à ΘΙ, la surface EH sera incommensurable avec ΘI. Mais EH est à ΘΙ comme ΕΘ est à AK ; la droite EΘ est donc incommensurable en longueur avec ΘK ; les droites EΘ, ΘΚ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; ΕΚ est donc une droite de deux noms. Or, la puissance de EΘ surpasse la puissance de ΘΚ du quarré d’une droite commensurable ou incommensurable avec EΘ. Que la puissance de EΘ surpasse d’abord la puissance de ΘΚ d’une droite commensurable cn longueur avec EΘ ; or, les droites EΘ, ne sont ni ’une ni l’autre commensurables en longueur avec la rationelle exposée EZ ; la droite Ex dst donc la troisième de deux noms ; mais la droite EZ est rationelle ; or, si une surface est comprise sous une rationelle et sous la troisième de deux noms, la droite qui peut cette surface est la seconde de deux médiales (57. 10) ; la droite qui peut la surface EI, c’est-à-dire AΔ, est donc la seconde de deux médiales. Mais que la puissance de ΕΘ surpasse la puissance de ΘΚ du quarré d’une droite incommensurable en longueur avec EΘ ; or, les droites EΘ, ΘK sont l’une et lʼautre incommensurables en longueur avec EZ ; la droite Ek est donc la sixième de deux noms (déf. sec. 6. 10) . Mais si une surface est comprise sous une rationelle et sous une sixième de deux noms, la droite qui peut cette surface est la droite qui peut deux médiales (60. 10) ; la droite qui peut la surface ΑΔ est donc la droite qui peut deux médiales. Si AB était plus petit que ΓΔ, nous démontrerions semblablement que la droite qui peut la surface AΔ est ou la seconde de deux médiales, ou la droite qui peut deux médiales. Donc, etc.
PROPOSITION LXXIV.
Si une droite rationelle est retranchée d’une droite rationelle, cette droite n’étant commensurable qu’en puissance avec la droite entière ; la droite restante sera irrationelle, et sera appelée apotome.
Que la rationelle ΒΓ, commensurable en puissance seulement avec la droite entière, soit retranchée de la droite ΑΒ ; je dis que la droite restante AΓ, appelée apotome, est irrationelle.
Car puisque AB est incommensurable en longueur avec BΓ, et que AB est à BΓ comme le quarré de AB est au rectangle sous AB, BΓ (1. 6), le quarré de ΑΒ sera incommensurable avec le rectangle sous AB, BΓ ; mais la somme des quarrés de AB et de BΓ est commensurable avec le quarré de ΑΒ (16. 10) , et le double rectangle sous AB, BΓ est commensurable avec le rectangle sous AB, BΓ ; la somme des quarrés des droites AB, BΓ est donc incommensurable avec le double rectangle sous AB, BΓ (14. 10) ; la somme des quarrés des droites AB, ΒΓ est donc incommensurable avec le quarré restant de la droite AΓ (17. 1Ο}, parce que la somme des quarrés des droites AB, BΓ est égale au double rectangle sous AB, ΒΓ, conjointement Avec le quarré de AΓ (7. 2) . Mais la somme des quarrés des droites ΑΒ, ΒΓ est rationelle ; la droite ΑΓ est donc irrationelle (déf. 11. 10) , et elle sera appelée apotome.
PROPOSITION LXXV.
Si d’une médiale on retranche une médiale, commensurable en puissance seulement avec la droite entière, et comprenant avec la droite entière une surface rationelle, la droite restante est irrationelle, et elle sʼappèlera le premier apotome de la médiale.
De la médiale AB retranchons la médiale ΒΓ, commensurable en puissance seulement avec ΑΒ, et faisant avec AB le rectangle sous AB, BΓ rationel ; je dis que la droite restante AΓ est irrationelle, et elle sera appelée le premier apotome de la médiale. Car, puisque les droites AB, BΓ sont médiales, les quarrés des droites AB, BΓ seront médiaux. Mais le double rectangle sous AB, BF est rationel ; la somme des quarrés des droites AB, ΒΓ est donc incommensurable avec le double rectangle sous AB, ΒΓ ; le double rectangle sous AB, BΓ est donc incommensurable avec le quarré restant de la droite AΓ (7. 2) ; parce que si une grandeur entière est incommensurable avec l’une de celles qui la composent, les grandeurs composantes sont incommensurables (17. 10) . Mais le double rectangle sous ΑΒ, BΓ est rationel ; le quarré de AΓ est donc irrationel ; la droite AΓ est donc irrationelle, et elle sera appelée le premier apotome de la médiale.
PROPOSITION LXXVI.
Si d’une médiale on retranche une médiale, commensurable en puissance seulement avec la droite entière, et comprenant avec la droite entière une surface médiale, la droite restante est irrationelle, et elle s’appèlera le second apotome de la médiale. De la médiale AB retranchons la médiale BΓ, commensurable en puissance seulement avec la droite entière AB, et comprenant avec la droite entière AB le rectangle médial sous AB, BΓ ; je dis que la droite restante AT est irrationelle, et elle sera appelée le second apotome de la médiale.
Soit exposée la rationnelle ΔΙ ; appliquons à ΔI un parallélogramme ΔΕ égal à la somme des quarrés des droites AB, BΓ, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite ΔH ; appliquons aussi à la droite ΔI un parallélogramme ΔΘ égal au double rectangle sous AB, BD, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite ΔΖ ; le reste ZE sera égal au quarré de ΑΓ (7. 2) . Et puisque les quarrés des droites AB, ΒΓ sont médiaux, le parallélogramme ΔΕ sera médial (24. cor. 10) . Mais il est appliqué à la rationelle ΔΙ, et il a pour largeur la droite ΔΗ ; la droite ΔH est donc rationelle et incommensurable en longueur avec ai (23. 10) . De plus, puisque le rectangle sous AB, BΓ est médial, le double rectangle sous AB, BΓ sera médial (24 cor. 10) . Mais il est égal à ΔΘ ; le parallélogramme ΔΘ est donc médial, et il est appliqué à la rationelle ΔI, sa largeur étant la droite ΔΖ ; la droite ΔZ est donc rationelle et incommensurable en longueur avec ΔΙ. Et puisque les droites AB, BΓ ne sont commensurables qu’en puissance, la droite AB sera incommensurable en longueur avec ΒΓ ; le quarré de AB est donc incommensurable avec le rectangle sous ΑΒ, ΒΓ (1. 6, et 10. 10). Mais la somme des quarrés des droites AB, BΓ est commensurable avec le quarré de ΑΒ (16. 10), et le double rectangle sous ΔΒ, ΒΓ est commensurable avec le rectangle sous AB, BΓ (6. 10) ; le double rectangle sous AB, ΒΓ est donc incommensurable avec la somme des quarrés des droites ΑΒ, BΓ. Mais ΔE est égal à la somme des quarrés des droites AB, BΓ, et ΔΘ égal au double rectangle sous AB, BΓ ; le parallélogramme ΔΕ est donc incommensurable avec ΔΘ. Mais ΔE est à ΔΘ comme ΗΔ est à ΔΖ ; la droite HΔ est donc incommensurable en longueur avec ΔZ. Mais ces droites sont rationelles ; les droites HΔ, ΔZ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; la droite ZH est donc un apotome (74. 10) . Mais la droite ΔΙ est rationelle, et le rectangle compris sous une rationelle et sous une irrationelle est irrationel (39. 10) ; la droite qui peut ce rectangle est donc irrationelle. Mais AΓ peut ZE ; la droite AΓ est donc irrationelle, et elle sera appelée le second apotome de la médiale.
PROPOSITION LXXVII.
Si d’une droite on retranche une droite, qui étant incommensurable en puissance avec la droite entière, fasse avec la droite entière la somme des quarrés de ces droites rationelle, et le rectangle sous ces mêmes droites médial, la droite restante est irrationelle, et elle sera appelée mineure.
De la droite ΑΒ retranchons la droite ΒΓ, qui étant incommensurable en puissance avec la droite entière, fasse avec la droite entière la somme des quarrés des droites AB, BΓ rationelle, et le double rectangle sous AB, BΓ médial ; je dis que la droite restante AΓ est irrationelle, et elle sera appelée mineure.
Car puisque la somme des quarrés des droites AB, BΓ est rationelle, et que le double rectangle sous AB, BΓ est médial, la somme des quarrés des droites AB, BΓ sera incommensurable avec le double rectangle sous AB, ΒΓ ; donc, par conversion, la somme des quarrés des droites AB, BΓ est incommensurable avec le quarré de AΓ (17. 10) . Mais la somme des quarrés des droites AB, ΒΓ est rationelle ; le quarré de AΓ est donc irrationel ; la droite ΑΓ est donc irrationelle, et elle sera appelée mineure.
PROPOSITION LXXVIII.
Si d’une droite on retranche une droite, qui étant incommensurable en puissance avec la droite entière, fasse avec la droite entière la somme des quarrés de ces droites médiale, et le double rectangle compris sous ces mêmes droites rationel, la droite restante sera irrationelle, et sera appelée la droite qui fait avec une surface rationelle un tout médial.
De la droite AB retranchions la droite BΓ, qui étant incommensurable en puissance avec la droite entière AB, fasse la somme des quarrés de AB et de BΓ médiale, et le double rectangle sous AB, ΒΓ rationel ; je dis que la droite restante ΑΓ est irrationelle, et elle sera appelée la droite qui fait avee une surface rationelle un tout médial.
Car, puisque la somme des quarrés des droites AB, BΓ est médiale, et que le double rectangle sous AB, BΓ est rationel, la somme des quarrés des droites AB, ΒΓ sera incommensurable avec le double rectangle sous AB, Br ; le quarré restant de la droite AΓ est donc incommensurable avec le double rectangle sous AB, BΓ (17. 10) . Mais le double rectangle sous AB, ΒΓ est rationel ; le quarré de ΑΓ est donc irrationel ; la druite ΑΓ est donc irrationelle, et elle sera appelée la droite qui fait avec une surface rationelle un tout médial.
PROPOSITION LXXIX.
Si d’une droite on retranche une droite, qui étant incommensurable en puissance avec la droite entière, fasse avec la droite entière la somme des quarrés de ces droites médiale, le double rectangle sous ces mêmes droites médial aussi, et la somme des quarrés de ces droites incommensurable avec le double rectangle compris sous ces mêmes droites, la droite restante sera irrationelle, et sera appelée la droite qui fait avec une surface médiale un tout médial.
De la droite AB retranchons la droite BΓ, qui étant incommensurable en puissance avec la droite entière AB, fasse ce qui est proposé ; je dis que la droite restante AΓ est irrationelle, et elle sera appelée la droite qui fait avec une surface médiale un tout médial.
Car soit exposée la rationelle ΔΙ ; appliquons à la rationelle ΔI un parallélogramme ΔΕ égal à la somme des quarrés des droites AB, ΒΓ, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite ΔH ; retranchons de ΔΕ un parallélogramme ΔΘ égal au double rectangle compris sous AB, BΓ, ce parallélogramme ayant pour largeur la droite ΔZ, le parallélogramme restant ZE sera égal au quarré de AΓ (7. 2) ; la droite AΓ peut donc la surface ZE… Et puisque la somme des quarrés des droites AB, BΓ est médiale, et qu’elle est égale à ΔE, le parallélogramme ΔΕ sera médial ; mais ce parallélogramme est appliqué à la rationelle ΔΙ, et il a ΔΗ pour largeur ; la droite ΔΗ est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec ΔΙ (23. 10) . De plus, puisque le double rectangle sous AB, BΓ est médial, et quʼil est égal à ΔΘ, le parallélogramme ΔΘ sera médial ; mais il est appliqué à la rationelle ΔΙ, et il a ΔΖ pour largeur ; la droite ΔΖ est donc rationelle, et incommensurable en longueur avec sI. Et puisque la somme des quarrés des droites AB, BΓ est incommensurable avec le double rectangle sous AB, ΒΓ, le parallélograamme ΔΕ sera incommensurable avec le parallélogramme ΔΘ. Mais ΔΕ est à ΔΘ comme ΔΗ est à ΔZ (1. 6) ; la droite ΔH est donc incommensurable avec ΔΖ (10. 10) . Mais ces deux droites sont rationelles ; les droites HΔ, ΔZ sont donc des rationelles commensurables en puissance seulement ; ΖΗ est donc un apotome (74. 10), et ZΘ une rationelle. Puisque le rectangle compris sous une rationelle et un apotome est irrationel (14. 10) , que la droite qui peut ce rectangle est irrationelle, et que AT peut la surface ZE (39. 10) , la droite AΓ sera irrationelle, et elle sera appelée la droite qui fait avec une surface médiale un. tout médial.
PROPOSITION LXXX.
Il n’y a qu’une seule droite qui puisse convenir avec un apotome, cʼest une rationelle commensurable en puissance seulement avec la droite entière.
Soit l’apotome AB, et que ΒΓ lui conviène ; les droites AΓ, ΓΒ seront des rationelles commensurables en puissance seulement (74. 10) ; je dis qu’une autre rationelle commensurable en puissance seulement avec la droite entière ne convient pas avec AB.
Que la droite ΒΔ, si cela est possible, conviène avec AB ; les droites AΔ, ΔΒ seront des rationelles commensurables en puissance seulement (74. 10) . Et puisque la somme des quarrés des droites AΔ, ΔB surpasse le double rectangle sous ΑΔ, ΔΒ de la même grandeur dont la somme des quarrés des droites ΑΓ, ΓΒ surpasse le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ, car ces deux excès sont égaux chacun au quarré de AB (7. 2) , par permutation, la somme des quarrés des droites AΔ, ΔΒ surpassera la somme des quarrés des droites ΑΓ, ΓΒ de la même grandeur dont [16 double rectangle sous ΑΔ, ΔB surpasse le double rectangle sous ΑΓ, ΓΒ. Mais la somme des quarrés des droites Ag, ΔΒ. surpasse la somme des quarrés des droites AΓ, ΓB d’une surface rationelle, car ces deux sommes sont rationelles ; le double rectangle sous AΔ, ΔΒ surpasse donc le double rectangle sous ΑΓ, ΓB d’une surface rationelle ; ce qui est impossible, parce que ces deux grandeurs sont médiales, et qu’une surface médiale ne surpasse pas une surface médiale d’une surface rationelle (27. 10) ; une autre rationelle, commensurable en puissance seulement avec la droite entière, ne peut donc pas convenir avec AB. Donc, etc.