Les pavages : quand la géométrie recouvre la Terre
Les pavages réguliers et semi-réguliers : quand la géométrie recouvre la Terre de motifs parfaits.
Les pavages
Tessellatio
Les pavages réguliers
Un pavage (ou tessellation) est un recouvrement parfait d'une surface plane par des polygones identiques, sans trous ni chevauchements. La géométrie enseigne qu'il n'existe que trois pavages réguliers possibles : par des triangles équilatéraux, par des carrés, ou par des hexagones. Aucun autre polygone régulier ne peut, seul, remplir le plan.
Les pavages semi-réguliers
Si l'on autorise deux ou trois types de polygones réguliers, en exigeant que chaque sommet soit identique, on obtient huit pavages semi-réguliers. Ces motifs sont omniprésents dans l'art sacré : les sols de nos cathédrales, les mosaïques byzantines, et surtout les extraordinaires motifs géométriques de l'art arabe transmis à l'Occident par al-Andalus.
Trois pavages réguliers suffisent à recouvrir le plan : triangles, carrés, hexagones
Récapitulatif : les pavages du plan
Pavimenta Regularia
Les trois pavages réguliers
Les pavages réguliers du plan sont un sujet fascinant de la géométrie médiévale. Il n'existe que trois pavages réguliers, c'est-à-dire trois façons de couvrir le plan avec un seul type de polygone régulier sans laisser de vide :
- le triangle équilatéral
- le carré
- l'hexagone
Ces trois polygones peuvent paver le plan parce que leurs angles internes divisent exactement 360 degrés : 60° pour le triangle (6 × 60° = 360°), 90° pour le carré (4 × 90° = 360°), 120° pour l'hexagone (3 × 120° = 360°).
Le pentagone et les pavages semi-réguliers
Le pentagone régulier, malgré sa beauté, ne peut pas paver le plan : son angle interne de 108 degrés ne divise pas exactement 360 degrés, de sorte qu'il reste toujours un vide entre les figures. En revanche, lorsque l'on combine plusieurs types de polygones réguliers en imposant que chaque sommet présente la même configuration, on obtient les pavages semi-réguliers, aussi appelés pavages archimédiens : il en existe exactement huit. Le plus célèbre d'entre eux est le pavage octogone-carré, que l'on retrouve fréquemment sur les sols des églises médiévales et des cathédrales, où il symbolise l'harmonie de la Création.
Héritage et groupes de symétrie
Ces motifs géométriques ne sont pas nés en Occident seul : c'est par la voie d'Al-Andalus, Al-Andalus, que les savants chrétiens ont découvert la richesse des pavages arabes et les ont intégrés à l'art sacré. Les mathématiciens ont démontré qu'il existe exactement dix-sept groupes de symétrie du plan, appelés groupes de papiers peints, classant toutes les manières possibles de répéter un motif à l'infini par translations, rotations et réflexions.
Seuls trois polygones réguliers pavent le plan : le triangle, le carré et l'hexagone, reflets de l'ordre géométrique divin.
Testez-vous : 7 questions
1. Combien de pavages réguliers (un seul type de polygone) existent ?
- 7
- 3
- 12
- 5
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Réponse : 3
Il existe exactement 3 pavages réguliers du plan, c’est-à-dire des pavages utilisant un seul type de polygone régulier : le pavage de triangles équilatéraux (6 par sommet), le pavage de carrés (4 par sommet) et le pavage d’hexagones réguliers (3 par sommet). Ce sont les seuls polygones dont l’angle intérieur divise exactement 360°.
2. Quels trois polygones réguliers peuvent, seuls, paver le plan ?
- Triangle, carré, hexagone
- Triangle, octogone, décagone
- Triangle, carré, pentagone
- Carré, pentagone, octogone
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Réponse : Triangle, carré, hexagone
Seuls trois polygones réguliers peuvent paver le plan (le recouvrir sans trous ni chevauchements) : le triangle équilatéral (angle de 60°, 6 par sommet), le carré (90°, 4 par sommet) et l’hexagone régulier (120°, 3 par sommet). Leurs angles intérieurs divisent exactement 360°, condition nécessaire pour un pavage régulier. Tous les autres polygones réguliers échouent à cette condition.
3. Pourquoi le pentagone régulier ne peut-il pas paver le plan ?
- Il a un angle de 108°
- Il a un angle de 120°
- Il n’est pas symétrique
- Il a des côtés inégaux
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Réponse : Il a un angle de 108°
Un pentagone régulier a un angle intérieur de 108°. Or, pour paver le plan (le recouvrir sans trous ni chevauchements), il faut que l’angle du polygone divise exactement 360°. Puisque 360 ÷ 108 = 3,33…, ce n’est pas un nombre entier, et les pentagones ne peuvent pas se joindre parfaitement autour d’un sommet. Seuls les triangles (60°), les carrés (90°) et les hexagones (120°) pavent le plan.
4. Combien de pavages semi-réguliers (plusieurs polygones, sommets identiques) existent ?
- 17
- 13
- 8
- 3
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Réponse : 8
Il existe exactement 8 pavages semi-réguliers (ou pavages archimédiens) du plan. Ce sont des pavages qui utilisent plusieurs types de polygones réguliers, mais dont chaque sommet présente la même configuration de polygones. Par exemple : le pavage octogone-carré, le pavage hexagone-triangle, etc. Ces 8 configurations ont été largement exploitées dans l’art décoratif médiéval.
5. Par quelle voie les motifs géométriques arabes sont-ils parvenus en Occident ?
- Les Croisades
- La route de la soie
- L’Espagne musulmane
- L’Empire byzantin
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Réponse : L’Espagne musulmane
Les motifs géométriques arabes sont parvenus en Occident principalement par la voie d’Al-Andalus (Al-Andalus). Les échanges culturels entre chrétiens, Sarrasins et juifs dans la péninsule ibérique, notamment à Tolède et à Cordoue, permirent la transmission de ces motifs complexes (arabesques, pavages, étoiles) qui influencèrent l’art roman et gothique.
6. Quel pavage orne souvent les sols d’églises en combinant octogones et carrés ?
- Le pavage octogone-carré
- Le pavage pentagone-losange
- Le pavage carré simple
- Le pavage triangle-hexagone
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Réponse : Le pavage octogone-carré
Le pavage octogone-carré est un pavage semi-régulier où des octogones réguliers et des carrés s’emboîtent parfaitement pour couvrir le plan sans laisser de vide. Ce motif élégant orne fréquemment les sols d’églises médiévales, combinant la symbolique du carré (la terre, la stabilité) et de l’octogone (le baptême, la résurrection).
7. Combien de groupes de symétrie du plan (« papiers peints ») existent au total ?
- 17
- 24
- 5
- 7
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Réponse : 17
Il existe exactement 17 groupes de symétrie du plan, aussi appelés « groupes de papier peint ». Ils décrivent toutes les façons possibles de répéter un motif pour couvrir le plan par translations, rotations, réflexions et glissements. Remarquablement, les artisans médiévaux et les décorateurs de l’Alhambra avaient empiriquement découvert et utilisé ces 17 groupes bien avant leur classification mathématique.
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