Les figures planes : triangle, carré, pentagone, hexagone

Réponse : Le triangle

Le triangle équilatéral est le polygone régulier qui possède exactement trois côtés égaux et trois angles égaux (de 60° chacun). C’est la figure la plus simple après le point et la ligne, et la première construite dans les Éléments d’Euclide (proposition I.1). Dans la symbolique chrétienne, le triangle équilatéral représente la Sainte Trinité : trois personnes égales en un seul Dieu.

Réponse : Le carré

Le carré est le polygone régulier qui possède quatre côtés égaux et quatre angles droits (90°). C’est l’une des figures les plus fondamentales de la géométrie. Dans la symbolique médiévale, ses quatre côtés évoquent les quatre éléments, les quatre saisons, les quatre points cardinaux et les quatre évangélistes. Il représente la stabilité du monde créé.

Réponse : Six

L’hexagone régulier possède six côtés égaux et six angles égaux (de 120° chacun). Il est facilement constructible au compas car son côté est exactement égal au rayon du cercle circonscrit. Dans la nature, on le retrouve dans les alvéoles des abeilles. Dans l’art médiéval, l’hexagone symbolise la perfection de la création et l’harmonie des six jours de la Genèse.

Réponse : Le livre IV

Le livre IV des Éléments d’Euclide enseigne l’inscription des polygones réguliers dans un cercle et leur circonscription autour d’un cercle. On y apprend à inscrire le triangle équilatéral, le carré, le pentagone et l’hexagone réguliers. Ces constructions à la règle et au compas sont exactement celles qu’utilisaient les bâtisseurs pour tracer les rosaces et les plans d’édifices.

Réponse : Le pentagone

Les pythagoriciens adoptèrent le pentagone régulier (et son étoile inscrite, le pentagramme) comme signe secret de reconnaissance de leur confrérie. Le pentagone contient le nombre d’or dans le rapport de sa diagonale à son côté, ce qui en faisait pour eux un symbole d’harmonie et de perfection. Ce choix témoigne du lien profond entre géométrie et mystique dans l’école pythagoricienne.

Réponse : L’hexagone

L’hexagone régulier pave parfaitement le plan car son angle intérieur de 120° divise exactement 360° (360 ÷ 120 = 3). Trois hexagones se rejoignent à chaque sommet, couvrant le plan sans vide ni chevauchement. C’est le pavage régulier qui enferme la plus grande surface pour un périmètre donné : raison pour laquelle les abeilles l’utilisent pour leurs alvéoles.

Réponse : Sagesse 11,20

Hugues de Saint-Victor cite le verset de la Sagesse 11, 20 : « Tu as tout réglé avec mesure, nombre et poids. » Ce verset fondamental justifie l’ordre géométrique et mathématique de la création : Dieu a créé le monde selon des lois précises que la géométrie permet de découvrir. Ce verset est l’un des plus cités par les penseurs médiévaux pour fonder les sciences mathématiques.

Réponse : Trois

Seuls trois polygones réguliers peuvent paver le plan à eux seuls : le triangle équilatéral (angle de 60°), le carré (90°) et l’hexagone régulier (120°). Pour qu’un pavage soit possible, il faut que l’angle intérieur du polygone divise exactement 360°. Les autres polygones (pentagone avec 108°, heptagone avec 128,57°, etc.) ne satisfont pas cette condition.

Réponse : Sept est vierge et complet

L’heptagone régulier (7 côtés) est impossible à construire exactement à la règle et au compas. Néanmoins, le nombre 7 est vénéré dans la tradition sacrée car il est considéré comme « vierge » et « complet en lui-même » : il n’engendre aucun nombre dans la décade (contrairement à 2, 3, 4, 5) et n’est engendré par aucun. Les 7 jours de la Création, les 7 sacrements, les 7 vertus en témoignent.

Réponse : Vrai

L’hexagone régulier peut en effet être construit uniquement à la règle et au compas. Le procédé est simple : le rayon du cercle circonscrit est exactement égal au côté de l’hexagone. Il suffit donc de reporter six fois le rayon sur le cercle pour obtenir les six sommets. Cette propriété fait de l’hexagone l’une des figures les plus faciles à construire, d’où sa fréquence dans l’art médiéval.