La section dorée
φ : la proportion qui plaît à l'œil et à l'esprit.
Sectio Aurea
La divine proportion
Il existe une proportion unique qui fascine depuis l'Antiquité : la « section dorée » ou « divine proportion ». Lorsqu'un segment est divisé de telle sorte que le rapport du tout à la grande partie égale le rapport de la grande partie à la petite, on obtient le nombre Phi, dont la valeur approchée est 1,618. Sa valeur exacte s'écrit (1 + racine de 5) / 2, solution de l'équation remarquable où le carré de Phi égale Phi plus un. Ce nombre apparaît dans le pentagramme, cette étoile à cinq branches où chaque intersection de diagonales produit le rapport d'or, et dans la suite décrite par Leonardo de Pise en 1202, dite suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...), dont le rapport de deux termes consécutifs converge vers Phi.
Le nombre le plus irrationnel
Euclide, au livre VI de ses Éléments, nomma cette division « rapport extrême et moyen » et en donna la construction à la règle et au compas. Les mathématiciens qualifient Phi de « nombre le plus irrationnel » car son développement en fraction continue n'utilise que des 1, ce qui le rend maximalement résistant à l'approximation par des fractions simples. Phi est un nombre irrationnel dont la partie décimale se poursuit à l'infini sans jamais se répéter, propriété qui fascinait les penseurs médiévaux : il échappe à toute mesure exacte, comme les mystères divins échappent à la compréhension humaine finie.
La Grande Pyramide
La Grande Pyramide de Guizeh offre un exemple saisissant de ces proportions dans l'architecture antique. Le rapport entre l'apothème (distance du sommet au milieu d'un côté de la base) et la demi-base est très proche de Phi. De plus, le périmètre de sa base est approximativement égal à la circonférence d'un cercle dont le rayon serait la hauteur de la pyramide, ce qui signifie que le rapport périmètre sur hauteur est très proche de 2 pi. Que ces proportions aient été intentionnelles ou fortuites reste débattu, mais elles témoignent d'une harmonie qui rejoint l'intuition fondamentale du nombre d'or : l'unité dans la diversité, image de Dieu dans Sa création.
Euclide la nomma « rapport extrême et moyen » car elle reflète l'unité dans la diversité, image de Dieu dans Sa création.
Testez-vous : 10 questions
1. Comment appelle-t-on la proportion spéciale où le tout est à la grande partie ce que la grande partie est à la petite ?
- La symétrie centrale
- La proportion triple
- La division égale
- La section dorée
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Réponse : La section dorée
La section dorée divise un segment tel que le tout est à la grande partie ce que la grande partie est à la petite (rapport Phi).
2. Quelle est la valeur approchée du nombre d’or Phi ?
- 2,718
- 1,414
- 1,618
- 3,141
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Réponse : 1,618
Le nombre d’or (Phi) a pour valeur approchée 1,618 (plus précisément 1,6180339887…). Sa valeur exacte est (1 + racine de 5) / 2. Ce nombre irrationnel apparaît dans le pentagone régulier, le pentagramme, la suite de Fibonacci et de nombreuses proportions naturelles et architecturales. Les médiévaux le connaissaient sous le nom de « partage en extrême et moyenne raison ».
3. Dans quelle figure géométrique à cinq branches retrouve-t-on le nombre d’or à chaque intersection ?
- Le carré
- Le pentagramme
- L’hexagone
- Le triangle
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Réponse : Le pentagramme
Le pentagramme (étoile à cinq branches) est la figure où le nombre d’or apparaît à chaque intersection. Chaque diagonale du pentagone régulier est coupée par les autres selon le rapport d’or. De plus, le rapport entre la diagonale et le côté du pentagone vaut phi. Les pythagoriciens, qui avaient choisi le pentagramme comme emblème, connaissaient cette propriété.
4. Quelle suite de nombres, décrite par Leonardo de Pise en 1202, donne des approximations de plus en plus précises du nombre d’or ?
- La suite harmonique
- La suite des premiers
- La suite de Fibonacci
- La suite des carrés
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Réponse : La suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…), décrite par Leonardo de Pise (Fibonacci) dans son Liber Abaci en 1202, donne des approximations de plus en plus précises du nombre d’or. Le rapport de deux termes consécutifs (8/5, 13/8, 21/13…) converge vers phi (1,618…). Cette convergence relie l’arithmétique des nombres entiers à la géométrie du nombre d’or.
5. Quelle formule donne la valeur exacte du nombre d’or Phi ?
- 2/(racine de 3)
- (1+racine de 5)/2
- Pi/2
- (1+racine de 3)/2
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Réponse : (1+racine de 5)/2
La valeur exacte du nombre d’or Phi est (1 + racine de 5) / 2, soit environ 1,6180339887… Cette formule s’obtient en résolvant l’équation phi au carré = phi + 1, qui exprime la propriété fondamentale du nombre d’or : le carré de phi est égal à phi plus un. C’est cette relation qui engendre l’autosimilarité du rectangle d’or et le lien avec la suite de Fibonacci.
6. Au Livre VI des Éléments, Euclide définit la division d’un segment en « extrême et moyenne raison ». Quel rapport ?
- Le rapport 3:2
- Le nombre Pi
- Le nombre d’or
- La racine de 2
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Réponse : Le nombre d’or
Au livre VI des Éléments, Euclide définit la division d’un segment en « extrême et moyenne raison » : le rapport du tout à la grande partie est égal au rapport de la grande partie à la petite. Ce rapport unique est le nombre d’or (phi, environ 1,618). Euclide en donne la construction à la règle et au compas, faisant de cette proportion un pilier de sa géométrie.
7. Dans la Grande Pyramide, demi-base et apothème sont dans un rapport proche de quel nombre ?
- Pi (3,14)
- E (2,718)
- Racine de 2 (1,414)
- Phi (1,618)
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Réponse : Phi (1,618)
La Grande Pyramide de Guizeh présente une propriété remarquable : le rapport entre l’apothème (distance du sommet au milieu d’un côté de la base) et la demi-base est très proche de Phi (1,618), le nombre d’or. Que cette proportion ait été intentionnelle ou fortuite reste débattu, mais elle a fasciné les mathématiciens et nourri la réflexion sur le nombre d’or à travers les siècles.
8. Pourquoi le nombre d’or est-il qualifié de « nombre le plus irrationnel » par les mathématiciens ?
- Il est imaginaire
- Il est négatif
- Il est infini
- Résiste aux fractions
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Réponse : Résiste aux fractions
Le nombre d’or est qualifié de « nombre le plus irrationnel » car il résiste le plus fortement à l’approximation par des fractions. Son développement en fraction continue est le plus lent possible (1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/…))), n’utilisant que des 1. Cela signifie qu’aucune fraction ne l’approche bien, ce qui le rend fondamentalement « incommensurable ».
9. La Grande Pyramide de Gizeh encode des proportions remarquables. Laquelle de ces propriétés possède-t-elle ?
- Périmètre égal au cercle
- Elle a sept chambres exactes
- Faces des carrés parfaits
- Hauteur égale le diamètre
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Réponse : Périmètre égal au cercle
La Grande Pyramide de Gizeh possède une propriété remarquable : le périmètre de sa base est approximativement égal à la circonférence d’un cercle dont le rayon serait la hauteur de la pyramide. Autrement dit, le rapport périmètre/hauteur est très proche de 2 pi. Cette coïncidence, que certains considèrent comme intentionnelle, a fasciné les mathématiciens de toutes les époques.
10. Le nombre d’or est un nombre rationnel que l’on peut exprimer comme une fraction simple.
- Vrai
- Faux
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Réponse : Faux
Le nombre d’or (φ ≈ 1,618…) est un nombre irrationnel : on ne peut pas l’exprimer comme une fraction de deux entiers. Sa partie décimale se poursuit à l’infini sans jamais se répéter. C’est précisément cette propriété qui fascinait les penseurs médiévaux : φ échappe à toute mesure exacte, comme les mystères divins échappent à la compréhension humaine finie.
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