Le calcul des aires et des périmètres
Base × hauteur, π × r² : mesurer les surfaces.
De areis et perimetris
Périmètre et aire
Mesurer une figure, c'est d'abord en connaître le tour (le périmètre) et la surface (l'aire). Le périmètre du carré est quatre fois son côté ; celui du triangle, la somme de ses trois côtés. L'aire du rectangle se calcule en multipliant la longueur par la largeur, vérité si naturelle qu'elle semble évidente, mais qu'Euclide démontre rigoureusement au livre I des Éléments. L'aire du triangle est la moitié de celle du rectangle de même base et même hauteur, comme Euclide l'établit à la proposition I.41 : la diagonale d'un parallélogramme le coupe en deux triangles égaux, et tout triangle partageant la même base entre les mêmes parallèles occupe exactement la moitié de la surface du parallélogramme.
Cercle et carré
Quant au cercle, son périmètre et son aire font intervenir le nombre pi, ce rapport constant entre la circonférence et le diamètre que l'on retrouve dans tout cercle, quelle que soit sa taille. Archimède fut le premier à l'encadrer rigoureusement par une méthode de polygones inscrits et circonscrits. L'aire du carré, cas particulier du rectangle, se calcule en élevant le côté au carré : un carré de côté sept mesure ainsi quarante-neuf unités de surface, puisque sept fois sept égale quarante-neuf. C'est d'ailleurs de cette opération que vient le nom même de « carré » en arithmétique.
Arpenteurs médiévaux
Nos arpenteurs médiévaux, héritiers des agrimenseurs romains (ces spécialistes de la mesure des terres qui utilisaient la groma et des cordes pour diviser le territoire), appliquaient ces formules pour mesurer les champs et les terrains d'église. Gerbert d'Aurillac, futur pape Sylvestre II, enseignait la practica geometriae à l'école cathédrale de Reims en faisant mesurer à ses élèves les distances et les surfaces sur le terrain lui-même, transmettant ainsi le savoir antique par la pratique vivante.
Géométrie sans algèbre
Notons qu'Euclide ne calculait jamais les aires au moyen de coordonnées cartésiennes, qui ne furent inventées que par Descartes au XVIIe siècle. Sa méthode était purement géométrique : il comparait les figures par superposition et décomposition, exprimant ses résultats en rapports entre figures et non en formules algébriques. Cette géométrie sans algèbre, d'une rigueur admirable, est restée la référence pendant près de deux millénaires.
Gerbert d'Aurillac, futur pape Sylvestre II, enseignait la practica geometriae en faisant mesurer à ses élèves les distances et les surfaces du terrain de Reims.
Testez-vous : 9 questions
1. Comment calcule-t-on le périmètre d’un carré de côté donné ?
- Deux fois le côté
- Le côté fois pi
- Le côté au carré
- Quatre fois le côté
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Réponse : Quatre fois le côté
Le périmètre d’un carré de côté donné se calcule en multipliant le côté par quatre (P = 4 × c), puisque le carré a quatre côtés égaux. Cette formule simple est l’une des premières que l’on apprend en géométrie. Les arpenteurs médiévaux l’utilisaient pour mesurer le tour des parcelles carrées et estimer les clôtures nécessaires.
2. Comment calcule-t-on l’aire d’un rectangle ?
- Longueur plus largeur
- Deux fois la longueur
- La diagonale au carré
- Longueur fois largeur
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Réponse : Longueur fois largeur
L’aire d’un rectangle se calcule en multipliant sa longueur par sa largeur. Cette formule fondamentale, connue depuis l’Antiquité, est à la base de tout le calcul des aires en géométrie. Euclide la démontre rigoureusement dans les Éléments, et les arpenteurs médiévaux l’utilisaient quotidiennement pour mesurer les parcelles de terre.
3. L’aire du triangle est quelle fraction de l’aire du rectangle de même base et même hauteur ?
- La moitié
- Les deux tiers
- Le quart
- Le tiers
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Réponse : La moitié
L’aire d’un triangle est égale à la moitié de l’aire du rectangle (ou parallélogramme) de même base et même hauteur. Euclide le démontre à la proposition I.41 des Éléments : la diagonale d’un parallélogramme le coupe en deux triangles égaux. Cette relation simple est fondamentale pour tout calcul d’aire en géométrie.
4. À quelle proposition du livre I des Éléments Euclide démontre-t-il que l’aire du triangle est la moitié de celle du parallélogramme ?
- La proposition I.47
- La proposition I.41
- La proposition I.5
- La proposition I.1
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Réponse : La proposition I.41
La proposition I.41 des Éléments d’Euclide établit que si un parallélogramme et un triangle partagent la même base et sont compris entre les mêmes parallèles, alors l’aire du triangle est exactement la moitié de celle du parallélogramme. Ce résultat fondamental permet de calculer l’aire de tout triangle et constitue une étape clé vers la proposition I.47 (théorème de Pythagore).
5. Quel rapport constant lie la circonférence d’un cercle à son diamètre ?
- Le nombre pi
- Le nombre d’or
- Le nombre e
- La racine de deux
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Réponse : Le nombre pi
Le nombre pi (environ 3,14159) est le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Quelle que soit la taille du cercle, ce rapport est toujours le même. Archimède fut le premier à l’encadrer rigoureusement. C’est l’une des constantes les plus fondamentales de la géométrie.
6. Quel futur pape, célèbre mathématicien, enseignait l’arpentage pratique à ses élèves de Reims ?
- Urbain II
- Léon IX
- Grégoire VII
- Gerbert d’Aurillac
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Réponse : Gerbert d’Aurillac
Gerbert d’Aurillac (v. 946-1003), futur pape Sylvestre II, enseignait l’arpentage pratique à ses élèves de l’école cathédrale de Reims. Il leur apprenait à calculer des aires de terrains et des hauteurs de bâtiments par des méthodes géométriques. Ce grand mathématicien, formé au contact du savoir arabe en Catalogne, fut l’un des principaux artisans du renouveau scientifique de l’an mil.
7. Comment les arpenteurs romains, dont nous héritons les méthodes, étaient-ils appelés ?
- Les édiles
- Les questeurs
- Les augures
- Les agrimenseurs
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Réponse : Les agrimenseurs
Les arpenteurs romains étaient appelés agrimenseurs (agrimensores), du latin ager (champ) et mensor (mesureur). Spécialistes de la mesure des terres, ils utilisaient la groma (instrument de visée) et des cordes pour diviser le territoire en parcelles régulières. Leurs méthodes géométriques, consignées dans des traités, furent transmises au Moyen Âge et influencèrent l’arpentage médiéval.
8. L’aire d’un carré de côté 7 vaut combien d’unités de surface ?
- Quatorze
- Quarante-neuf
- Trente-six
- Vingt-huit
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Réponse : Quarante-neuf
L’aire d’un carré de côté 7 vaut 7 × 7 = 49 unités de surface. L’aire du carré se calcule en élevant la longueur du côté au carré (d’où le nom de cette opération mathématique). Cette formule fondamentale était connue des arpenteurs depuis l’Antiquité et servait quotidiennement au Moyen Âge pour mesurer les parcelles de terre.
9. Euclide calculait les aires en utilisant des coordonnées cartésiennes.
- Vrai
- Faux
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Réponse : Faux
Euclide ne calculait pas les aires avec des coordonnées cartésiennes, qui ne furent inventées que par Descartes au XVIIe siècle. Euclide utilisait une méthode purement géométrique : il comparait les aires en montrant l’égalité de figures par superposition, décomposition ou transformation. Ses résultats sont exprimés en termes de rapports entre figures, jamais en formules algébriques.
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