Les trois moyennes : arithmétique, géométrique, harmonique
Moyenne arithmétique, géométrique, harmonique.
Tres Mediates
Les trois moyennes
Boèce, suivant Nicomaque de Gérase, enseigne trois moyennes fondamentales.
- La moyenne arithmétique de deux nombres est leur demi-somme : la moyenne arithmétique de 6 et 12 est 9.
- La moyenne géométrique est la racine carrée de leur produit : celle de 4 et 16 est 8, car 8 x 8 = 64 = 4 x 16.
- La moyenne harmonique, la plus subtile, se calcule de sorte que les rapports entre elle et les extrêmes soient en proportion inverse : la moyenne harmonique de 6 et 12 est 8, car (12-8)/(8-6) = 12/6.
Ces trois moyennes structurent l'harmonie musicale et la contemplation de l'ordre divin.
La plus simple
La moyenne arithmétique est la plus simple des trois moyennes : on additionne les deux nombres et on divise par 2.
Ces trois moyennes structurent l'harmonie musicale et la contemplation de l'ordre divin.
Testez-vous : 8 questions
1. Comment appelle-t-on la moyenne obtenue en faisant la demi-somme de deux nombres (par exemple, (6+12)/2 = 9) ?
- Moyenne pondérée
- Moyenne harmonique
- Moyenne arithmétique
- Moyenne géométrique
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Réponse : Moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique de deux nombres a et b se calcule par (a+b)/2. Pour 6 et 12 : (6+12)/2 = 9. C’est la plus intuitive des trois moyennes pythagoriciennes. Boèce enseigne qu’elle se situe toujours entre la moyenne géométrique et la moyenne harmonique.
2. Boèce enseigne trois types fondamentaux de moyennes dans son arithmétique. Lesquels ?
- moyennes en proportions
- simple, double, triple
- parfait, abondant, déficient
- pair, impair, premier
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Réponse : moyennes en proportions
Boèce enseigne trois types fondamentaux de moyennes : arithmétique ((a+b)/2), géométrique (√(ab)) et harmonique (2ab/(a+b)). Ces trois moyennes, héritées des pythagoriciens, suffisent à décrire tous les rapports musicaux et constituent le fondement de la théorie des proportions.
3. La moyenne géométrique de 4 et 16 est un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 4 x 16 = 64. Quelle est cette moyenne ?
- 10
- 12
- 6
- 8
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Réponse : 8
La moyenne géométrique de deux nombres a et b est √(a×b). Pour 4 et 16 : √(4×16) = √64 = 8. Ce nombre, multiplié par lui-même, redonne le produit des extrêmes. Boèce enseigne que la moyenne géométrique est le fondement des proportions continues.
4. La moyenne harmonique de 6 et 12 est 8. Quelle propriété caractérise cette moyenne ?
- Comme 8 est à 12
- Comme 6 est à 12
- Comme 12 est à 6
- Comme 1 est à 1
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Réponse : Comme 12 est à 6
La moyenne harmonique de 6 et 12 est 8. Sa propriété caractéristique : les différences aux extrêmes (12-8 = 4 et 8-6 = 2) sont entre elles comme les extrêmes eux-mêmes (12:6 = 2:1, et 4:2 = 2:1). Cette proportionnalité fait de la moyenne harmonique un concept fondamental en musique.
5. Parmi les trois moyennes de 6 et 12 (arithmétique = 9, géométrique ≈ 8.49, harmonique = 8), laquelle est toujours la plus petite ?
- La moyenne géométrique
- La moyenne harmonique
- La moyenne arithmétique
- Aucune n’est plus petite
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Réponse : La moyenne harmonique
Parmi les trois moyennes pythagoriciennes, la moyenne harmonique est toujours la plus petite. Pour 6 et 12 : arithmétique = 9, géométrique ≈ 8,49, harmonique = 8. Cette hiérarchie (harmonique ≤ géométrique ≤ arithmétique) est un théorème fondamental démontré par Boèce.
6. Sur les dix moyennes énumérées par Boèce, trois principales suffisent aux rapports musicaux. Quel peuple les formula d’abord ?
- Les Égyptiens
- Les Romains
- Les Pythagoriciens
- Les Babyloniens
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Réponse : Les Pythagoriciens
Les trois moyennes principales (arithmétique, géométrique, harmonique) furent formulées en premier par les pythagoriciens. Archytas de Tarente (IVe siècle av. J.-C.) leur donna leurs noms définitifs. Elles suffisent à décrire tous les rapports musicaux fondamentaux.
7. Les nombres 6, 8, 9 et 12 forment un ensemble remarquable contenant les trois moyennes. Quel nom Boèce donne-t-il à cette tétrade parfaite ?
- Le carré magique
- Le nombre figuré
- La proportion musicale
- Le triangle parfait
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Réponse : La proportion musicale
Boèce appelle « proportion musicale » (proportionalitas musica) la tétrade 6, 8, 9, 12 qui contient les trois moyennes : arithmétique (9 entre 6 et 12), harmonique (8 entre 6 et 12) et géométrique (entre 6-9 et 8-12). Elle résume tous les intervalles musicaux fondamentaux.
8. Dans le Timée, le Démiurge engendre l’Âme du Monde par les trois moyennes. Nom de cette série de nombres ?
- Le lambda du Timée
- Le nombre d’or
- Le nombre nuptial
- La suite de Fibonacci
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Réponse : Le lambda du Timée
Dans le Timée, le Démiurge construit l’Âme du Monde en insérant les trois moyennes (arithmétique, géométrique, harmonique) entre les termes d’une série de nombres. Cette « série du Timée » (1, 2, 3, 4, 8, 9, 27…) engendre les intervalles musicaux qui structurent le cosmos.
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Dans ce chapitre : Proportions et harmonie
- Les trois moyennes : arithmétique, géométrique, harmonique
- Les rapports musicaux
- L'harmonie des sphères selon Boèce
- Le nombre d'or et les proportions divines
- La section dorée dans l'art sacré