Le nombre d'or et les proportions divines

Réponse : Le nombre d’or

Le nombre d’or (φ ≈ 1,618) résulte de la division d’un segment en « extrême et moyenne raison » : le rapport du tout à la grande partie égale celui de la grande partie à la petite. Euclide le définit au livre VI des Éléments. Pacioli le nomma « divine proportion ».

Réponse : Euclide

Euclide définit la division en « extrême et moyenne raison » (le nombre d’or) au livre VI, définition 3 de ses Éléments : un segment est divisé ainsi quand le rapport du tout à la grande partie égale celui de la grande partie à la petite. Ce rapport vaut φ ≈ 1,618.

Réponse : 21

Dans la suite de Fibonacci, chaque nombre est la somme des deux précédents. Après 8 et 13 : 8 + 13 = 21. La suite continue : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Le rapport entre deux termes consécutifs converge vers le nombre d’or (φ ≈ 1,618).

Réponse : Luca Pacioli

Luca Pacioli (v. 1447-1517), frère franciscain et mathématicien italien, publia en 1509 le « De Divina Proportione » (La Divine Proportion), illustré par Léonard de Vinci. Il y donna au nombre d’or le nom de « divine proportion », soulignant ses propriétés quasi miraculeuses.

Réponse : Il est son inverse plus un

La propriété φ = 1 + 1/φ signifie que le nombre d’or est son propre inverse augmenté de 1. Autrement dit, φ - 1 = 1/φ. Cette relation unique fait du nombre d’or le nombre le plus « auto-référent » qui soit, ce qui fascinait les mathématiciens médiévaux.

Réponse : Le pentagone

Le nombre d’or apparaît dans la géométrie du pentagone régulier. Le rapport entre la diagonale et le côté d’un pentagone régulier est exactement φ ≈ 1,618. C’est pourquoi le pentagramme (étoile à cinq branches inscrite dans un pentagone) était le symbole sacré des pythagoriciens.

Réponse : Il n’est pas une fraction

Un nombre irrationnel ne peut pas s’exprimer comme une fraction (un ratio) de deux nombres entiers. Le nombre d’or (φ ≈ 1,618…) possède une expansion décimale infinie et non périodique. Les Grecs découvrirent cette propriété en étudiant la diagonale du pentagone.

Réponse : L’icosaèdre

Au livre XIII des Éléments, Euclide utilise la division en extrême et moyenne raison (le nombre d’or) pour construire l’icosaèdre, solide régulier à 20 faces triangulaires. Les faces de ce solide s’inscrivent dans des pentagones réguliers, qui requièrent cette proportion.